2.2三角形中的有关计算和证明

三角形中的有关计算和证明

一、知识清单

本节公式中，,2

a b c

s ++=

,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一).三角形中的各种关系

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π，

2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，

a －

b <

c ，b －c < a ，c －a > b ．

3．边与角关系： 1）正弦定理

R C

c

B b A a 2s i n s i n s i n === 2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos

C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．

它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b

a B A =sin sin ，bc a c

b A 2cos 222-+=

． 3）射影定理： a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，

b ＝a ·cos C ＋

c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．

4）正切定理：

2

2sin sin sin sin B

A tg

B A tg

B A B A b a b a -+=

-+=-+

…………….(轮换) 5）模尔外得公式：

;2

cos 2sin

,2sin 2cos

C B A c b a C B A c

b

a -=--=+

6）半角定理：

bc

c s b s A ))((2sin

--=

bc

a s s A )(2cos

-=

a

s r s c s b s a s a s a s s c s b s A tg

-=

----=---=))()((1)())((2

（以上公式均轮换）

7）面积公式：

)

)()((4222222sin sin sin 2)

sin(2sin sin sin 212122

22c s b s a s s R abc rs C ctg B ctg A ctg r C tg B tg A tg s C B A R C B C B a C ab ah a ---==

====+===∆ （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式： 1.三角形内角定理的变形

由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）．

而2

2

2

C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2

sin 2cos C B A +=．

2.常用的恒等式：

（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2C ．

（2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2

A sin

2B

sin 2

C ． （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin

2A sin 2B

cos 2

C ． （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos

2A cos 2B sin 2

C ．

（5）sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ． （6）cos2A ＋cos2B ＋cos2C ＝－1－4cos A cos B cos C ． （7）sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2＋2cos A cos B cos C ． （8）cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＝1－2cos A cos B cos C ．

二、基本训练 A 组

1、在ABC ∆中，已知35

513

sin B ,cos A ==，则cosC ＝ .

2、在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 .条件.

3、在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 .

4、在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ .

5、在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++ 3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ .

6、在ABC ∆

中，451a ,b c ,tan A tan B tan Atan B )=+=+=-，求sin A . 7、在ABC ∆中，已知22a tan B b tan A =，试判断ABC ∆的形状.

8、已知A 、C 是三角形ABC 的两个内角，且tan A,tanC 是方程

2100x p (p )+-=≠的两个实根。（1）求t a n (A C )+的值；

（2）求t a n A t a n C

、　的取值范围；（3）求p 的取值范围.

9、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，且

11cos A cos C cos B

+=-，求2A C

cos

-的值. 10、（05湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.

B 组

1、ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60

4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定 2、在ABC ∆中，若20sin A sin BcosC -=，则ABC ∆必定是

A 、钝角三角形

B 、锐角三角形

C 、直角三角形

D 、等腰三角形 3、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且在区间]2,3[--上是减函数，

若A 、B 是锐角三角形的两个内角，则 A 、)(cos )(sin B f A f > B 、)(cos )(sin B f A f < C 、)(sin )(sin B f A f > D 、)(cos )(cos B f A f <

4、（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C B

A sin 2

tan =+，给出以下四个论断：

① 1cot tan =⋅B A ② 2sin sin 0≤+

④ C B A 222sin cos cos =+ 其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④

（C ）①④

（D ）②③

5、（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当

△OAB 的面积达最大值时，=θ

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π

6、在ABC ∆中，若其面积222

S =，则C ∠=_______。

7、在ABC ∆中，60 1A ,b ==，则ABC ∆外接圆的直径是_________。

8、在ABC ∆中，若22a(bcos B c cos C )(b c )cos A -=-，试判断ABC ∆的形状。

9、在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对边，已知

7

2

t a n A

t a t a t a n B ,c +=，又ABC ∆的面积S=2，求a b +的值。