例谈高考数学题的选做题

例谈高考数学题的选做题（广东卷与全国卷的对比）

梁关化，2015，8，3

下面以2014年和2015年两年广东卷与全国卷的选做题为例（这里只说坐标系与参数方程选做题），谈谈选做题的解答问题。明年广东不再独立命题，高考用全国卷。这样一来，就要求广东高三的老师和学生都要弄清广东卷与全国卷的差异，早做准备。主要有如下三点：一是题型不同。广东卷是填空题，而全国卷是解答题。从而分值也变了，5分变为10分。二是要求变高了。如求两极坐标方程的曲线交点可直接解极坐标方程组，又如求最值时可用曲线参数方程求解。三是对圆和椭圆的参数方程要求记忆，即由它们的普通方程直接写出参数方程。当然，互化仍然是它们的共同点。请看题：

1.【2014高考广东卷.文.14】在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=和cos 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.

（答案：()1,2.把曲线1C 和2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再解方程组即可。）

2. 【2015高考广东，文14】在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数

方程为222x t y t

⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． （答案：()2,4-。把曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把曲线2C 的参数方程化为普通方程，再解方程组即可。）

3．【2015高考全国1，文23】 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求1C ，C 2的极坐标方程。

212(::cos 2,:2cos 4sin 40)C C ρθρρθρθ=---+=答案

（2）若直线C 3的极坐标为θ=4

π（ρ∈R ）,设C 2与C 3的交点为M ，N,求△C 2MN 的面积

231(:.,2

)

C C 答案可直接解的极坐标方程组,求出M,N 两点的极坐标,再数形结合求解即可 4．【2015高考全国2，文23】 在直线坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t ==α

α｛（t 为参数，t ≠0）其中0≤α≤π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：p=2sin θ，C 3：

cos θ。

（I ） 求C 1 与C 3 交点的直角坐标；

13(:).22

)C 答案可以把方程变为极坐标方程再解极坐标方程组,再化为直角坐标 （II ） 若C 1 与C 2 相交于点A ，C 1 与C 3 相交于点B ，求|AB|的最大值.

(:4.答案先求出点A,B 的极坐标,再数形结合求出AB 的三角函数式,通过三角函数求最值)

5. 【2014高考全国1，文23】已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(:(),C l θθθ⎧⎨⎩

x=2cos 答案的参数方程为为参数y=3sin 的普通方程为2x+y-6=0)

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.。

)

θθ(答案:最大值为最小值为先转化为求点P 到直线l 的距离的最值,55

再用椭圆参数方程(设P(2cos ,3sin ))求解 6. 【2014高考全国2，文23】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

. （Ⅰ）求C 的参数方程； (:()C θθθπθ⎧≤≤⎨⎩

x=1+cos 答案的参数方程为为参数,0y=sin （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D

处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到

的参数方程，确定D 的坐标.

3((,).(1cos ,sin ),221),,)

3D D l x D θθπ

θ+-=答案:设由已知得,过圆心和点的直线与平行,故其方程为把点的坐标代入即可求得从而可得点D 坐标