因式分解--十字相乘法
十字相乘法因式分解
4a b 4a 2b
2 2
四项三一分
x 2 xy y z
2 2
2
1.
2 (a+b)
+a+b
2. a2－4b2－a－2b.
3. y 4y 4 9 x
2
2
2 2 4.xy–xz–y +2yz–z
2 2 2 5.a –b –c –2bc–2a+1
2 2 1、已知：x +y +4x-6y+13=0,
2
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 出负号再因式分解 。 ，先提
分组分解法
四项二二分
要发现式中隐含的条件，通过交换项的 位置，添、去括号等一些变换达到因式分解 的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd) = a (b – c ) + d (b – c ) = (a + d ) (b – c )
求xy的值。
2 2 2、已知：a +b -6a-8b+25=0,
求xy的值。
2 2
x -x 6
2 2
x 7 x 12
小结：
x 3x 10
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同； 当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
例2 分解因式： x 6 x 16
2
解： x 6 x 16
应用条件：
1.二次三项式 2.一个平方项 3.一次项系数为两数的和， 常数项为两数的积。
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。
十字相乘法因式分解
X x
2 x
+5x+6 2 2x 5x 3 3x
.
2 x +5x+6
6
= (X+2)(x+3)
2 因式分解：x 合 作 探 究
X x
-5x-6 1 -x -5x -6 6x
.
2 x 2 X -5x-6
-6
= (X+1)(x-6)
用十字相乘法分解因式： 实 2 -5x+6 1 ） x 例
探 2 2） x -8x+7 究
复 习 练 习
X x
2 x
p px (p+q)x q qx
pq
2 x +(p+q)x+pq
(X+p)(x+q)=
.
确定目标 合作探究
• 理解十字相乘法来因式分解的解 题方法。 • 掌握运用十字相乘法分解因式的 技巧。 • 能用十字相乘法来解决一些常见 的因式分解。
2 因式分解：x 师 生 互 动
反 练习：把下列各式分解因式： 馈 检 1)x2 +7x+10 2)x2 +4x-12 测 2 2 p 5p 36 3) 4) x –8x+12
5)x2
–15x+56 6) m 7m 18
2
十字相乘分解因式的一般步骤: （1）把二次项系数和常数项分别分 解因数 （2）尝试十字图，使经过十字交叉 线相乘后所得的数的和为一次项系数 （3）确定合适的十字图并写出因式 分解的结果。 （4）检验。
3） x2 +5x-6 4）
2 x
-2x-15
想一想：如果常数项是正数，那么把它分解 成两个因数的符号有什么关系？负数呢？
初中因式分解中的“十字相乘法”
初二因式分解解读之五：编制人：平生曜曜因式分解中的“十字相乘”1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。
2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“一次因式”的乘积。
3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。
当然如果你领悟了其中的技巧，就可以大大缩减“尝试”的次数。
4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好把多项式先按“主元”作“降幂排列”。
6、下面通过举例，对“十字相乘法”作一些具体的解读。
（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。
〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀。
一排顺序是指：先将原式按“二次项；一次项；常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。
分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。
〈疑问〉：你觉得尝试的过程有技巧吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3…………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
三次方程因式分解十字相乘法
三次方程因式分解十字相乘法
三次方程因式分解十字相乘法是一种有效的求解三次方程的方法，它可以将复杂的三次方程分解成十字乘法中的因式，从而简化三次方程的求解过程。
因式分解十字相乘法可以用于求解一般形式的三次方程，如ax3+bx2+cx+d=0。
使用因式分解十字相乘法来求解三次方程，首先要将三次方程写成三角形的形式，即ax3+bx2+cx+d=0可以写成：
a x3
b x2
c x d
然后使用因式分解十字相乘法来求解该三角形，具体步骤如下：
（1）确定三次方程的根：
在三角形中，从左上角往右上角开始，找出一个“因坐标”，即a x3=0，然后将该系数记为x3，即根为x3=0。
（2）确定因式分解十字相乘法的系数：
在三角形中，从右上角往左下开始找出一个“因坐标”，即c x=d，然后将该系数记为cx-d，即因式分解十字相乘法的系数为(cx-d)。
（3）使用因式分解十字相乘法求解三次方程：
在三角形中，从左下角开始沿着右斜线往上找出一个“因坐标”，即b x2=cx-d，然后将该系数记为bx2-cx+d，即因式分解十字相乘法的三次方程为：
ax3+bx2-cx+d=0
由此可以得到三次方程的根为x3=0，因式分解十字相乘法的系数为(cx-d)，而因式分解十字相乘法的三次方程为ax3+bx2-cx+d=0。
因式分解十字相乘法可以有效地求解一般形式的三次方程，它能够将复杂的三次方程分解成十字乘法中的因式，从而简化三次方程的求解过程。
(完整版)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212⨯=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。
（2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-⨯-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。
解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x[例2] 把下列各式因式分解。
因式分解之十字相乘法
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
思而不学则殆
独立练习：把下列各式分解因式
x 2 x 15
2
y 3 y 18
2
a 13a 42
2
x px q
2
二次三项式分解因式为
(3x) (5x) 8x
(x + a )(x + b)
的形式
学以致用
将下列各式分解因式
x 7 x 12
2
x 3 x 10
2
学而不思则罔
试将 x
2
6 x 16
2
分解因式
x 6 x 16
本课关键词
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 口答计算结果
(1) (2) (x+3)(x+4) (x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常
2
步骤：
x
x
7
或
7
数项 ②交叉相乘，和相 加 ③检验确定，横 写因式
1
1
x 7x 6x
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱) 举一反三：
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
十字相乘法因式分解
•
• • • • • • •
2
1
1
－2
(2x＋y)
(x－2y)
－1
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
教学反思
• 十字相乘法是因式分解中非常重要的方法，也为后续分式的计算奠定基础的重要环节。这节 课的我就以二次项系数为1的二次三项式的因式分解为目标，从因式分解的意义入手，对公式 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq进行观察研究，发现反过来就是x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，适用于 因式分解，从而，对于二次三项式x2+mx+n的因式分解，关键就是找两个数p、q使：p+q=m， pq=n，由学生思考后，提出从积入手找两个数，因此，新的方法就可以理解掌握了，借助十 字相乘的特殊书写方法，便于操作演算，要教育学生学会不断尝试，不怕受挫，不断动脑， 增强对数的洞察能力。 利用整体思想，不断地对例题进行变形，体会应用此方法的灵活性，课堂上训练了x210x+9=(x-1)(x-9)。 变形1：y2-10y+9=(y-1)(y-9) 变形2：x2y2-10xy+9=(xy-1)(xy-9) 变形3：x2-10xy+9y2=(x-y)(x-9y) 变形4：(x+y)2-10(x+y)+9=(x+y-1)(x+y-9) 变形5：x4-10x2+9=(x2-1)(x2-9)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3) 深刻理解这个方法继续训练：关于x的二次三项式x2+kx+24可以分解为两个一次二项式的积 (x+a)(x+b)的形式，其中a、b为整数，求整数k所有可能的值。 还是要对因式分解的思考方法进行训练总结“首项为负要提取，最后结果不含中括号，单项 式因式写在多项式因式的前面，化简因式产生的公因式要提取，每项因式要分解到底，首先 考虑提公因式法，先没有提尽要补提，产生相同的因式要用乘方的形式”。在思考时，先看 有没有公因式可提？再看是否可以应用公式？再看可否应用十字相乘法？后看能不能继续分 解。课堂上我与学生共同总结因式分解的口诀，他们的兴致很浓。（
9.5多项式的因式分解(十字相乘法)
下面各题的十字相乘分解方法哪种是正确的？ （1） x2-7x+6 x x x +2 x -2 +1 x +3 x x x -1 -3 +2 -3 +2 +6 x x x -2 +6 -1 +6 x x x +3 +4
√
-1 -6 +1 -6
（2）x2+x-6 x -2
√ x
+3
（3）x2-8x+12 x
寻找寻找分解常数项所得的两个因数与一次项系分解常数项所得的两个因数与一次项系数数的的符号符号和和大小大小之间有何关系
9.5 多项式的因式分解 ——十字相乘法
1. 计算
(1) (2) (3) (4)
( x 3)(x 2) x 5 x 6
2
( x 4)(x 3) x x 12
2
5. 5x 2 6 xy 8 y 2 (5x 2 6xy 8 y 2 ) (5x 4 y)(x 2 y)
6.2(a b) 15(a b) 7 2(a b) 1(a b) 7 (2a 2b 1)(a b 7)
步骤：1、竖向分解二次项和常数项； 2、交叉相乘，并把所得的积相加； 3、检验交叉相乘所得的积的和是否 等于一次项。如果等于一次项，则横向书写 因式。如果不等于，则考虑重新分解常数项； 或者不能用十字相乘法进行分解。 4、横向书写因式，得出结果。
顺口溜：竖分常数交叉验； 横写因式不能乱。
3、关键：你认为用十字相乘法来进行因
解：∵ 8×(-10) ＝－80
8＋(-10) ＝－2
x
x
8
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法【知识精读】1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2.十字相乘法（1） 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=（2）对于首项系数不是1的一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，b=1221+a c a c 把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。