由一道高考试题谈全错位排列问题
错位排列例题
错位排列例题错位排列也称为错排，是组合数学中的一个经典问题。
在错位排列中，我们考虑将n个元素进行排列，但要求每个元素都至少与一个其他元素错位（即不在原来的位置上）。
换句话说，错位排列是一种排列方式，使得所有元素都与原来的位置不同。
我们可以用D(n)表示n个元素的错位排列数。
那么，错位排列问题的关键就是求解D(n)的值。
下面是一些错位排列问题的例题，以及相关的参考内容。
例题1:有3个人A、B、C要坐在3个椅子上，每个人只能坐在与自己原来位置不同的椅子上，问有多少种不同的坐法？解析: 对于每个人来说，他都有两个选项，即坐在与自己原来位置不同的椅子上或者不坐下。
因此，总的不同坐法数是2^3=8种。
参考内容: 《组合数学导引》（邱朝剑著）例题2:某公司有10名员工，要选取其中3名员工参加培训，要求选取的员工不能与原来的位置相同，问有多少种不同的选取方式？解析: 首先，我们可以将10名员工按照原来的位置进行编号，从1到10。
我们需要选取3名员工参加培训，而且不能与原来的位置相同。
因此，我们可以考虑错位排列的思路。
选取的第一个员工有10种选择，第二个员工有9种选择，第三个员工有8种选择。
因此，总的选取方式数是10*9*8=720种。
参考内容: 《概率与统计》（李航著）例题3:某地有10个学校举行篮球比赛，每个学校派出4名学生参赛，要求参赛的学生不能来自同一所学校，问有多少种不同的参赛方式？解析: 对于每个学校来说，他们都有4个学生可以选择。
因此，总的参赛方式数是10* C(4,4) = 10*1=10种。
参考内容: 《组合数学》（乔磊著）以上是几个关于错位排列的例题及其相关参考内容。
错位排列是组合数学中的一个重要问题，在实际中具有重要的应用价值。
对错位排列的研究可以帮助我们理解排列组合的思想，提高我们的数学思维能力。
希望以上内容对大家有所帮助。
2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2510C=，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2，所以不同的坐法有10220⨯=种．故选：B例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．360【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2615C=种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子．则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，对于编号为3、4的小球，只有1种放法．综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为1533135⨯⨯=种．故选：B．例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C⋅⋅=种．故选：D．。
全错位排列
全错位排列与多个特殊元素特殊位置（C ．T ）T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数)错位排列问题题一 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.题二 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题（所有元素均为特殊元素）.题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.题三可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题， 我们称这种排列问题为部分错位排列问题. (多个特殊元素，多个特殊位置) 部分错位排列(多个特殊元素，多个特殊位置)例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，共有多少种不同的站法。
解一：（特殊元素特殊位置优先处理）第一步：安排甲这特殊元素，有14C 种；第二步：安排其他人，其余的四个人（元素），不受限制，故有44A 种站法。
由分步乘法原理得14C 44A =96种站法。
解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）这样得到共有：55A －44A ＝96种。
例2：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
解一：（特殊元素特殊位置优先处理） 分析：有两个特殊元素，分类讨论，减少限制条件。
第一类：甲站在第二位，则其他的四人（含乙），不受限制，有44A 种站法。
错位排列(原卷版)排列组合题型全归纳 专题07
专题07错位排列【方法技巧与总结】错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =-=+⋅∑【典型例题】例1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（）A ．72B ．108C ．144D ．196例2．（2023·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A ．10种B ．20种C ．30种D ．60种例3．（2023·全国·高三专题练习）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．360例4．（2023春·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（）A ．20B ．40C ．120D ．240例5．（2023春·吉林延边·高二校考期中）同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有A ．8种B ．9种C ．10种D ．12种例6．（2023·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（）A．6种B．9种C．11种D．23种例7．（2023·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．45例8．（2023春·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（）A．42B．44C．46D．48例9．（2023春·河北沧州·高二泊头市第一中学校考开学考试）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（）A．45种B．40种C．55种D．60种例10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.A．4B．8C．12D．24例11．（2023春·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为__________．（用数字作答）例12．（2023秋·天津静海·高二静海一中校考期末）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______________.例13．（2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）5个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若5个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､大小均相同），并将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人需回答自己问题的种数为___________.例14．（2023·高二课时练习）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有____________（用数字作答）．例15．（2023·高二单元测试）数独是源自18世纪瑞土的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种(用数字作答).例16．（2023·全国·高二专题练习）4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）例17．（2023·高一课时练习）一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客1P ,2P ,3P ,4P ,5P 的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.乘客1P 2P 3P 4P 5P 座位号3214532451（1）若乘客1P 坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；（2）若乘客1P坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客5P坐到5号座位的概率.例18．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？例19．（2023·全国·高三专题练习）6名教师从星期一至星期六值日，若甲教师不排星期一，乙教师不排星期二，丙教师不排星期三，则不同的值日排法有多少种？例20．（2023·全国·高三专题练习）n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；(2)有人取回了他原来的物品；(3)恰好只有一人取回他原来的物品.例21．（2023·全国·高三专题练习）将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；(2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.例22．（2023·全国·高三专题练习）有编号为1，2，3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1，2，3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知当2X =时，共有6种坐法．n 的值为________；()3P X ==________．。
全错位排列——精选推荐
全错位排列全错位排列是由著名数学家欧拉提出的。
最典型的问题是装错信封问题⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？⽤a、b、c，d……表⽰n份相应的写好的信纸，A、B、C，D……表⽰写着n位友⼈名字的信封，错装的总数为记作f(n)。
假设把a错装进B中，然后接下来我们可以分为两种情况，第⼀种是b错装进了A中，那么问题就变为c,d,e…..n-2个信纸放⼊C，D,E……n-2个信封时完全放错时完全装错有多少种，有f(n-2)种第⼆种是b错装进了除A之外的⼀个信封内，这个时候问题就相当于已知a错装进B中，将b,c,d,e…..n-2个信纸放⼊A,C，D,E……n-2个信封时,b不能放⼊A中，这⾥如果我们把A想象成B0的话，就相当于将b,c,d,e…..n-2个信纸放⼊B0,C，D,E……n-2个信封时完全放错，有f(n-1)种a错装进B中，有f(n-1)+f(n-2)种，同样a错装进C中也有f(n-1)+f(n-2)种…..a错装进B中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进C中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进D中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进E中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进F中，有f(n-1)+f(n-2)种…所以⼀共有f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2));//C++⽰例代码#include <iostream>using namespace std;long long getvalue(int num){if (num == 1){return0;}else if (num == 2){return1;}else if (num == 3){return2;}else{long long f1 = 1;long long f2 = 2;for (int i = 4; i <= num; i++){long long t = f2;f2 = (i - 1)*(f1 + f2);f1 = t;}return f2;}}int main(){int num;cout << "input the number of envelop with -1 to end" << endl;while (cin>>num){if (num == -1)break;long long r = getvalue(num);cout<<"Result:" << r << endl;}return0;}相关的题⽬有假设⼀共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发⽣这种情况⼀共有多少种可能.神，上帝和⽼天爷。
高考错位排列真题答案解析
高考错位排列真题答案解析导语：高考是每个学生都要经历的一场考试，考试中的各种题型都是考生们备战所需的重点之一。
错位排列题是高考数学中的难点题型，很多考生在解答时往往束手无策。
本文将为大家详细解析高考错位排列真题答案，希望对广大考生有所帮助。
一、什么是错位排列题错位排列题是高考数学中的一类组合题，是考察考生对排列组合知识的理解和运用能力。
在这类题目中，要求我们求排列或组合的个数，并要保证某些特定的元素不能相邻、不能相连等。
二、常见形式及解题思路1. 示例一：有3个甲、3个乙、3个丙三种不同的球，把如下9个球排成一行，使乙不能够紧挨着甲摆放，要求每次将甲、乙、丙这三种球的一个摆在一行的空位上，那么有效排列的个数是多少？解题思路：这是一个错位排列的问题。
首先，我们可以先假设把甲和乙看成一个整体，即2个元素看作1个对，然后将丙球插入这些对之间，变相成为了一个无相同元素的排列组合问题。
那么问题就变为了将3个甲乙丙的球排列在一行上的问题。
根据排列组合的公式，我们可以得出答案为3!，即3的阶乘，结果为6.2. 示例二：有8个小球，其中有2个红球、2个蓝球、2个绿球和2个黄球，现将这只球放在一排的位置上，要求使得同颜色的球不相邻，一共可以有多少种不同的放法。
解题思路：这是一个错位排列的问题。
我们可以将这8个小球分成4对，然后将这些对放在一排的位置上。
根据错位排列的原理，共有4！种不同的放法。
但是要注意的是，每对之间的元素又可以进行排列，所以实际的解答应该是4!*(2!)^4，即解答等于24*(2^4)=384.三、真题解析下面为大家提供一道高考真题的错位排列题解析，希望对大家更好地理解和掌握该类型题目的解答方法。
示例题：有8本书，其中诗集5本，文学评论2本，小说1本。
（1）把8本书排成一行，使得同种书类不相邻，有多少种不同的方法？（2）如果除了要求同种书类不相邻外，诗集之间和文学评论之间也不相邻，有多少种不同的方法？解题思路：（1）这是一个错位排列的问题。
全错位排列公式
全错位排列先看下面例子：例1． 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一种解法是用排除法：先考虑5个全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排在第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：543543278A A A -+=种。
现在考虑：例2．5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
仿上分析可得：543254323364A A A A -+-=种这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3．5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有()m m n ≤不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素()m n ≤不排在相应位置的排列种数共有：()1122121mn n n m n m n m n m n m n m A C A C A C A -------+++-种 这个公式在n m =时亦成立，从而这个问题可能用上面的公式得出：514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意0000!1n C A ===）（1993年高考）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得： 4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： ()1122121nn n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A -------+++- 这实际上是公式一的特殊情况。
全错位排列——精选推荐
全错位排列
【例1】有编号为1到10的10个球，放到编号为1到10的10个盒⼦⾥，球不能放到相当编号的盒⼦⾥，⼀共有多少种不同的放法？
【例2】1-5共5个数字组成⽆重复数字的五位数，要求数字不能在对应的位数上（⽐如2不能放在第2位），⼀共可以组成多少个不同的五位数？
【例3】10个⼈每⼈写⼀封信寄到这10个⼈中的任意⼀⼈，问每个⼈都没有收到⾃⼰的信的情况⼀共有多少种？
【解析】以上是典型的“全错位”排列问题。
所谓全排列，就是每个元素都不在⾃⼰对应编号的位置上。
假设对于n个元素的全错位排列共有f(n)种，现在有n+1个元素，对于第n+1个元素，假设它放在第k(1<=k<=n)位，对于第k位上的元素k，有两种情况：
1、k排在第n+1位，那么对于剩下的除k和n+1两个元素，共有n-1个元素，对应的位置也是n-1，所以共有f(n-1)种排列⽅式。
2、k不排在第n+1位，那么这个时候完全可以把第n+1个位置看成第k个位置（因为元素k不放在此位置，所以相当于这个位置是第k位），这时除了已经放好的第n+1个元素，剩下n个元素，对应的位置也是n，共有f(n)种排列⽅式。
上述中，对于第k个元素，共有n种选择⽅式，所以
f(n+1)=n*f(n-1)+n*f(n)，
也就是f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)]
显然，f(1)=0，f(2)=1，由此可以依此计算出f(n)。
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由一道高考试题谈全错位排列问题
作者：王常庆
来源：《理科考试研究·高中》2018年第10期
摘要：错位排列问题是排列组合问题中常见类型之一，解决方法常运用容斥原理但这个
方法对大多数中学生来说相对陌生，不符合中学阶段常规思维.本文从中学课堂常规思路出
发，步步探究，给出全错位排列问题的一套完整解决方案，以期对开拓学生数学思维有所帮助.
关键词：贺卡问题；全错位排列；递推公式；通项公式
作者简介：王常庆（1972-），男，山东郓城人，本科，中学高级教师，研究方向：中学
数学教学.
一、问题的提出
题目同室4人各写一张贺卡，然后收集起来，每人再从中各抽一张，但不能抽取自己写
的那一张，问共有几种不同的抽法？
象这种“每个元素都不在限定的位置上”的排列问题，通常叫做全错位排列问题.全错位排列作为排列组合中的一类典型题目，难度较高. 笔者从常规思路出发，整理出一套完整的解决方案，现把研究过程及每一阶段的成果展示出来，供大家参考.
二、问题的解决
法一（顶针法）假设A、B、C、D四人所写的贺卡分别为a、b、c、d，若先由A抽，共有3种抽法（b、c、d），若抽到b，则接下来由B抽，也有3种抽法（a、c、d），最后由C、D二人抽，均只有1种抽法，故由分步计数原理知共有3×3×1×1=9种抽法.
法二（列表法/枚举法）把A、B、C、D四人依次抽到的贺卡情况具体列表如下，共有9种方案，如表1：
法三（树图法）为防止发生重复或遗漏，可分步画图，如图1：
三、问题的探究
为方便探究，先对这类全错位排列问题进行定义.
设n个编号为1，2，3，…，i，…，j，…，n的不同元素a1，a2，a3，…，ai，…，aj，…，an排成一列，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的排列称为全错位排列，排列数记为Tn.
探究1 尝试变更元素个数n，依上述解决方法，易得T1=0，T2=1，T3=2.
探究2 变更元素个数为5时，其全错位排列数T5的求法如下：
（1）顶针法：若先由A抽，共有4种抽法；若抽到b，再由B抽，B抽到a与抽不到a，直接影响其他人的抽法，故而分为两类：
①若B抽到a，其余3人再抽取相当于一个独立“3人组”，共有2种抽法；
②若B抽不到a，则B有3种抽法（c、d、e），设B抽到c，接下来由C抽，也有3种抽法，共有3×3=9种抽法.故题目最终结论为4×（2+3×3）=44种抽法.
（2）列表法、树图法均可解决，但工程庞大，不易操作.
探究3 由以上探究过程可知，当元素个数变更为5个时，其全错位排列数的求解已是不易，若是元素个数变更为6个、7个甚至更多时，又该如何计算呢？下面仍先以“4人贺卡问题”为例解析如下：
先不考虑4张贺卡的具体归属，由4人随意抽取，共有A44=24种抽法.其中包括以下不合题意的情况：
（1）4人中恰有1人取到自己写的贺卡（以下简称自取），其余3人再抽取，相当于一个独立的“3人组”，所以共有C14T3=4×2=8种抽法；
（2）4人中恰有2人自取，其余2人再抽，相当于一个独立的“2人组”，共有
C24T2=6×1=6种抽法；
（3）4人全部自取，共有1种抽法（不可能出现恰有3人自取情况）.
故“4人组”贺卡的抽法共有T4 =A44-2×C14-1×C24-1=9种.
下面可用同样的方法完成T5的求解：
T5=A55-C15T4-C25T3-C35T2-1=44种.
小结按上述解法，只要知道了T1，T2，T3，…的结果，依次递推下去，便可求出任意n 个元素的全错位排列数Tn （n∈N*）. 当然，随着人数n的增加，分类越来越多，计算量也越来越大.
探究4 为进一步寻求规律、简化计算，笔者受到“斐波那契数列”的启发，把已求得的几个全错位排数Tn及相应元素个数n（n∈N*）列表如下（表2）
由这两个递推公式，易得到T6=265及T7=1854，将Tn的计算向前推进了一大步.
探究5 上述递推公式是通过不完全归纳法得到的，其正确性有待于证实.下面尝试利用计数原理、数学归纳法的有关知识进行证明.
1递推公式1的证明（利用计数原理）
首先易得T1=0，T2=1.
当n≥2时，总数为n+1个元素的全错位排列可分两步进行：
第一步，先从n+1个不同元素中任取一个元素ai，因其不能排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下n 个位置之一，所以ai有n 种排法；
第二步，针对ai每一种排法，如果ai排在 j位，原对应j位的元素aj的排位又有两种情况：
第1种情况，若aj恰好排在i位上，如表3
此时，除ai外的其他n个元素（包括aj）均有一个不能排的位置（aj不排在i位上），问题就转化为其余这n个元素全错位排列，排列数为Tn.
故综合上述步骤，由乘法原理和加法原理可得：Tn+1=n （Tn-1+Tn）（n≥2， n∈N*）.
2递推公式2的证明（利用数学归纳法）
首先，易得T1=0，T2=1，显然当n=2时，Tn=n Tn-1+（-1）n 成立；
其次，假设当n=k时（k≥2， k∈N*），Tn=n Tn-1+（-1）n 成立，即Tk=k Tk-1+（-1）k.
从而k Tk-1 =Tk -（-1）k=Tk+（-1）k+1.
又由递推公式1可得Tk+1=k （Tk-1+Tk）.
从而Tk+1=kTk-1+kTk=Tk+（-1）k+1+kTk=（k+1 ）Tk+（-1）k+1.即Tk+1=（k+1 ）T （k+1）-1+（-1）k+1.故当n=k+1时，Tn=n Tn-1+（-1）n亦成立.
综合上述步骤可知，Tn=n Tn-1+（-1）n对于任意自然数n（n≥2， n∈N*）均成立.
探究6 上述公式虽已获得证明，但毕竟只是递推公式，如果能够利用构造数列的思想，导出{Tn}的通项公式，方才圆满.
解析将Tn=n Tn-1+（-1）n的两边同时除以n！得
Tn n！ = nTn-1 n！ + （-1）nn！ = Tn -1 （n-1）！ + （-1）nn！.
从而有Tnn！-Tn-1（n-1）！=（-1）nn！.
于是，T22！-T11！=（-1）22！，T33！-T22！=（-1）33！，…，Tnn！-Tn-1（n-1）！=（-1）nn！.
将这n-1个等式累加得Tnn！-T11！=∑ni=2（-1）ii！.
又T1=0，故有Tnn！=∑ni=2（-1）ii！.
从而有Tn=n！∑ni=2（-1）ni！（n≥2， n∈N*）.
在解决排列组合问题时，经常涉及到全错位或部分错位的排列问题，在元素不是很多时，我们可以用枚举或树枝图的方法，也可利用排除的方法对问题进行讨论；但当元素较多时可尝试寻求排列数的递推公式或通项公式，以期对解决这一类问题提供方便.
参考文献：
[1]李宇襄组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]龚兵全错位排列[J].中学生数学，2011（17）：26
[3]程孝刚对错位排列问题的探究[J]高中数学教与学，2009（08）：42-43.。