第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用用(共37张PPT)
4.2.3直线与圆的方程的应用
例:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:
(1) y的最值;(2)x2 y2的最值;(3)x y的最值;(4)x y的最值. x
解 : (4)令x y n. 当直线l : x y n与圆C相切时, l在y轴上截距的相反数n取得最值.
圆心(0,b)
P130 例4
y
x2 ( y b)2 r2
P2 P (0,4)
02 (4 b)2 r2 102 (0 b)2 r2
b 10.5
r
14.5
-2
x
A A1 A2 A3 A4 B(10,0)
令x 2得 y 3.86
x2 ( y 10.5)2 14.52 | P1P2 | 3.86 m
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的
坐标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
P131 例5 （坐标法）
•
证明：以AC为x轴，BD为y轴建立直角坐标系。
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
y P2 P
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆
拱所在圆的方程？
y
P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题的答案如何？
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.3直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用问题导学一、直线与圆的方程的实际应用活动与探究1有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？迁移与应用一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解释．二、坐标法在平面几何中的应用活动与探究2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H．求证：EF平分CD．迁移与应用AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x 轴和y 轴； ②充分利用图形的对称性；③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； ④关键点的坐标易于求得． 三、与圆有关的最值问题活动与探究3已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．迁移与应用1．已知直线l ：3x ＋4y －1＝0，圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0上的点到直线l 的最小距离是__________，最大距离是__________．2．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求yx －4的最大值和最小值．求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法．当堂检测1．过圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点M (3,0)的最长弦所在直线的方程是( ) A ．2x －y －6＝0 B ． 2x ＋y －6＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y －3＝02．实数x ，y 满足x 2＋y 2－4y ＋3＝0，则yx 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，3)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时4．直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．答案：课前预习导学【预习导引】(1)适当坐标和方程代数(2)代数问题(3)代数运算结果课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：建系，把实际问题转化为数学问题求解．解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P 地的运费为a 元/千米．若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a(x ＋5)2＋y 2＜a(x －5)2＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＜⎝⎛⎭⎫2032．即点P 在圆C ：⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购物．迁移与应用 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2=9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为1,74x y+=即4x +7y －28=0，圆心(0,0)到直线4x +7y －28=0的距离d=半径r =3．∵d ＞r ，∴直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．活动与探究2 思路分析：建立适当坐标系，设出圆O 和圆C 的方程，利用两圆相交求公共弦的方程，证明CD 与EF 的交点是线段CD 的中点．证明：以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系． 如图，设|AB |=2r ，D (a ,0)，则|CD ∴C (a ．∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2，圆C ：(x －a )2＋(y －r 2－a 2)2＝r 2－a 2．两方程作差得直线EF 的方程为2ax ＋2r 2－a 2y ＝r 2＋a 2．令x ＝a ，得y ＝12r 2－a 2，∴H ⎝⎛⎭⎫a ，12r 2－a 2，即H 为CD 的中点．∴EF 平分CD ．迁移与应用 证明：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2+y 2=r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD ．令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， ∴P (－x 0，－y 0－2r )． ∴直线CP 的方程为y －y 0＝－y 0－2r －y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y 0＋r )x －(y ＋r )x 0＝0．∴直线CP 过直线x ＝0与直线y ＋r ＝0的交点(0，－r )，即直线CP 过定点(0，－r )． 活动与探究3 思路分析：本题可将yx 和y －x 转化成与直线斜率、截距有关的问题，x 2＋y 2可看成是点(x ，y )与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解．解：(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，易知圆心(2,0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3． ∴k ＝3或k ＝－3．∴yx的最大值为3，最小值为－3． (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．∴y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－43．迁移与应用 1．1 3 解析：圆心到直线的距离加、减圆的半径，就是所求的最大值与最小值．∵圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝1，∴|3×(－3)＋4×0－1|32＋42±1＝2±1．∴最小距离为1，最大距离为3．2．解：原方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，表示以P (－1,2)为圆心，2为半径的圆． 设k ＝yx －4，几何意义是：圆上点M (x ，y )与点Q (4,0)连线的斜率．由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值． 设切线为y －0＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0．圆心P 到切线的距离|－k －2－4k |k 2＋1＝2，化简为21k 2＋20k ＝0，解得k ＝0或k ＝－2021．∴y x －4的最大值为0，最小值为－2021．【当堂检测】 1．D 2．D 3．B 4．65 5 5．13米。
(人教A版)必修2课件：4-2-3 直线与圆的方程的应用
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设圆C的圆心为C(x1，y1)， 则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ② ①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0. ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为 (x1，y21)，将H代入③式，得
第四章 4.2 4.2.3
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几种特殊对称： ①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)； ②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)； ③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)； ④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)； ⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
第四章 4.2 4.2.3
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圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
4|22＋8| 72＝
28 ， 65
而半径r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
第四章 4.2 4.2.3
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第四章 4.2 4.2.3
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这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简 称为“一建二算三译”．
第四章 4.2 4.2.3
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用坐标法证明正方形的对角线互相垂直．
第四章 4.2 4.2.3
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第四章 4.2 4.2.3
人教A版高中数学必修二第4章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性 质，利用数形结合求解，一般地：
(1)形如 u＝xy－ －ab形式的最值问题，可转化为动直线斜率的 最值问题．
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化圆心已定 的动圆半径的最值问题．
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
4．2.3 直线与圆的方程的应用
1．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则 圆 C 的方程为( C )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 解析：半径相等，找圆心的对称点即可．
2．一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直 线 l 对称，则直线 l 的方程为__2_x－__y_＋__5_＝__0_.
则圆心到直线 PQ 的距离 d＝|－2kk－2＋k＋1 2|≤1，
4.2.3直线与圆的方程的应用 课件(人教A版必修2)
则可得圆 C 的方程为(x-x1)2+(y-y1)2= y12 ,
即 x2+y2-2x1x-2y1y+ x12 =0.②
①-②,得 2x1x+2y1y-1- x12 =0.③
③式就是直线 EF 的方程
设 CD 的中点为 H,其坐标为(x1,y1 ),将 H 代入③式,得 2
(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立方 程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建 立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的直角坐标系,设出 圆的方程,为求解方程或计算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结 果. (4)翻译成具体问题.
y=-24+12 6 ≈5.39(m)(负值舍去).
答:支柱 A2P2 的长约为 5.39 m.
反思:在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用坐标法解 决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:①若曲线是轴对称图形,则可选它的对 称轴为坐标轴;②常选特殊点作为直角坐标系的原点;③尽量使已知点位于坐标 轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.
答案:B
2 与圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0, 则 a=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:x2+y2-4x+3=0 化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),
∵(2,0)关于直线 x-y-1=0 对称的点为(1,1),
直线与圆 的方程的应用 PPT
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.52 4 10.5 3.86(m)
巩固练习：
某圆拱桥的水面跨度20m，拱高 4m，现有一船，宽10m，水面以上高 3m，这条船能否从桥下通过？
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
方程?什么条件下用一般方程? (4)如何用直线和圆的方程判断它们之
间的位置关系？ (5)如何根据圆的方程，判断它们之间
的位置关系?
前提测试：
求直线l:2x-y-2=0 被圆C:（x-3)²+y²=9 所截得的弦长。
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中，接到气象台的台风预报：台风中 心位于轮船正西70 km处， 受影响的范 围是半径长为30km的圆形区域. 已知港 口位于台风中心正北40 km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到 台风的影响？
问题Ⅲ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
何结论．
作业：
课本133页第7，8，9，10题
港口
台风
轮船
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐 标和方程表示问题中的几何元素，将平面几 何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；