有限元法的理论基础
有限元
3. 有限元理论基础
微分方程等效积分形式和加权余量法
－ （在数学上）建立有限元方程的基础；
( 求解工程微分方程问题的有效方法)
弹性力学问题变分原理 －（在力学上）建立有限元方程的基础
3. 有限元理论基础 弹性力学问题变分原理
1、弹性力学方程张量形式 2、应变能、应变余能 3、虚功（虚位移、虚应力）原理
– 用于静力载荷条件 – 可以模拟诸如大变形、大应变、接触、塑性、超弹、蠕变等非 线性行为
超弹密封
6.有限元法与有限元分析
• 动力学分析
– – – – 包括质量和阻尼效应 模态分析 计算固有频率及振型 谐响应分析 确定结构对已知幅值和频率的正弦载荷的响应 瞬态动力学分析 确定结构对随时间变化载荷的响应，可以 包括非线性行为 谱分析 随机振动 特征值屈曲 子结构, 子模型 疲劳、断裂力学、复合材料
限元分析的理论基础。 2. 有限元分析提供了大量的有限元法离散所需要的有限单元， 同时充分利用计算机资源解脱了人在运用有限元法时计算 耗费大量的精力，使得有限元法广泛的应用。
6.有限元法与有限元分析
有限元与ANSYS
• ANSYS 是被世界各地各领域的工程师所广泛使用的完 整的有限元软件包:
– – – – – – – – –
u (u i
u j ui l
a1
xi )
u j ui l
a2
x
（5-2）
5. 平面力学有限元求解
② 形函数 将式（5-2）改写为下列形式
u [ N ]{ }e
式中形函数[N]为
[ N ] [ Ni 1 N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
{Fpx }
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
有限单元法的基本概念和理论基础
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：
1
2
应变分量向量
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
01
02
03
04
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得
考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。
应变分量与位移分量的关系来自<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
简化得
剪应力互等
应力
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：
平衡微分方程
可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。
有限元法基础.ppt
{} u1 u2 u3 u4 T
总体节点 位移列阵
R R1 R2 R3 R4 T
总体节点 载荷列阵
总体刚度矩阵[K]
总体刚度矩阵可由各单元刚度矩阵计算：[K]=∑[K]e
因各单元长度均等于L/3，故由 Krs =±EA(xj-xi)， 得
Krs =±3EA/L
(r, s =1,2,3,4。r＝s 时，取“＋”；r≠s 时，取 “－”)
此即有限元法的计算结果，与
解析解相同。
u3
利用节点位移可求得单元应变和应力。
x
有限元法解题步骤
• 连续体离散化 把连续弹性体分割成许多小单元， 并把单元载荷等效移置到节点成为节点载荷；
• 单元特征分析 以节点位移δe为基本未知量，选一单元位移函数，
并用节点位移表示单元位移 f =Nδe ； 通过几何方程用节点位移表示单元应变ε=Bδe ； 通过物理方程用节点位移表示单元应力σ=Gδe， 通过虚功方程用节点位移表示节点力Fe=Keδe。
[K]—总体刚度矩阵
以节点位移为未知量的 [K] KK12((1111)) 线性方程组。 0
0
K (1) 12
K (1) 22
K (2) 22
K (2) 32
0
0
K (2) 23
K (2) 33
K (3) 33
K (3) 43
0
0
K (3) 34
K (3) 44
解析法：
任一x截面
O
轴向位移
u(x) q (2Lx x2) 2EA
几何方程 物理方程
x
du(x) dx
x E x
有限元法的力学基础
有限元法的力学基础有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。
其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。
一、材料力学有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。
材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。
在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。
应力是物体受力过程中单位面积所受的力。
在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。
材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。
应变分为线性应变和非线性应变两种类型。
材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。
二、结构力学有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化等。
结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。
结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。
在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。
通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。
将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。
三、数值分析有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。
数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。
有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。
数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。
总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。
有限元法基础
绪论
1.1有限元的基本概念
任何连续体都可以假想地分割成有限个简单形状单元 体的组合，在有限元法中将这些简单形状的单体称为单 元，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为节点，如 图1.1所示。从理论上说，单元的分割可以是任意的，不过 在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元分割既满 足力学分析要求，又能使计算简便。
绪论
1.1有限元的基本概念
基本步骤
1 结构离散化 2 单元分析 3 整体分析
绪论
1.2 有限元的发展状况
1960 年， Clough 在他的一篇论文“平面分析的有限元法” 中最先引入了有限元法 (Finite Element Method)这一术语。这 一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解 连续体介质力学问题而提出来的。这一方法的提出，引起了广 泛的关注，吸引了众多力学﹑数学方面的专家和学者对此进行 研究。数学家的研究表明，有限元法可应用于求解偏微分方程， 可用于具有变分泛函的任何数学问题。而且，数学家对有限元 的思路早就有了，不过没有用“有限单元”这个术语。此后， 大量学者﹑专家开始使用这一离散方法来处理结构分析﹑流体 分析﹑热传导﹑电磁学等复杂问题。
绪论
1.2 有限元的发展状况
从1963年到 1964 年， Besseling﹑B.H.pian 等人的研究工 作表明，有限元方法实际上是弹性力学变分原理中瑞雷—里 兹法的一种形式，从而在理论上为有限元方法奠定了数学基 础。但与变分原理相比，有限元方法更为灵活，适应性更强， 计算精度更高。这一成果也大大刺激了变分原理的研究和发 展，先后出现了一系列基于变分原理的新型有限元模型，如 混合元﹑非协调元﹑广义协调元等。1967年，Zienkiewicz和 Cheung出版了第一本关于有限元分析的专著。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元法理论基础弹力变分原理教学内容
ij
Dijkl kl
W
ij
ij
Cijkl kl
➢ 对于线弹性材料，有：
其中：
Cijkl
D1 ijkl
W W ijij2
7
有限元法理论基础
应变能和应变余能
➢ 互余关系：
W W ijij
全功
➢ 对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分 别表示为应变和应力的二次齐函数： W 12Dijkl ijkl
W 12Cijkl ijkl
8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系 在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理：
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可 能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。
15
有限元法理论基础
虚应力原理
➢ 虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分 （微小的变化）。
➢ 虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的 余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：
uipidS ijijdV
➢ 按力法建立有限元方Su 程的基V本方程。
➢ 几何方程和位ij移12边(u界i,j 条u件j,i)
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 几何方程：
ij 12(ui,j uj,i)
➢ 将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积 分形式，得到等效积分形式：
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
➢ 上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即 内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上 所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有限元法的理论基础
有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理
虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理
最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤
弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类
求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模
在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。
材料可以理想化为线弹性和各向同性的。
根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。
在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。
2.2.3连续体离散化
连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。
单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。
为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。
离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。
因此这种连接要满足变形协调条件。
离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。
主要有两类：建模误差和离散化误差。
建模误差可以通过改善模型来减少，离散化误差可通过增加单元数目来减少。
因此当单元数目较多，模型与实际比较接近时，所得的分析结果就与实际情况比较接近。
2.4单元分析
（1）选择位移模式在有限元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分力一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
与力法相比，位移法具有易于实现计算机自动化的优点，因此，在有限元法中，位移法应用最广。
如采用位移法计算，单元内的物理量如位移、应力、应变就可以通过节点位移来描述。
在有限元法中，首先将单元内的位移表示成单元节点位移函数，称为位移函数或者位移模式，位移函数通常为多项式，最简单的情况是线性多项式。
（2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位移和含义等，应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立节点载荷和节点位移的方程式，导出单元的刚度矩阵。
设节点载荷向量用F表示，节点位移向量用△表示，则单元的载荷和位移的关系式为
Fͤ= K△
式中，k为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点载荷连续体离散化后，力是通过节点从一个单元传递到另一个单元的。
但在实际的连续体中，力是由一个单元传递到另一个单元的，故要把作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力等效地移到节点上，即用等效的节点力来代替所有在单元上的力。
2.5组成物体的整体方程组
由已知的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵集成得到整个结构的总刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个节点载荷与节点位移的关系式。
设总刚度矩阵为K、载荷向量为F，节点位移向量为△，则整个结构的平衡方程为
F=K△
得到整个结构的平衡方程后，还需要考虑其边界条件或初始条件，才能求解上述方程组。
2.6求解有限元方程和结果解释
求解上述的结构平衡方程。
求解结果是单元节点处状态变量的近似值，对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、求解和后处理。
前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集求解分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
由于在实际工程问题中，结构件的几何形状、边界条件、约束条件和外载荷一般比较复杂，需要进行相应的简化。
这种简化必须尽可能反映实际情况，且不会使计算过于复杂。
在进行力学模型的简化时要注意以下几点：
1）判别实际结构是属于哪一种类型，是属于一维问题、二维问题还是三维问题。
如果是二维问题，要分清是平面应力问题还是平面变力问题，若能简化成平面问题的就不要用三维实体单元去分析。
2）注意实际结构的对称性，如果对称，可以利用结构的对称性进行计算简化。
3）对实际机构建模时可以去掉一些不必要的细节，比如倒角等。
4）简化后的力学模型须是静定结构或是超静定结构。
3.UG高级仿真综述
UG NX4 高级仿真是一个综合性的有限元建模和结果可视化的产品，旨在满足设计工
程师与分析师的需要。
高级仿真包括一整套前处理和后处理工具，并支持广泛的产品性能评估解法。
3.1高级仿真工作流程
在开始一个分析前，应该对试图求解的问题有一彻底了解。
应该知道将利用哪个求解
器，正在执行什么类型的分析和需要什么类型的解决方案。
下列简要摘录了在结构仿真中通用的工作流程。
（1）在NX 中，打开一部件文件。
（2）启动高级仿真应用。
为FEM 和仿真文件规定默认求解器（设置环境，或语言）。
注意：也可以选择先建立FEM 文件，然后再建立仿真文件。
（3）建立一解决方案。
选择求解器（如NX Nastran）、分析类型（如Structural）和
解决方案类型（如Linear Statics）。
（4）如果需要，理想化部件几何体。
一旦使理想化部件激活，可以移去不需要的细节，如孔或圆角，分隔几何体准备实体网格划分或建立中面。
（5）使FEM 文件激活，网格划分几何体。
首先利用系统默认自动地网格化几何体。
在许多情况下系统默认提供一好的高质量的网格，可无须修改使用。
（6）检查网格质量。
如果需要，可以用进一步理想化部件几何体细化网格，此外在
FEM 中可以利用简化工具，消除当网格划分模型时由CAD 几何体可能引起的不希望结果的问题。
（7）应用一材料到网格。
（8）当对网格满意时，使仿真文件激活、作用载荷与约束到模型。
（9）求解模型。
（10）在后处理中考察结果。