高三数学模拟考试试题
北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题真题卷(含答案与解析)
通州区2023年高三年级模拟考试数学试卷本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（ ）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（ ）A.B.C. 2D.3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（ ） A. 80B. 10C. 10-D. 80-5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（ ）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（ ）的A.73B.163C.203D.2837. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ） A. 310倍B. 410倍C. 510倍D. 610倍8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC ==，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（ ）A []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7第二部分（非选择题 共110分）.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________．13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________．15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-． （1）求sin sin CA的值； （2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．为的（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值．18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2 12 9 分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望； （3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明）19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．20. 已知函数()e xf x =，()()lng x x a =+（a ∈R ）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足： ①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集； ③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，则UA =ð（ ）A. ()0,2B. ()()3,02,3-⋃C. ()2,0-D. (][)3,02,3-【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】全集{|33}U x x =-<<，集合{|02}A x x =<<，由补集定义可知：{|30U A x x =-<≤ð或23}x ≤<，即(][)3,02,3U A -= ð， 是故选：D ．2. 已知复数1i z =+，则|2i |z -=（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.【详解】1i z =-，|2i |13i z -=-=. 故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. e e x x y -=+D. tan y x =【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A ，函数()1y f x x==在()0,∞+上递减，故A 不符题意； 对于B ，函数()3y f x x ==的定义域为R ，关于原点对称， 因为()()3f x x f x -=-=-，所以函数为奇函数，又函数在R 单调递增，故B 符合题意； 对于C ，函数()e exxy f x -==+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()ee xx f x f x --=+=，所以函数为偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数()tan y f x x ==， 因为()5π0014f f ⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭，所以函数不是增函数，故D 不符题意. 故选：B.4. 在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x -的系数为（ ）A. 80B. 10C. 10-D. 80-【答案】D 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可.【详解】52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()5521552C 2C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=-，解得3r =，可得()3311452C 80T x x --=-⨯⋅=-，即1x -的系数为80-. 故选：D.5. 已知双曲线22213x y b -=的一条渐近线方程为y =，则其焦点坐标为（ ）A. ()0,2±B. ()2,0±C. (0,D. ()【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线，得出b ，继而求出焦点坐标.【详解】令22203x y b -=，解得双曲线渐近线为y =21b =⇒=，2c ==，由此可得双曲线焦点坐标为()2,0±.故选：B6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，11AA =，AP =，2AB =，则该几何体的体积为（ ）A.73B.163C.203D.283【答案】B 【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥P ABCD -的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接,AC BD 交于点O ，连接AP ， 则OP 即为正四棱锥P ABCD -的高，12OA AC ==，1OP ==，所以1422133P ABCD V -=⨯⨯⨯=，11112214ABCD A B C D V -=⨯⨯=，所以该几何体的体积为416433+=.故选：B .7. 声强级()f x （单位：dB ）与声强x （单位：2W /m ）满足()1210lg 10x f x -⎛⎫=⎪⎝⎭．一般噪音的声强级约为80dB ，正常交谈的声强级约为50dB ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ） A. 310倍 B. 410倍C. 510倍D. 610倍【答案】A 【解析】【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案. 【详解】当()80f x =时，即1210lg 8010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得2010x =， 即一般噪音的声强约02210W /m ， 当()50f x =时，即1210lg 5010x -⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1710x =， 即正常交谈的声强约72110W /m ，所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的20317101010=倍.故选：A .8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质求解即可. 【详解】由图知：πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故2ω=， 则()()2sin 2f x x ϕ=+， 由2π2sin 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π,Z 3k k ϕπ+=∈， 所以2ππ3k ϕ=-+，Z k ∈， 又π2ϕ<，故π3ϕ=，综上，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C .9. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ= ，a //l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“a 与b 异面”，反证：直线b 与l 不相交，由于,b l β⊂，则b //l ， ∵a //l ，则a //b ，这与a 与b 异面相矛盾，故直线b 与l 相交， 故“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分条件；若“直线b 与l 相交”，反证：若a 与b 不异面，则a 与b 平行或相交， ①若a 与b 平行，∵a //l ，则b //l ，这与直线b 与l 相交相矛盾； ②若a 与b 相交，设a b A = ，即,A a A b ∈∈， ∵a α⊂，b β⊂，则,A A αβÎÎ， 即点A 为α，β的公共点，且l αβ= ， ∴∈A l ，即A 为直线a 、l 的公共点，这与a //l 相交相矛盾；综上所述：a 与b 异面，即“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的必要条件； 所以“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”充分必要条件. 故选：C.10. 在平面直角坐标系内，点O 是坐标原点，动点B ，C满足||||OB OC == ，0OB OC ⋅=，A 为线段BC 中点，P 为圆22(3)(4)4x y -+-=任意一点，则AP的取值范围是（ ）A. []28,B. []3,8C. []2,7D. []3,7【答案】A 【解析】【分析】根据题意得A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，从而得到AP为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．【详解】由0OB OC ⋅= ，则OB OC ⊥u u u r u u u r，又||||OB OC == A 为线段BC 中点，则||1OA =，所以A 为圆:O 221x y +=任意一点，设圆22(3)(4)4x y -+-=的圆心为M ，则5OM =， 又|512OM =+，所以圆O 与圆M 相离，所以AP的几何意义为圆O 与圆M 这两圆上的点之间的距离，所以max 5128AP OM AO MP =++=++=， min5122APOM AO MP =--=--=，所以AP的取值范围为[]28,．的故选：A ．【点睛】关键点点睛：依题意得AP的几何意义为圆221x y +=与圆22(3)(4)4x y -+-=这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量()1,2a = ，(),1b x = ，若//a b ，则x =__________．【答案】12##0.5 【解析】【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为向量()1,2a = ，(),1b x = ，//a b ，所以120x -=，解得12x = 故答案为：12.12. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且54a =，则{}n a 的前5项和5S =__________． 【答案】0 【解析】【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算. 【详解】由题意可得：3520a a d =-=， 所以5350S a ==. 故答案为：0.13. 抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线C 上，且点A 到直线4x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则0x =__________．【答案】2 【解析】.【分析】根据题意结合抛物线的定义分析运算.【详解】由题意可得：抛物线C ：24y x =的焦点为()1,0F ，准线为=1x -， 注意到00x ≥，可得01AF x =+，点A 到直线4x =-的距离为04x +， 则()00421x x +=+，解得02x =. 故答案为：2.14. 设函数()33,,21,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的一个取值为__________；若函数()f x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 ①. (1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭②. )a ∈+∞【解析】【分析】第一空，直接解方程，结合图象分类讨论即可；第二空，由图象分析即可.【详解】[]3233301,1y x x y x x '=-⇒=-≥⇒∈-，解得33y x x =-[]1,1-上单调递增，在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，解方程330x x -=可得：其根依次记为1340x x x ===、210x +=的根记为212x =-，可得其草图如下：第一空：若函数()f x有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为1x =或212x =-. （i ）若零点为212x =-只需a <示；在（ii ）若函数零点为1x =由函数解析式及图象可知，只需1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，如图所示，第二空：若函数()f x 存在三个零点，则零点为1340x x x ===、，只需a ≥故答案为：(1,,02a ⎡⎫∈-∞-⎪⎢⎣⎭；)a ∈+∞ 15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数，例如()11ϕ=，()42ϕ=． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①()76ϕ=；②*n ∀∈N ，恒有()()1n n ϕϕ+≥；③若m ，n （m n ≠）都是素数，则()()()mn m n ϕϕϕ=；④若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，则()()11k n p p ϕ-=-．（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________． 【答案】①③④ 【解析】【分析】根据欧拉函数()n ϕ的函数值的定义，求出()7ϕ，()8ϕ，即可判断①②；若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，可得()m ϕ，同理得()n ϕ，又不超过正整数mn 且与mn 互素的正整数共有1mn m n --+个，可得()mn ϕ，即可判断③；若k n p =，其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，可得()n ϕ，即可判断④．【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则()76ϕ=，故①正确； 不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则()84ϕ=，则()()87ϕϕ<，故②错误； 若m 是素数，m 与前m －1个正整数均互素，则()1m m ϕ=-； 同理，若n 是素数，则()1n n ϕ=-，故()()()()111n n m n m n m m ϕϕ----=+=；若m ，n （m n ≠）都是素数，则不超过mn 的正整数中，除去,2,,(1)m m n m ⋯-与,2,,(1)n n m n ⋯-及mn 外，其他的正整数均与mn 互素，共有(1)(1)11mn n m mn m n -----=--+个，则()1mn mn m n ϕ-=-+，所以()()()mn m n ϕϕϕ=，故③正确；若k n p =（*,n k ∈N ），其中p 为素数，不超过k p 的正整数共有k p ，其中p 的倍数有1k p -个，则不超过k p 且与p 互素的正整数有()111k k k p p p p ----=个，则()()11k n p p ϕ-=-，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-． （1）求sin sin CA的值； （2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：sin C =；条件③：ABC 的周长为9．【答案】（1）2 （2 【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；（2）由（1）可得2c a =，若选条件①：利用余弦定理可求得,a c ，进而面积公式分析运算；若选条件②：分C 为锐角和C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求,a c ，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得,a c ，利用余弦定理结合面积公式运算求解. 【小问1详解】∵sin cos 2sin cos sin A B A A B =-，则()2sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=， ∴sin 2sin CA=. 【小问2详解】由（1）可得sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，若选条件①：由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，即2224911416a a a +-=，注意到0a >，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定， ∵11cos 016B =>，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 若选条件②：∵c a >，可得C A >，则有：若C 为锐角，则1cos 4C ==， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+-=，整理得：2260a a +-=，且0a >，解得32a =，则3c =；若C 为钝角，则1cos 4C ==-， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+--=，整理得：2260a a --=，且0a >，解得2a =，则4c =； 综上所述：此时ABC 存在但不唯一确定，不合题意. 若条件③：由题意可得：9a b c ++=，即329a a ++=， 解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定，由余弦定理可得222416911cos 0222416a cb B ac +-+-===>⨯⨯，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin B ==∴ABC 的面积11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△. 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，1AC =，1D 为11B C 的中点，D 为棱BC 上一点，1//BD 平面1ADC ．（1）求证：D 为BC 中点；（2）求直线BC 与平面1ADC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形11BD C D 为平行四边形，根据边长关系即可求证；（2）根据勾股定理得到1AD DC ⊥，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值.【小问1详解】⸪1//BD 平面1ADC ，1BD ⊂平面11BB C C ，平面1ADC ⋂平面111C BB C DC =， ⸫11//BD DC ，又因为11//BD D C ，⸫四边形11BD C D 为平行四边形，且因为1D 为11B C 的中点，⸫111=2BD C C D B =， ⸫ D 为BC 中点. 【小问2详解】，1DC =1AC =， 再根据勾股定理可得22211D C A D AC +=，故1AD DC ⊥， 又因为AD BC ⊥，1BC DC D = ，1,BC DC ⊂平面11BB C C ， 所以AD ⊥平面11BB C C ，如图建立以D 为坐标原点，AD 为z 轴，DB 为x 轴，1DD 为y 轴的空间直角坐标系，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()2,0,0CB =，()0,0,0D，(00A ,，()11,2,0C -，(DA = ，()11,2,0DC =-，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n DA n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，解得()2,1,0n = ，·sin cos ,n CB n CB n CB α====，故直线BC 与平面1ADC. 18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收人及营业成本情况统计如下表：营业情况分行业营业收入单位（亿元）营业成本单位（亿元）分行业1 41 38 分行业2129分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业70.80.4（一般地，行业收益率100%-=⨯营业收入营业成本营业成本．）（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X ，求X 的分布列及期望； （3）设7个分行业营业收入的方差为21s ，营业成本的方差为22s ，写出21s 与22s 的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）47； （2）分布列见解析；()97E X =； （3）21s >22s . 【解析】【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率； （2）根据X 的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望； （3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小. 【小问1详解】 分行业1行业收益率：4138100%7.9%38-⨯≈， 分行业2行业收益率：129100%33.3%9-⨯≈， 分行业3行业收益率：82100%=300%2-⨯， 分行业4行业收益率：65100%20%5-⨯=， 分行业5行业收益率：32100%50%2-⨯=， 分行业6行业收益率：21100%100%1-⨯=，分行业7行业收益率：0.80.4100%100%0.4-⨯=， 行业收益率不低于50%的有4个行业，故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为47. 【小问2详解】有（1）可知X 的取值有0、1、2、3，()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===，分布列如下：X 0123P435 1835 1235 135()1812191233535357E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】7个分行业营业收入的平均值为：411286320.810.47++++++=，()()()()()()()2222222214110.41210.4810.4610.4310.4210.40.810.41176.65s =-+-+-+-+-+-+-= 7个分行业营业成本的平均值为：38925210.48.27++++++=，()()()()()()()222222221388.298.228.258.228.218.20.48.21088.48s =-+-+-+-+-+-+-=故21s >22s .19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,1A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 关于y 轴的对称点为B ，直线l 与OA 平行，且与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于P ，Q 两点．求证：四边形APBQ 为菱形．【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组求解即可； （2）求出直线OA 的斜率为12OA k =，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-．由直线AM 的方程1111(2)2y y x x --=--得P 点的纵坐标为P y ，Q 点的纵坐标为Q y ，结合韦达定理求得2P Q y y +=，进而可得线段AB ，PQ 垂直且平分，从而得证. 【小问1详解】由题意可知22222411a b c caa b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得a b ==．所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．【小问2详解】点(2,1)A 关于y 轴的对称点为点B 的坐标为(2,1)-． 直线OA 的斜率为0102A OA A y k x -==-．因为直线l 与OA 平行，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠． 由221,248y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222240x tx t ++-=, 由()22244241640t t t ∆=--=->，得22t -<<，且0t ≠, 设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,24x x t x x t +=-=-,直线AM 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 令0x =，得P 点的纵坐标为11122P x y y x -=-． 同理可得Q 点的纵坐标为22222Q x y y x -=-． ()()()()()()112221112212122222222222P Q x y x x y x x y x y y y x x x x --+----+=+=---- ()()21221212244822424t x x t t x x x x t t-+-+===-+++， 所以线段PQ 中点坐标为(0,1)．又线段AB 中点坐标也为(0,1)，所以线段AB ，PQ 垂直且平分．所以四边形APBQ 菱形．20. 已知函数()e x f x =，()()ln g x x a =+（a ∈R ）． （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()()()x f x g x ϕ=，请判断()x ϕ是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当0a =时，若对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）e 0y x -=（2）不存在，理由见详解（3）[),e -+∞【解析】【分析】（1）先求得()f x '，从而得到()1f ，()1f '，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）先求()x ϕ'，要判断()x ϕ是否存在极值，即判断()x ϕ在(),a -+∞上单调情况，即判断()x ϕ'在(),a -+∞上的符号情况；（3）将原恒成立条件转化为对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义域上的最值即可求得k 的取值范围．为【小问1详解】由()e x f x =，则()e xf x '=，所以()1e f =，()1e f '=， 故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0y x -=．【小问2详解】由()()()()e ln x x f x g x x a ϕ==⋅+，x a >-， 则()()()11e ln e e ln x x x x x a x a x a x a ϕ⎡⎤=⋅++⋅=⋅++⎢⎥++⎣⎦'，x a >-， 令()()1ln m x x a x a =+++，x a >-， 则()()()22111x a m x x a x a x a +--'==+++，x a >-， 当01x a <+<，即1a x a -<<-时，()0m x '<，此时()m x 单调递减；当1x a +>，即1x a >-时，()0m x '>，此时()m x 单调递增， 所以()()min 110m x m a =-=>，所以对任意x a >-，都有()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),a -+∞上单调递增，即()x ϕ不存在极值．【小问3详解】当0a =时，()ln g x x =，对于任意0s t >>，不等式()()()()11g s g t k f s f t ⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于对于任意0s t >>，不等式()()()()k k g s g t f s f t ->-恒成立， 等价于函数()()()ln e x k k h x g x x f x =-=-在()0,∞+上单调递增， 等价于导函数()10ex k h x x =+≥'在()0,∞+上恒成立， 等价于对于任意0x >，不等式e xk x≥-恒成立， 令()e x n x x =-，则()()22e 1e e x x x x x n x x x-⋅-=-='，0x >， 当01x <<时，()0n x '>，此时()n x 单调递增；当1x >时，()0n x '<，此时()n x 单调递减，所以()()max 1e n x n ==-，即e k ≥-，故k 的取值范围为[),e -+∞．【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使问题得到解决是解答此类问题的关键．21. 设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集1A ，2A ，…，m A 满足：①1A ，2A ，…，m A 均非空；②1A ，2A ，…，m A 中任意两个集合交集为空集；③12m A A A A ⋃⋃⋃= ．则称1A ，2A ，…，m A 为集合A 的一个m 阶分拆．（1）若{}1,2,3A =，写出集合A 的所有2阶分拆（其中1A ，2A 与2A ，1A 为集合A 的同一个2阶分拆）；（2）若{}1,2,3,,A n =L ，1A ，2A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，求P Q -的最大值；（3）设1A ，2A ，3A 为正整数集合{}12,,,n A a a a = （*N n ∈，3n ≥）的3阶分拆．若1A ，2A ，3A 满足任取集合A 中的一个元素i a 构成{}1i A a =，其中{}1,2,3,,i n ∈ ，且2A 与3A 中元素的和相等．求证：n 为奇数．【答案】（1）{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}；（2）2n ； （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.（2）令P Q >，设出集合1A 及所其元素和，根据定义求出2A 的元素和，求出P Q -结合不等式性质求解作答.（3）设2A 、3A 及A 中元素的和，按i a 为奇数、偶数推理判断作答.【小问1详解】{}1,2,3A =，集合A 的所有2阶分拆是：{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1}.【小问2详解】.依题意，不妨设P Q >，11212{,,,},p p A a a a T a a a ==+++ ， 则(1)1()(1)12||[](22n n T T n p T n n n T n P Q P Q T p n p n p p n p p +--++-=-=-=-+=----， 而(21)(1)(2)2p n p T n p n p n -+≤-++-+++=， 所以1211||()(2222n T n n n p n n P Q n p p n p +-++-=-≤-=--，当且仅当(21)2p n p T -+=时取等号， 所以P Q -的最大值是2n . 【小问3详解】 依题意，23A A =∅ ，231211{,},,,,,i i n A A a a a a a -+= ，2A 与3A 中元素的和相等，设2A 与3A 中元素的和为i m ，集合A 中所有元素之和为S ，于是2(1,2,,)i i S m a i n =+= ，①当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为奇数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是奇数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-， 因此此时集合A 中的元素均为奇数，因为S 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，所以n 为奇数；②当集合A 中存在元素(1)j a j n ≤≤为偶数时，因为2,2j j j S m a m =+是偶数，于是S 是偶数，对于任意(1,2,,)i a i n =L ，均有2i i a S m =-， 因此此时集合A 中的元素均为偶数，对于一个偶数(1,2,,)i a i n =L ，均存在正整数i p 和奇数i k ，使得2i p i i a k =，显然集合A 中的元素除以2，仍然满足条件，将集合A 中的元素不断除以2，直至有一个奇数， 此时，由①可得n 为奇数，综上得：n 为奇数.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.。
高考数学模拟试题与解析-唐山高三三模数学试卷
唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数 学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，则A ∩B ＝ A ．(1，2) B ．(－3，－1) C ．(－3，1) D ．(－3，－1)∪(1，2) 2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－3i ，则4z＝A ．1－3iB ．1＋3iC ．－1－3iD ．－1＋3i3．(x －1x )6的展开式中的常数项为A ．－20B ．－15C ．15D ．204．正方形ABCD 边长为4，M 为CD 中点，点N 在AD 上，BM →·BN →＝20，则|BN →|＝ A ． 5 B ．2 5 C ．5D ．105．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D -AC -B ，则三棱锥D －ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为 A ．33 B ．22 C ．63D ．126．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，∠F 1MF 2的角平分线交线段F 1F 2于点N ，则|MF 2||F 2N |＝A ．15B ．105C ．22D ． 27．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为 A ．13B ．37C ．720D ．478．已知3m ＝e 且a ＝cos m ，b ＝1－12m 2，c ＝sin mm，e 是自然对数的底数，则A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
四川省成都市2024届高三模拟考试数学(理)试题(含解析)
四川省成都市2024届高三模拟考试数学（理）试题一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.设121iz i i-=++，则z 的虚部为A.iA.i B.3i C.1D.32.直线1:10l x ay +-=与直线2:10l ax y ++=平行，则a=A.0B.1C.-1D.1或-13.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为B.C.10D.504.已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x R ∈时，()0 f x '>是“()f x 单调递增”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a=（）A.0B.8C.12D.246.直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O为坐标原点，则C 的准线方程为()A.14x =-B.12x =-C.1x =-D.2x =-7.函数lg y x =的图象经过变换10:2x xy y ϕ''⎧=⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =A.1lg x -+B.1lg x +C.3lg x -+D.3lg x+8.有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是A.甲B.乙C.丙D.丁9.设曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，且,22πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，曲线C 上动点P 到直线:143x yl +=的最短距离为A.0B.15C.25D.110.关于圆周率π，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(x ，y)，且要求x ，y 均小于1；再统计x 、y 和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(x ，y)的个数m ；最后利用统计结果估计π值.假如某次实验结果得到m=28，那么本次实验可以将π值估计为A.227B.4715C.7825D.531711.点A 、B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB=BC=2，已知球O 的表面积是12π，设直线PB 和AC 所成角的大小为α，直线PB 和平面PAC 所成角的大小为β，四面体PABC 内切球半径为r ，下列说法中正确的个数是①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③sin cos αβ=：④12r >A.1B.2C.3D.412.函数()1sin(11)x f x e x =--在[0,)+∞上的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题:共4道小题,每题5分，共20分.13.命题“0tan x x x ∀>>，”的否定为_____________.14.函数()cos xf x x=的图象在x π=处的切线方程为_____________.15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为____________.16.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b -=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为3π的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF 内切圆半径为r ，若2PF ≥∣，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.三、解答题：共5道大题，共70分.17.（12分）设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-(1)求()1f '-、()1f 的值；(2)求()f x 在[0,2]上的最值.18.（12分)信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一.在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力.下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1～5.(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率.（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立关于x 的回归方程(a ，b 的值精确到0.01)，并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元.参考数据:其中ln i i v y =,5115ii v v ==∑参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线ˆˆˆw u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni i i nii u w nw unu β=-=-=-∑∑，ˆˆw u αβ=-19.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且AB=AC=2,D 为11B C 的中点，1122AA B C ==.(1)证明:1//AC 平面1A BD ;（2）求平面1AB C 与平面1AA D所成锐二面角的余弦值20.（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为0.已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(3)-，直线PT 与y 轴交于点Q.当T 与F 重合时，有||||PB PT = ，且2BT BP BQ =+.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ 面积的最大值.21.(12分）设函数()x f x e ax =-，其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；(2)若函数f(x)有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和sin4x πρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且二者交于M ，N 两个不同点.(1)写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若点P 的极坐标为(2,),||||PM PN π+=，求a 的值.答案一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分123456789101112CBADCBBCBCCB二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分.13.00x ∃>，00tan x x ≤14.0x y +=15.80.516.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分.17.解:(1)由题设知2(1)()22f f x x x ''-=-+,取1x =-，则有(1)(1)32f f ''--=+,即(1)6f '-=:也即3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =故(1)6f '-=,5(1)12f =.(2)由(1)知32135()23212f x x x x =-+-,2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--,故max 5()(1)12f x f ==,min 5()(0)12f x f ==-18.解：(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有(8.1,9.6)，（8.1,11.5)，（8.1,13.8)，（8.1,16.7)，（9.6,11.5)，（9.6,13.8），(9.6,16.7），（11.5,13.8)，（11.5,16.7)，（13.8,16.7)，共10种情况，其中这2个数据都大于10的有(11.5,13.8)，（11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P =(2)x y a b =⋅两边同时取自然对数得()ln ln ln ln x y a b a x b =⋅=+，则v lna xlnb =+.因为5213, 2.45,55i i x v x ====∑,所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xv b xx =-=--⨯⨯===-⨯-∑∑·1 2.450.1773 1.919lna v x nb =-=-⨯=，所以 1.9190.177v x =+即ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177ˆe 6.811.19x x y+==⨯，即y 关于x 的回归方程为ˆ 6.81 1.19x y=⨯.2023年的年份代码为6，把x=6代入ˆ 6.811.19x y =⨯,得66.811.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元.19.解：（1）连接1AB 与A 、B 交于点O ，连接OD111ABC A B C - 为三棱柱，11ABB A ∴为平行四边形，点O 为1AB 的中点又D 为11B C 的中点，则1//AC OD ,又OD ⊂平面1A BD ,1AC ⊂/平面11,//A BD AC ∴平面1A BD .(2)CA AB ⊥ ，1CA AA ⊥,AB∩1AA A =，CA ∴⊥平面11ABB A 1AB ⊂ 面11ABB A ，1CA AB ∴⊥12AB ∴=== AB=2，12AB =,1BB =，∴22211AB AB BB +=，即1AB AB ⊥以A 为坐标原点，AB ，1AB ，AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，1(2,2,0)A -,B(2,0,0),1(0,2,0)B ,1(2,2,2)C -,D(-1,2,1)1(2,2,0)AA ∴=- ,1(1,0,1)A D =1AB AB ⊥ ,AB AC ⊥,1AB AC A⋂=AB ∴⊥平面1AB C ，则平面1AB C 的一个法向量为1(1,0,0)n =设平面1AA D 的法向量为2(,,)n x y z = ，则12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令x=1,y=1,z=-1,∴2(1,1,1)n =-,设平面1AB C 与平面1AA D 所成二面角的大小为θ122123cos 33111(1)n n n n θ⋅∴==⨯++-∴平面1AB C 与平面1AA D 所成二面角的余弦值是3320.解：(1)设F(-c,0)，由2BT BP BQ =+知2(-c ）=-2+0，即c=1，由||||PB PT =知2222(20)3)[2(1)]30)b --+-=---+-，即3b =,则a=2，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=(2)直线BT 的方程为3)3x y =-,与22143x y +=联立，可得()2222433120t y t y t +-+-=，且0>，有2231234D t y t -=+，即22434D t y t -=+;直线PT 的方程为23)3x y +=,令x=0，可得32Q ty t =+由sin sin 333DTQ Q D DTQPTBPTBS y y QT DT DTQ QT DT SSSPT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅====-⋅⋅∠⋅⋅即2224DTQt t St -=+，(0,2)t ∈而22214t t t -≤+，当2t +=2t =-时取等,且()0,2t ∈故DTQ面积的最大值为221.解：(1)由()x f x e ax =-知()x f x e a '=-,1）当a e ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单增，故无极值；2）当a e >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故 ()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值.综上，当a e ≤时，()f x 无极值；当a e >时，()f x 极小值为ln a a -，()f x 无极大值.（2）由（1）可知当a e >时，(ln )(1ln )0f a a a =-<，1(00f =>），且x f x →+∞→+∞，（），由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设可知12120x x e ax e ax -=-=，消去a 可得221121x x x x x e e e x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，即2ln 1t t x t =-,1ln 1t x t =-，将其代入1211x x λλ+>+，整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+而()22221(1)1(1)()(1)(1)t t F t t t t t λλλλ'--+=-=++,1)当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有22(1)()0(1)t F t t t λ'-≥>+，()F t 单增，F(t)>F(1)=0，满足题设；2)当0<λ<1时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单减，F(t)<f(l)=0，不满足题设；综上，λ的取值范围为[1,)+∞.22.解：(1)由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+;由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=故直线l 的直角坐标方程为2y x =+.（2）点P 的直角坐标为（-2,0），在直线l 上，而直线l的标准参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数），将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2)440t t a -++=.由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠又12t t +=，1244t t a =+当a>-1,且a≠1时，有12,0t t >，则)12123PM PN t t t t a ++=+===+，解得a=2;当1a ≤-时，有120t t ≤，则12121PM PN t t t t ++=-===-，解得a=-4.故a 的值为2或-4.。
黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析
黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试(数学试题理)试题
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试（数学试题理）试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）A 1BCD2．已知集合{lgsin A x y x ==+，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎛⎫⎪⎪⎝⎭3．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 5．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．6．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．327．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-8．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．139．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．211．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-12．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学模拟题(含答案)
数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：球的表面积为：24S R π=,其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）,一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. i 是虚数单位，复数ii+12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-2. 设全集R U =，集合{}2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U NM =A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π-=x y B. )22cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π+=x y4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54C ．54-D ．72-5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是?A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则正视图 俯视图左视图βα//C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//nD ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π7. 已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于^A ．712π B.23π C ．34π D. 56π8. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b +与b a -的夹角为A ．6πB ．3π C ．32πD ．65π9. 已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为 A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4- 10. 已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1()nx x-展开式中2x 项的系数为 A ．15 B ．15- C ．30 D ．30-11. 已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则A ．2(2)(3)(log )af f f a << B ．2(3)(log )(2)af f a f << C ．2(log )(3)(2)af a f f <<D ．2(log )(2)(3)af a f f <<"12. 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1gx x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5，则k 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 某程序框图如右图所示，若3a =,则该程序运行后，输出的x 值为 ; 14. 若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值 是 ;15. 已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是 ;16．给出以下命题： ① 双曲线2212yx -=的渐近线方程为y =； ② 命题:p “+R x ∀∈，1sin 2sin x x+≥”是真命题； ③ 已知线性回归方程为ˆ32yx =+，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④ 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)0.2P ξ>=，则(10)0.6P ξ-<<=； ⑤ 已知2622464+=--，5325434+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为824(8)4n nn n -+=---，（4n ≠） …则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边，且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω.（Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<,22OA OB ==， 求四边形OACB 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当3n =时,记事件A ={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求()P A ；?（Ⅱ）当2n =时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求ξ的分布列； ②令21ηλξλ=-++，()1E η>，求实数λ的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，几何体111ABCD B C D -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，AB a =， 面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且1BB =，E 为1CC 的中点，F 为AB的中点.（Ⅰ）求证：1DB E ∆为等腰直角三角形； （Ⅱ）求二面角1B DE F --的余弦值.)20．（本小题满分12分）已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3n n d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；又知数列{}n b 中，21=b ，且对任意正整数n m ,，nm m n b b =.1（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和. 21．（本小题满分13分）已知向量(,ln )xm e x k =+，(1,())n f x =，//m n （k 为常数， e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()xF x xe f x '=． （Ⅰ）求k 的值及()F x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数2()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分13分）*已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .(Ⅰ)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;(Ⅱ)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25PG PH -<t 的取值范围.青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准]一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B A C D A B B C A C B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 31 14. 2 15.16．①③⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………………2分ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴}A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………………………8分22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+⋅ ……………………………………………9分 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=， ………………………………………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为212分18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)事件A 为随机事件，121336399()14C C C P A C ==………………………………………4分 ~（Ⅱ）①ξ可能的取值为2,3,4,5,623291(2)12C P C ξ=== 1133291(3)4C C P C ξ===211333291(4)3C C C P C ξ+=== 1133291(5)4C C P C ξ=== 23291(6)12C P C ξ===∴ξ的分布列为：)……………………………………………………9分 ②11111()2345641243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分 21ηλξλ=-++，2()()1E E ηλξλ∴=-++241λλ=-++()1E η>，2141104λλλ∴-++>⇒<<…………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（I ）连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BD a = 因为1BB 、1CC 都垂直于面ABCD ,∴11//BB CC ，又面111B C D ∥面ABCD ,11//BC B C ∴所以四边形11BCC B 为平行四边形 ,则11B C BC a ==……………………………2分因为1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,则1DB ===#2DE ===112B E===…4分所以222222116634a aDE B E a DB++===所以1DB E∆为等腰直角三角形………………………………………………5分（II）取1DB的中点H，因为,O H分别为1,DB DB的中点，所以OH∥1BB以,,OA OB OH分别为,,x y z轴建立坐标系，则1(0,,0),(),(0,),,,0)224a a aD E B F-所以13233(0,,2),(,,),(,,0)22244aDB a a DE a a DF a a==-=………………7分设面1DB E的法向量为1111(,,)n x y z=，则1110,0n DB n DE⋅=⋅=，即11ay=且111222aax y az-++=*令11z=，则1(0,n=………………………………………………………………9分设面DFE的法向量为2222(,,)n x y z=，则220,n DF n DE⋅=⋅=2234ay+=且2222ay++=令21x=，则2(1,n= (11)分则12cos,2n n==,则二面角1B DE F--的余弦值为2…12分20．（本小题满分12分）解：2)1(3nnd-+=,∴1232n na d d d d=+++⋅⋅⋅+3232nn⨯==…………………3分又由题知：令1m=，则22212b b==,33312b b==12n nnb b==………………5分若2n n b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m nn m b b =恒成立若2n n b ≠,当1m =,m n n m b b =不成立,所以2nn b = ……………………………………6分|（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=--…………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（I ）由已知可得：()f x =1xnx k e+1ln ()x x k x f x e --'∴=， 由已知，1(1)0kf e-'==，∴1k = …………………………………………………………2分 ∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=-- …………3分由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤， 由21()ln 20F x x x e '=--≤⇒≥()F x ∴的增区间为21(0,]e ，减区间为21[,)e+∞ ………………………………………5分 （II ）对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，∴max max ()()g x F x < ……………………………………………………………………6分]由（I ）知，当21x e =时，()F x 取得最大值2211()1F e e=+.………………………………8分 对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a = 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e<+，从而01a <≤………………10分 当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e <<+……12分综上可知： 21012a e<<+………………………………………………………………13分 22．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：c =2c e a ==，又222a b c -=，解得：a b ==椭圆C 的方程为：22163x y += …………………………2分可得：(0,3)B，F,设00(,)A x y ，则00()AB x y =-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y =-，即00y x =由220000163x y yx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩0x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、即(0,A，或A…………………………………………………………4分①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ===∴ABF ∆外接圆是以O为半径的圆，即223x y +=……………………………………………………………5分 ②当A的坐标为时，1AFk =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为，半径为12AB =， ABF ∴∆外接圆的方程为225((3x y +-= 综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225((333x y -+-= ……7分 (Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.设:(2)GH y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(12)8820k x k x k +-+-=由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得：212k <（*） ………………………9分 22121222882,1212k k x x x x k k -+==++ 253PG PH -<，253HG ∴<123x -< 422222648220(1)[4](12)129k k k k k -∴+-⨯<++214k ∴>，结合（*）得：21142k << ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+即228812t k =-+，2t ∴-<<2t <<………………………………13分。
高三数学模拟题(含答案)
数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将XX、XX号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：球的表面积为： 2S4R,其中R为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i是虚数单位，复数2i1i的实部为A．2B．2C．1D．12.设全集UR，集合 2Mx|ylg(x1)，Nx|0x2，则N(e U M)A．x|2x1B．x|0x1C．x|1x1D．x|x13.下列函数中周期为且为偶函数的是A．ysin(2x)B.ycos(2x)C.ysin(x)D．ycos(x)22224.设S n是等差数列a n的前n项和，a12,a53a3,则S9A．90B．54C．54D．725.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若lm,ln,且m,n,则lB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则//正视图左视图-1-俯视图C．若m,mn，则n//D．若m//n,n，则m6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A．16B．14C．12D． 87.已知抛物线错误！未找到引用源。
的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，错误！未找到引用源。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
天津市高三模拟考试(理科)数学试卷-带答案解析
天津市高三模拟考试（理科）数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．集合{}24A x x => 和 {}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}52x x -<<-B ．{}22x x -<<C ．{}21x x -<<D ．{}21x x -≤<2．若21:|34|2,:02p x q x x -<<--，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2114cos 22x x x xf x ---+=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．为了了解一片经济林的生长情况 ，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ） ， 所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示 ，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm 的棵数是（ ）A ．18B ．24C ．36D ．485．当曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点时， 实数k 的取值范围是（ ） A ．3(,0)4-B ．35,4[)12-C ．3[1,)4--D ．3(,]4-∞-6．设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x y a b == 2a b +=，则11x y+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知双曲线22:1124x y C -= ，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（ ）A ．2+B ．C ．8D ．108．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象 若()g x 在5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则ω的最大值为（ ） A ．14B ．34C ．12D ．19．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃ 且n a <127232mn ab k +-< 则实数k 的取值范围为（ ）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．已知i 为虚数单位 则复数2021i =_______.11．若2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 则展开式中常数项是__________． 12．已知2x > 则42x x +-的最小值是______．13．圆柱的体积为34π 若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上 则该球的体积为____________.三、双空题14．某志愿者召开春季运动会 为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍 欲从4名男志愿者 3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长 则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数 则()E X =___________.15．已知平面四边形ABCD AC BD ⊥ 3AB = 2AD = 712DC AB =则BAD ∠=______；动点E F 分别在线段DC CB 上 且DE DC λ= CF CB λ= 则AE AF ⋅的取值范围为____.四、解答题16．记ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c 已知点D 为AB 的中点 点E 满足2AE EC = 且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．(1)求A ；(2)若BC =DE =求ABC 的面积． 17．如图,正三棱柱111ABC A B C 中,E 是AC 中点．(1)求证:1AB 平面1BEC ;(2)若2AB =,1AA ,求点A 到平面1BEC 的距离;(3)当1A A AB 为何值时,二面角1E BC C --18．已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---. (1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形且点D 在第一象限 求点D 的坐标； 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 公差0d > 且231424,10a a a a =+=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()*12111N n nT n S S S =++⋯+∈ 求n T ． 20．已知函数()2e xf x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0x >时 ()3e 2e xf x ≥-．参考答案与解析1．D【分析】解出集合A 利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】24x > 则2x >或<2x - 则{2A xx =<-∣或2}x > R{22}A x x =-≤≤∣{51}B x x =-<<∣ 则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ 故选：D. 2．B【分析】首先解不等式得到p ⌝：2x ≥或23x ≤q ⌝：2x ≥或1x ≤- 再根据包含关系即可得到答案. 【详解】|34|2x -< 得2342x -<-< 即223x << 即p ⌝：2x ≥或23x ≤.由2102x x <--得220x x --< 即12x -<< q ⌝：2x ≥或1x ≤-.因为{|2x x ≥或1}x ≤-{|2x x ≥或2}3x ≤所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件． 故选：B 3．C【分析】由已知可得 ()04f = 可得出A 、B 项错误；根据()π0f > 可得出D 项错误. 【详解】由已知可得 ()f x 定义域为R 且()21104cos0442210f --+==+= 所以A 、B 项错误；又()()()()2211114cos 4cos 2222x x x x x x x xf x f x -------+-+-===++ 所以()f x 为偶函数. 又()22π1π1π1π1π4cos ππ4π02222f ------+-==>++ 所以D 项错误 C 项正确.故选：C. 4．B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可. 【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于100cm 的棵数为：(0.0150.025)106024+⨯⨯=故选：B 5．C【分析】作曲线y =24y kx k =++的图象 计算出直线24y kx k =++与曲线y =时对应的实数k 的值 数形结合可得结果.【详解】对方程y =224y x =- 即()2204y x y +=≥所以曲线y 224x y +=的上半圆对直线方程变形得()24y k x =++ 该直线过定点()2,4P - 且斜率为k 如下图所示：当直线24y kx k =++与半圆y 2= 解得34k =-当直线24y kx k =++过点()2,0A 时 440k += 解得1k =-.由图形可知 当曲线y 24y kx k =++有两个相异的交点时 31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：C 6．C【分析】先解出,x y 再根据对数性质化简 最后根据基本不等式求最值. 【详解】3log 3,log 3x y a b a b x y ==∴==333log l 1og log ()1a b ab x y∴+=+=29a b ab +=≤（当且仅当2a b =时取等号）因此3log 1192y x +≤=即11x y+的最大值为2 故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值 考查综合分析求解能力 属中档题. 7．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离 利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++' 利用当,,P F E '三点共线时 2F a PE P ++'取得最小值 即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b == (40)F ，设双曲线左焦点为(40)F '-，不妨设一条渐近线为:b l y x x a =-= 即0x = 作PE l ⊥ 垂足为E 即||PE d = 作F H l '⊥,垂足为H 则||2F H '==因为点P 为C 左支上的动点所以2PF PF a '-= 可得2PF a PF '=+ 故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'由图可知 当,,P F E '三点共线时 即E 和H 点重合时 2||a PE F P ++'取得最小值最小值为2||2F H '⨯=即||d PF +的最小值为2 故选：A ． 8．B【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+ 结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式 由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4444x πωπππωωπ<-+<+ 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以4πωππ+≤ 304ω<≤ 所以ω的最大值为34.故选：B. 9．A【分析】易知0k > 由表达式画出函数图像 再分类讨论y k =与函数图像的位置关系 结合不等关系即可求解【详解】易知当0k > 0x 时 22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时 22724k k k << 得1427k <<,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根即2220x kx k k ++-=的两根 故22mn k k =-； 而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<即2644850k k -+< 解得1588k << 所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时 22k k 且0k > 得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-< 得51162k <≤.所以 k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系 数形结合思想 分类讨论思想 属于中档题 10．i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==； 故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算 考查了虚数单位i 的性质 是基础题． 11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得n 的值 然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 所以2256n= 故8n = 即该二项式为882223x x x -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝设其展开式的通项为1k T + 则1k T +=()()()2216282338811kk k kkk k k C xx C x----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当216203k k --=时 即6k = 此时该项为()668128C ⨯-=故答案为：28. 12．6【分析】根据给定条件 利用均值不等式计算作答.【详解】2x >则44(2)22622x x x x +=+-+≥=-- 当且仅当422x x =-- 即4x =时取“=” 所以42x x +-的最小值是6. 故答案为：6 13．43π 【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高 由勾股定理求出球的半径 根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h圆柱体积为34π 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭1h = 设球半径为R 则()22221R =+244R = 可得1R =∴球的体积为34433R ππ= 故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质 以及柱体与球体的体积公式 意在考查综合运用所学知识解答问题的能力 考查了空间想象能力 属于中档题. 14．217 97##219 【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率 由古典概型概率公式计算事件0,1,2,3X =的概率 再由期望公式公式得结论．【详解】由题意三人全是男志愿者 即事件X 0= 34374(0)35C P X C === 21433718(1)35C C P X C ===()12433712235C C P X C === 33371(3)35C P X C ===181219()1233535357E X =⨯+⨯+⨯= 再记全是男志愿者为事件A 至少有一名男志愿者为事件B 4()(0)35P A P X ===34()1(3)35P B P X =-== 4()235(|)34()1735P AB P A B P B ===．故答案为：217；97． 15．2π3##120︒ 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到1cos 2BAD ∠=- 求出2π3BAD ∠= 建立直角坐标系 写出点的坐标 表达出向量,AE AF 的坐标 从而求出向量数量积的关系式 求出取值范围. 【详解】712AC AD DC AD AB =+=+BD AD AB =- 所以()22757121212AC BD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭57554cos 9cos 0121242AB AD BAD BAD =-⋅⋅∠-⨯=--∠= 解得：1cos 2BAD ∠=-因为()0,πBAD ∠∈ 所以2π3BAD ∠=以A 作坐标原点 AB 所在直线为x 轴 垂直AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系 则()()(30,0,3,0,,4A B DC ⎛- ⎝因为DE DC λ= CF CB λ= 01λ≤≤ 所以设((),,E m F n t由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：714m λ=-39,,44nt λ⎛⎛-= ⎝⎝解得：93,44n t λ=+= 所以)279363639144416164AE AF λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、26318116264λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当12λ=时 26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值 最小值为8164 当0λ=或1时 取得最大值 最大值为94所以AE AF ⋅的取值范围是819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：2π3 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．(1)2π3A =；【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得sin A A = 进而求角的大小；（2）在△ABC 、△ADE 中应用余弦定理可得2219b c bc ++=、32b c =求出b 、c 再由三角形面积公式求面积.（1）由πA B C ++=得：()()cos cos cos sin a B C a B C A C -++-=- 即2sin sin cos sin a B C A C =-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =在△ABC 中sin 0B > sin 0C > 故sin A A = 则tan A =因为()0,πA ∈ 所以2π3A =． （2）在△ABC 中 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得2219b c bc ++=在△ADE 中 由余弦定理得2247943b c bc ++= 所以()22224794319b c bc b c bc ++=++ 化简得225224810b bc c --= 即()()2326270b c b c -+= 所以32b c = 代入2219b c bc ++=得：3b = 2c =则△ABC 的面积12πsin 3sin 23ABC S bc A ===． 17．(1)证明见解析(3)1【分析】(1) 连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF ,根据中位线即可证明1EF AB ∥,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BEC ABE S S ,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A 长度,找到平面1EBC 及平面1BC C 的法向量,建立等式,求出1,AB A A 长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF 如图所示:因为三棱柱111ABC A B C所以四边形11BB C C 为平行四边形所以F 为1CB 中点因为E 是AC 中点所以1EF AB ∥因为EF ⊂平面1BEC ,1AB ⊄平面1BEC所以1AB 平面1BEC ;（2）由题知,因为正三棱柱111ABC A B C所以1CC ⊥平面ABC且ABC 为正三角形因为2AB =,1AA所以BE =1EC 1BC 所以1BEC △为直角三角形11322BEC S =112ABE S =⨯△ 记点A 到平面1BEC 的距离为h则有11A BEC C ABE V V --= 即111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即131323h ⨯⨯=解得h =故A 到平面1BEC （3）由题,取11A C 中点为H ,可知1EH CC ∥所以EH ⊥平面ABC因为ABC 为正三角形,E 是AC 中点所以BE AC ⊥故以E 为原点,EC 方向为x 轴,EH 方向为y 轴,EB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系不妨记1AB a,A A b所以1300000000222a a a E ,,,B ,,,,b,,,,C C 1133,,0,0,,0,,0222,a a ab EB b BC CC记平面1EBC 的法向量为()111,,x n y z =则有100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020a x by z ⎧+=⎪⎪=取12x b ,可得()2,,0b a n =-;记平面1BC C 的法向量为()222,,m x y z =则有1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2x =可得()3,0,1m =;因为二面角1E BC C --所以cos ,m nm n m n ⋅===解得: a b = 即当11A AAB =时,二面角1E BC C --18．(1)斜率为1 倾斜角为π4；(2)()3,5；【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得AB 的斜率 进而求得倾斜角；（2）根据平行四边形对边平行 可得对边斜率相等 设(),D x y ,由斜率公式列出方程组即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知直线AB 的斜率为4122-=--直线倾斜角范围为[0,π) 所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）如图 当点D 在第一象限时 ,CD AB BD AC k k k k ==设(),D x y 则11114212y x y x -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪--+⎩ 解得35x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为()3,5；19．(1)2n a n =(2)1n nT n =+【分析】（1）利用等差数列下标和性质得2310a a += 联立解得234,6a a == 求出d 值 写出通项即可；（2）利用等差数列前n 和公式求得(22)(1)2n n n S n n +==+ 则1111n S n n =-+ 最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）等差数列{}n a 公差0d > 23142324,10a a a a a a =+=+=． 解得234,6a a == 或236,4a a == 但此时20d =-<故2d = ()()224222n a a n d n n ∴=+-=+-=（2）12422a a d =-=-= 则(22)(1)2n n n S n n +==+ 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．(1)3e 2e 0x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出切线的斜率 再求出切点即得解；（2）令()()3e 2e x F x f x =-+ 利用导数求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题得()22e e x x f x x x '=+ 所以()13e f '=又()1f =e 所以切线方程为()e 3e 1y x -=- 即3e 2e 0x y --=.（2）证明：令()()23e 2e e 3e 2e x x x F x f x x =-+=-+()()()()222e e 3e e 23e 31x x x x x F x x x x x x x '=+-=+-=+-当()0,1x ∈时 ()0F x '< 当()1,x ∈+∞时 ()0F x '>．所以()F x 在()0,1上单调递减 在()1,+∞上单调递增．所以当0x >时 ()min ()10F x F == 0x ∴>时 ()0F x ≥故当0x >时 ()3e 2e x f x ≥-.。
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高三数学（理工类）试题 第 1页 (共 4 页) 新人教版高三数学模拟考试试题 数学（理工类）试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式： 柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.
锥体的体积公式V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B). 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的
概率:()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCppkn. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i为虚数单位，复平面内表示复数2izi的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ２. 已知集合|21|1Mxx,|31xNx，则MN=
A. B. |0xx C.|1xx D.|01xx
3. 若02loga)1,0(aa且，则函数()log(1)afxx的图像大致是
A. B. C. D. 4. 已知等比数列}{na的公比为正数，且24754aaa，2a=1，则1a=
A. 21 B. 22 C. 2 D.2 高三数学（理工类）试题 第 1页 (共 4 页)
5.已知变量x、y满足约束条件11yxxyy，则32zxy的最大值为 A．3 B25 C.5 D.4 6. 过点（0,1）且与曲线11xyx在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为 A．012yx B．012yx C．022yx D． 022yx 7.右图给出的是计算111124620的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是 A．10i B．10i C．11i D．11i 8．为了得到函数xxy2cos2sin的图像，只需把函数 xxy2cos2sin的图像
A．向左平移4个长度单位 B．向右平移4个长度单位
C. 向左平移2个长度单位 D．向右平移2个长度单位 9. 关于直线,mn与平面,，有以下四个命题：①若//,//mn且//，则//mn；②若//,mn且，则//mn； ③若,//mn且//，则mn； ④若,mn且，则mn.其中真命题有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10. 设偶函数()fx对任意xR，都有1(3)()fxfx，且当[3,2]x时，()4fxx,
则(107.5)f= A.10 B.110 C.10 D.110
11．设点P是双曲线22221(,0)xyabab与圆2222xyab在第一象限的交点,F1、 F2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PFPF，则双曲线的离心率 A．5 B．52 C．10 D．102
12．已知函数0 ,00 ,1)(xxxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有5个不同实数解的充要条件是 A．2b且0c B．2b且0c C．2b且0c D．2b且0c 高三数学（理工类）试题 第 1页 (共 4 页)
FED
C
BA
高三数学（理工类）试题 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案. 13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n= ．
14．二项式6)2(xx的展开式中的常数项为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和 BC上，且3,3DCDEBCBF，若ACmAEnAF，
其中,mnR，则mn _________. 16.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线sin0,fxxx
及直 线0,xaa与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷 一点，若落在阴影部分的概率为163，则a的值是 ． 三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知向量3(sin,),(cos,1)4axbx.
（1）当//ab时，求2cossin2xx的值； （2）设函数()2()fxabb，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为abc、、，
若36sin,2,3Bba,求62cos4Axf (0,3x)的取值范围.
18.（本小题满分12分） 已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面
A B C D M N 高三数学（理工类）试题 第 1页 (共 4 页)
互相垂直， M、N分别为棱BE、AD的中点， 1AB,2AD，
(1)证明：直线//AM平面NEC； (2)求二面角DCEN的大小．
19.（本小题满分12分） 在数列}{na中，11a，并且对于任意n∈N*，都有121nnnaaa．
（1）证明数列}1{na为等差数列，并求}{na的通项公式； （2）设数列}{1nnaa的前n项和为nT，求使得20111000nT的最小正整数n. 20.（本小题满分12分） 济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师， （1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率； （2）求A中学分到两名教师的概率； （3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望． 21.（本小题满分12分） 已知椭圆C：)0(12222babyax的短轴长为32，右焦点F与抛物线xy42的焦点重合， O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点(4,0)D，且满足DADB，若21,83，求直线AB的斜率的取值范围. 22.（本小题满分14分） 已知函数11ln)(2xpxpxf
.
（1）讨论函数)(xf的单调性； （2）当1p时，kxxf)(恒成立，求实数k的取值范围； （3）证明：nn131211)1ln()(*Nn. 高三数学（理工类）试题 第 1页 (共 4 页)
高三数学（理工类）参考答案 一、选择题： 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8 .A 9.B 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 81 14. 160 15. 32 16. 23 三、解答题： 17．解：（1）33//,cossin0,tan44abxxx …………2分 22
222
cos2sincos12tan8cossin2sincos1tan5xxxxxxxxx
…………6分
（2）()2()2sin(2)4fxabbx+32 由正弦定理得2sin,,sinsin24abAAAB可得所以 …………………9分
62cos4Axf2sin(2)4x12,0,3x112,4412x
,
所以 21262cos4123Axf --------------------12分 18、（1）证明：方法一： 取EC的中点F，连接FM，FN，
则BCFM//，BCFM21，BCAN//，BCAN21 ………………………2分 所以BCFM//且BCFM，所以四边形AMFN为平行四边形， 所以NFAM//， …………………………………4分 因为AM平面NEC，NF平面NEC， 所以直线//AM平面NEC； …………………………………6分
（2）解：由题设知面ABCD面ADE，ADCD，ADECD面
又CDECD面，∴面ADECDE面，作DENH于H，则CDENH面，作OECHO于，连接NO，由三垂线定理可知CENO， ∴HON就是二面角DCEN的平面角， …………………………………9分
在正ADE中，可得23NH，在EDCRt中，可得1053OH，故在NHORt中，
315tanOHNHHON， …………………………………11分