高中数学精品讲义第九章第五节椭圆第一课时椭圆及其性质Word版含答案

第五节椭__圆1．椭圆的定义

平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．

(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；

(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；

(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0)

y2

a2＋

x2

b2＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

离心率 e ＝c

a

，且e ∈(0,1) a ，b ，c 的关系

c 2＝a 2－b 2

离心率表示椭圆的扁平程度.当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁；当e 越接近于0时，c 越接近于0，从而b ＝a 2－c 2越大，因此椭圆越接近圆；当e ＝0时，c ＝0，a ＝b ，两焦点重合，图形就是圆.

[熟记常用结论]

1．焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.

(1)x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； (2)y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2

＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)中

(1)当P 为短轴端点时，θ最大．

(2)S ＝1

2|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，

最大值为bc .

(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2

a .

4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则

(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1

k

2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0

a 2y 0

.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、选填题

1．椭圆C ：x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，

则△F 1AB 的周长为( )

A ．12

B ．16

C ．20

D ．24

解析：选C △F 1AB 的周长为|F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＋2a ＝4a .

∵在椭圆x 225＋y 2

16＝1中，a 2＝25，即a ＝5，

∴△F 1AB 的周长为4a ＝20.故选C.

2．椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为( ) A.63 B.23

C.33

D.223

解析：选D 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .∴a 2

＝9b 2＝9(a 2－c 2)．

即c 2a 2＝89，∴e ＝c a ＝223

.故选D.

3．椭圆C 的一个焦点为F 1(0,1)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫

32，1，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 24＋y 2

3＝1 B.y 23＋x 2

2＝1 C.x 23＋y 2

2

＝1 D.y 24＋x 2

3

＝1 解析：选D 由题意可设椭圆C 的标准方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，且另一个焦点为F 2(0，

－1)，

所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝

⎝⎛⎭⎫322＋(1－1)2＋ ⎝⎛⎭

⎫322＋(1＋1)2＝4. 所以a ＝2，又c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3.

故椭圆C 的标准方程为y 24＋x 2

3

＝1.故选D.