基于数学高考真题的习题教学以一道高考题的教学设计为例
四点共面,链接教材,变式拓展——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。
高三数学真题试卷讲解教案
教学对象：高三学生教学目标：1. 通过讲解真题，帮助学生熟悉高考数学的题型和难度，提高解题技巧。
2. 引导学生总结解题规律，提高应试能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
教学重难点：1. 解题思路和方法；2. 考察的知识点和能力要求；3. 解题过程中的常见错误及纠正。
教学过程：一、导入1. 介绍本次讲解的真题试卷，强调其重要性和代表性。
2. 引导学生回顾高三数学学习的内容，激发学习兴趣。
二、讲解试卷1. 第一题（选择题）- 分析题目背景和考察知识点；- 介绍解题思路和方法；- 讲解解题过程中的关键步骤；- 分析常见错误及纠正。
2. 第二题（填空题）- 分析题目背景和考察知识点；- 介绍解题思路和方法；- 讲解解题过程中的关键步骤；- 分析常见错误及纠正。
3. 第三题（解答题）- 分析题目背景和考察知识点；- 介绍解题思路和方法；- 讲解解题过程中的关键步骤；- 分析常见错误及纠正。
4. 第四题（解答题）- 分析题目背景和考察知识点；- 介绍解题思路和方法；- 讲解解题过程中的关键步骤；- 分析常见错误及纠正。
5. 第五题（解答题）- 分析题目背景和考察知识点；- 介绍解题思路和方法；- 讲解解题过程中的关键步骤；- 分析常见错误及纠正。
三、总结1. 对本次讲解的真题试卷进行总结，强调重点和难点；2. 引导学生总结解题规律，提高应试能力；3. 鼓励学生在课后加强练习，提高解题速度和准确率。
四、课后作业1. 布置与本次讲解真题试卷相关的内容，巩固所学知识；2. 布置一定数量的练习题，提高解题能力；3. 要求学生在课后认真复习，查漏补缺。
教学反思：1. 教师应关注学生的课堂反应，及时调整讲解方式和内容；2. 在讲解过程中，注重引导学生总结解题规律，提高应试能力；3. 针对学生普遍存在的问题，进行针对性讲解和指导；4. 课后关注学生的作业完成情况，及时反馈和指导。
高考数学试卷试题讲解教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生了解高考数学试卷的题型、难度和考察范围。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 提高学生的数学思维和应试技巧。
教学重点：1. 高考数学试卷的题型和考察范围。
2. 分析解题思路和方法。
教学难点：1. 复杂题型的解题思路。
2. 应试技巧的掌握。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾高考数学试卷的基本情况，包括题型、难度和考察范围。
2. 引导学生关注高考数学试卷中的重点题型和考察知识点。
二、讲解试题1. 选择一道典型的高考数学试题进行讲解，让学生了解试题的结构和考察目的。
2. 分析试题的解题思路和方法，让学生掌握解题技巧。
三、课堂练习1. 让学生独立完成一道类似的题目，巩固所学知识。
2. 针对学生的完成情况进行点评和指导。
四、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点题型和解题技巧。
2. 布置课后作业，让学生巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所讲解的高考数学试题，引导学生回顾解题思路和方法。
2. 强调重点题型和解题技巧。
二、讲解试题1. 选择一道复杂的高考数学试题进行讲解，让学生了解解题思路和方法。
2. 分析试题中的关键步骤，引导学生掌握解题技巧。
三、课堂练习1. 让学生独立完成一道类似的题目，巩固所学知识。
2. 针对学生的完成情况进行点评和指导。
四、应试技巧讲解1. 讲解高考数学试卷的应试技巧，如时间分配、审题技巧等。
2. 引导学生进行模拟考试，提高应试能力。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点题型、解题技巧和应试技巧。
2. 布置课后作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
2. 注重培养学生的数学思维和应试能力。
3. 提高课堂效率，让学生在有限的时间内掌握更多知识。
从一道高考题浅析高中数学应用题的教学
数学应用问题读题能力的培养数学组：陈勇摘要：在近几年的中考题中，大批贴近社会实际、贴近学生生活、体现时代要求的新型应用题如雨后春笋般涌现出来，而学生在解决实际应用题方面存在一定的不足。
学生如何才能有效地解实际应用题呢？笔者认为，加强读题能力的培养是解题的关键，并在教学实践中摸索出了一些行之有效的方法。
数学是一门源于生活，又高于生活，但最终服务于生活的学科。
它以高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术及实际生产、生活的各个领域。
而把数学知识用来解决现实生活中的问题则是学习数学的最高境界，于是中考中出现大量的应用问题便是理所当然的事情。
但学生在解决应用问题时仍然存在一定的困难：有的学生上课听得懂,可课外自己动手解决问题时却不知如何下手；有的学生遇到不会做的实际应用问题时，只要教师对题目稍作分析,学生便茅塞顿开……由此可知许多学生并不是存在数学知识的缺陷，而在于不懂得如何分析题目，更不懂得如何才能把数学知识与实际问题有机地结合在一起，以致于无从下手。
我认为解应用题困难的一部分原因在于不懂得审题，在学生中存在“数学阅读能力的缺陷”。
因此，要提高解决数学应用问题的水平，就应注重学生数学阅读能力的培养。
与纯数学问题相比，数学应用题的文字叙述更加个性化，更贴近生活，但其中的实际情景设置、语言表达形式、信息存储方式、数量关系都不同于常规训练中的例题。
这对习惯于解常规题的学生而言无疑是一种挑战。
面对一大堆“非数学”形式的语言描述，学生反而会感觉手足无措，头脑中一片茫然，从而放弃。
如何把这些令学生头痛的应用题变成学生喜闻乐见的形式呢？我认为读题时分可按以下几个步骤进行：第一步：分清主次，去粗存精。
一道紧扣时代脉搏的应用题所包含的情景、数量关系等就像一篇内容丰富的短文，文字多是实际应用问题的一大特点，而很多学生一看到大量的文字叙述时，心中便望而却步，退避三舍，其实应用题的很多文字是介绍背景的，与解题没有多大关系，因此，要想解这类实际应用题，首先要克服心理障碍，然后进行粗略地阅读，使自己对题目有一个初步的认识与评价，了解题目的情节梗概，并有目的地对题目做出分析、理清框架，分清主次。
基于数学核心素养的数学教学——高考一类题举例
课改前沿KEGAI QIANYAN64数学学习与研究2019.6基于数学核心素养的数学教学———高考一类题举例◎洪霞（安徽省芜湖市繁昌县第二中学，安徽芜湖241200）纵观近几年的高考全国卷，函数零点问题越来越受命题者的青睐．作为基本初等函数，方程和图像的交汇点，要解决这类问题，不仅需要扎实的基础，还要熟练灵活地变通．这类问题注重考查学生的综合素质，蕴含了丰富的数形结合与转化化归的数学思想．高考函数零点的考查大多是选择题和填空题，可能也会在导数压轴题中涉及，难度较大，大多数学生会选择放弃．小题所考查的角度有解方程求具体函数的零点、利用零点存在性定理确定零点存在的区间；复杂点的有先转化再由图像确定零点个数问题、复合函数求零点以及根据函数零点求参数范围问题．此类题是复习时重点训练的，本文就这类题举例说明．题型一f （x ）=h （x ）－g （x ）=0 h （x ）=g （x ）分而治之例1已知函数f （x ）=1()2x－cos x ，则f （x ）在［0，2π］上的零点个数为（）．A．1B．2C．3D．4分析令f （x ）=0等价于1()2x =cos x 即求y =1()2x与y =cos x 图像在［0，2π］的交点个数．例2已知函数f （x ）=2x|log 0．5x |－1，则f （x ）的零点个数为（）．A．1B．2C．3D．4分析令f （x ）=0等价于|log 0．5x |=1()2x相对于例1，这一步的转化已经很难做到，接下来在同一个直角坐标系中做出左右两个函数的图像仍然是学生的难点．题型二复合函数求零点一题两图四问搞清换元法例3已知函数y =f （x ）与y =g （x ）的图像．①f ［f （x ）］=0有个根；②f ［g （x ）］=0有个根；③g ［f （x ）］=0有个根；④g ［g （x ）］=0有个根．分析以①为例，令f （x ）=t 则f （t ）=0有3个根，分别是t 1，t 2，0，且－2＜t 1＜－1，1＜t 2＜2而f （x ）=t 1，f （x ）=t 2，f （x ）=0分别有1个，1个，3个．②③④由学生仿照前面处理．延伸1f （x ）=kx +1，x ≤0，log 2x ，x ＞0{，则当k ＞0时，y =f ［f （x ）］+1的零点个数是（）．A．1B．2C．3D．4分析令y =f ［f （x ）］+1=0则f ［f （x ）］=－1，设f （x ）=t ，则f （t ）=－1，由图像可知它有两根t 1，t 2且t 1=－2k，0＜t 2＜1．方程f （x ）=t 1有2个解，方程f （x ）=t 2有2个解．延伸2f （x ）=|log 2|x －1||，且关于x 的方程［f （x ）］2+af （x ）+2b =0有6个不同的实数解．若最小实数解是－1，则a +b 为（）．A．－2B．－1C．0D．1分析令f （x ）=t ，根据题意，t 2+at +2b =0有一正根和0根，f （－1）=1所以两个根分别是0和1．（延伸2）（例4）题型三根据零点求参数范围例4f （x ）=|x |，x ≤m ，x 2－2mx +4m ，x ＞{m．（m ＞0）若存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的实根，则m 的取值范围是．分析由图像可以找到m ＞4m －m 2从而解得m 的范围．例5已知f （x ）=log 22x x +1，x ＞0．函数F （x ）=|f （x ）|2－（3m +1）|f （x ）|+3m有3个零点，则m 的取值范围是．分析令F （x ）=0则原方程可化简为（|f （x ）|－3m ）（|f （x ）|－1）=0，那么|f （x ）|=3m或|f （x ）|=1，对于|f （x ）|=1，学生可以解得x =13，那么|f （x ）|=3m就要有2个解，这就需要作|f （x ）|的图像了，很多学生就会卡在这儿了．本题中由于2xx +1=2－2x +1＜2，在x ＞1时，f （x ）＜1，图像在y =1的下方．因此只要0＜3m＜1即可．小结本文主要从数形结合的角度解决几例函数零点问题，这需要学生能根据基本初等函数图像及所给函数的性质做出函数的大致图像，这需要我们平时多多训练．。
高考题数学试卷讲解教案
课时：1课时教学目标：1. 帮助学生理解高考数学试卷的结构和题型分布；2. 提高学生对高考数学试题的分析和解答能力；3. 培养学生的数学思维和应试技巧。
教学重点：1. 高考数学试卷的结构和题型分布；2. 高考数学试题的分析和解答方法。
教学难点：1. 高考数学试题的难度和灵活性；2. 学生的数学思维和应试技巧的培养。
教学过程：一、导入1. 教师简要介绍高考数学试卷的结构和题型分布，让学生对高考数学试卷有一个初步的了解。
二、讲解试卷结构和题型分布1. 教师详细讲解高考数学试卷的结构，包括选择题、填空题、解答题等；2. 分析各个题型在试卷中的分布情况，让学生了解高考数学试题的难度和分值分布。
三、讲解高考数学试题的分析和解答方法1. 选择题：a. 分析题目特点，找出关键词；b. 运用排除法、代入法等解题技巧；c. 举例讲解各类选择题的解题方法。
2. 填空题：a. 分析题目特点，找出题目所涉及的知识点；b. 运用公式、定理等知识解答；c. 举例讲解各类填空题的解题方法。
3. 解答题：a. 分析题目条件，找出解题思路；b. 运用数学思想和方法进行解题；c. 举例讲解各类解答题的解题方法。
四、课堂练习1. 教师选取典型的高考数学试题，让学生进行解答；2. 教师点评学生的解答，指出错误和不足，并给予指导。
五、总结1. 教师总结本节课所学内容，强调高考数学试卷的结构和题型分布；2. 强调学生在解题过程中要注重数学思维和应试技巧的培养。
教学反思：1. 本节课通过讲解高考数学试卷的结构和题型分布，使学生了解了高考数学试题的特点；2. 通过讲解高考数学试题的分析和解答方法，提高了学生的解题能力；3. 在课堂练习环节，学生的解题能力和应试技巧得到了锻炼和提高。
板书设计：一、高考数学试卷结构1. 选择题2. 填空题3. 解答题二、高考数学试题分析1. 选择题2. 填空题3. 解答题三、高考数学试题解答方法1. 选择题：排除法、代入法等2. 填空题：公式、定理等3. 解答题：数学思想、方法等。
高考数学试卷讲解教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握高考数学试卷的解题思路和方法。
2. 提高学生分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的团队合作精神。
教学重点：1. 高考数学试卷的解题思路和方法。
2. 分析问题和解决问题的能力。
教学难点：1. 高考数学试卷的解题技巧。
2. 分析问题和解决问题的能力。
教学准备：1. 高考数学试卷一份。
2. 解题方法PPT一份。
3. 讨论小组。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾高考数学试卷的题型和分值分布。
2. 强调高考数学试卷的解题思路和方法的重要性。
二、讲解解题思路和方法1. 分析选择题的解题方法，如排除法、代入法等。
2. 分析填空题的解题方法，如公式法、图像法等。
3. 分析解答题的解题方法，如分类讨论法、数形结合法等。
三、案例分析1. 选择一道高考数学试卷中的典型题目，展示解题过程。
2. 让学生分析解题思路和方法，总结解题技巧。
四、课堂讨论1. 将学生分成小组，讨论如何提高解题速度和准确率。
2. 各小组分享讨论成果，教师点评。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课的内容，强调解题思路和方法的重要性。
2. 提出本节课的学习目标。
二、讲解解题技巧1. 针对选择题，讲解如何快速排除错误选项。
2. 针对填空题，讲解如何运用公式和图像法。
3. 针对解答题，讲解如何运用分类讨论法和数形结合法。
三、课堂练习1. 发放高考数学试卷，让学生独立完成。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、讲解练习题1. 选择一道典型题目，展示解题过程。
2. 让学生分析解题思路和方法，总结解题技巧。
五、课堂总结1. 回顾本节课的内容，强调解题技巧的重要性。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解高考数学试卷的解题思路和方法，让学生掌握了高考数学试卷的解题技巧。
在课堂讨论和案例分析环节，学生的参与度较高，提高了他们的分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养他们的团队合作精神。
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基于数学高考真题的习题教学以一道高
考题的教学设计为例
1.
内容和内容解析
1.
内容
2020年全国卷Ⅱ理科数学第 9 题
1.
内容解析
2020 年全国卷Ⅱ理科数学第 9 题是以函数为背景，考查具体函数性质的题目。
我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识。
函数的性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”。
研究函数的性质可以让学生在运动变化的过程中发现规律，掌握研究函数性质的一般方法，积累基本活动经验。
在高中数学课程中，函数的性质—单调性与奇偶性是人教 A 版《普通高中教科书·数学必修》第一册第三章第二节“函数的基本性质”中的内容，是函数的概念与表示的进一步拓展与深化。
函数的单调性反映了函数的增减变化规律，是函数在定义域某个子区间上具有的性质，刻画函数“局部”的性质；奇偶性反映了函数的对称性，是函数在整个定义域上具有的性质，刻画函数“整体”的性质，通过研究函数单调性和奇偶性，体现了研究函数可以从局部到整体的思想。
本节课按照研究具体函数的一般思路，概括起来就是：具体函数—函数的性质—函数图像—函数的应用。
在方法上，加强通过代数运算和图像直观揭示函数性质的引导与明示；在思想上，构建从具体到抽象，从特殊到一般的过程，让学生经历由数—形—数的过程，深刻体会数形结合的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点:判断具体函数的奇偶性和单调性，会作函数的图像。
二、教学目标设置
1.通过具体函数，使学生会用多种方法判断函数的单调性和奇偶性，体会不同方法的区别与联系，同时理解函数单调性和奇偶性的概念；
2.让学生通过函数的性质，作出函数图像，分析图像的共同特征，发现图像的变化规律，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；
3.让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的过程，体会由数研究形，再由形研究数的过程，体现数形结合的思想以及知识的迁移过程与数学逻辑的严谨性，提升学生的直观想象，数学抽象，逻辑推理素养。
三、学生学情分析
学生已有认知基础
从学生的已有认知基础来看，学生已经学习了函数的单调性和奇偶性，对判断具体函数的单调性和奇偶性的方法比较熟悉，有一定的知识储备。
达成目标所需要的认知基础
本节课作为对高考题的研究，如果只满足于试题的正确答案或一题多解，而忽略对其本质的研究，将会削弱试题的功能与价值。
虽然学生比较容易判断出该函数的单调性和奇偶性，但本节课的目的是让学生利用函数的性质作出函数图像，分析函数图像的特征，再通过改编题目，探究这类函数具有的共同的特征，发现这类函数的变化规律，从而培养学生的创新思维。
因此需要学生具备较好的归纳、研究问题、以及操作实施的能力，并且主动参与探索过程。
基于以上分析：确定本节课的教学难点：从特殊到一般探究函数图像的变化归律，从数—形—数总结函数图像的变化规律。
突破难点的策略：引导学生类比从特殊函数图像作法过渡到一般函数图像作法；再引导学生从“数”与“形”两个方面加深对函数本质的认识。
四、教学策略分析
本节课从研究函数的一般思路：具体函数—函数的性质—函数图像—函数的应用出发，在教法上采用以学生为主体的探究式教学方法，通过设置各种问题情境，引导学生自主探究函数图像的变化规律，整节课从特殊到一般，以数—形—数为研究主线，引导学生发现问题，并解决问题。
在学法上，采用设问—探究—归纳—定论层层递进的方式来突出重点和突破难点，由浅入深，循序渐进，培养学生的探究精神，注重学生的学习过程培养，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的舞台。
在教学手段上，为了形象直观的反映图像的变化规律，利用几何画板软件动态研究，使学生更好地利用图形直观与数形结合的方法，感悟函数的变化规律。
五、教学过程设计
（一）试题呈现与解法探究
引导语：函数是高中数学课程的重要内容，也是高考命题的热点。
因此研究函数及其性质，为解决其他问题奠定基础。
本节课我们从 2020 年全国卷Ⅱ理科数学第 9 题出发，探讨这道高考题的解法，挖掘背后隐藏的内涵。
（2020.全国卷Ⅱ.理 9）
分析：本题以含绝对值的对数型函
数为载体，考查函数的奇偶性和单调性，
具有一定的综合应用能力，属于中档题。
解法1：先用定义法判断函数奇偶性，再将函数去掉绝对值符号，可以用复合函数的单调性口诀“同增异减”判断函数的单调性。
【设计意图】让学生
动手操作，回忆判断
函数奇偶性，单调性
的方法，提高学生利
用代数运算解题的能力，同时发现学生解题过程中的问题。
【设计意图】让学生意识到特殊值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，本题目通过取特殊值来判断一般规律，是最好的解题策略，可以为考试节约时间。
【设计意图】复习巩固用定义法判断函数的单调性，它是判断和证明函数单调性最基本的方法，帮助学生理解函数单调性的定义，体现学生思维的严谨性。
定义法适用一些简单特殊函数或者抽象函数的单调性问题，对于其他较复杂的函数，用定义法证明单调性过程可能很复杂甚至可能无法证明。
【设计意图】利用导数判断函数单调性是高中重要内容，是解决其他问题的基
础，让学生进一步理解复合函数求导法则，体现分类讨论的思想。
【总结】
1.通过以上四种解法的对比，显然利用特殊值法求解，无论从思维量还是运算量，都要简单得多，更能为高考节约时间。
但也仅限于处理小题，也许正是命题专家的意图之一。
但在平时的教学中，我们更应该注重解法的多样性，掌握基本知识和基本方法，增加知识储备，提高数学思维能力。
2.从本题出发，大家回忆研究函数的一般思路是什么？函数—函数的性质—函数图像—函数的应用
1.
拓展延伸
【设计意图】本环节加强学生动手操作能力，经历
用函数的性质，极限的思想以及代数运算画出函数
图像的过程，由“数”得“形”，再从“形”的角度获得对函数图像的局部与整体的直观认识。
【设计意图】引导学生从“形”到“数”分析函数图像单调性和对称性，提升学
生的运算能力和思维能力，体现思维的严谨性。
思考：那如果改变的系数，函数的图像又发生怎样的变化呢？
思
考：
函数
图像还具有对称性吗？
总结：通过讨论常数以及
系数的变化，概括函数
的变化情况.
1.
函数可化为
2.
改变常数，图像左右平移或单调变化；
3.
改变的系数，图像上下平移；
4.
图像仍然是中心对称图形，对称中心为
.
探究5：变式应用
（四）追根溯源，探寻本质
本题目整体上看是以函数为背景，考查函数的性质，对学生而言，不算难题，但仔细研究会发现该题目不仅涉及了对数函数，而且涉及含绝对值的反比例型函数，该题目具有一定的综合性。
受该题的启发，在人教 A 版《普通高中教科书·数学必修》第一册第 131 页练习 1 第（4）题与第 161 页拓广探索 11 题
可以看到该题目的影子，教材第 131 页练习 1 第（4）题是真数含有绝对值求
函数定义域，第 161 页拓广探索 11 题是构造两个对数型函数的和求定义域和
奇偶性这两个题目都研究了函数最基础的知识，其实我们可以将 11 题进行多种
形式的改编。
由此可以看出本道高考题是在教材的基础上进行了数学核心素养之数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等综合能力的考查，学生单看每一个知识都很
熟悉，但是把知识融合在一起后，对这个函数的探究还是有一定的难度，所以在
教学过程中，我们更应该多关注教材，多研究教材，挖掘教材更深层的东西，少
搞题海战术，真正做到少讲、精讲，减少学生的学习负担。
同时我们多研究高考题，把握高考方向，真正做到提高学生的综合能力与核心素养。
（五）学生的困惑及本设计预期目标
本道高考题站在学生的角度，要选出答案是比较容易的，但学生可能也就停
留在解题的基础上，不会更深层次去研究这道题。
所以本节课从研究函数的一般
思路出发，不断引导学生去探究这道题，在这过程中，发现学生利用函数的性质
作函数图像有一定的困难，因为这个过程中涉及到代数运算与极限思想，在变式
作图过程中，学生不会很好地联系已知题目，所以在教学中采用了不断提问的方式，逐步引导学生完成函数图像的作法，学生比较容易发现图像的变化规律，但
在得出函数图像的变化规律后，学生却只能通过“形”来描述图像的特征，教师
又逐步引导通过“数”的角度给予说明，在这里又需要学生有一定的运算功底以
及数学思维能力，所以整个过程从“数”到“形”再到“数”帮助学生更好地运
用数形结合的思想解决问题。
因此本堂习题课通过构建探究问题串从具体到抽象，从特殊到一般，让学生
在循序渐进的体验式教学中逐步收获知识，深化数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养能力的培养和挖掘，提升数学解题能力。
3。