第一章：有限元基本概念

第一章 有限元方法的基本原理与概念

有限元方法是求解数学物理问题的一种强有力的工具，它在变分法理论的基础上吸收了有限差分方法的思想而发展起来的。随着计算求解技术的发展成为研究学研究和工程设计等部门中的一种有效的手段。为了使读者更好的了解这一方法，本章主要介绍数学物理问题的一般提法，以及有限元方法所能解决问题的一些背景及其应用范围。本章还通过对有限差分法、变分法和加权残数法的介绍和比较，让读者进一步了解有限元方法的基本原理及其优越性。

§1.1 偏微分方程与定解问题

自然界中的许多物理问题在某些情况下可以通过适当的微分方程或偏微分方程描述，通常把这类方程称为数学物理方程。这些方程在给定的特定边界条件和初始条件中可求得解答。数学物理方程的求解方法基本可以分为两大类型：一类称之为解析法，例如分离变量法、特殊函数法、积分变换法等，利用这种方法可得到问题的精确解；另一类为数值法，例如有限差分法、数值积分方法、边界元法、有限元法等，利用这种方法可得到问题的近似解。不论使用哪种方法都需要对数学物理方程及其定解条件（初值和边值）应有基本了解，故本节对此方面的基本概念作一简要介绍。 §1.1.1偏微分方程的分类

数学物理问题一般由偏微分方程控制。方程中偏导数的最高阶次称之为方程的阶；未知函数多于一个的偏微分方程组成的方程组称为偏微分方程组。如果方程中包含的其它函数或其偏导数的项都是未知函数的一次式，则称之为线性偏微分方程；否则为非线性偏微分方程。在非线性方程中，未知函数的最高阶偏导数对于未知函数是线性的称之为拟线性偏微分方程，如果方程中存在有与未知函数无关项称之为非齐次的，否则为齐次方程。

在数学物理方程中最为典型的一维波动方程

222

2

2(,)u u

a f x t x t

∂∂+=∂∂ (1.1.1) 为二阶非齐次线性方程。

在固体力学中，在扭矩作用下的柱形杆扭转问题的控制方程

22220x y

ϕϕ

∂∂+=∂∂ (1.1.2) 为二维二阶齐次方程。

热力学中的热传导方程

(,,,)x y z p k k k q x y z t C x x y y z z t

ϕϕϕϕρ∂∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂∂ (1.1.3) 为三维二阶非齐次线性方程。

在二维弹性力学问题中位移形式的平衡方程为

11123333122200x y u v u v C C C q x x y x x y u v u v C C C q x y x x x y ⎧⎡⎤

⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂++++=⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝

⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎨

⎡⎤⎛⎫⎛

⎫∂∂∂∂∂∂⎪++++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝

⎭⎝⎭⎣⎦⎩ (1.1.4) 这是二阶方程组，对于线弹性体材料常数11C 、22C 、12C 、33C 和位移u 、v 无关，则方程是线性的，否则是非线性的。下边方程则为非线性方程

2

2

(,,)u u f x y u x y ⎛⎫

∂∂⎛⎫+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

(1.1.5) 二阶线性偏微分方程的一般形式可写为如下形式

22222(,)2(,)(,)(,)(,)

(,)(,)A x y B x y C x y D x y E x y x x y y x y F x y q x y ϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂+= (1.1.6)

依照二次曲线的分类法，有

2000B AC <⎧⎪

∆=-==⎨⎪>⎩

椭圆型抛物型双曲型 (1.1.7)

不同类型的方程控制着不同的物理过程，它们的解的特征也有明显的不同。 §1.1.2 偏微分方程的定解问题

一个偏微分方程是否有解？为了寻找在某一特定条件下的解，就要考虑所给问题的边界条件和初始条件。使偏微分方程的解完全唯一确定且有界的边界条件和初始条件称为定解条件。若解函数本身及其导数在初始时刻和在边界上为零，分别称这为齐

次初始条件和齐次边值条件。偏微分方程同定解条件一起构成定解问题，可分为初值问题、边值问题和混合问题。 1、 初值问题

一无限长杆的热传导问题可用下述方程及初始条件来描述

22d c k t dx

θθρ∂=∂ (0

t t x >-∞<<∞) (1.1.8)

t t θθ==

其中(,)x t θθ=，θ是0t t =时刻杆中温度分布，这是典型的初值问题。

一维波方程初值问题的定解描述为

22222

d u d u dt dx α= (0t t x >-∞<<∞) (1.1.9)

0t t u u ==

1

0t t u

v t =∂=∂ 由上面两个例子可看出，偏微分方程中函数对时间的偏导数是一阶时，初始条件 是函数本身，而二阶偏导数时初始条件是函数本身及一阶偏导数，由此可知对于具有n 阶时间的偏导数必有n 个初值条件，未知函数对时间的最高偏导数的阶次应为n-1。 2 、边值问题

偏微分方程的解如果只同边界条件有关，此类问题则称之为边值问题。常见边值问题的边界条件有以下三种：

第一类边界条，一般可表示为

S ϕϕ= (1.1.10)

ϕ为偏微分方程中的未知函数，ϕ为边界条件S 上的已知函数，第一类边值问题

也称为Dirichlet 问题。

第二类边界条件。在边界上指定未知函数ϕ沿边界外法线方向的偏导数，一般可 表示为

S

q n

ϕ

∂=∂ (1.1.11)

或 x y z S n n n q x

y z ϕϕϕ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (1.1.12)