湖南师范大学高等数学 2.4隐函数和由
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高等数学---隐函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
第三节 隐函数及由参数方程
第 二 章
( x − 1)( x − 2) 例6 求 y = 的导数 ( x − 3)( x − 4) 解 这函数的定义域 x > 4, 2 < x < 3, x < 1
Calculus
若 x > 4 两边取对数得 1 ln y = [ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2 两边对 x 求导得 1 1 1 1 1 1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
同理 若 2 < x < 3 y 1 1 1 1 ⇒ y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
dy 例7 设 x = y 求 dx 解 两边取对数得 y ln x = x ln y 两边对 x 求导得 1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y 2 xy ln y − y ⇒ y′ = xy ln x − x 2 dy an a1 a2 例8 设 y = ( x − a1 ) ( x − a2 ) L( x − an ) 求 dx 解 两边取对数得 ln y = a1 ln( x − a1 ) + a2 ln( x − a2 ) + L + an ln( x − an )
y x
Calculus
两边对 x 求导得
China Institute of Industrial Relations
第 二 章
1 a1 a2 an ⋅ y′ = + +L+ x − a1 x − a2 x − an y a1 a2 an ] y′ = y[ + +L+ x − a1 x − a2 x − an
高等数学课件高等数学(隐函数)
本节思考题
（1）如何比较两集合 元素个数的多少?
(2)"","序 "与 大 小
补充题
1.证明:f(x)1在(0,)内无界 ,在(a,)(a0)有界 . x
2.设f(x)11 xx,,xx 00, 求f(f(x)).
1.2 极限
本次课讲授内容: 1.2.2 数列的极限lni mun a 1.2.3函数的极限limf(x)a
3.隐函数 例1-10 方程 2x tx 2 在 t 0 时, y tx 2 与 y 2x 有唯 一的交点 (xt , yt ), xt 为 t 的函数:x xt f (t)(t (, 0)). 这个函数是由方程 2x tx 2 0 确定的. 一般,由方程
F(x, y) 0 确定的函数 y f (x) 称为隐函数.
双曲正弦 : y shx ex ex ;双曲余弦 : y chx ex ex
2
2
双曲正切 :
y
thx
shx chx
ex ex
ex ex
本节重点与难点
• 重点:基本初等函数,初等函数
复合函数,反函数, 函数的有界与无界 • 难点:反函数, 函数的有界与无界
本节作业
习题1－1：
12题:(1),(3); 13题:(2),(3) 14题; 19题:(2),(3); 20题:(1),(3),(4); 21题; 23题:(2),(3).
x
数列极限的定义
定义1-5( - N定义) 若对任意的 0,都存在正整数 N,
当 n N 时,有 un a ,则称 a 为数列{un}的极限,
记作
lim
:
(1) 定义中的 是任意的正数;
(2)定义中的 N 只要存在即可,它不是唯一的;
隐函数;高阶导数
➢§3-4隐函数、由参数方程所 确定的函数导数 高阶导数
一、隐函数的导数
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值 时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方 程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作 y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数, 对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一 个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我 们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
ln
M2
ln
N1
ln
N2
解： ln y 1 lnx 1 lnx 3 ln5 x ln7 x
2
1 y 1 ( 1 1 1 1 )
y 2 x 1 x 3 5 x 7 x
ln
ax b
a axb
y 1 (x 1)(x 3) ( 1 1 1 1 ) 2 (5 x)(7 x) x 1 x 3 5 x 7 x
设给定参数方程 x (t), y (t) 通过参数t确定了
具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到 的y=f(x)比 较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并 设上面函数
x (t), y (t) 都可导,由它构成的复合函数.我们
应用复合函数及反函数的求导公式,得到
yx
dy dt
y
x
y y(sin x ln x cosx) xcosx (sin x ln x cosx)
x
x
xcosx1(cos x x sin x ln x)
例4 求 y (x 1)(x 3) 的导数
一、隐函数的导数
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值 时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方 程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作 y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数, 对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一 个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我 们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
ln
M2
ln
N1
ln
N2
解： ln y 1 lnx 1 lnx 3 ln5 x ln7 x
2
1 y 1 ( 1 1 1 1 )
y 2 x 1 x 3 5 x 7 x
ln
ax b
a axb
y 1 (x 1)(x 3) ( 1 1 1 1 ) 2 (5 x)(7 x) x 1 x 3 5 x 7 x
设给定参数方程 x (t), y (t) 通过参数t确定了
具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到 的y=f(x)比 较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并 设上面函数
x (t), y (t) 都可导,由它构成的复合函数.我们
应用复合函数及反函数的求导公式,得到
yx
dy dt
y
x
y y(sin x ln x cosx) xcosx (sin x ln x cosx)
x
x
xcosx1(cos x x sin x ln x)
例4 求 y (x 1)(x 3) 的导数
高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
x ( t) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d x d2 y d dy d dy ( ) ( ) 2 d t d x dx dx dt dx ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 2 (t )
两边取对数 a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] lny x ln a b 两边对 x 求导 y ln a a b b x x y
x
a
b
a b x a a b y ln b x a x x b
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x( cos x ln x ) x
2019/3/12
5
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说明: 1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u( v ln u ) u
5 7
2019/3/12
3
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x2 y 2 3 在点 1 ( 2 , 3)处的切线方程. 例2 求椭圆 2 16 9 解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 y3 3
1 (x 1 )( x 2 ) 1 1 1 1 y 2 (x 3 )( x 4 ) x 1x 2x 3x 4
2019/3/12 8
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高等数学：第三节 隐函数、参数方程
5
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
高等数学I(电子)高等数学课件D2_4隐函数524 24隐函数
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
d t d 1 1 140
( rad/ min )
d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
t,
d2 y d x2
1
f (t)
练习: P111 题8(1)
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: