计算方法非线性方程求根

1 计算方法第7章 非线性方程求根 本章主要内容：

1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法. 重点、难点 一、区间二分法 区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b] ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。

区间二分法的计算步骤如下： 1. 计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）； 确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2(baf 取21bax 3.判断： 若0)(1xf，则方程的根为1xx； 若 0)(1xf，则有根区间为1,xax ；令],[,111baxa 若 0)(1xf ，则有根区间为bxx,1；令 ],[,111babx 4. 如果│b-a│继续二分有根区间[a1,b1]，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即│bn-an│二分次数的确定：如果给定误差限ε，则需要二分的次数可由公式 2

12lnln)ln(abn确定应二分的次数。

例1 用区间二分法求方程0353xx在某区间内实根的近似值（精确到0.001） 【思路】参见上述区间二分法的计算步骤 解 ∵f(1.8)=-0.168＜0, f(1.9)=0.359＞0 ∴f(x)在区间[1.8 ，1.9]内有一个根。 由公式 644.512ln001.0ln1.0ln12lnln)ln(abn 取n=6， 计算结果列表如下：

则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x*≈ x = 1.8328125 区间二分法的优点是计算程序简单，只要f(x)在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。

迭代序列收敛阶的概念 设迭代序列nx收敛于*x，如果存在实数1p与正常数c，使得

n an bn xn f(xn) 1 1.8 1.9 1.85 + 2 1.8 1.85 1.825 - 3 1.825 1.85 1.8375 + 4 1.825 1.8375 1.83125 - 5 1.83125 1.8375 1.834375 + 6 1.83125 1.834375 1.8328125 3

cxxxxpnnn1lim，则称序列nx是p阶收敛于*x。

特别地，当1p时，称序列nx为线性（一次）收敛； nx为线性收敛时，必须要求1c。 当2p时，称序列nx为平方（二次）收敛； 当21p时，称序列nx为超线性收敛； 收敛阶p越大，则序列nx与*x的误差缩减越快，也就是序列nx收敛越快。

二、切线法(牛顿法) 1. 切线法的基本思想：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x*,过曲线y= f(x)上的一点（x0,f(x0)），作曲线的切线，用此切线与x轴的交点的横坐标x1作为方程的根x*的新的近似值, 再过点（x1,f(x1)），作曲线的切线，则又得到新的近似值,按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。

切线法(牛顿法)的迭代公式为 ,...)1,0()()(1nxfxfxxnnnn 2.切线法的收敛性 我们利用定理（7.1）来判断切线法的收敛性。定理（7.1）还给出了一个初始值x0的选择方法， 定理7.1. 设f(x)在[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件 ⑴ f(a)f(b)< 0； ⑵f /(x) 在[a,b]上不等于零 （3）f //(x) 在[a,b]上不变号 则对任意初值x0∈[a,b] ，只要满足f(x0) f //(x)≥0. 则由切线法迭代公式得到的近似根序列nx平方收敛于方程f(x)=0在区间[a,b]的唯一根x*。

2. 切线法的计算步骤：先判断有根区间[a,b]，然后选择初始值x0（一般地，若f//(x)>0，则选择区间的右端点；若f//(x)< 0，则选择区间的左端点），再建立迭代公式进行计算（列表计算）。 4

例2 用切线法求例1中方程在[1，2]内根的近似值，精确到0.000001 【思路】根据f(x0)f//(x)>0在有根区间上选择初始值x0，代入迭代公式进行计算

解 5332)()(2012)2(,01)2(6)(53)(35)(23111023nnnnnnxxxfxfxxxffxxfxxfxxxf代入迭代公式取初始值

计算得 n 0 1 2 3 4 xn 1 1.857142857 1.83478735 1.834243504 1.834243185

834243185.1000001.0000000319.034xxx

例3 证明 计算3a的切线法迭代公式为 )2(3121nnnxaxx （n=0,1,…）

解 因为计算3a等同于求方程03ax的根， 将233)(,)(xxfaxxf，代入切线法迭代公式得：

,1,0,)(3132231nxaxxaxxxnnnnnn 三 、弦位法 1. 弦位法的基本思想：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x*,在区间[a,b]内的曲线y= f(x)上任取两点作弦，用此弦与x轴的交点横坐标作为方程根的近似值。按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。 弦位法分为单点弦法和双点弦法。 2.单点弦法 建立弦的迭代公式时，固定其中一个点，而另一个点变动的迭代求根 5

方法。 单点弦法的迭代公式,...)1,0()()()(1nxfxfcfxcxxnnnnn （1）单点弦法的收敛性 利用定理7.2判断其收敛性。单点弦法收敛所满足条件和切线法的收敛条件相同，不同的是单点弦法迭代公式所产生的序列是线性收敛于f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x* 。我们计算时应注意，在选择固定点c时，也要求满足条件0)()f(x0.(x)ff(c)0xf 。 （2）单点弦法的计算步骤同切线法类似。 3．双点弦法 建立弦的迭代公式时，两个点都变动的迭代求根方法。

双点弦法的迭代公式为: ,...)1,0()()()(111nxfxfxfxxxxnnnnnnn （1）双点弦法收敛性 利用定理（7.3）判断。f(x)在[a,b]上满足的条件为: ⑴ f(a)f(b)< 0; ⑵f/(x)≠0 ⑶KR≤ρ＜1,其中K=M2/2m1, M2 = max│f//(x)│, m1 = min│f/(x)│, R=max｛│x0-x*│，│x1-x*│｝. 则以a,b为初始值， 由双点弦法迭代公式得到的序列超线性收敛于方程f(x)=0在区间[a,b]的唯一根x*。 （2）双点弦法的计算步骤同切线法类似。但在计算时应注意收敛性的判断和初始值的选 择。 例4 试导出计算)0(aa的单点弦法迭代公式，并用它计算3，准确到610。

解 因为计算)0(aa等同于求方程 02ax 的正根， 令 xxfaxxf2)(,)(2，代入单点弦法迭代公式，得： 6

,1,0,)()()()(2221nxcacxaxxcxcxxfxfcfxcxxnnnnnnnnnnn 例5 分别用单点弦法和双点弦法求方程0133xx 在[1，2]内根的近似值， 精确到10-3 【思路】参见单点弦法和双点弦法的计算步骤 解 方法一. 单点弦法



得方程根的近似值代入迭代式取初始值内且在区间内有根在区间)()()(,106)(,033)(]2,1[]2,1[01)2(,03)1(13)(1023nnnnnxfxfcfxcxxxxxfxxfxfffxxxf





007432423.0,878406099.1087483863.0)087483863.0(1867768595.12867768595.1087483863.0,867768595.1890625.0)890625.0(175.1275.1890625.0,75.13)3(1121332211xf

x

xfxxfx

879378365.1,10000075196.0,000052236.0)(879378365.1000623407.0)000623407.0(1879303169.12879303169.1000623407.0)(879303169.1007432423.0)001130637.0(1878406099.12878406099.13455544xxxxfxxfx方程的近似根为

方法二. 双点弦法