求数列的前n项和常用方法
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数列求和的常用方法
1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
1123(1)2n n n ++++=+L ，222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332
(1)123[]2n n n +++++=L .
例1 、已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 练一练：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2
232221n a a a a ++++Λ＝_____ ；
2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
例2、 求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
练一练：求和：1357(1)(21)n
n S n =-+-+-+--L
3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序
相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
例3、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
练一练：已知2
2
()1x f x x
=+， 则111(1)(2)(3)(4)()()()234
f f f f f f f ++++++＝______；
4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减
法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
例4、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
例5、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
练一练：设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++L ，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.；
5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求
和.常用裂项形式有：
①
111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k =-++；
③2211111()1211k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k
-=<<=-++--； ④
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤11
(1)!!(1)!
n n n n =-++；
⑥=<<=.
例6、求数列⋅⋅⋅
+
+
⋅⋅⋅
+
+
,
1
1
,
,
3
2
1
,
2
1
1
n
n
的前n项和.
例7、在数列{a n}中，
1
1
2
1
1
+
+⋅⋅⋅+
+
+
+
=
n
n
n
n
a
n
，又
1
2
+
⋅
=
n
n
n a
a
b，求数列{b n}的前n项的和.
练一练：
（1）求和：111
1447(32)(31)
n n
+++=
⨯⨯-⨯+
L；
（2）在数列{}
n
a中，
1
1
+
+
=
n
n
a
n
，且Sｎ＝９，则n＝；
6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
例8、求3
2
1
1
1
111
111
11
1
个
n
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅+
+
+之和.
练一练：①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)
n n
⨯+，…前n项和
n
S= ；
②求和：111
1
12123123n
++++=
+++++++
L
L
；
数列求和课后练习
一、选择题：
1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400 2．数列1，1
1＋2，1
1＋2＋3，…，1
1＋2＋…＋n
的前n 项和为( )
A.
2n
2n ＋1 B.2n
n ＋1 C.n ＋2n ＋1 D.n
2n ＋1 3．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N )，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27
(8n ＋4－1) 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3
2a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )
A ．3n ＋1－3
B ．3n －3
C ．3n ＋1＋3
D ．3n ＋3
5．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
A ．n 2＋1－
12n
B ．2n 2－n ＋1－
12n
C ．n 2＋1－12n －1
D ．n 2－n ＋1－
12n
6．数列a n ＝
1
n (n ＋1)
，其前n 项之和为9
10
，则n ＝ ( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9 二、填空题：
7．已知函数f (x )对任意x ∈R，都有f (x )＝1－f (1－x )，则f (－2)＋
f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.
8.12＋222＋323＋424＋…＋n
2
n －2等于________．