系统复杂性的度量方法

系统复杂性的度量方法∗ 宋学锋 （中国矿业大学管理学院，中国徐州，221008）

摘要：本文在前人工作的基础上，对系统复杂性的度量问题进行系统了地总结、分析和研究，首先，具体给出了浑沌系统的定性和定量判别方法；然后，提出了度量浑沌复杂性的“浑沌度”的概念和计算方法；最后，系统总结了结构复杂性的五种度量方法。 关键词：复杂性，浑沌，度量

0．引 言 国家自然科学基金委员会于1999年8月4日至6日在京郊九华山庄召开了以“复杂系统与复杂性科学”为主题的科学论坛。与会专家一致认为，目前的科学发展正处于一个新的转折点，其突出标志之一就是复杂性科学的兴起。在我国应大力提倡和加强对复杂性科学这个虽还处于萌芽状态，但已被有些科学家誉为是“21世纪的科学”的跨学科的新兴领域的研究。 根据复杂性科学目前的研究情况，我们认为可以将之分为两大学派：“自然科学学派”和“组织行为科学学派”。自然科学学派认为系统的复杂性存在于客观系统中，主要强调复杂性存在的“客观性”，因此，在对复杂性的研究上主要强调从复杂系统内部的客观演化机理方面来进行研究；如：浑沌理论与非线性动力学、自适应系统理论、系统动力学理论等就属于自然科学学派的范畴。而组织行为科学学派则认为系统的复杂性来自人的“脑”中[1]，强调的是复杂性的“相

对性”，因此，在对复杂性的研究上强调从复杂系统的外部通过改进和提高人类组织的认识水平来“管理”客观复杂性。如：结构复杂性科学[2]等理论就属于组织行为科学学派的范畴。

然而，作为新兴的学科，人们对如何判别和度量系统的复杂性（Complexity）尚未达成共识，或者说尚未认识清楚。因此，本文在前人工作的基础上，特就系统复杂性的度量问题进行总结、分析和研究，旨在抛砖引玉，以便尽快将这一复杂性科学的基本问题研究清楚，为复杂性科学的进一步研究和发展奠定扎实的基础。 以下，我们分别从浑沌系统与结构复杂性两个方面，采用定性与定量相结合、微观分析和宏观综合相结合的方法来总结和探讨复杂系统的度量问题。

1． 浑沌系统的复杂性度量 自然科学学派或认为复杂性来源于浑沌，或认为复杂性来源于浑沌的边缘（Edge of Chaos），至于复杂性的概念及其与浑沌的联系与区别，我们另文讨论。总之，复杂性与浑沌现象关系密切。因此，判别和度量浑沌现象对于把握系统的复杂性具有重要意义。 我们认为，对于系统的浑沌可以从以下三个层次上去理解和把握。一是对于一些可以给出定量模型的系统，可以直接采用Li-York定义[3]，进行较严格的定量分析和判别；二是对于一些

由时间序列数据反映的系统浑沌可以由我们后面将要介绍的判别方法进行判别；三是对于一些经济现象要进行定性的判断，可以用以下我们总结的浑沌的定性本质和规律去判别。而对于不同的浑沌系统的复杂性可以用我们提出的“浑沌度”的方法进行度量和比较。 1.1经济管理系统浑沌的定性判别方法 从经济学的特点来看浑沌理论关于浑沌的定义，有的过于抽象，难以验证；有的则过于笼统，不够准确。因此，很有必要探讨和研究适合于经济和管理科学的浑沌的定性判别方法，而

∗ 本文为国家自然科学基金项目，项目号：79970115，且受江苏省“青蓝工程”和“333”工程资助。

____________________________________________________________________________http://www.paper.edu.cn不是照搬物理学和数学等自然科学对浑沌的定义和方法。 那么经济与管理的规律究竟有什么特点呢？著名的美国经济学家诺贝尔经济学奖获得者，保罗·Ａ·萨缪尔森指出：“经济学的规律只是在平均意义上才是对的，它们并不表现为准确的关系。”[4]按照萨缪尔森的这种思想，在经济学领域里对浑沌的理解和把握可以不必太拘泥于数

学定义中规定的苛刻而抽象、难以与经济含义相对应的条件，只须从平均意义上把握浑沌的主要和本质特征就可以了。 1．1．1浑沌系统的本质特点 我们总结出浑沌经济系统的本质特点主要有以下几个方面： （1）积累效应 浑沌经济系统在运动过程中，如果系统的起始状态稍微有一点改变，那么，随着系统的演化，这种变化最会迅速被积累和放大，最终导致系统行为发生、巨大”的变化，即“差之毫厘，谬之千里”。这种现象可称为积累效应，俗称“蝴蝶效应”（气象学上把蝴蝶翅膀在空中的扇动对远处气候变化造成的较大影响称为蝴蝶效应）数学上又称之为初值敏感性。 （2）奇怪吸引性 浑沌经济系统在运行过程中，往往伴随着“奇怪吸引性”的出现。所谓奇怪吸引性，通俗地，是类似于“旋涡”的，能够把许多杂乱无章和互不关联的事物吸引到自己周围，并使这些事物按一定规则运动和发生联系的核心事物。奇怪吸引子的出现使系统从表面上看杂乱无章，一片混乱，其实，这种现象下面却隐含着良好的秩序。譬如：以利润为目的的市场竞争中的“高额利润”就是一种奇怪吸引子，它驱动着众多的生产者和消费者在市场中进行激烈的“角逐”。 （3）不可叠加性 由于浑沌现象发生于非线性系统，因此，浑沌系统不再具有线性系统所特有的叠加性。所谓叠加性，即：整体等于部分之和。是指线性系统中，各要素之间的比例关系和各要素间的简单合并或加和性。如某些经济变量间的线性比例关系，一些复杂经济系统可看成一些简单子系统的叠加。对于浑沌经济系统而言，我们就不能再简单地认为系统各要素之间具有比例关系或是简单的加和关系。 （4）非周期性 系统演变的不规性，即系统演变不具有明显的规律性，或着说系统在运动过程中不重复原来的“轨迹”，称为非周期性。 （5）结构自相似性 浑沌经济系统本身与其子系统、孙子系统等不同层次系统在结构上具有的相似性或类似性，称为自相似性。如：从中央到地方，从地方到基层的各级管理机构的设置等就具有结构相似性。 （6）分形性 浑沌经济系统的几何结构，在一般情况下，不是传统意义上的维数（如：一条直线、一个平面、一个体积等），而是一种具有分数维的“分形”物，其维数不再是整数，而是某个分数。如：处于浑沌阶段的股价指数曲线就具有明显的分形特征，它的维数就是一个分数[5]，[6]。

1．1．2浑沌系统具有的与传统观念不同的规律 浑沌经济系统还具有以下四条与传统观念不同的规律： （1）浑沌现象可以出现在简单的系统里。传统观念通常认为系统的复杂行为是由于系统的复杂性决定的。事实上，却不一定，因为有些简单的系统也可以产生复杂的浑沌行为，如：逻辑斯特迭代系统等。 （2）浑沌是系统本身内在的或固有的，并不一定来自外部环境的干扰作用。 如：1987年，美国发生的“黑色星期一”现象，并不是由于经济波动、政治冲突、战争等外部干扰引起的。 （3）浑沌系统是确定的。即浑沌可以出现于完全确定性的系统里，而非随机系统。也就是说浑

中国科技论文在线___________________________________________________________________________http://www.paper.edu.cn沌经济系统的复杂性和不确定性并不是由随机因素造成的。 （4）浑沌现象是反“直觉”的。即：浑沌规律是不能凭直觉和经验进行判别的，因为，研究表明：人的直觉只能感知线性规律，对于浑沌这样的非线性规律是无能为力的。 上述这六个定性特征和四条规律从不同的侧面反映了浑沌经济系统的主要特征，对实际的经济系统或经济现象可以根据这些特征进行粗略地综合性判断[5]，[7]。

1.2系统浑沌的定量判别方法 1．2．1连续系统浑沌的定量判定方法 对于连续系统浑沌判定的主要依据是李—约克提出的定义和由此派出生来的一些充分条件。 定理1(Li-York)设f(x)是［0，1］上的连续函数，若存在点x∈［0，1］，使得不等式：

f３（x)≤x＜f(x)＜f２(x)　或者：f３(x)≥f＞f(x)＞f２(x) 其中：f２(x)=f(f(x))，f３(x)=f(f２(x))，则f(x)在［0，1］上是浑沌的。 这个定理可以通俗地理解为“周期三意味着浑沌”，亦即如果一个系统有周期三的点，那么这个系统就一定是浑沌的。 利用定理1，可以证明农产品价格蛛网模型是浑沌系统。事实上，可以证明凡是可以化为逻辑斯谛的经济模型都是浑沌的[5]。

定理2(沙可夫斯基) 设f:［a，b］→［a，b］是一个连续的紧映射，则如果f(x)有周期为某数的解，那么它就一定有序列(*）中排在它后面的那些数的周期解: 3→5→7→9→ …… …2·3→2·5→2·7→　…… …22·3→22·5→22·7→　……

…23·3→23·5→23·7→　…… （*） ……… …2m→2m-1→…→22→2→1

例如：某系统有周期4解，那么它一定有周期2解和周期1解；若系统有周期3解，那么它就存在一切数的周期解即浑沌，因为3排在上述序列的最前头。 在定理2的基础上可以得出以下推论： (1) 如果f有一个周期点,它的周期不是2的一个乘幂，f就必然有无穷多个周期的周期点；

(2) 如果f仅有有限个周期的周期点，则f必有周期为2的幂次的周期；

(3) 如果f有周期3或有大于1的奇数周期点，则f必有所有其它周期的点。

1．2．2根据时间序列判定浑沌的定量方法[8]-[10] 对绝大多数经济系统，我们最初往往只知道有关的观察结果，即经济数据。而为了研究经济系统的运行规律，往往要对经济数据作一些统计分析或者根据有关数据建立定量的数学模型，然后再作进一步的分析。诚然，如果根据有关数据能够构造出较好反映客观规律的数学模型，当然很好。遗憾的是对于复杂的非线动态经济系统，往往很难建立准确的数学模型，因此，按照传统做法先建立模型，然后再用前述的定量方法研究其浑沌规律就行不通了。所以，探讨直接用时间序列判定相应系统是否浑沌的方法显得十分必要。 若已知某系统有关的时间序列数据，则我们可以用以下几种方法来判断该系统是否是浑沌的。 （1）连续功率谱 “功率谱”是单位频率上的能量，它能反映出功率(强度)在频率上的分布情况。功率谱原是一个物理学概念，但利用它可以区分周期函数和非周期函数。因为周期函数的功率谱是由许多离散的谱线构成，每根谱线的高度指示了相应频率的振动强度。特别当发生分叉时，功率谱将

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