圆锥曲线复习
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是fx,y=0,则点P 0x 0,y 0在曲线C 上⇔fx 0,y=0；点P 0x 0,y 0不在曲线C 上⇔fx 0,y 0≠0两条曲线的交点 若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1x,y=0,f 2x,y=0,则 f 1x 0,y 0=0 点P 0x 0,y 0是C 1,C 2的交点⇔f 2x 0,y 0 =0方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有 交点.2.圆圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程： 1标准方程圆心在ca,b,半径为r 的圆方程是x-a 2+y-b 2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 22一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为-2D ,-2E,半径是24F-E D 22+.配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为x+2D 2+y+2E 2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点-2D ,-2E; 当D 2+E 2-4F ＜0时,方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心Ca,b,半径为r,点M 的坐标为x 0,y 0,则 ｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内,｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上,｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内,其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. 3直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点②直线和圆的位置关系的判定 i 判别式法ii 利用圆心Ca,b 到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数ee＞0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点Fc,0称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0＜e＜1时,轨迹为椭圆,当e=1时,轨迹为抛物线当e＞1时,轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y,在新坐标系x ′O′y′中的坐标是x′,y′.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy 中的坐标是h,k,则x=x′+h x′=x-h1 或2y=y′+k y′=y-k公式1或2叫做平移或移轴公式.中心或顶点在h,k的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 ±c+h,k x=±ca2+hx=hy=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1h,±c+k y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ±c+h,k=±ca2+kx=hy=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 h,±c+h y=±ca2+kx=hy=k抛物线y-k2=2px-h2p+h,k x=-2p+h y=ky-k2=-2px-h -2p+h,k x=2p+h y=kx-h2=2py-k h,2p+k y=-2p+k x=hx-h2=-2py-k h,-2p+k y=2p+k x=h二、知识点、能力点提示一曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. 1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程；. 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. 3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. 4了解圆锥曲线的初步应用;四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题1个选择题, 1个填空题, 1个解答题, 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视;求圆锥曲线的方程复习要点求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0.定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 例题【例1】 双曲线2224b y x =1b ∈N 的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2=_________.解：设F 1－c ,0、F 2c ,0、Px ,y ,则 |PF 1|2+|PF 2|2=2|PO |2+|F 1O |2＜252+c 2, 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1|－|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317,又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1.【例2】 已知圆C 1的方程为()()3201222=-+-y x ,椭圆C 2的方程为12222=+b y a x ()a b >>0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程;解：由,2,22,22222b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b y b x设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A 又,12,12222222221221=+=+b y b x b y b x两式相减,得.022222122221=-+-b y y b x x 又.1.2.421212121-=--=+=+x x yy y y x x 得即3+-=x y 将得代入,1232222=++-=b y b x x y由.3204)(222122121=-+=-=x x x x x x B A 得.3203722422=-⋅b 解得 .82=b 故所有椭圆方程.181622=+y x【例3】 过点1,0的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点,直线y =21x 过线段AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C 的方程. 解法一：由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,Ax 1,y 1,Bx 2,y 2在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得,x 12－x 22+2y 12－y 22=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为x 0,y 0,则k AB =－02y x , 又x 0,y 0在直线y =21x上,y 0=21x 0,于是－02y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.右焦点b ,0关于l 的对称点设为x由点1,1－b 在椭圆上,得1+21－b 2=2b 2,b 2=89,1692=a .∴所求椭圆C的方程为2291698y x + =1,l的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =kx －1, 将l 的方程代入C 的方程,得1+2k 2x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0, 则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=kx 1－1+kx 2－1=kx 1+x 2－2k =－2212k k +.直线l ：y =21x 过AB 的中点2,22121y y x x ++,则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k =0,或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点Fc ,0关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k =0舍去,从而k =－1,直线l 的方程为y =－x －1,即y =－x +1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴,否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾; 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为)()(2211y x B y x A ，，设,22222212ba k a k x x +=+知：21221=+-x x k k ,212222222=+⋅-∴a k b a k k k ,2122=--∴ka b k k ,22=e 又122)(22222222-=+-=--=-=∴e a c a a b k ,x y l -=∴1的方程为直线,222b a =此时,02243)3(22=-+-b x x 化为方程,0)13(8)1(241622>-=--=∆b b33>∴b ,)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆,2222b b a c =-=又,)0(，右焦点b F ∴,)(00y x l F ，的对称点关于直线设点,则b y x b x y b x y -=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==-11212100000，, 得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+,3343>=∴b ,1692=∴b , 892=a 所以所求的椭圆方程为：11698922=+y x 【例4】 如图,已知△P 1OP 2的面积为427,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程.解：以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222by ax -=1a ＞0,b ＞0由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ,得23=a b .∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x设点P 1x 1, 23x 1,P 2x 2,－23x 2x 1＞0,x 2＞0,则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP PP =2,得P 点坐标为22,322121x x x x -+,又点P 在双曲线222294ay ax -=1上, 所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即x 1+2x 22－x 1－2x 22=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①即x 1x 2= 29②由①、②得a 2=4,b 2=9 故双曲线方程为9422y x -=1.【例5】 过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b x a y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ,A 、B 为切点,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于M 、N 两点;1 已知P 点坐标为x 0,y 0 并且x 0y 0≠0,试求直线AB 方程；2 若椭圆的短轴长为8,并且1625||||2222=+ON b OM a ,求椭圆C 的方程；3 椭圆C 上是否存在点P,由P 向圆O 所引两条切线互相垂直若存在,请求出存在的条件；若不存在,请说明理由; 解：1设Ax 1,y 1,Bx 2, y 2切线P A ：211b y y x x =+,P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上,∴202022101b y y x x b y y x x =+=+∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x2在直线AB 方程中,令y =0,则M 02x b ,0；令x =0,则N0,2y b∴1625)(||||22220220222222==+=+ba b x a y b a ON b OM a ①∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25, b 2 =16 ∴椭圆C 方程：)0(1162522≠=+xy x y 注：不剔除xy ≠0,可不扣分3 假设存在点P x 0,y 0满足P A ⊥P B ,连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知,四边形P A O B 为正方形,|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴22202202b a y b x a =+ ②由①②知x2222202222220,)2(b a b a y b a b a b -=--=∵a >b >0 ∴a 2－b 2>01当a 2－2b 2>0,即a >2b 时,椭圆C 上存在点,由P 点向圆所引两切线互相垂直； 2当a 2－2b 2<0,即b <b 时,椭圆C 上不存在满足条件的P 点【例6】 已知椭圆C 的焦点是F 1－3,0、F 23,0,点F 1到相应的准线的距离为33,过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,使得|F 2B|=3|F 2A|.1求椭圆C 的方程；2求直线l 的方程. 解：1依题意,椭圆中心为O0,0,3=c点F 1到相应准线的距离为1333,322=⨯=∴=b cb, a 2=b 2+c 2=1+3=4∴所求椭圆方程为1422=+y x2设椭圆的右准线l '与l 交于点P,作AM ⊥l ',AN⊥l ',垂足分别为M 、N. 由椭圆第二定义, 得||||||||22AM e AF e AM AF =⇒=同理|BF 2|=e|BN| 由Rt △PAM ～Rt △PBN,得||2||2||21||2AM e A F AB PA ===…9分 l ePA AM PAM ⇒=⨯===∠∴33232121||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k .∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即【例7】 已知点B －1,0,C1,0,P 是平面上一动点,且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅1求点P 的轨迹C 对应的方程；x2已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD ⊥AE,判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.3已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：1设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入【例8】 已知曲线332)0,0(12222=>>=-e b a by ax 的离心率,直线l 过A a ,0、B0,－b 两点,原点O 到l 的距离是.23 Ⅰ求双曲线的方程；Ⅱ过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若23-=⋅ON OM ,求直线m 的方程. 解：Ⅰ依题意,,0,1=--=-+ab ay bx byax l 即方程 由原点O 到l 的距离为23,得2322==+c ab ba ab 又332==ac e 3,1==∴a b故所求双曲线方程为1322=-y xⅡ显然直线m 不与x 轴垂直,设m 方程为y =k x －1,则点M 、N 坐标11,y x 、22,y x 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=13122y x kx y 的解 消去y ,得066)31(22=-+-kx x k ① 依设,,0312≠-k 由根与系数关系,知136,136221221-=-=+k x x k k x x =1)()1(21212++-+x x k x x k =113613)1(62222+---+k k k k =11362+-k23-=⋅ON OM ∴11362+-k =－23,k=±21 当k=±21时,方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为121,121--=-=x y x y 或【例9】 已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值,且21cos PF F ∠的最小值为91-．1求动点P 的轨迹方程；2若已知)3,0(D ,M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=,求实数λ的取值范围． 解：1由已知可得： 5=c ,912)2(2222-=-+a c a a ∴ 4,92222=-==c a b a∴ 所求的椭圆方程为 14922=+y x . 2方法一：由题知点D 、M 、N 共线,设为直线m,当直线m 的斜率存在时,设为k,则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 4+9k 2 x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥⨯+⨯-=∆k k ,得952≥k . 再设M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2,则一方面有))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x DN y x DM λλλλ,得另一方面有 2219454kk x x +-=+,2219445k x x += ②将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ,由前面知, 536402≤<k ∴ 581)1(532492≤+<λλ,解得 551<<λ.又当直线m 的斜率不存在时,不难验证：551==λλ或, 所以 551≤≤λ为所求;方法二:同上得设点M 3cos α,2sin α,N 3cos β,2sin β 则有⎩⎨⎧-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα由上式消去α并整理得)(1251813sin 22λλλλβ-+-=, 由于1sin 1≤≤-β∴ 1)(1251813122≤-+-≤-λλλλ, 解得551≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5,最小值为1. 进而推得λ的取值范围为551≤≤λ;求圆锥曲线的方程练习一、选择题1．已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则m 等于B.－3D.－12．中心在原点,焦点在坐标为0,±52的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为二、填空题3．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4．已知圆过点P 4,－2、Q －1,3两点,且在y 轴上截得的线段长为43,则该圆的方程为_________.三、解答题5．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F ,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2,且|M 1M 2|=3104,试求椭圆的方程.6．某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.7．已知圆C 1的方程为x －22+y －12=320,椭圆C 2的方程为2222by ax +=1a ＞b ＞0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.参考答案一、1.解析：将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得3－2y 2+y 2+3－2y +m =0.整理得5y 2－20y +12+m =0,设Px 1,y 1、Qx 2,y 2 则y 1y 2=512m +,y 1+y 2=4.又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上, ∴x 1x 2=3－2y 13－2y 2=4y 1y 2－6y 1+y 2+9 故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6y 1+y 2+9=m －3=0,故m =3. 答案：A2.解析：由题意,可设椭圆方程为：2222b x a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250b x b y ++=1.将直线3x －y －2=0代入,整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为F 1－1,0,F 21,0,2a =|PF 1|+|PF 2|.欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解.答案：4522y x + =14.解析：设所求圆的方程为x －a 2+y －b 2=r 2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(ra rb a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程.答案：x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=0三、5.解：|MF |ma x =a +c ,|MF |min =a －c ,则a +ca －c =a 2－c 2=b 2, ∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m② 将②代入①得：4+a 2x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0③设M 1x 1,y 1、M 2x 2,y 2,M 1M 2的中点为x 0,y 0, 则x 0=21x 1+x 2=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m +.代入y =x ,得222444amam a +=+,由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244aa +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为：4522y x + =1.6.解：以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB |=20,|OM |=4,A 、B 坐标分别为－10,－4、10,－4 设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入,得100=－2p ×－4,解得p =, 于是抛物线方程为x 2=－25y .由题意知E 点坐标为2,－4,E ′点横坐标也为2,将2代入得y =－,从而|EE ′|=－－－4=.故最长支柱长应为米.7.解：由e =22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,即x 1+x 2x 1－x 2+2y 1+y 2y 1－y 2=0. 化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3, 代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b 2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.直线与圆锥曲线复习要点直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长即应用弦长公式；涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. 例题【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ |=210,求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0,Px 1,y 1,Qx 2,y 2 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122ny mx x y 得m +nx 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4m +nn －1＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+x 1+x 2+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2①又2)210()(4=+-+nm mn n m 2, 将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.【例2】 如图所示,抛物线y 2=4x 的顶点为O ,点A 的坐标为5,0,倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交不经过点O 或点A 且交抛物线于M 、N 两点,求△AMN 面积最大时直线l 的方程,并求△AMN 的最大面积.解：由题意,可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+2m －4x +m 2=0……………①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=2m －42－4m 2=161－m ＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为－5,0设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2则x 1+x 2=4－2m ,x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=25+m m -1,从而S △2=41－m 5+m 2 =22－2m ·5+m 5+m ≤235522mm m ++++-3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1,△AMN 的最大面积为82.【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P 1,2;1求过P 1,2点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点;2若Q 1,1,试判断以Q 为中点的弦是否存在.解：1当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1, 与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2=kx －1, 代入C 的方程,并整理得2－k 2x 2+2k 2－2kx －k 2+4k －6=0………………ⅰ当2－k 2=0,即k =±2时,方程有一个根,l 与C 有一个交点 ⅱ当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=2k 2－2k 2－42－k 2－k 2+4k －6=163－2k①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时,方程有一个实根,l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时,方程有两不等实根,l 与C 有两个交点.③当Δ＜0,即k ＞23时,方程无解,l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23,或k 不存在时,l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时,l 与C 有两个交点；当k ＞23时,l 与C 没有交点.2假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2x 1－x 2x 1+x 2=y 1－y 2y 1+y 2又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2x 1－x 2=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以Q 为中点的弦不存在.【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是F 1－4,0、F 24,0,过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且|F 1B |+|F 2B |=10,椭圆上不同的两点Ax 1,y 1,Cx 2,y 2满足条件：|F 2A |、|F 2B |数列.1求该弦椭圆的方程； 2求弦AC 中点的横坐标；3设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx 求m 的取值范围.解：1由椭圆定义及条件知,2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1.2由点B 4,y B 在椭圆上,得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54,根据椭圆定义,有|F 2A |=54425－x 1,|F 2C |=54425－x 2,由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列,得54425－x 1+54425－x 2=2×59,由此得出：x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为Px 0,y 0,则x 0=221x x +=4.3解法一：由Ax 1,y 1,Cx 2,y 2在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9x 12－x 22+25y 12－y 22=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0x 1≠x 2 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ k ≠0代入上式,得9×4+25y 0－k1=0k ≠0即k =3625y 0当k =0时也成立.由点P 4,y 0在弦AC 的垂直平分线上,得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0.由点P 4,y 0在线段BB ′B ′与B 关于x 轴对称的内部, 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P 4,y 0,所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1x －4k ≠0③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得9k 2+25x 2－50ky 0+4x +25ky 0+42－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.当k =0时也成立①以下同解法一.【例5】 已知双曲线G 的中心在原点,它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ,使得l 和G 交于,A B 两点,和y 轴交于点C ,并且点P 在线段AB 上,又满足2PA PB PC ⋅=． 1求双曲线G 的渐近线的方程； 2求双曲线G 的方程；3椭圆S 的中心在原点,它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,求椭圆S 的方程．解：1设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =, 则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以,12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±． 2由1可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程,整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33A B A B mx x x x ++==-∵ 2PA PB PC ⋅=,,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上, ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-,即：()()4416B A x x +--=,整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将代入上式可解得：28m =．所以,双曲线的方程为221287x y -=． 3由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ,MN 的中点为()00,P x y ,则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--,1201202,2x x x y y y +=+= 所以,0024028x y a -=, 所以,垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分． 又由题,这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,所以,211122a =．所以,256a =,椭圆S 的方程为：2212856x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上也即化线段的关系为横坐标或纵坐标之间的关系是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具．【例6】 设抛物线过定点()1,0A -,且以直线1x =为准线．1求抛物线顶点的轨迹C 的方程；2若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,且线段MN 恰被直线12x =-平分,设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+,试求m 的取值范围．解：1设抛物线的顶点为(),G x y ,则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．所以2=．所以,抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．2因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标,由MN 所唯一确定．所以,要求m 的取值范围,还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然,直线l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线l 的方程为1:l y x b k=-+,代入椭圆方程得：由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,所以,()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭,即：()222410 0k k b k -+>≠．又线段MN 恰被直线12x =-平分,所以,2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以,2412k bk +=-．代入可解得：() 022k k -<<≠． 下面,只需找到m 与k 的关系,即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线,故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k=-+中,令12x =-,可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+,可得：32k m =-．所以,0m m <<≠． 从以上解题过程来看,求m 的取值范围,主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则由点,M N 为椭圆上的点,可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+= 又由于01121, 2, 2M N M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝,代入上式得：02y k =-．又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上,所以,012y k m =-+． 所以,001324m y k y =+=． 由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点,如图,所以,'0B B y y y <<．也即：0y <<所以,3333044m m -<<≠且 点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时设而不求,必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说,“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．【例7】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．又M 是其准线上一点．试证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在,并分别设为1k ,2k ,3k 点A 、B 、M 的坐标分别为A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,M 2p -,m由“AB 过点F 2p ,0”得 AB l ：2p ty x +=将上式代入抛物线px y 22=中得：0222=--p pty y可知221p y y -=⋅又依“1212px y =及2222px y =”可知 因此22221121p x my p x m y k k +-++-=+而p m p p m k -=---=)2(203故3212k k k =+即直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．【例8】 已知a =x,0,b =1,y )3()3(b a b a -⊥+1求点Px,y 的轨迹C 的方程；2若直线l ：y=kx+mkm ≠0与曲线C 交于A 、B 两端,D0,－1,且有|AD|=|BD|,试求m 的取值范围;解：1)3,3(),1(3)0,(y x y x a +=+=+∵((a a -⊥+∴((a a -⋅+=0∴0)3(3)3)(3(=-⋅+-+y y x x 得1322=-y x∴P 点的轨迹方程为1322=-y x2考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 消去y,得1－3k 2x 2－6kmx －3m 2－3=0 显然1－3k 2≠0 △=6km 2－4－3m 2－3=12m 2+1－3k 2>0设x 1,x 2为方程的两根,则221316kkmx x -=+ 故AB 中点M 的坐标为2313k km -,231k m-∴线段AB 的垂直平分线方程为：)313)(1(3122k kmx k k m y ---=--将D0,－1坐标代入,化简得：4m=3k 2－1故m 、k 满足⎪⎩⎪⎨⎧-=>-+134031222k m k m ,消去k 2得：m 2－4m>0 解得：m<0或m>4又∵4m=3k 2－1>－1 ∴m>－41 故m ),4()0,41(+∞⋃-∈.直线与圆锥曲线练习一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点,则|AB |的最大值为B.554C.5104D.51082．抛物线y =ax 2与直线y =kx +bk ≠0交于A 、B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有=x 1+x 2=x 1x 3+x 2x 3 +x 2+x 3=0+x 2x 3+x 3x 1=0二、填空题3．已知两点M 1,45、N －4,－45,给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0,②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.4．正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上,C 、D 两点在抛物线y 2=x 上,则正方形ABCD 的面积为_________.5．在抛物线y 2=16x 内,通过点2,1且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题6．已知抛物线y 2=2pxp ＞0,过动点Ma ,0且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,且|AB |≤2p .1求a 的取值范围.2若线段AB 的垂直平分线交x求△NAB 面积的最大值.7．已知中心在原点,顶点A 1、A 2在x e =321的双曲线过点P 6,6.1求双曲线方程.2动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M 、N ,问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ,证明你的结论.8．已知双曲线C 的两条渐近线都过原点,且都以点A 2,0为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.1求双曲线C 的方程.2设直线l 过点A ,斜率为k ,当0＜k ＜1时,双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时B 点的坐标.直线与圆锥曲线参考答案一、1.解析：弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104.答案：C2.解析：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=ak ,x 1x 2=－ab ,x 3=－kb ,代入验证即可.答案：B二、3.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上,判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④4.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长,利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离,求出b 的值,再代入求出|CD |的长.答案：18或505.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得,y 1+y 2y 1－y 2=16x 1－x 2.即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8. 故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=0三、6.解：1设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得x －a 2=2px ,即x 2－2a +px +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p .2设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,AB 的中点 Cx ,y , 由1知,y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p .∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－x －a －p ,从而N 点坐标为a +2p ,0点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时,S 有最大值为2p 2.7.解：1如图,设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1.2P 、A 1、A 2的坐标依次为6,6、3,0、－3,0, ∴其重心G 的坐标为2,2假设存在直线l ,使G 2,2平分线段MN ,设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2.则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ,∴k l =34∴l 的方程为y =34x －2+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在. 8.解：1设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为0,2. ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.2设直线l ：y =kx －20＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上,且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2. ②把l ′代入双曲线方程得k 2－1x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4k 2－1m 2－2=0. 可得m 2+2k 2=2③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk ,y =10.故B 22,10.。
圆锥曲线复习 演示文稿
则点M的轨迹为 椭圆
y2 x2 1 其标准方程为 25 16
。
定义的再认识 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 5 4 3 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________
定义的再认识
例 2.化简: x ( y 3)
2 2
x ( y 3) 4 ,使结
2 2
y x 1 ( y 0) 果不含根式得： ___________________________ 4 5
2
2
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 4
2
k 8
1 5 1 k 1 e ，即 k ． 由 ，得 9 4 2 4
5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
方程再认识----区分椭圆与双曲线 2 2 x y 1 表示双曲线 例1.如果方程 2 m m 1
（椭圆），求m的取值范围.
解:∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
x y 9 16 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
k 3或k 9 . (2)方程表示双曲线，则 k的取值范围是 __________ _____
3.已知双曲线8kx 2 ky 2 8的一个焦点为（ 0,3 ）， 则k的值为 （ ） B 65 65 A.1 B.－1 C. D.－ 3 3
高教版中职数学基础模块《圆锥曲线》总复习课件
a,b,c的关系
a2=b2+c2
长轴、短轴
长轴长2a，短轴长2b
c
e = a (0<e<1)
离心率
一课一案 高效复习
二、双曲线
1、定义：
到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数(<|F1F2|)
平面内______________________________________的点的轨迹叫做双曲线,
其中F1,F2是焦点，|F1F2|为焦距.
一课一案 高效复习
2、双曲线的标准方程和性质：
||MF1|-|MF2||=2a(a>0)
数学定义式
焦点位置
x轴
y轴
图形
标准方程
焦点
x2 - y2 =1(a>0,b>0)
a2 b2
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
|F1F2|=2c
y轴正半轴
y轴负半轴
y2=2px(p>0)
p
F( 2 ,0)
p
x=-2
y2=-2px(p>0)
p
F(- 2 ,0)
p
x= 2
x2=2py(p>0)
F(0, p
2 )
p
y=-2
x2=-2py(p>0)
p
F(0,- 2 )
p
y= 2
图形
标准方程
焦点
准线
顶点
对称轴
离心率
P的几何意义
O (0,0)
x轴
y轴
e=1
=1上的两个焦点，过F1的直线与椭圆
9
交于M、N两点，则△MNF2的周长为__________；
圆锥曲线复习题及答案
圆锥曲线复习题1．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，F 为双曲线C 的右焦点，M 为双曲线C 上的任一点，且点M 到双曲线C 的两条渐近线距离的乘积为34． （1）求双曲线C 的方程；（2）设过点F 且与坐标轴不垂直的直线l 与双曲线C 相交于点P ，Q ，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点B ，求PQ BF的值． 【分析】（1）由题意知√a 2+b2•√a 2+b 2=34，且ca =2，解得a ，b ，即可得出答案．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联立双曲线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，写出线段PQ 的垂直平分线的方程，求出B 点坐标，可得|BF |，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得，渐近线的方程为bx ±ay ＝0， 设M （x ，y ），则√a 2+b2•√a 2+b 2=a 2b 2a 2+b 2=34，又c a=2，即c 2＝4a 2， 所以b 2＝3a 2， 所以a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 2−y 23=1． （2）由（1）知，F （2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联立x 2−y 23=1，得（3﹣k 2）x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3＝0，所以△＝16k 4+4（4k 2+3）（3﹣k 2）＝36（k 2+1）＞0， 若P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k2k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3，所以|PQ |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=|6(k 2+1)k 2−3|，所以y 1+y 2＝k （x 1+x 2﹣4）=12k k 2−3，所以PQ 的中点坐标为（2k 2k 2−3，6kk 2−3），所以线段PQ 的垂直平分线的方程为y =−1k （x −2k 2k 2−3）+6kk 2−3，整理得y =−1kx +8kk 2−3，所以B （8k 2k 2−3，0）， 则|BF |＝|8k 2k 2−3−2|＝|6(k 2+1)k 2−3|，所以|PQ||BF|=1．【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．2．在直线l ：2x +3y +17＝0上任取一点M ，过M 作以F 1（﹣2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆，当M 在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆的方程．【分析】设F 1（﹣2，0）关于l ：2x +3y +17＝0的对称点F （x ，y ），利用对称知识求解F 坐标，连F 2F 交于点M ，求出满足题意的椭圆的长轴最短时，M 坐标，然后求解a ，b ，即可得到椭圆方程．【解答】解：设F 1（﹣2，0）关于l ：2x +3y +17＝0的对称点F （x ，y ），则{2⋅x−22+3⋅y2+17=0y−0x+2=32，解得{x =−6，y =−6，得F （﹣6，﹣6）．连F 2F 交于点M ，当点M '为直线l 上异于M 的点时，|FM '|+|M 'F 2|＞|FF 2|＝|FM |+|F 2M |＝|F 1M |+|F 2M |＝2a ． 所以点M 即为所求点．直线F 2F 的方程为y =34(x −2)，即3x ﹣4y ﹣6＝0，解方程组{3x −4y −6=0，2x +3y +17=0⇒{x =−617，y =−6317，即M(−5017，−6317)， 所以满足题意的椭圆的长轴最短时，2a =|FF 2|=√(2+6)2+62=10， 所以a ＝5，c ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21． 故椭圆的方程为x 225+y 221=1．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 3．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e =√102，其焦点F 1到渐近线的距离为√3．（1）求双曲线的方程．（2）若过点M （0，3）的直线l 交双曲线于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．【分析】（1）先表示出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出b ，最后利用离心率与c 2＝a 2+b 2，求出a ，即可得到双曲线的方程；（2）设直线l 的方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合OA →⋅OB →=0，列式求解即可得到答案．【解答】解：（1）双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（0，﹣c ），渐近线方程为y =±abx ，即ax ±by ＝0， 因为焦点F 1到渐近线的距离为√3， 所以√a 2+b 2=√3，解得b =√3，又因为离心率e =√102，即c a =√102，因为c 2＝a 2+b 2， 故a 2＝2，c 2＝5， 所以双曲线的方程为y 22−x 23=1；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx +3，设A （x 1，y 1），B （x 2．y 2），联立方程组{y =kx +3y 22−x 23=1，可得（3k 2﹣2）x 2+18kx +21＝0， 则3k 2﹣1≠0，即k ≠±√63，又△＝（18k ）2﹣4×21×（3k 2﹣2）＝72k 2+168＞0， 且x 1+x 2=−18k 3k 2−2，x 1x 2=213k 2−2，故y 1y 2＝（kx 1+3）（kx 2+3）＝k 2x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=21k23k 2−2−54k23k 2−2+9=−6k 2−183k 2−2，以AB 为直角的圆过坐标原点， 则OA ⊥OB ，故OA →⋅OB →=0， 所以x 1x 2+y 1y 2=213k 2−2+−6k 2−183k 2−2=0，解得k =±√22，故直线l 的方程为y =±√22x +3．【点评】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．4．已知椭圆C 的右焦点为F （1，0），点A 为椭圆C 的上顶点，过点F 与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为30°，且与椭圆C 交于M ，N 两点，问是否存在这样的直线l 使得FA →+FM →+FN →=0→？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，设椭圆的标准方程，然后利用题中的条件，建立关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到答案；（Ⅱ）求出点A ，F 的坐标，设直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到判别式大于0和韦达定理，利用重心坐标公式列式求出t ，判断是否符合题意即可． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，根据题意可得{c =12b 2a=3a 2=b 2+c2，解得{c =1a =2b =√3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）由题及（Ⅰ）知，A(0，√3)，F(1，0)，假设存在直线l 满足题意，设直线l 的方程为y =√33x +t ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立方程组{y =√33x +tx 24+y23=1，可得13x 2+8√3tx +12(t 2−3)=0，由Δ=(8√3t)2−4×13×12(t 2−3)＞0，解得−√393＜t ＜√393，x 1+x 2=−8√3t13， 由题意可知点F 为△AMN 的重心， 所以x 1+x 2+x A ＝3x F ，即−8√3t13+0=3， 解得t =−13√38，当t =−13√38时，不满足−√393＜t ＜√393， 所以不存在直线l ，使得FA →+FM →+FN →=0→．【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
圆锥曲线复习
椭圆及其标准方程椭圆与双曲线性质的比较抛物线图像与性质标准方程一、 知识积累：二、基础回顾：1、已知椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12FPF ∆的周长= ；2、 已知双曲线221916x y -=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）实轴长= ； 虚轴长= ； 焦距= ；12||||||PF PF -= . 渐近线方程： ； 3、抛物线28y x =，M 是抛物线上一点，且点M 到y 轴的距离是4。
（1）p= ；焦点F = （ ） ；准线方程： ；离心率= （2）点M 到该抛物线焦点的距离是 。
4、已知椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是 。
5．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23C ．38 D ．32 6.（2007全国Ⅰ文、理）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112422=-y x （B ）141222=-y x （C ）161022=-y x （C ）110622=-y x 7．（2006浙江文）抛物线28y x =的准线方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =-8.【2012高考安徽文14】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。
9．( 2007广东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．．美术班作业姓名：1、填表：1、 求函数的导数： （1）3213243y x x x =++-，则y '= ；（2）cos x y x= ，则y '= ；（3）2xy x a =+，则y '= ；（4）log a y x x =⋅，则y '= ； 2、已知函数23y x x =+，（1）函数的导数： y '= ；在点()2,10A 处的切线方程的 3、函数1y x x=+在1x =处的导数是 ；相应的切线斜率=k 切 ；切点坐标是 ；切线方程是 。
第3章圆锥曲线的方程(复习课件)高二数学(人教A版选择性必修第一册)
x＝ty＋a，
由 2
y ＝2x，
消去 x，得 y2－2ty－2a＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.
y21y22
因为 OA⊥OB，所以 x1x2＋y1y2＝0，即 4 ＋y1y2＝0，
解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.
所以－2a＝－4，解得a＝2.
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和（2a）等于常数
（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的
焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦
距。
对椭圆定义的理解
①当2a=|F1F2|时，其轨迹为线段；
②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在.
椭圆的简单几何性质：
焦点位置
x2 y2
∴椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
1
(2)若直线 l：y＝－2x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，
|AB| 5 3
D 两点，且满足|CD|＝ 4 ，求直线 l 的方程.
解
由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
2|m|
∴圆心到直线 l 的距离 d＝
焦点坐标
y 2 2 px ( p 0)
p
F ( ,0)
2
y 2 2 px ( p 0)
F (
x 2 py( p 0)
p
F (0, )
2
y
p
F (0, )
2
y
2
x 2 2 py( p 0)
p
,0)
2
准线方程
x
x
p
圆锥曲线复习题及答案
圆锥曲线复习题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M （x 0，y 0）是椭圆C ：x 216+y 24=1上一点，从原点O 向圆M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2＝r 2作两条切线，分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2．（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程； （2）若r =4√55，求证：k 1k 2=−14；（3）在（2）的情况下，求|OP |•|OQ |的最大值．【分析】（1）求出椭圆C 的右焦点是（2√3，0），将x ＝﹣2√3，代入椭圆方程，求出y ＝±1，可得圆的圆心，进而可得圆M 的方程；（2）因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，与圆M 相切，推出k 1，k 2是方程（1+k 2）x 2﹣（2x 0+2ky 0）x +x 02+y 02−45=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系推出k 1k 2．结合点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，得出k 1k 2=−14；（3）分直线OP ，OQ 不落在坐标轴上和直线OP ，OQ 落在坐标轴上时两种情况，推出OP 2+OQ 2＝20，即可求出|OP |•|OQ |的最大值．【解答】（1）解：椭圆C 的右焦点是（2√3，0），将x ＝2√3，代入x 216+y 24=1，可得y＝±1，所以M （2√3，±1）所以圆M 的方程为（x ﹣2√3）2+（y ±1）2＝1．（2）证明“因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，与圆R 相切，所以直线OP ：y ＝k 1x 与圆M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=45联立，可得（1+k 12）x 2﹣（2x 0+2k 1y 0）x +x 02+y 02−45=0同理（1+k 22）x 2﹣（2x 0+2k 2y 0）x +x 02+y 02−45=0，由判别式为0，可得k 1，k 2是方程（x 02−45）k 2﹣2x 0y 0k +y 02−45=0的两个不相等的实数根， 所以k 1k 2=y 02−45x 02−45，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以y 02＝1−x24，所以k 1k 2=−14．（3）解：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 因为4k 1k 2+1＝0，所以y 12y 22=116x 12x 22， 因为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上，所以y 12y 22＝（4−x 124）（4−x 224）=116x 12x 22，整理得x 12+x 22＝16， 所以y 12+y 22＝4 所以OP 2+OQ 2＝20．②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有OP 2+OQ 2＝20， 综上：OP 2+OQ 2＝20所以|OP |•|OQ |≤12（OP 2+OQ 2）＝10， 所以|OP |•|OQ |的最大值为10．【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．2．已知过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于A 1（x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点，且|AB|=92． （1）求抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →=OA →+λOB →，求λ的值；（3）若点P 是半椭圆：x 24+y 2=1(x ≤0)上一动点，过点P 作抛物线y 2＝2px （p ＞0）的两条切线，切点分别为C 1，D 1，ΔPC 1D 1的面积是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出直线AB 的方程，代入抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义即可求解p 的值，从而可得抛物线方程；（2）求出点A ，B 的坐标，由向量的线性运算用λ表示点C 的坐标，代入抛物线方程中即可求解λ的值；（3）设点P （x 0，y 0），可得直线C 1D 1的方程为y 0y ＝2x +2x 0，与抛物线方程联立，由根据系数的关系及弦长公式可求得|C 1D 1|，利用点到直线的距离公式可求得点P （x 0，y 0）到直线C 1D 1的距离，从而可得S △PC 1D 1=12（√−x 024−4x 0+1）³，其中x 0∈[﹣2，0]，利用二次函数的性质即可求解S △PC 1D 1的最值．【解答】解：（1）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为（p2，0），则直线AB 的方程为y =2√2（x −p 2），代入抛物线方程可得4x ²﹣5px +p ²＝0， 可得x 1+x 2=54p ，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1+x 2+p =54p +p =92， 解得p ＝2，即抛物线的方程为y ²＝4x ．（2）由p ＝2可得2x ²﹣5x +2＝0，可得x ＝2或12，即有A （12，−√2），B （2，2√2），设OC →=（x 3，y 3）＝（12，−√2）+λ（2，2√2）＝（12+2λ，−√2+2√2λ），即有x 3=12+2λ，y 3=−√2+2√2λ，由y 32=4x 3，可得（−√2+2√2λ）²＝4（12+2λ），即（2λ﹣1）²＝1+4λ，解得λ＝0或2． （3）存在，理由如下：设点P （x 0，y 0），则直线C 1D 1的方程为y 0y ＝2x +2x 0， 由{2x −y 0y +2x 0=0y 2=4x ，消去x ，得y 2﹣2y 0y +4x 0＝0， 所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝4x 0，于是|C 1D 1|=√1+(y02)2|y 1﹣y 2|=√1+y 024√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√4+y 02•√y 02−4x 0，点P （x 0，y 0）到直线C 1D 1的距离d =002√02，所以S △PC 1D 1=12|C 1D 1|•d =12√4+y 02•√y 02−4x 0•002√4+y 02=(√y 02−4x 0)32，因为x 024+y 02=1，所以S △PC 1D 1=12（√−x 024−4x 0+1）³，其中x 0∈[﹣2，0]， 而−x 024−4x 0+1=−14（x +8）²+17∈[1，8]，因此S △PC 1D 1∈[12，8√2]，因此，△PC 1D 1的面积存在最值，其中最小值为12，最大值为8√2．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．3．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．（3）如图，抛物线M ：y 2＝4x 的焦点是F ，过动点G （﹣1，t ）的直线l 1与椭圆C 交于P ，Q 两点，与抛物线M 交于A 1，B 1两点，且G 是线段PQ 的中点，是否存在过点F 的直线l 2交抛物线M 于T ，D 两点，且满足A 1T ∥B 1D ，若存在，求直线l 2的斜率k 的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2，P 3，P 4三点在椭圆C 上．把P 2，P 3的坐标代入椭圆C ，求出a 2，b 2，即可求出椭圆C 的方程；（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y ＝kx +t （t ≠1），与椭圆方程联立，得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣4＝0，由此利用判别式、根与系数的关系、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）；（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率k PQ =14t ，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联立，由△＞0，及点G 在椭圆内部，可求得t ²的取值范围，设直线TD 的方程为x ＝my +1，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及k A 1T =k B 1D ，可求得m 的取值范围，进而可求得直线l 2的斜率k 的取值范围． 【解答】（1）解：根据椭圆的对称性，P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）两点必在椭圆C 上， 又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1（1，1），∴P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，√32）代入椭圆C ， 得{1b 2=11a 2+34b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1．（2）证明：①当斜率不存在时，设l ：x ＝m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m =−2m =−1， 解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l ：y ＝kx +t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +t x 2+4y 2−4=0，消去y 整理得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣4＝0， 则x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−41+4k2，则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+t)−x 2+x 1(kx 2+t)−x 1x 1x 2=2k +(t−1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8kt(t−1)4t 2−4=8k(t−1)4(t+1)(t−1)=−1，又t ≠1，∴t ＝﹣2k ﹣1，此时△＝﹣64k ，存在k ，使得△＞0成立， ∴直线l 的方程为y ＝kx ﹣2k ﹣1， 当x ＝2时，y ＝﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）．（3）解：∵点P ，Q 在椭圆上，所以x p 24+y p 2=1，x Q 24+y Q 2=1，两式相减可得(x P +x Q )(x P −x Q )4+（y P +y Q ）（y P ﹣y Q ）＝0，又G （﹣1，t ）是线段PQ 的中点，∴x P +x Q ＝﹣2，y P +y Q ＝2t ， ∴直线PQ 的斜率k PQ =y P −y Q x P −x Q =−x P +x Q 4(y P +y Q )=14t ，∴直线PQ 的方程为y =14t （x +1）+t ，与抛物线方程联立消去x 可得y ²﹣16ty +4（4t ²+1）＝0，由题可知Δ＝16（12t ²﹣1）＞0，∴t ²＞112， 又G 在椭圆内部，可知14+t ²＜1，∴t ²＜34，故112＜t ²＜34，设A 1（y 124，y 1），B 1（x 224，y 2），T （y 324，y 3），D （x 424，y 4），∴y 1+y 2＝16t ，y 1y 2＝4（4t ²+1），设直线TD 的方程为x ＝my +1，与抛物线方程联立，消去x 可得y ²﹣4my ﹣4＝0， ∴y 3+y 4＝4m ，y 3y 4＝﹣4，由A 1T ∥B 1D ，可知k A 1T =k B 1D ，即y 3−y 1y324−y 124=y 4−y 2y 424−y 224，∴y 1+y 3＝y 4+y 2，即y 1﹣y 2＝y 4﹣y 3， ∴（y 1+y 2）²﹣4y 1y 2＝（y 3+y 4）²﹣4y 3y 4，∵（y 1+y 2）²﹣4y 1y 2＝（16t ）²﹣16（4t ²+1）＝16（12t ²﹣1）∈（0，128），∴（y3+y4）²﹣4y3y4＝16m²+16∈（0，128），解得m²＜7，即m∈（−√7，√7），∴直线TD即l2的斜率k=1m∈（﹣∞，−√77）∪（√77，+∞）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、根与系数的关系、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于难题．。
圆锥曲线的综合复习
圆锥曲线一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d =（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-= 或12AB y =- （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S 122cot2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅） (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ (7)圆锥曲线各个元素的坐标和方程二、常规七大题型： （1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
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圆锥曲线复习课
重点基础回顾
椭圆 双曲线 抛物线
标准方程
定点坐标、焦点坐标
通径
abc关系
解圆锥曲线问题常用以下方法：
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：
第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问
题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是
弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法
解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称
为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的
两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中
点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
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（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。
（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
典型例题
11．
已知动点P到定点A(5,0)的距离与到定直线165x的距离的比是54,求P点的轨迹方程,并画出轨迹示
意图｡
22．
已知长轴长为4的椭圆的两个焦点分别为
11,0F和2
1,0F
，求椭圆的标准方程.
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一、选择题
13 ．3
如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）
A．23 B．33 C．36 D．66
42．
双曲线191622yx的渐近线方程为 （ ）
A．
xy
34 B．xy45 C．xy35 D．xy4
3
53．5
双曲线
22
1169xy
上的点P到点(5,0)的距离是15,则P到点(-5,0)的距离是 （ ）
A．7 B．23 C．5或23 D．7或23
4 ．
以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）
A．43)D(23)C(22)B(21
65．
抛物线
yx4
2
上一点A纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．
抛物线
04
2
aaxy
的焦点坐标是 （ ）
A．041，a B．a1610， C．a1610， D．0161，a
7．
焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是 （ ）
A．116922yx B．116922xy C．1643622yx D．1643622xy
8．
抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）
A．y2=16x B．y2=12x C．y2= -16x D．y2= -12x
9．
已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 （ ）
A． B． C． D．
13331
2
3
2
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10．
与椭圆
2054
22
yx
有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是 （ ）
A．
xy4
2 B．xy42 C．yx42 D．yy42
11．
已知双曲线的渐近线方程为
xy
4
3
，则此双曲线的 （ ）
A．焦距为10 B．实轴和虚轴长分别是8和6
C．离心率是45或35 D．离心率不确定
12．
若抛物线pxy22的焦点与椭圆12622yx的右焦点重合，则p的值为 （ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
13．
到直线x=－2与定点P（2，0）距离相等的点的轨迹是 （ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
填空题
1．已知两个定点1(4,0)F,2(4,0)F,动点P到12,FF的距离的差的绝对值等于6,则点P的轨迹方程
是 ;
2．
若双曲线22145xy上一点P到右焦点的距离为8，则P到左准线的距离为
3．
若定点(1,2)A与动点,Pxy满足，4OPOAuuuruuur则点P的轨迹方程是
4．
已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。
5．
已知两个定点
1(4,0)F,2(4,0)F,动点P到12
,FF
的距离的差的绝对值等于10,则点P的轨迹方程
是 ;
6．
椭圆 125922yx 的长轴长是_______，短轴长是_______，焦距是_____，离心率是____，顶点坐标是
________，焦点坐标是_____，准线方程是_____________.