高考数学选做题精编WORD版

高考数学选做题精编

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高考数学选做题

1．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （Ⅰ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；

（Ⅱ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.

2．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲

设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：

（Ⅰ）若ab cd > ,>

>a b c d

-<-的充要条件.

3．若,0,0>>b a 且

ab b

a =+1

1 （I ）求33b a +的最小值；

（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

4．设函数1

()||||(0)f x x x a a a

=+

+-> （1）证明：()2f x ≥；

（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．

5．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+.

（Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；

（Ⅱ）设1a >-，且当1

[,)22

a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。

6．已知函数()f x =|||2|x a x ++-.

(Ⅰ)当3a =-时，求不等式 ()f x ≥3的解集；

(Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.

【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.

7．

（本小题满分10分）选修4-5不等选讲

设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。

8．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac ≤

13

； （Ⅱ）222

1a b c b c a

++≥

9．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程.

（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积.

10．已知曲线194:2

2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数）

写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

11．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C

的极坐标方程为2cos ,[0,]2π

ρθθ=∈．

（1）求C 得参数方程；

（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．

12．已知曲线1C 的参数方程为45cos ,

55sin x t y t =+??=+?（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；

（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。

13．已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ?

?=??=?（?是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线2C :的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A,B,C,D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，

3

π

）. (Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.

14．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t

y t =??=?（β为参数）上，对应参数分别为t α=

与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

15．

（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为?

??+==αα

sin 22cos 2y x ，(α为参数)

M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点

A,B 求AB

16．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,

:sin ,x t C y t αα=??=? （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；

（Ⅱ）若1C 与 2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB

最大值.

17．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图AB 是直径，AC 是切线，BC 交与点E.

（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是切线；

（Ⅱ）若OA = ，求ACB ∠的大小.

18．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.

（Ⅰ）证明EF BC ；

（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积.

19．如图，四边形ABCD 是的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，

且CB CE =.

（I ）证明：D E ∠=∠；

（II ）设AD 不是的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ?为等边三角

形.

20．如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，

2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ．证明：

（1）BE EC =；

（2）22AD DE PB ?=

21．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点

E ，DB 垂直BE 交圆于点D 。

（Ⅰ）证明：DB DC =；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ?外接圆的半径。

22．如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ， E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE=DC ·AF ，B, E, F,C 四点共圆。

证明：（Ⅰ）CA 是△ABC 外接圆的直径;

（Ⅱ）若DB=BE=EA.求过B, E, F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.

23．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB,AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆与F,G 两点，若CF ∥AB ，证明：

(Ⅰ) CD=BC;

(Ⅱ)△BCD ∽△GBD.

【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.

24．（本小题满分10分）如图，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且不与顶点重合，已知

,,AE m AC n ==AD AB 、为方程2-14+=0x x mn 的两根

（1）证明C B D E 、、、四点共圆

（2）若=90,=4,=6,o A m n ∠求C B D E 、、、四点所在圆的半径

参考答案

1．（Ⅰ）2

{|

2}3

x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于11221x x x ≤-??--+->?或111221x x x -<?或1

1221x x x ≥??+-+>?

，解得

2

23

x <<， 所以不等式f(x)>1的解集为2

{|

2}3

x x <<. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??

=+--≤≤??-++>?

，

所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21

(

,0)3

a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22

(1)3a +.

由题设得22

(1)3

a +＞6，解得2a >.

所以a 的取值范围为（2，+∞）.

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法

2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明

2

2

>,开

>（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.

试题解析：

解：（Ⅰ）因为

2

2

a b c d =++=++

由题设a b c d +=+,ab cd >,得

2

2

>

,因此

>

（Ⅱ）（ⅰ）若

a b c d

-<-,则(

)()

2

2

a b c d -<-,即

()

()2

2

44,

a b ab c d cd +-<+- 因为a b c d +=+,所以ab cd >,由（Ⅰ）得

>

>则

2

2

>,即

a b c d ++>++因为a b c d +=+,所以ab cd >,

于是(

)()()()2

222

44,

a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-因此

a b c d

-<-,综上

>a b c d

-<-的充要条件.

考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.

3．（1）最小值为（2）不存在a ，b ，使得236a b +=.

【解析】

试题分析：（111

a b =

+≥，得2ab ≥，

且当a b ==33a b +≥≥a b ==时

等号成立.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，

23a b +≥≥6>，从而不存在a ，b ，使得

236a b +=.

试题解析：（111

a b =

+≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立.

故33a b +≥≥a b ==.

所以33a b +的最小值为

（2）由（1）知，23a b +≥≥

由于6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.

考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理

4．（1）详见解析；（2）52

+． 【解析】

试题分析：（1）由绝对值三角不等式得

11()()f x x x a x x a a a =+

+-≥+--1

a a

=+，由0a >结合基本不等式得

1

2a a +≥，故()2f x ≥；（2）由(3)5f <，得关于a 的不等式1

335a a

+

+-<(0)a >，去绝对号解不等式即可． （1）由0a >，有11()()f x x x a x x a a a =+

+-≥+--1

2a a

=+≥，所以()2f x ≥．

（2）1(3)33f a a =+

+-．当a 3>时，1

(3)f a a

=+，由(3)5f <

得532

a <<

． 当03a <≤时，1

(3)6f a a =-+，由(3)5f <

得132a +<≤．综上，a 的取值范

围是52

+． 考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法．

5．

（1）当2a =-时，令15,21212232,1236,1x x y x x x x x x x ?

-≤??

?

=-+---=--≤≤??

->???，作出函数图

像可知，当(0,2)x ∈时，0y <，故原不等式的解集为}{

02x x <<；

（2）依题意，原不等式化为13a x +≤+，故2x a ≥-对1,22a ??

-????

都成立，故

22a a -

≥-，故43a ≤，故a 的取值范围是41,3?

?- ??

?.

【解析】（1）构造函数21223y x x x =-+---，作出函数图像，观察图像可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.

【学科网考点定位】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.

6．1。{x |x ≤1或x ≥8} 2。[－3,0]

【解析】(Ⅰ)当3a =-时，()f x =25,2

1, 2325,3x x x x x -+≤??

<

当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1；

当2＜x ＜3时，()f x ≥3，无解；

当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥8，

∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥8}；

(Ⅱ) ()f x ≤|4|x -?|4||2|||x x x a ---≥+，

当x ∈[1,2]时，|||4||2|x a x x +≤---=42x x -+-=2，

∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，

故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]

7．

因为，0>a 所以，该不等式的解集是???

?

??-≤2a x x ，再由题设条件得

2,12

=∴-=-

a a

点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。

【解析】略

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：

222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得2()1a b c ++=，即

2222221a b c ab bc ca +++++=，所以

3()1ab bc ca ++≤，即13

ab bc ca ++≤

. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2

2c a c a

+≥，

所以222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222

a b c a b c b c a

++≥++，

所以222

1a b c b c a

++≥.

本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.

【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

9．（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）

1

2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=

4

π

θ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用

三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，

∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分

（Ⅱ）将=

4

π

θ代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240

ρ-+=，解得

1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ

因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452?=1

2

.

考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

10．（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ

θ=??=?，（θ为参数），直线l 的普通方程

为26y x =-+.

（2）最大值为

5;最小值为5

. 【解析】

试题分析：（1）根据题意易得：曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ

θ=??=?，（θ为参

数），直线l 的普通方程为26y x =-+;（2）由第（1）中设曲线C 上任意一点

(2cos ,3sin )P θθ，利用点到直线的距离公式可求得：距离为

|4cos 3sin 6|5d θθ=

+-，则0|||5sin()6|sin 305

d PA θα==+-，其中α为

锐角，且4

tan 3

α=

，当sin()1θα+=-时，||PA .

当sin()1θα+=时，||PA 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ

θ

=??=?，（θ为参数），

直线l 的普通方程为26y x =-+.

（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为

|4cos 3sin 6|d θθ=

+-.

则0|||5sin()6|sin 30d PA θα=

=+-，其中α为锐角，且4

tan 3

α=

，

当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为

5

.

当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为

5

. 考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性

11．（1）1cos ,sin ,x t y t =+??=?（t 为参数，0t π≤≤）；（2）3(2．

【解析】

试题分析：（1）由2cos ,[0,]2

π

ρθθ=∈两边平方，且结合222x y ρ+=和

cos x ρθ=得半圆C 的直角坐标方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，进而写出C 的

参数方程；（2）利用C 的参数方程设(1cost,sint)D +，由圆的切线的性质得

//GD l ，故直线GD 与l 的斜率相同，根据斜率列方程得tan 3

t t π

==，从而

点D 的直角坐标可求．

（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为

1cos ,

sin ,

x t y t =+??

=?（t 为参数，0t π≤≤）． （2）设(1cost,sint)D +．由（1）知，C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相

同．tan 3

t t π

==

．故D 的直角坐标为(1cos

,sin )33

π

π

+，即3(2．

考点：1、圆的极坐标方程和参数方程；2、两条直线的位置关系．

12．（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=

（2）),(2,)42

ππ

【解析】（1）先利用参数方程得到C 1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）联立求出交点坐标，进而求出极坐标.

（1）因为45cos 55sin x t

y t

=+??=+?，消去参数，得22(4)(5)25x y -+-=，即

22810160x y x y +--+=，

故1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；

（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=，联立1C 、2C 的方程，解得1

1

x y =??=?或

2x y =??

=?

，所以交点的极坐标为),(2,)42ππ

.

【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.

13．[32,52]

【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos

,2sin )33A π

π，(2cos(),2sin())3232

B ππππ

++， (2cos(),2sin())33C ππππ++，33(2cos(),2sin())3232D ππππ

++，

即A(1，B 1），C （―1D 1），

(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ??，令S =2222||||||||PA PB PC PD +++，

则S =2216cos 36sin 16??++=23220sin ?+，

∵20sin 1?≤≤，∴S 的取值范围是[32,52]

【答案】（Ⅰ）cos cos 2sin sin 2x y αα

αα=+??=+?,(α为参数,02απ<<)（Ⅱ）过坐标原点

【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα, (2cos 2,2sin 2)Q αα,

因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,

M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα

αα=+??=+?,(α为参数,02απ<<).

（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为

2)d απ==<<，

当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.

本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P 的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.

【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.

15．

曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=，它们与射线3

π

θ=交于A 、B 两点的极径分

别是343

sin

8,323

sin

421====π

ρπ

ρ，因此，3221=-=ρρAB

点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）