巩固练习_一元二次不等式及其解法_提高

一元二次不等式及其解法_提高
一、选择题

1．不等式ax2+5x+c＞0的解集为11{|}32xx，则a，c的值为（ ）
A．a=6，c=1 B．a=－6，c=－1 C．a=1，c=1 D．a=－1，c=－6
2．若0＜t＜1，则不等式1()()0xtxt的解集为( )

A.1|xxtt B.1|xxxtt或
C.1|xxxtt或 D.1|xtxt
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是11,23，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.11,32 D.
11
,,32






4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2

C．1322a D．3122a
5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
A．{|23}xx B．11{|}32xx C．11{|}23xx D．{|32}xx
6. 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．
4
(,0),3






C．(－∞，0] D．
4
(,0],3






二、填空题
7．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)
＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.

9. 函数21()31fxaxax的定义域是R，则实数a的取值范围为________．

10. 已知函数21, 0()1, 0xxfxx，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是________．
三、解答题
11.解下列不等式
(1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－x2＋8x－3＞0；
12. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．
13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
14．已知2()2(2)4fxxax，
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
15. 已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0
的解集．
(1)用区间表示A和B；

(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．
【答案与解析】
1.【答案】B

【解析】由题意可知方程250axxc的两根为12x和13x，由韦达定理得：
11115,2323c
aa

，求得a=－6，c=－1

2．【答案】 D
【解析】 ∵0＜t＜1，∴11t，∴1tt

∴11()()0xtxtxtt.
3. 【答案】 A
【解析】 由题意知12，13是ax2－bx－1＝0的两实根，

∴112311123baa.解得65ab.
∴x2－bx－a＜0⇔x2－5x＋6＜0⇔2＜x＜3.
4. 【答案】 C
【解析】 因为(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以
(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－

a2＋a＋1)＜0，解得1322a，故选C.

5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a，23b，求得

5 a，b=-6
，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为11{|}23xx

6. 【答案】 C
【解析】 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
22
0000404103403mmmmmmmmmmm










或
.

综上，m的取值范围为(－∞，0]．

7．【答案】 {x|0＜x＜2}
【解析】 由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，
2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，

∴原不等式等价于6000002(6)1682[(6)]16xxxxxxxxfxxf.

8．【答案】{|1222}mm
【解析】由题意得：

12
12

000xxxx










，解得1222m

9. 【答案】 40,9
【解析】 由已知f(x)的定义域是R.
所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；

(2)当a≠0时，则有2000400(94)09(3)40aaaaaaaa.

由(1)(2)知，409a.
即所求a的取值范围是40,9.

10. 【答案】 (－1，2－1)
【解析】 若x≥0，则221110212112xxxxx121021xx
若x＜0，则1－x2＞0
∴－1＜x＜0

综上121x
11．【解析】
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，

所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，212x.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为1|32xxx或.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根

1413x，2
413x
.

又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为|413413xx．

12.【答案】{m|0≤m<4}
【解析】
当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．

当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有0m4)m(0m2， 解得0＜m＜4．
综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.

13.【解析】 当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，

即130xxmm，

若m＞0，则13mm，
所以原不等式的解集为31,mm；
若m＜0，则13mm，
所以原不等式的解集为13,mm.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为31,mm；
当m＜0时，原不等式的解集为13,mm.

14．【解析】
(1)由题意得：△=2[2(2)]160a，即0(2)由x∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
2[3,1](3)0(1)0aff










或2[3,1](2)0afa

综上所述：1,42a.
15. 【解析】 不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－
a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.
(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，
所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．
当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；
当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．
(2)要使A∪B＝R，则

当a≥1或a≤0时，需212aaaa，该不等式组无解；

当0＜a＜1时，需212aaaa，该不等式组无解．
所以不存在实数a，使得A∪B＝R.