如何求两条曲线的公切线

如何求两条曲线的公切线？

已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=22

21:,2:, a 取何值时1C ，2

C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221

:,2:求导数.

解答过程： 函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，

曲线1C 在点

P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，

即 211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是 )(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2

222 ②

若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得 1,1222121+=--=+x x x x ，

消去2x 得方程，0122121=+++a x x

若△=0)1(244=+⨯-a ， 即21-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合. ∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线， 由①式得公切线方程为14

y x =- .