高三数学课时复习基础过关训练题51
高三高考数学基础练习题
高三高考数学基础练习题题一：解方程：3x + 5 = 17解析：将方程式中的5移到等号右侧，得到3x = 17 - 5。
计算出右侧的结果为12。
最后，将方程式两边同时除以3，得到x = 4。
题二：计算：(4a^2b^3)^2解析：根据乘方法则，当一个乘方数被平方时，指数会被乘以2。
所以，根据公式，我们可以将题目转为乘方计算，即(4^2) * (a^2)^2 * (b^3)^2。
计算得到的结果是16 * a^4 * b^6。
题三：计算下列算式的值：log4(16) + log5(125)解析：首先，我们计算指数的值。
log4(16) = 2，表示4的多少次幂等于16。
log5(125) = 3，表示5的多少次幂等于125。
将这两个结果相加，得到2 + 3 = 5。
题四：已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，计算f(3)的值。
解析：将x替换为3，得到f(3) = 2(3)^2 - 3(3) + 1。
计算方程右侧的数值，我们得到f(3) = 18 - 9 + 1 = 10。
题五：已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm。
计算三角形ABC的面积。
解析：根据海伦公式，我们可以计算三角形的面积。
首先，计算半周长：p = (AB + BC + AC) / 2 = (5 + 8 + 10) / 2 = 11.5cm。
然后，将半周长代入公式，计算面积：S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) = √(11.5 * (11.5 - 5) * (11.5 - 8) * (11.5 - 10))。
最后，计算得到S ≈ √(11.5 * 6.5 * 3.5 * 1.5) ≈ √432.6875 ≈ 20.8cm²。
总结：本文根据“高三高考数学基础练习题”题目，按照练习题的格式，给出了五道数学基础练习题及解析。
希望这些练习题能够帮助您复习和巩固高考数学基础知识，为高考备考提供帮助。
高三数学 基础训练题复习练习题1 文 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校海头高级高三数学文科复习练习题：根底训练题集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，那么实数a 的取值范围是________．设p ：|4x －3|≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是________．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3x ＋5，x ≤12a x ，x ＞1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________． 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.假设f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，那么a ＋3b 的值为________． 设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是________．锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，那么sin 2α等于________． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，8b ＝5c ，C ＝2B ，那么cos C ＝________．点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是________． 函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0. (1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．滚动练习集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 ∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R ，借助数轴可得a ≥2.【答案】 a ≥2设p ：|4x －3|≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：|4x －3|≤1⇔12≤x ≤1， q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇔a ≤x ≤a ＋1由p 是q 的充分不必要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1.解得：0≤a ≤12. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，12[ 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3x ＋5，x ≤12a x ，x ＞1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．【解析】 依题意得⎩⎨⎧ a －3＜02a ＞0a －3×1＋5≥2a 1解得0＜a ≤2.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.假设f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，那么a ＋3b 的值为________． 【解析】 ∵f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，∴f (－1)＝f (1)，即－a ＋1＝b ＋22①.又∵f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32， ∴－12a ＋1＝b ＋43②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4.∴a ＋3b ＝－10. 设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是________．【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，那么－4π3ω＝2kπ(k ∈Z)． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32.锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，那么sin 2α等于________．育出网zzstep ] 【解析】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α. 2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)．∴sin 2α＝sin π6＝12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，8b ＝5c ，C ＝2B ，那么cos C ＝________．【解析】 因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin(2B )＝2sin B cos B ，根据正弦定理有c sin C ＝b sin B ，所以c b ＝sin C sin B ＝85，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝12×85＝45. 又cos C ＝cos(2B )＝2cos 2B －1，所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×1625－1＝725. 点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是________． 【解析】 tan α＝k ＝y ′＝－4e x e x ＋12＝－4e x ＋1e x ＋2≥－42e x ·1e x ＋2＝－1，∴－1≤tan α＜0.又∵α为倾斜角，∴3π4≤α＜π. 函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0.∴a ＝－2.(2)∵直线m 恒过定点(0,9)，先求直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)， ∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将点(0,9)代入，得x 0＝±1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，即有x ＝－1或x ＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9.又有f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.。
高三数学课时复习基础训练
课时活页作业（六十八）[基础训练组]1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2[解析] 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.[答案] D2．(2018·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12>12764，整理得2n >128，解得n>7，所以初始值至少应取8.[答案] B3．如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是()A．p(n)对所有正整数n都成立B．p(n)对所有正偶数n都成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有自然数n都成立[解析]由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．[答案] B4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n ＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析]在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．[答案] D5．(2018·上海模拟)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22 D ．n 2＋n ＋1[解析] 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域． [答案] C6．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步验证为________．[解析] 由n ∈N *可知初始值为1.[答案] 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立7．(2018·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝k (k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝____________________时，命题亦真．[解析] n 为正奇数，假设n ＝k 成立后，需证明的应为n ＝k ＋2时成立．[答案] k ＋28．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12(k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上______________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．[解析] 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12k ＋1，最后一个是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有(2k ＋1－1)－(2k ＋1)2＋1＝2k －2k －1＝2k －1项． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋3… ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－12k －1 9．(2018·绵阳一模)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．[解] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n， 得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2＞x 4＞x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k ＞x 2k ＋2，易知x k ＞0，那么x 2k＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)＞0， 即x 2(k ＋1)＞x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．10．(2018·长沙模拟)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ，并给出证明．(1)解：a 2＝a 21－2a 1＋2＝5，a 3＝a 23－2×2a 2＋2＝7，a 4＝a 23－2×3a 3＋2＝9，猜想a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)证明：S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n (n ∈N *)， 使得S n <2n 成立的最小正整数n ＝6.下证：当n ≥6(n ∈N *)时都有2n >n 2＋2n .①当n ＝6时，26＝64,62＋2×6＝48,64>48，命题成立．②假设n ＝k (k ≥6，k ∈N *)时，2k >k 2＋2k 成立，那么2k ＋1＝2·2k >2(k 2＋2k )＝k 2＋2k ＋k 2＋2k >k 2＋2k ＋3＋2k ＝(k ＋1)2＋2(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，不等式成立；由①②可得，对于所有的n ≥6(n ∈N *)都有2n >n 2＋2n 成立．[能力提升组]11．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)[解析] 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 12．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1[解析] 当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 13．(2018·南宁模拟)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为() A．18 B．36C．48 D．54[解析]由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n＝1时，可知猜想成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k ＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.[答案] B14．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N*)[解析]易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.[答案]4n2－n＋215．已知点P n(a n，b n)满足a n＋1＝a n·b n＋1，b n＋1＝b n1－4a2n(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立． 由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．16．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1(n ∈N *)． (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明：对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n的一个通项公式：a n＝n＋1(n≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即a k≥k＋2，那么，a k＋1＝a k(a k－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，a k＋1≥(k＋1)＋2.根据①和②，对于所有n≥1，都有a n≥n＋2.。
高三数学题基础练习题
高三数学题基础练习题1. 某商品原价为600元，现在打8折出售，求现价。
解析：打折是指以原价的一定比例进行减价销售，打8折即原价的80%。
所以，现价为600元 × 80% = 480元。
答案：现价为480元。
2. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(-1)的值。
解析：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 -3 + 2 = 0。
答案：f(-1)的值为0。
3. 已知等差数列的前两项为5和10，公差为3，求第n项的通项公式。
解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
根据已知条件：a1 = 5，d = 3。
代入公式得到an = 5 + (n - 1)3 = 5 +3n - 3 = 3n + 2。
答案：第n项的通项公式为3n + 2。
4. 若a + b = 10，a - b = 4，求a和b的值。
解析：可以使用消元法解这个方程组。
将两个方程相加得到2a = 14，解得a = 7。
将a的值代入其中一个方程，可得7 + b = 10，解得b = 3。
答案：a = 7，b = 3。
5. 已知sinθ = 3/5，且θ为第二象限角，求cosθ的值。
解析：根据三角函数的性质，sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边。
由于θ为第二象限角，所以cosθ为负数。
根据已知条件，可以先求出斜边，再求出邻边。
根据勾股定理，可得斜边为5。
邻边为√(斜边^2 - 对边^2) = √(5^2 - 3^2) = √16 = 4。
所以，cosθ = 邻边/斜边 = -4/5。
答案：cosθ的值为-4/5。
通过以上五道高三数学基础练习题的解答，希望能够帮助您巩固基础知识，提高解题能力。
请注意题目中的条件限定，合理运用各种数学方法进行解答。
祝您学业进步！。
高三数学基础练习五 新课标 人教版
高三数学基础练习五 新课标 人教版一、选择题：1、如果集合P={x| |x|＞2}，集合N={x| 2x＞1}，那么，集合P ∩N=（ ）A 、{x|x ＞0}B 、{x|x ＞2}C 、{x|x ＜-2或x ＞}D 、{x|x ＜-2或x ＞2} 2、已知函数f （x ）=x 2log ，g （x ，y ）=x+y 2，则g （f （ ），1）=（ ）A 、-1B 、5C 、-8D 、3 3、若f （sin x ）=3-cos2x ，则f （cos x ）= （ ）A 、3-cos2xB 、3-sin2xC 、3+cos2xD 、3+sin2x 4、三棱锥D-ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB=AC= ，BC=2，则二面角A-BC-D 的大小为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、5、函数f （x ）=x 3- 3x 2+ 1是减函数的区间为（ ） A 、（2，+∞） B 、（-∞，2） C 、（-∞，0） D 、（0，2）6、曲线mx 2+y 2=1与直线x+y –1=0相交于A 、B 两点，AB 的中点的横坐标为-1，则m=（ ） A 、-3 B 、-1 C 、-2 D 、07、已知定义在R 上的函数f （x ）=-f （x+ ），且f （-2）=f （-1）=-1，f （0）=2，则 f （1）+f （2）+ …+ f （2006）+ f （2007）=（ ） A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 8、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x 1，x 2（x 1≠x 2）， |f （x 1）-f （x 2）|＜|x 2-x 1|恒成立”的只有 （ ）A 、f （x ）=B 、f （x ）=|x|C 、f （x ）=x 2D 、f （x ）=x 29、要使sin α- cos α=有意义，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≤B 、m ≥-1C 、m ≤-1或m ≥D 、-1≤m ≤10、若二次不等式ax 2+ bx + c ＞0的解集是{x| ＜ x ＜ }，那么不等式2ax 2-2bx-a ＜0的解集是 （ ）A 、{x|x ＜-10或x ＞1}B 、{x|- ＜ x ＜ - }C 、{x|4＜x ＜5}D 、{x|-5＜x ＜-4}11、函数f （x ）=xcosx - 5sinx + 2，若f （2）=a ，则f （-2）等于 （ ）A 、-aB 、2 + aC 、2 - aD 、4 - a 12、已知2sin α=cos α，则的值是 （ ）A 、B 、3C 、6D 、1213、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++为一个确定的常数，则其前n 项和n S 中也为确定的常数的是 （ ）A 、17SB 、15SC 、8SD 、7S14、点（1，1）到直线xcos θ+ysin θ=2的距离的最大值为 （ ）A 、2+B 、2-C 、3-D 、3+15、对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图面积是原三角形面积的 （ ） A 、2倍 B 、倍 C 、倍 D 、 倍16、已知双曲线 - = 1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F ，作F 到一条渐进线的垂线FM 垂足为M ，并且交y 轴与E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为 （ ） A 、2 B 、 C 、3 D 、 17、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相邻的三条棱长分别为AB=4，AD=3 AA 1=5，长方体沿对角面BB 1D 1 D 切成两块，再将这两块拼接成一个不是长方体的棱柱，那么所得棱柱的表面积的最大值为（ ）A 、104B 、114C 、132D 、13818、如图，一辆车要通过某十字路口，直行时前方刚好由绿灯转为红灯，该车前面已有四辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶），已知前四辆恰有两辆左转行驶的概率是278，则前四辆中至少有两辆直行的概率是（ ）A 、2719 B 、2716或818 C 、98或2711 D 、271119.已知抛物线12+=y x 上一定点)0,1(-A 和两动点P 、Q ，当PQ PA ⊥时，点Q 的横坐标的取值范围是（ ）A ．]3,(--∞ B.),1[+∞ C.]1,3[- D.),1[]3,(+∞⋃--∞20.已知ABC ∆中，三个顶点的坐标分别为)4,2(A ，)2,1(-B ，).0,1(C 。
高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题54 最新
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2ii (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）＝－2－3i.2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案：1解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i5＝－i ，故|z|＝1.3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________．答案：－3解析：由a ＋3ii ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z－z －z－＝________． 答案：－i解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i＝－i.5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai1－i＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________．答案：2解析：由2＋ai1－i＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2.6. 若z －·z ＋z ＝154＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．答案：－12＋2i解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154＋2i ，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝2，所以z ＝－12＋2i.7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________．答案：2解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2.8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________.答案：19解析：∵ x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，∴ (－3－2i)2＋a(－3－2i)＋b ＝0，化为5－3a ＋b ＋(12－2a)i ＝0.根据复数相等即可得到⎩⎪⎨⎪⎧5－3a ＋b ＝0，12－2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝13，∴ a ＋b ＝19. 9. 已知复数z 的共轭复数是z －，且满足z·z －＋2iz ＝9＋2i.求z.解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z －＝a －bi ， ∵ z ·z －＋2iz ＝9＋2i ，∴ (a ＋bi)(a －bi)＋2i(a ＋bi)＝9＋2i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2ai ＝9＋2i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，2a ＝2.①② 由②，得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0， 解得b ＝－2或b ＝4.∴ z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.10. 已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R )，所以z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.因为z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i.由题意得x ＝4，所以z ＝4－2i.所以(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由于(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2<a<6，故实数a 的取值范围是(2，6)．11. 设复数z 满足4z ＋2z －＝33＋i ，w ＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －w|的取值范围．解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )， 则z －＝a －bi.代入4z ＋2z －＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i ， 即6a ＋2bi ＝33＋i.∴ ⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.∴ z ＝32＋12i.|z －w|＝|32＋12i －(sin θ－icos θ)|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.∵ －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1，∴ 0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6≤4，∴ 0≤|z －w|≤2.。
高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题58 最新
第五章 数 列第4课时 数列的求和1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________．答案：6解析：由a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，得d ＝2，∴ S n ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴ n ＝6时，S n 最小．2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________． 答案：13解析：由S 5＝25且a 2＝3，得a 1＝1，d ＝2，故a 7＝a 1＋6d ＝13.3. 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________．答案：n （n ＋1）2＋1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1，a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1，将以上各式相加得a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝（n －1）[（n －1）＋1]2＋n ＋1＝（n －1）n 2＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1. 4. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 5＝________．答案：21解析：S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)可得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，即数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 5＝1＋2＋4＋6＋8＝21.5. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________． 答案：5000解析：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.6. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13.若1<S k <9(k ∈N *)，则k ＝________．答案：4解析：S n ＝23(S n －S n －1)－13(n ≥2)，∴ S n ＋13＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －1＋13， ∴ S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23·(－2)n －1－13. ∵ 1＜S k ＜9，k ∈N *，∴ k ＝4.8. 各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________．答案：4n 2＋6n 2n ＋1解析：因S n －S n －1＝S 1，叠加可得S n ＝n S 1，即S n ＝n 2a 1，所以a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋21－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 9. 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2， 所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2) 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N )在函数f(x)＝－x 2＋7x 的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2) 令b n ＝2a n ，其中n ∈N ，求{nb n }的前n 项和．解：(1) 因为点P n (n ，S n )(n ∈N )均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N )．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，∴ 当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12，综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N )，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.(2) 由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4，所以b n ＋1b n＝12，即数列{b n }是首项为8、公比为12的等比数列，即b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n ，故{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4 ①，12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3 ②，所以①－②得12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3，∴T n ＝16·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n·24－n ＝32－(2＋n)24－n . 11. 已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，又在数列{a n }(a n >0)中a 1＝3，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f(S n －1)．(1) 求数列{a n }的第n ＋1项；(2) 若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n . 解：(1) ∵ x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，∴ f （x ）2×2＝x ＋3，∴ f(x)＝(x ＋3)2，∴ S n ＝f(S n －1)＝(S n －1＋3)2，∴ S n ＝S n －1＋3，即S n －S n －1＝3，∴ {S n }是以3为公差的等差数列．∵ a 1＝3，∴ S 1＝a 1＝3，∴ S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n ，∴ S n ＝3n 2(n ∈N ＋)．∴ a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3.(2) ∵ 数列b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，∴ (b n )2＝1a n ＋1·1a n，∴ b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）×3（2n －1）＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴ T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.。
高三数学基础训练试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 03. 若log2(3x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，单调递增的函数是（）A. y = 2x - 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^3D. y = 1/x5. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/46. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 1 = 08. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=15，则公差d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=15，则公比q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。
12. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则第10项an的值为______。
13. 已知复数z = 3 - 4i，则|z|^2的值为______。
14. 在三角形ABC中，若∠A=60°，a=5，b=8，则c的值为______。
15. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=31，则公比q的值为______。
高三数学基础知识测试15道练习题及参考答案详解D4
高三数学基础练习测试15道练习题一、单项选择题1.41-199ii+187i的虚部为( ).A. 146B.-199C. 146i D-199i2.已知等差数列{an}满足a68=28，a124=8，则a152=( ).A. -4B. -1C. -2D. -33.已知集合P={x|y=1ln(7x+113)}，Q={x|y=8x-8}，下列结论正确的是( ).A. P=QB. P∩Q=∅C. P⊆QD. Q⊆P4.已知tan(π-ε2)=119，则sin(π2+ε)的值为( ).A.11202 B.-20101 C.-11202 D. 20 1015.已知F₁,F₂为椭圆C:x²36+y²33=1的两个焦点，P为椭圆C上的任意一点，若|PF₁|=3，则|PF₂|=( ).A. 6B.9C.3D. 9二、填空题1.已知向量a与b的夹角为π3,|a|=12,|b|=25，则a·b=▁▁▁▁,|a-b|=▁▁▁▁.2.已知椭圆C：x²a²+y²b²=1(a>b>0)的长轴长为36，且离心率为59，则C的标准方程为：▁▁▁▁▁▁。
3.函数f(x)=ln 31x54在点(54e31,1)处的切线的斜率等于▁▁▁▁▁▁。
4.已知c,d的终边不重合，且17sinc+20cosd=17sind+20cosc，则cos(c+d)=▁▁▁▁▁▁。
5.已知函数f(x)=x²-ux+3，x＞4；(2-8u)x，x≤4是R上的增函数，则u的取值范围是:▁▁▁▁▁▁。
三、简答题1.已知集合P={x|-28＜x＜25}，Q={x|6p+3＜x≤6p+12}.(1)当p=2时，求P∪Q, P∩Q.(2)若P∩Q=∅，求p的取值范围。
2.已知g＞0, h＞0,且2g+9h=9.(1)求gh的最大值；(2)求9g+6h的最小值。
DC B3.已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1=3，a n+1²-a n ²=50n+5，(n ∈N)：(1)求数列{a n }的通项公式。
高三数学复习课时练5
1 函数及其表示 1. 已知f:x→log2x是集合A到集合B的一一映射,若A={1,2,4},则A∩B等 于( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,4} 答案C
解析由题意,得f(x)=log2x, ∵A={1,2,4},∴B={0,1,2},∴A∩B={1,2}. 2.(2016河南郑州三模)已知集合M= 𝑥 𝑦=lg1-𝑥𝑥 ,N={y|y=x2+2x+3},则(∁RM)∩N=( ) A.(0,1) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
答案C 解析由M= 𝑥 𝑦=lg1-𝑥𝑥 ,得M={x|0则N={y|y=x2+2x+3},得y=(x+1)2+2≥2. 则N={y|y≥2},所以∁RM=(-∞,0]∪[1,+∞), 则(∁RM)∩N=[2,+∞). 3.下列四个命题中,正确命题的个数是( ) ①函数y=1与y=x0不是相等函数; ②f(x)= 𝑥-3+ 2-𝑥是函数; ③函数y=2x(x∈N)图象是一条直线; ④函数y= 𝑥2(𝑥≥0),-𝑥2(𝑥<0)图象是抛物线. A.1 B.2 C.3 D.4 答案A 2
解析只有①正确,②函数定义域不能是空集,③图象是分布在一条直线上的一系列的点,④图象不是抛物线. 4.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案B 5.(2016河北衡水中学高三一调)已知函数f(x)= 0,𝑥>1,π,𝑥=0,π2+1,𝑥<0,则f(f(f(-1)))的值等于( ) A.π2-1 B.π2+1 C.π D.0 答案C
解析由函数的解析式,得f(f(f(-1)))=f(f(π2+1))=f(0)=π. 6.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
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第四章 平面向量与复数
第1课时 平面向量的概念与线性
运算
1. 下面有5个命题：
① 单位向量的模都相等；
② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；
③ 若a、b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；
④ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
⑤ 对任意非零向量a、b必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确的是________．(填序号)
答案：①④⑤
解析：①单位向量的模均为1，故①正确；②共线包括同向和反
向，故②不正确；③向量不能比较大小，③不正确；④根据向量的表
示，④正确；⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确．
2. 如图所示，在△ABC中，BD→＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB→＝a，
AC→＝b，则BE→＝________(用a、b表示)．
答案：－12a＋14b
解析：BE→＝BA→＋AE→＝BA→＋34AD→＝BA→＋34(AB→＋BD→)＝BA→＋34AB
→
＋34·BD→＝－14AB→＋34×13BC→＝－14AB→＋14(BA→＋AC→)＝－12AB→＋14AC→＝
－
12a＋1
4
b.
3. 设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，
则λ＝________．
答案：－12
解析：依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，
则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以1－2k＝0，k＋λ＝0，解得k＝12，λ＝－
1
2
.
4. 在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足PA→＋BP
→
＋CP→＝0.AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．
答案：－2
解析：如图所示，由AP
→＝λPD→，且PA→＋BP→＋CP→
＝0，则P为以
AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，
因此AP→＝－2PD→，则λ＝－2.
5. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若
AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．
答案：43
解析：因为AC→＝AB→＋AD→，又AE→＝AD→＋12AB→，AF→＝AB→＋12AD
→
，
所以AC→＝λAE→＋μAF→＝λ＋12μAD→＋12λ＋μAB→，得到λ＋
12μ＝1，1
2
λ
＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝
4
3
.
6. 如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝
mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．
答案：311
解析：设|BP→|＝y，|PN→|＝x，则AP→＝AN→＋NP→＝14AC→－xx＋yBN
→
①，
AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋yx＋yBN
→
②，
①×y＋②×x得AP→＝xx＋yAB→＋y4（x＋y）AC→，
令y4（x＋y）＝211，得y＝
83x，代入得m＝3
11
.
7. △ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，
|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝________．(用a、b表示)
答案：45a－45b
解析：如图，∵ a·b＝0，∴ a⊥b，
∴ ∠ACB＝90°，
∴ AB＝AC2＋BC2＝5.
又CD⊥AB，∴ AC2＝AD·AB，∴ AD＝
45
5
.
∴ AD→＝45AB→＝
45(a－b)＝45a－4
5
b.
8. 已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m
使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________．
答案：3
解析：由已知条件得MB→＋MC→＝－MA→.如图，因此延长AM交
BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM
交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC
的重心.AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3.
9. 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC
上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
解：设BM
→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→
＝
2e
1＋e2
，因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在λ、μ∈R，
使AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe
2
.
故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，所以λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，
所以λ＝45，μ＝35，所以AP→＝45AM→，所以PM→＝
1
5
AM→.
所以AP∶PM＝4∶1.
10. 如图所示，已知△ABC的面积为14 cm2，D、E分别是AB、
BC上的点，且ADDB＝BEEC＝2，求△APC的面积．
解：设AB→＝a，BC→＝b，则AE→＝a＋23b，DC→＝13a＋b.
因为点A、P、E和点D、P、C均三点共线，所以存在λ和μ，
使得AP→＝λAE→＝λa＋23λb，DP→＝μDC→＝
1
3
μa＋μb.
又因为AP→＝AD→＋DP→＝23＋13μa＋μb，所以有λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ
＝67，μ＝47，所以S△PAB＝47S△ABC＝47×14＝8(cm2)，S△PBC＝14×
1－
6
7
＝2(cm
2
)，
故S△APC＝14－8－2＝4(cm
2
)．
11. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过
点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若AM→＝xAB→，
AN→＝yAC→，试问：1x＋1y是否为定值？请证明你的结论．
解：
1x＋1
y
为定值，证明如下：
设AB→＝a，AC→＝b，则AM→＝xa，AN→＝yb，
AG→＝12AD→＝14(AB→＋AC→)＝14(a＋b)，
所以MG→＝AG→－AM→＝14(a＋b)－xa＝14－xa＋
1
4
b，
MN
→＝AN→－AM→
＝yb－xa＝－xa＋yb.
因为MG→与MN→共线，所以存在实数λ，使MG→＝λMN→，所以
1
4
－x
a＋14b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb，又因为a与b不共线，所以
1
4
－x＝－λx，
1
4
＝λy，
消去λ，得1x＋1y＝4为定值．