2020年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷 (含解析)
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−23的绝对值是()A. 23B. −23C. 32D. −322.若分式1a−1有意义，则a的取值范围是()A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. 一切实数3.如图所示的几何体是由一个长方体切去一部分得到的，其主视图是A.B.C.D.4.下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a6B. y2+y2=2y4C. (ab2)2=ab4D. x8 ÷x2=x65.在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是A. |a|<1B. |a|>1C. |b|<1D. ab>06.下列命题中正确的有()个．①直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方；②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两条对角线互相垂直的四边形是菱形；④三角形的中位线平行于三角形的第三边；⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形．A. 2B. 3C. 4D. 57.下列图形一定是相似图形的是()A. 两个矩形B. 两个菱形C. 两个直角三角形D. 两个等边三角形8.已知：如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC=8cm，直线l从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向右运动，直到过点C为止．在运动过程中，直线l始终垂直于AC，若平移过程中直线l扫过的面积为S(cm2)，直线l的运动时间为t(s)，则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.“天宫二号”的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为．10.化简：√(−2)2=________．11.分解因式：3a2−6ab+3b2=______．12. 如图，已知直线a//b ，∠1=43°，则∠2的度数为______ ．13. 当x =1时，代数式ax 2+2bx +1的值为0，则2a +4b −3=______．14. 在平面直角坐标系中，若▱ABCD 的三个顶点坐标分别是A(m,−n)、B(2,3)、C(−m,n)，则点D的坐标是______．15. 若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =5k,x −y =9k的解也是二元一次方程2x +3y =6的解，则k = ．16. 如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O上，且∠OBA =40°，则∠ADC =______度．17. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼二楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为______米．18. 点A(2,6)，点B(−3,n)均在反比例函数y =kx 的图象上，则n =______．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）19. 计算：(−12)−2−(2019−π)0−2sin45°+|√2−1|20. 解不等式组{3(x −1)<5x +1x−12≥2x −4，并写出它的所有非负整数解．21. 某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m 名学生，并将其结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．结合以上信息解答下列问题：(1)m = ;(2)请补全上面的条形统计图;(3)在图 ②中，乒乓球所对应扇形的圆心角的度数为________° ;(4)已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有多少名学生最喜爱跑步活动⋅22.某同学报名参加运动会，有两大类共5个项目可供选择，分别是：径赛项目：100m，200m，400m(分别用A1、A2、A3表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用B 1、B 2表示)．(1)该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为____________ ；(2)该同学分别从两大类中各选一个，求恰好是一个100m和一个跳远项目的概率.(用树状图或列表法写出分析过程)23.列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．24.如图，已知在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，连接AC．(1)求证：四边形ACHE是平行四边形；(2)求证：AB=2AG．25.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上，(1)判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AE=4，∠A=30∘，求图中由BD，BE，弧DE围成阴影部分面积．26.如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点(E不与B、C重合)(1)若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；(2)求证：△AEM∽△FCM；(3)若S△CEF：S△AEF=1：2，试CE：CF的值．27.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)为120万元，在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系．(1)直接写出y关于x的函数关系式为_____________．(2)市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．28.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F，⊙F与y轴相交于另一点G．(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A、D的坐标分别为A(0,−1)，D(−2,0)，求⊙F的半径；(3)在(2)的条件下求线段CE的长度．【答案与解析】1.答案：A解析：解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|−23|=23．故选：A．绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．考查了绝对值的性质．2.答案：A解析：分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．解：若分式1a−1有意义，则a−1≠0，即a≠1，故选：A．3.答案：D解析：本题考查的是简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体正面、左面、上面看，所得到的图形是解题的关键．解：从几何体的正面可以看到D中的图形，故选：D．4.答案：D解析：解：A.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；B.y2+y2=2y2，故本选项不合题意；C.(ab2)2=a2b4，故本选项不合题意；D.x8÷x2=x6，正确，故本选项符合题意．故选：D．分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5.答案：B解析：本题主要考查了数轴、比较有理数的大小、绝对值的知识点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是a<−1<0<1<b，解答此题的关键.根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．解：a、b两点在数轴上的位置可知：a<−1<0<1<b．∴|a|>1，|b|>1，ab<0．∴只有B选项正确．故选B．6.答案：B解析：解：①直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，故①正确；②一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，所以②错误；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以③错误；④三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，所以④正确；⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形，⑤正确；故选B．①由勾股定理判定；②直接利用全等三角形的判定与性质以及利用平行四边形的性质求出即可；本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．也考查了特殊四边形的判定方法；判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.答案：D解析：解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；D、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选D．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．8.答案：B解析：本题主要考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定及性质，二次函数的应用，能根据运动时间确定出两种相似情况是解题关键．分两种情况通过相似三角形得到对应边成比例，继而得到函数关系式，即可得到图象．解：连接BD交AC于点O，令直线l与AD或CD交于点N，与AB或BC交于点M，∵菱形ABCD的周长为20cm，∴AD=5cm，∵AC=8cm，∴AO=OC=4cm，由勾股定理得OD=OB=√52−42=3cm，(1)当0≤t≤4时，如图1，∵MN//BD，∴△AMN∽△ABD，∴MNBD =AEAO，即MN6=t4，MN=32t，∴S=12MN⋅AE=12×32t⋅t=34t2，函数图象是开口向上，对称轴为y轴且位于对称轴右侧的抛物线的一部分；(2)当4<t≤8时，如图2，∵MN//BD，∴△CMN∽△CBD，∴MNBD =CECO，MN6=8−t4，MN=−32t+12，∴S=S菱形ABCD−S△CMN=12×8×6−12×(−32t+12)(8−t)=−34t2+12t−24=−34(t−8)2+24，函数图象是开口向下，对称轴为直线t=8且位于对称轴左侧的抛物线的一部分，故选B．9.答案：3.93×105解析：本题考查了科学记数法的表示形式．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数据变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．利用科学记数法—表示较小的数的表示形式原则即可求解．解：393000=3.93×105，故答案为：3.93×105．10.答案：2解析：本题考查的是算术平方根有关知识，利用算术平方根的定义进行解答即可．解：原式=√4=2．故答案为2．11.答案：3(a−b)2解析：解：3a2−6ab+3b2=3(a2−2ab+b2)=3(a−b)2．故答案为：3(a−b)2．先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.答案：137°解析：解：如图：∵∠1=43°，∴∠3=180°−∠1=137°，∵a//b，∴∠2=∠3=137°．故答案为：137°．求出∠1邻补角的度数，利用两直线平行同位角相等即可确定出∠2的度数．此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．13.答案：−5解析：解：根据题意，得：a+2b+1=0，则a+2b=−1，所以原式=2(a+2b)−3=2×(−1)−3=−5，故答案为：−5．将x=1代入ax2+2bx+1=0得出a+2b=−1，代入原式=2(a+2b)−3计算可得．此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14.答案：(−2,−3)解析：解：∵A(m,−n)，C(−m,n)，∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B(2,3)，∴点D的坐标是(−2,−3)．故答案为(−2,−3)由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．15.答案：34解析：此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．将k看做已知数求出x与y，代入2x+3y=6中计算即可得到k的值．解：{x+y=5k①x−y=9k②，①+②得：2x=14k，即x=7k，将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=−2k，将x=7k，y=−2k代入2x+3y=6得：14k−6k=6，解得：k=34．故答案为34．16.答案：25解析：本题考查了圆的切线性质、圆心角和圆周的关系及三角形的内角和，属于简单题．先根据切线的性质判断出OA⊥AB，进而求出∠O的度数，然后根据圆心角和圆周角的关系求出∠ADC 的度数．解：∵直线AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB，∵∠OBA=40°，∴∠O=90°−40°=50°，又∵点D在⊙O上，∴∠ADC=12∠O=12×50°=25°．故答案为25．17.答案：9解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE 为矩形，AE=CD=6米，AC=DE.设BE=x米，先解Rt△BDE，得出DE=√3x米，AC=√3x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB−BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE=CD=6米，AC=DE．设BE=x米．在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=30°，∴DE=√3BE=√3x米，∴AC=DE=√3x米．在Rt △ABC 中，∵∠BAC =90°，∠ACB =60°，∴AB =√3AC =√3×√3x =3x 米，∵AB −BE =AE ，∴3x −x =6，∴x =3，AB =3×3=9(米)．即旗杆AB 的高度为9米．故答案为9．18.答案：−4解析：解：把A(2,6)代入y =k x ，得k =2×6=12，所以反比例函数解析式为y =12x ， 把B(−3,n)代入y =12x ，得−3n =12，解得n =−4， 故答案为−4．先把A 点坐标代入y =k x 求出k ，从而得到反比例函数解析式为y =12x ，再把点B(−3,n)代入即可求得n ．本题考查了反比例函数图象上点的在特征，图象上点的坐标适合解析式．19.答案：解：原式=4−1−2×√22+√2−1 =4−1−√2+√2−1=2．解析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：{3(x −1)<5x +1①x−12≥2x −4②， 解①得x >−2，解②得x≤7．3．则不等式组的解集是：−2<x≤73则非负整数解是：0，1、2．解析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.答案：解：(1)150．(2)由题意，得抽查的学生中最喜爱足球的有150×20%=30(人)，补全条形统计图如图所示：(3)36．=312(名)．(4)由题意，得1200×39150故该校约有312名学生最喜爱跑步活动．解析：本题考查条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图．(1)根据图中信息列式计算即可；(2)求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全条形统计图即可；(3)360°×“乒乓球”项目所占的百分比即可得到结论；(4)用1200乘最喜爱跑步人数所占百分比，计算即可．解：(1)由题意，得随机抽查的学生人数有21÷14%=150(名)．则m=150．故答案为150；(2)见答案；=36∘．(3)由题意，得图 ②中，乒乓球所对应扇形的圆心角的度数为360∘×15150故答案为36;(4)见答案．22.答案：解：(1)2；5(2)画树状图得：∵共有6种等可能的结果，恰好是一个100m和一个跳远项目的有1种情况，∴恰好是一个100m和一个跳远项目的概率为：1．6解析：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：(1)∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：2，5故答案为25．(2)见答案．23.答案：解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(x+40)元，依题意，得：3200x =2×2400x+40，解得：x=80，经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．答：每套《三国演义》的价格为80元．解析：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(x+40)元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∵E、F分别是AD、CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF//AC，∴四边形ACHE是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG//CD，又∵AC//GH，∴四边形ACFG是平行四边形，∴AG=CF，∵AB=CD=2CF，∴AB=2AG．解析：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理，三角形中位线定理是解决此题的关键．(1)首先由平行四边形的性质得到AD//BH，再由三角形中位线定理得到EH//AC，由此即可得证；(2)由平行线的性质可得BG//CD，再由GF//AC，可得四边形ACFG是平行四边形，则AG=CF，再由AB=CD=2CF即可得到结论．25.答案：解：(1)直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明：连接OD，DE，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°，∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°−90°=90°，∴OD⊥BD，∵OD为半径，∴BD是⊙O切线；(2)解：∵AE是⊙O直径，∴∠ADE=90°，∵AE =4，∠A =30°，∴DE =12AE =2，∠AED =60°， ∵OD =OE ，∴△DOE 是等边三角形，∴∠ODE =60°，OD =OE =DE =2，∵∠ODB =90°，∴∠EDB =30°，∴∠B =∠DEO −∠EDB =60°−30°=30°，∴OB =2OD =4，由勾股定理得：DB =√42−22=2√3，∴阴影部分的面积S =S △ODB −S 扇形DOE=12×2×2√3−60π×22360=2√3−23π.解析：【试题解析】本题考查了切线的判定，直线与圆的位置关系，扇形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．(1)连接OD ，DE ，求出∠ADO +∠CDB =90°，推出OD ⊥BD ，从而求解;(2)分别求出扇形DOE 和△ODB 的面积，即可求出答案．26.答案：(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠BAD =∠BCD =∠ADF =90°，AB =AD =BC =1，∵E 为BC 中点，∴BE =12BC =12， 由勾股定理得：AE =√12+(12)2=√52， 在△ABE 和△ADF 中{BE =DF ∠B =∠ADF AB =AD∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AF=AE=√52，∠FAD=∠EAB，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∴△AEF的面积是12×AE×AF=12×√52×√52=58．(2)证明：∵∠BCD=∠EAF=90°，∴∠BCD+∠EAF=180°，∴C、E、A、F四点共圆，∴∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，∴△AEM∽△FCM．(3)解：∵S△CEF：S△AEF=1：2，∴2×12×CE×CF=12×AE2，∵AE2=AB2+BE2，CE=BC−BE=AB−BE，CF=CD+DF=AB+BE，∴AB2+BE2=2(AB−BE)(AB+BE)=2AB2−2BE2，AB2=3BE2，AB=√3BE，∴CECF =AB−BEAB+BE=√3BE−BE3BE+BE=√3−13+1=2−√31，即CE：CF=(2−√3)：1．解析：(1)根据正方形性质得出∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，求出，证△ABE≌△ADF，推出AF=AE=√52，∠FAD=∠EAB，求出∠EAF=90°，根据三角形面积公式求出即可；(2)根据∠BCD=∠EAF=90°推出C、E、A、F四点共圆，推出∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，根据相似三角形的判定推出即可；(3)根据三角形面积比求出AB 2=3BE 2，求出AB =√3BE ，把CE =AB −BE ，CF =AB +BE 代入求出即可．27.答案：解：▱ y =−120x +8▱ (x −40)(−120x +8)−120=55，(x −40)(−x +160)=3500 ，[60+(x −100)][60−(x −100)]=3500，(x −100)2=100 ，∴x 1=90，x 2=110 ，∵x ≤100，∴x =90，答：当年销售单价为90元.解析：本题考查的是二次函数的实际应用．熟练的运用二次函数的性质和数形结合是解决问题的关键．(1)设直线解析式为y =kx +b ，把已知坐标代入求出k ，b 的值后可求出函数解析式；(2)根据题意(x −40)(−120x +8)−120=55求出x 的实际值．解：(1)设y =kx +b ，它过点(60,5)，(80,4)，{5=60k +b 4=80k +b， 解得：{b =8k=−120， ∴y =−120x +8；(2)见答案．28.答案：(1)证明：连结EF∵在⊙F 中，EF =FA ，∴∠FEA =∠FAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE =∠EAC ，∴∠FEA =∠EAC ，∴EF‖AC ，∴∠BEF =∠C =90°，∴EF ⊥BC 于E ，∴BC 是⊙F 的切线．(2)连结FD ．∵A(0,−1)，D(−2,0)，∴OA =1，OD =2，设⊙F 的半径为R ，则OF =R −1∵AG ⊥OD 于O ，∴∠FOD =90°，∵在Rt △DFO 中，DF 2=FO 2+DO 2，∴R 2=(R −1)2+22 解得R =2.5，∴⊙F 的半径为2.5．(3)过点F 作FH ⊥AD 于H ．由(2)得AO =1，OD =2，∴在Rt △AOD 中，AD =√OA 2+OD 2=√12+22=√5，∵在⊙F 中，FH ⊥AD 于H∴AH =12AD =√52，∠FHC =∠FHA =90°，∴在Rt △AHF 中，FH =√AF 2−AH 2=(52)(√52)=√5，由(1)得∠BEF =90°∴∠CEF=90°∵∠FHC=∠C=∠BEF=90°∴四边形CEFH是矩形∴CE=FH=√5．解析：(1)连接EF.欲证明BC是⊙F的切线，只要证明BC⊥EF即可；(2)连结FD.在Rt△DFO中，根据DF2=FO2+DO2，构建方程即可解决问题；(3)过点F作FH⊥AD于H.四边形CEFH是矩形，只要求出FH的长即可解决问题；本题考查圆综合题、切线的判定、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷(含解析)
2017年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．是（）A．整数 B．无理数C．有理数D．自然数2．下列式子正确的是（）A．a2+a3=a5B．（a2）3=a5C．a+2b=2ab D．（﹣ab）2=a2b23．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A．0.77×10﹣5m B．0.77×10﹣6m C．7.7×10﹣5m D．7.7×10﹣6m4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．5．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．80° B．50° C．40° D．20°6．无论m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A．70° B．35° C．40° D．50°8．方程x2﹣+1=﹣4x的正数根的取值范围是（）A．0＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4二、填空题（每小题3分，共30分）9．16的算术平方根是．10．分解因式：2x2﹣8= ．11．当x= 时，分式无意义．12．仪征市某活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示：则全体参赛选手年龄的中位数是岁．13．若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b= ．14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为．15．如图，直线A l A∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是．16．关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．17．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为．三、解答题（8′×4+10′×4+12′×2=96分）19．（1）计算：﹣2﹣2+sin45°﹣|1﹣|（2）解不等式组：．20．先化简，再求值：÷（1﹣），其中m满足一元二次方程m2﹣4m+3=0．21．“低碳环保，你我同行”．仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便．我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若市区有26万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？22．我校“文化氧吧”有A、B、C、D四本书是小明想拜读的，但他现阶段只打算选读两本．（1）若小明已选A书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C的概率是；（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A、C两本的概率．23．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．24．甲、乙两个公司为某敬老院各捐款300000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．则甲、乙两公司各有多少元？25．在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．（Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．26．如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．（1）求点A到BM的距离；（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①AC=13；②tan∠ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）27．阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．解决方案：路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2；路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．设路线2的长度为l2：则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225．为比较l1，l2的大小，我们采用“作差法”：∵l12﹣l22=25（π2﹣8）＞0∴l12＞l22∴l1＞l2，小明认为应选择路线2较短．（1）问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”．请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小：（2）问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．（3）问题解决：如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）．28．先让我们一起来学习方程m2+1=的解法：解：令m2=a，则a+1=，方程两边平方可得，（a+1）2=a+3解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．不妨一试：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P 为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式；（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2017年江苏省扬州市仪征市南师大二附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．是（）A．整数 B．无理数C．有理数D．自然数【考点】实数．【分析】根据有理数的定义，可得答案．【解答】解：是有理数，故选：C．2．下列式子正确的是（）A．a2+a3=a5B．（a2）3=a5C．a+2b=2ab D．（﹣ab）2=a2b2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．【分析】根据整式的加法和幂的乘方、积的乘方逐一判断即可得．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、（a2）3=a6，故此选项错误；C、a与2b不是同类项，不能合并，故此选项错误；D、（﹣ab）2=a2b2，故此选项正确；故选：D．3．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A．0.77×10﹣5m B．0.77×10﹣6m C．7.7×10﹣5m D．7.7×10﹣6m【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 007 7=7.7×10﹣6m．故选D．4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确．故选：D．5．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．80° B．50° C．40° D．20°【考点】圆周角定理．【分析】先根据平行线的性质得∠BCD=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠BCD=80°．故选A．6．无论m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【解答】解：当m＜0时，5﹣2m＞0，点A（m，5﹣2m）在第二象限，当0＜m时，点A（m，5﹣2m）在第一象限，当m时，点A（m，5﹣2m）在第四象限．故选：C．7．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A．70° B．35° C．40° D．50°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，则∠AC′C=∠ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出∠C AC′=40°，所以∠B′AB=40°．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∴∠CAC′=180°﹣2×70°=40°，∴∠B′AB=40°，故选：C．8．方程x2﹣+1=﹣4x的正数根的取值范围是（）A．0＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】方程可以化成y1=x2+4x+1和y2=图象在第一象限内的交点问题，然后结合图象即可求解．【解答】解：方程x2﹣+1=﹣4x即x2+4x+1=．函数y1=x2+4x+1和y2=的大体图象是：当x=1时，y1=x2+4x+1=6，y2==10，此时y1＜y2，即1＜a，当x=2时，y1=4+8+1=13，y2=5，此时y1＞y2，则a＞2，则a在1与2之间，即1＜a＜2．即方程x2﹣+1=﹣4x的正数根的取值范围是1＜x＜2．故选B．二、填空题（每小题3分，共30分）9．16的算术平方根是 4 ．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵42=16，∴=4．故答案为：4．10．分解因式：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．11．当x= ﹣2 时，分式无意义．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式无意义的条件可得x+2=0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+2=0，解得：x=﹣2，故答案为：﹣2．12．仪征市某活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示：则全体参赛选手年龄的中位数是14 岁．【考点】中位数．【分析】首先确定本次跳绳比赛的参赛人数，根据人数的奇偶性确定中位数落在那个年龄段，写出这个年龄即可．【解答】解：本次比赛一共有：5+19+13+13=50人，∴中位数是第25和第26人的年龄的平均数，∵第25人和第26人的年龄均为14岁，∴全体参赛选手的年龄的中位数为14岁．故答案为：14．13．若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b= ﹣1 ．【考点】代数式求值．【分析】把a+b看作一个整体，代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=2，∴3﹣2a﹣2b=3﹣2（a+b），=3﹣2×2，=3﹣4，=﹣1．故答案为：﹣1．14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为2．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，根据母线长为3，利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为： =2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴该圆锥的高为： =2．故答案为：2．15．如图，直线A l A∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是9 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．【解答】解：∵A l A∥BB1∥CC1，∴=，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3，∴A1C1=6+3=9．故答案为：9．16．关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，得出△≥0，根据k≠0从而得出k 的取值范围．【解答】解：∵关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=1﹣4k≥0，级的k≤，∵k≠0，∴k的取值范围是k≤且k≠0．故答案为k≤且k≠0．17．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是7 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到（n﹣2）•180°=n，再解方程求出x即可．【解答】解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，所以（n﹣2）•180°=n，解得n=10，所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．故答案为7．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为．【考点】解直角三角形．【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，∴AB=2CM=6，∴∠B=∠MCB，∵AN⊥CM，∴∠MCB=∠CAN，∴∠B=∠CAN，∴△CAN∽△CBA，∴==，∴tan∠CAN==．故答案为：．三、解答题（8′×4+10′×4+12′×2=96分）19．（1）计算：﹣2﹣2+sin45°﹣|1﹣|（2）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）原式=﹣+2×﹣（﹣1）=﹣+2﹣+1=﹣；（2）∵解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≥0，∴不等式组的解集为x＞3．20．先化简，再求值：÷（1﹣），其中m满足一元二次方程m2﹣4m+3=0．【考点】分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到m的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=，由m2﹣4m+3=0，变形得：（m﹣1）（m﹣3）=0，解得：m=1（不合题意，舍去）或m=3，则当m=3时，原式=．21．“低碳环保，你我同行”．仪征市区的公共自行车给市民出行带来不少方便．我校数学社团小学员走进小区随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A．每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有200 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若市区有26万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据D类人数除以D所占的百分比，可得答案；（2）根据抽测人数乘以B类所占的百分比，C类所占的百分比，可得各类的人数，根据各类的人数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）本次活动共参与的市民30÷15%=200人，故答案为：200；（2）B的人数有200×28%=56人，C的人数有200×52%=104人，A的人数有200﹣56﹣104﹣30=10人，补全条形统计图如图：；（3）26×（1﹣28%﹣52%﹣15%）=1.3（万人），答：每天都用公共自行车的市民约有1.3万人．22．我校“文化氧吧”有A、B、C、D四本书是小明想拜读的，但他现阶段只打算选读两本．（1）若小明已选A书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C的概率是；（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A、C两本的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由小明购买A书，再从其余三本书中随机选一款，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中A、C两本的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵小明购买A书，再从其余三本书中随机选一款，∴恰好选中C的概率是：，故答案为：；（2）画树状图得：∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，∴P（选中AC）==．答：选中A、C两本的概率是．23．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）利用矩形的性质结合平行四边形的判定于性质得出AM=CN，进而得出Rt△ABM ≌Rt△CDN；（2）利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AFN（ASA），进而得出四边形AMCN是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC，∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AM=CN，在Rt△ABM和Rt△CDN中，∵，∴Rt△ABM≌Rt△CDN（HL）；（2）解：当AB=AF时，四边形AMCN是菱形，理由：∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B=∠BAD=∠EAF=∠F=90°，∴∠BAD﹣∠NAM=∠EAF﹣∠NAM，即∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中∠BAM=∠FAN，AB=AF，∠B=∠F∵，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM=AN，由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形．24．甲、乙两个公司为某敬老院各捐款300000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．则甲、乙两公司各有多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】利用等量关系：甲公司的人数=乙公司的人数×（1+20%）．根据这个等量关系可得出方程求解．【解答】解：设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，根据题意得：=×（1+20%）解得：x=100经检验x=100是原方程的根，故x+20=100+20=120．答：甲公司人均捐款100元，乙公司人均捐款120元25．在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．（Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【分析】（Ⅰ）连接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，则∠C=∠ADO，得到OD∥BC；而DF⊥BC，则∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（Ⅱ）连接BD，AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°．而AB=BC，则AD=DC=4．在Rt△ADB中，利用勾股定理可计算出BD=3，再利用等积法得到AB•DH=AD•DB，可计算出DH，然后根据垂径定理得到DG=2DH．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，如图，∵AB=BC，∴∠A=∠C．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∴∠C=∠ADO．∴OD∥BC．∵DF⊥BC，∴∠ODE=90°．∴直线DE是⊙O的切线；（Ⅱ）解：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵AB=BC，∴AD=DC．∵AC=8，∴AD=4．在Rt△ADB中，BD===3，∵DG⊥AB于H，由三角形面积公式，得AB•DH=AD•DB．∴DH==，∵AB⊥DG，∴DG=2DH=．26．如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．（1）求点A到BM的距离；（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是②③；（填写所有符合条件的序号）①AC=13；②tan∠ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形．【分析】（1）作AD⊥BC，由AD=AB•sinB可得；（2）根据AC的长大于点A到直线的距离可判断①，利用AAS可判断②，根据平行线间的距离可判断③；（3）②：先求得BD=AB•cosB=16，再求得CD==5即可；③：作CE⊥AB，根据面积得出CE=12.6，由BC=可得答案．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∴AD=AB•sinB=12；（2）①以点A为圆心、13为半径画圆，与BM有两个交点，不唯一；②由tan∠ACB=知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB、∠B及AB确定，此时的三角形唯一；③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AC的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的；故答案为：②③；（3）方案一：选②，由（1）得，AD=12，BD=AB•cosB=16，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴CD==5，∴BC=BD+CD=21．方案二：选③，作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°，由S△ABC=AB•CE得CE=12.6，在Rt△BEC中，∵∠BEC=90°，∴BC==21．27．阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．解决方案：路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2；路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．设路线2的长度为l2：则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225．为比较l1，l2的大小，我们采用“作差法”：∵l12﹣l22=25（π2﹣8）＞0∴l12＞l22∴l1＞l2，小明认为应选择路线2较短．（1）问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”．请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小：（2）问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．（3）问题解决：如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）．【考点】平面展开﹣最短路径问题；几何体的展开图．【分析】（1）由阅读材料，可知路线1：l12=AC2=AB2+BC2=高2+底面周长一半2；路线2：l22=（高线AB+底面直径BC）2；将数据代入即可求出l12、l22的值，再运用差比法即可得出l1＜l2；（2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示l12、l22，再由l12＞l22列出关于h、r的不等式，解不等式即可求解；（3）先根据阅读材料将h=5代入，用含r的代数式分别表示l12、l22，再由l12=l22列出关于r的方程，解方程即可．【解答】解：（1）如图（2）．∵圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米，∴路线1：l12=AC2=AB2+BC2=25+π2；路线2：l2=AB+BC=5+2=7，l22=（AB+BC）2=49．∵l12﹣l22=25+π2﹣49=π2﹣24＜0，∴l12＜l22，∴l1＜l2，∴选择路线1较短；（2）如图（2）．∵圆柱的底面半径为r厘米，高为h厘米，∴路线1：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2=h2+π2r2，路线2：l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，∴l12﹣l22=h2+（πr）2﹣（h+2r）2=r（π2r﹣4r﹣4h）=r[（π2﹣4）r﹣4h]；∵r恒大于0，∴当（π2﹣4）r﹣4h＞0，即＞时，l12＞l22，即此时选择的路2最短；（3）如图（3），圆柱的高为5厘米．l12=AC2=AB2+BC2=25+（2πr）2，l22=（AB+BC）2=（5+4r）2，由题意，得25+（2πr）2=（5+4r）2，解得r=．即当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等．28．先让我们一起来学习方程m2+1=的解法：解：令m2=a，则a+1=，方程两边平方可得，（a+1）2=a+3解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．不妨一试：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P 为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式；（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）；②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，于是可得到抛物线的解析式；（2）①依据两点间的距离公式可求得PO与PH的长，然后可得到问题的答案；②设点P坐标（m，﹣m2+1），然后用含m的式子表示出PH和PO的长度，从而可得到问题的答案；（3）依据等边三角形的性质可得到OP=OH，然后利用两点间的距离公式可得到关于m的方程，然后解得m的值即可；（4）先依据两点间的距离公式可求得BC、AC、AB的值，然后依据相似三角形的性质可得到=，设点P（m，﹣m2+1），然后列出关于m的比例式，从而可求得m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．（2）①当P点运动到A点处时．∵PO=5，PH=5，∴PO=PH．故答案为：=．②结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，﹣m2+1），∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1PO==m2+1，∴PO=PH．（3）∵△PHO为等边三角，∴OP=OH．由两点间的距离公式可知：OH=．∴m2+1=，解得：m=±2，∴P（2，﹣2）、（﹣2，﹣2）．（4）∵BC==，AC==，AB==4．∴BC=AC，∵PO=PH，以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，∴=，设点P（m，﹣m2+1），∴=，解得m=±1．∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．。
2020年江苏省扬州市仪征市中考数学二练试卷 (含答案解析)
2020年江苏省扬州市仪征市中考数学二练试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下面四个实数中最大的是()A. √5B. 0C. −2D. 12.冬季我国某城市某日最高气温为3℃，最低温度为−13℃，则该市这天的温差是()A. 13℃B. 14℃C. 15℃D. 16℃3.下列运算中，正确的是()A. (x2)3=x5 B. x2+2x3=3x5 C. (−ab)3=a3b D. x3⋅x3=x64.如图所示的几何体的俯视图是()A.B.C.D.5.如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°6.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是()．A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，AB⏜=BC⏜，∠BDC=30°，则∠AOB的度数是()．A. 60°B. 45°C. 35°D. 30°8.下列关于抛物线y=(x+2)2+6的说法，正确的是()A. 开口向下B. 顶点坐标为(2,6)C. 对称轴是直线x=6D. 经过点(0,10)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.将数12000000用科学记数法表示为．10.已知3n×27=38，则n的值是________________．11.要使分式1有意义，则x的取值范围是．x+212.因式分解：a2b−10ab+25b=______ ．13.一组数据：7，8，8，10，12，这组数据的中位数是______．14.某圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积是________________．15.已知直线a//b//c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=______．16.已知关于x的方程ax2+x−a−1=0的解都是整数，那么符合条件的整数a的所有值为______．17.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若OM=3，BC=8，则OB的长为______．18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AD经过O点，A、C、D三点都在反比例函数y=k的图象上，B点在x轴的x负半轴上，延长CD交x轴于点E，连接CO.若S平行四边形ABCD=6，则k的值为______．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）19. (1)计算：6sin60°−(13)−2−√12(2)化简：a 2−2a+1a−1−(a −2)20. 解不等式组{2(x −1)+1<x +2x−12>−1并写出x 的所有整数解．21. 每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图(均不完整).请解答以下问题：(1)补全条形统计图和扇形统计图；(2)若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？(3)要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是______．22.春节放假期间，小明和小华准备到夹谷山(记为A)、刘少奇故居(记为B)、徐福祠(记为C)、丝路小镇(记为D)中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．(1)小明选择去夹谷山旅游的概率为;(2)用列表的方法求小明和小华都选择去丝路小镇旅游的概率．23.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的4倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？324.如图，已知▱ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．25.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．(1)求证：直线AE是⊙O的切线；(2)若∠BAE=30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；(3)若EB=AB，cos∠E=3，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．526.如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，AB=8，BC=6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．(1)如图②，在△ABC中，BC=10，BC边上的高AD=10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值．(2)如图③，在ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∠A=∠B=∠C=90°小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．27.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A(a,0)点B(0,b)，且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|=0(1)a=______；b=______．(2)点P在直线AB的右侧，且∠APB=45°①若点P在x轴上，则点P的坐标为______；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标；(2)如图2，在(2)的条件下，点P在第四象限，∠BAP=90°，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，连接MN，求证：MP平分△BMN的一个外角．28.如图，△ABC的顶点A(0,3)，B(b,0)，C(c,0)在x轴上，若(b+3)2+|c−3|=0．(1)请判断△ABC的形状并予以证明；(2)如图，过AB上一点D作射线交y轴负半轴与点E，连CD交y轴与F点．若BD=FD，求∠BCD度数．(3)在(2)的条件下，∠BCD=∠DEF，H是AB延长线上一动点，作∠CHG=60°，HG交射线DE的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值．于点G点，则DG−DHAD-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵√5>1>0>−2，∴最大的数是√5，故选：A．根据实数大小比较的法则比较即可．本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2.答案：D解析：根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案．本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化成加法是解题关键．解：∵我国某城市某日最高气温为3℃，最低温度为−13℃，∴该市这天的温差是：3−(−13)=3+13=16(℃)．故选D．3.答案：D解析：解：A、(x2)3=x6，故此选项错误；B、x2+2x3，无法计算，故此选项错误；C、(−ab)3=−a3b3，故此选项错误；D、x3⋅x3=x6，正确．故选：D．直接利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.答案：D解析：解：此几何体的俯视图如图：故选：D．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5.答案：D解析：解：∵AB//CD，∴∠C=∠2=60°，∵∠A=45°，∴∠1=60°−45°=15°，故选：D．根据平行线的性质可得∠C=∠2=60°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1的度数．此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．6.答案：D解析：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°⋅(n−2)=3×360°解得n=8．故选D．7.答案：A解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，理解定理是关键，利用圆周角定理即可求解．解：连结OC，如图，∵AB⏜=BC⏜，∴∠AOB=∠BOC，∴∠BOC=2∠BDC，∵∠BDC=30°，∴∠AOB=60°．故选：A．8.答案：D解析：本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．解：A.a=1>0，故开口向下错误，不符合题意；B.函数的顶点坐标为：(−2,6)，故选项错误，不符合题意；C.函数的对称轴为x=−2，故原选项错误，不符合题意；D.当x=0时，y=10，故正确，符合题意，故选D．9.答案：1.2×107解析：本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法.把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数位数只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数．n等于原数的整数位数减去1．解：12000000=1.2×107．故答案为1.2×107．10.答案：5解析：本题考查了同底数幂的乘法，知道底数不变，指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则计算．解：∵3n×27=38，∴3n×33=38，∴3n+3=38，∴n+3=8，∴n=5．故答案为5．11.答案：x≠−2解析：本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零是分式有意义的条件．根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．有意义，得解：要使分式1x+2x+2≠0．解得x≠−2，故答案为x≠−2．12.答案：b(a−5)2解析：解：原式=b(a2−10a+25)=b(a−5)2，故答案为：b(a−5)2原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.答案：8解析：解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，7，8，8，10，12；∴这组数据的中位数是8；故答案为：8．把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间位置的数即为这组数据的中位数．本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，取中间位置的数或中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数，是基础题．14.答案：15πcm2解析：本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆的周长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，求解即可．解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=12×6π×5=15πcm2．故答案为15πcm215.答案：7.5解析：解：∵a//b//c，∴ACCE =BDDF，即46=3DF，解得DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为：7.5．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，结合图形计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．16.答案：0，±1解析：此题主要考查了方程整数解的求法，从特殊解入手求解，比较简单．首先利用当a=0时，得到一个一元一次方程，直接得出根，当a≠0，把x=1，代入方程，得出a 的取值．解：①当a=0时，则x=1；②当a≠0时，原式可以整理为：(x−1)[a(x+1)+1]=0，∴x−1=0，∴x=1是方程的一个整数根，，且x是整数，知1−a=±1，再由1+x=−1a∴a=−1，1；由①、②得符合条件的整数a有0，±1个．故答案为：0，±1．17.答案：5解析：本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识点，能熟记矩形的性质是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的对角线互相平分且相等，矩形的每个角都是直角．根据矩形的性质求出∠D=90°，OA=OB，AD=BC=8，求出AM，根据勾股定理求出OA即可．解：∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴OA=OC，AD=BC=8，∠D=90°，OA=OB，∵M为AD中点，O为AC的中点，×8=4，OM//CD，∴AM=12∴∠OMA=∠D=90°，在Rt△AMO中，由勾股定理得：AO=√AM2+OM2=√42+32=5，∴OB=OA=5，故答案为5．18.答案：2解析：解：作AH⊥OB于H，DG⊥y轴于G，CF⊥DG于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∵AH//y轴//CF，∴∠BAH=∠DCF，∵∠DFC=∠AHB，∴△CFD≌△AHB(AAS)，∴AH=CF，DF=BH，设A(m,km )，则D(−m,−km)，∵S▱ABCD=6，OA=OD，∴S△AOB=32，∴12⋅OB⋅km=32，∴OB=3mk，∴CF=AH=km，∴C(−m2,−2km)，∵DF=BH，∴−m2−(−m)=3mk−m，∴k=2．故答案为2．作AH⊥OB于H，DG⊥y轴于G，CF⊥DG于F.首先证明△CFD≌△AHB，推出AH=CF，DF=BH，设A(m,km )，则D(−m,−km)，想办法构建方程即可解决问题．本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19.答案：解：(1)原式=6×√32−9−2√3 =3√3−9−2√3=√3−9；(2)原式=(a−1)2a−1−(a −2)=a −1−a +2=1．解析：(1)直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案；(2)直接将分式的分子分解因式，进而化简分式得出答案．此题主要考查了实数运算以及分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．20.答案：解：{2(x −1)+1<x +2①x−12>−1②解不等式①，得：x <3，解不等式②，得：x >−1，则不等式组的解集为−1<x <3，∴不等式组的整数解为：0、1、2．解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.答案：解：(1)调查的总人数是18÷9%=200(人)，则喜欢工业设计的人数是200−16−26−80−18=60(人)．喜欢工业设计的所占的百分比是60200=30%；喜欢机电维修的所占的百分比是26200=13%；补全条形统计图和扇形统计图，如下：；(2)估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540(人)；(3)0.13．解析：(1)见答案；(2)见答案；(3)正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．(1)根据喜欢其它的人数是18，所占的百分比是9%，据此即可求的调查的总人数，进而根据百分比的意义求得扇形统计图中每部分的百分比，补全统计图；(2)利用总人数乘以对应的百分比即可；(3)概率约等于对应的百分比．本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22.答案：解：(1)14(2)列表如下：由表可知共有16种等可能的结果，其中都选择去丝路小镇旅游的结果有1种，所以小明和小华都选择去丝路小镇旅游的概率是116．解析：本题考查列表法与树状图法和概率的公式，(1)利用概率公式直接计算即可；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案．23.答案：解：设原计划每天种树x 棵，则实际每天种树为43x 棵，由题意得，960x −96043x =4，解得：x =60，经检验，x =60是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树60棵．解析：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关x棵，根据实际比原计划提前4天完系，列方程求解．设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为43成任务，列方程求解．24.答案：解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD=BC，AD=DE，∴BC=DE，∴平行四边形BECD是矩形．(2)连接AC，如图，∵CD=2，∴AB=BE=2．∵AD=4，∠ABD=90°，∴BD=√AD2−AB2=√42−22=2√3，∴CE=2√3，∴AC=√AE2+CE2=√42+(2√3)2=2√7．故AC的长为2√7．解析：本题考查的是矩形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC=DE，根据矩形的判定定理证明；(2)根据矩形的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算AC的长．25.答案：(1)证明：连接BD，如图，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠DAB=90°，∵∠C=∠D，∠BAE=∠C．∴∠BAE+∠DAB=90°，即∠DAE=90°，∴AD⊥AE，∴直线AE是⊙O的切线；(2)解：连接OB，如图，∵∠BAE=30°，∴∠OAB=60°，而OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴阴影部份的面积=S扇形AOB −S△AOB=60⋅π⋅22360−√34×22=23π−√3；(3)解：作BH⊥AE于H，如图，∵EB=AB，∴AH=EH=12AE=12，∠E=∠BAE，在Rt△BEH中，∵cosE=EHBE =35，∴BE=12×53=20，∴AB=BE=20，∵∠D=∠C=∠BAE=∠E，∴cosD=35，在Rt△ABD中，cosD=BDAD =35，设BD=3x，AD=5x，∴AB=4x，即4x=20，解得x=5，∴AD=25，∴⊙O的半径为252．解析：(1)连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ABD=90°，则∠D+∠DAB=90°，再利用等量代换证明∠DAE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；(2)连接OB，如图，先计算出∠OAB=60°得到△AOB为等边三角形，所以∠AOB=60°，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部份的面积=S扇形AOB−S△AOB进行计算；(3)作BH⊥AE于H，如图，利用等腰三角形的性质得AH=EH=12AE=12，∠E=∠BAE，在Rt△BEH中利用余弦的定义可计算出BE=20，则AB=20，由于∠D=∠C=∠BAE=∠E，则cosD=35，在Rt△ABD中，cosD=BDAD =35，设BD=3x，AD=5x，易得4x=20，解出x得到AD的长，从而得到⊙O的半径．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．26.答案：解：(1)设DE=a，(0<a<10)，∵AD=10，∴AE=10−a，∵四边形MNPQ是矩形，∴PQ=DE=a，PN//BC，∴△APN∽△ABC，∴PNBC =ANAD，∴PN10=10−a10，∴PN=10−a，∴S矩形MNPQ=PN⋅PQ=(10−a)⋅a=−(a−5)2+25，∴当a=5时，S矩形MNPQ最大为25．(2)如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵{∠FAE=∠DHE AE=AH∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED(ASA)，∴AF=DH=16，∴BF=AB+AF=32+16=48同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BG=BC+CG=60，∴BI=AB+AF2=24，∵BI=24<32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，∴IK=12BG=30，过点K作KL⊥BC于点L，由题意知矩形的最大面积为BI⋅IK=24×30=720．解析：本题主要考查四边形、三角形的综合题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．(1)先判断出△APN∽△ABC，进而得出PN=10−a，利用面积公式S矩形MNPQ=−(a−5)2+25，即可得出结论；(2)取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE 上，利用题意的结论解答即可．27.答案：(1)−2，4 ；(2)①(4,0)；②由(1)知a=−2，b=4，∴A(−2,0)，B(0,4)，∴OA=2，OB=4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB=45°，∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°，如图3，Ⅰ、当∠ABP=90°时，∵∠APB=∠BAP=45°，∴AB=PB，过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP=90°，∵∠CBP+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BPC，在△AOB和△BCP中，{∠AOB=∠BCP=90°∠ABO=∠BPCAB=PB，∴△AOB≌△BCP(AAS)，∴PC=OB=4，BC=OA=2，∴OC=OB−BC=2，∴P(4,2)，Ⅱ、当∠BAP=90°时，过点P′作P′D⊥OA于D，同Ⅰ的方法得，△ADP′≌△BOA，∴DP′=OA=2，AD=OB=4，∴OD=AD−OA=2，∴P′(2,−2)；即：满足条件的点P(4,2)或(2,−2)；(3)如图2，由(2)知点P(2,−2)，∵A(−2,0)，∴直线AP的解析式为y=−12x−1，∴M(0,−1)，∴BM=5，同理：直线BP的解析式为y=−3x+4，∴N(43,0)，∴MN=53，过点P作PH//AB交x轴于H，∵∠BAP=90°，∴∠BAO+∠PAH=90°，∴∠BAO+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PAH，在△ABM和△PAH中，{∠ABM=∠PAHAB=AP∠BAM=∠APH=90°，∴△ABM≌△PAH(ASA)，∴∠AMB=∠PHA，AH=BM=5，∴∠PMG=∠PHA，OH=AH−OA=3，∴H(3,0)，∴NH=3−43=53=MN，∵P(2,−2)，M(0,−1)，H(3,0)，∴PM=√5，PH=√5，∴PM=PH，∴△PNM≌△PNH(SSS)，∴∠AHP=∠PMN，∴∠PMG=∠PMN，即：MP是△BMN的一个外角的平分线．解析：解：(1)∵a2+4a+4+|2a+b|=0，∴(a+2)2+|2a+b|=0，∴a=−2，b=4，故答案为：−2，4；(2)见答案；(3)见答案．(1)利用非负数的和等于0，即可建立方程组求出a，b；(2)①利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；②分两种情况，利用等腰三角形的性质，及全等三角形的性质求出PC，BC，即可得出结论；(3)先判断出∠PMG=∠AHP，再SSS判断出△PMN≌△PHN，得出∠AHP=∠PMN，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了非负性，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，构造全等三角形是解本题的关键．28.答案：解：(1)结论：△ABC为等腰直角三角形，理由：∵(b+3)2+|c−3|=0，又∵(b+3)2≥0，|c−3|，≥0．∴b=−3，c=3∴OB=OC，且AO⊥BC，∴AB=AC，又OA=OB=OC∴∠BAO=∠OBA=∠OAC=∠OCA=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．(2)如图1中，连接BF．设∠FCB=∠FBC=x，∴∠DFB=∠DBF=2x∴∠ABC=3x=45°∴x=15°，∴∠BCD=15°(3)过点H作HM⊥DG于点M，HN⊥CD交CD的延长线于点N，连接CG．由(2)可知：∠ADF=∠CDG=∠HDG=∠HDN=60°，∵HN⊥ND，HM⊥DG，∴HN=HM，∵∠CDG=∠CHG=60°，∴∠DCH=∠DGH，∵∠HMG=∠HNC=90°，∴△HGM≌△HCN(AAS)∴HC=HG，CN=GM，∴△HCG为等边三角形，∵HD=HD，HM=HM，∴Rt△HDN≌Rt△HDM(HL)，∴DN=DM，∴DG−CD=DM+GM−CN+DN=2DM=DH，∴DG−DH=CD ∵∠ACD=30°，∴CD=2AD ∴DG−DH=2AD，∴DG−DHAD=2解析：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)结论：△ABC为等腰直角三角形．利用非负数的性质证明a=b=c=3即可解决问题．(2)如图1中，连接BF.利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．(3)过点H作HM⊥DG于点M，HN⊥CD交CD的延长线于点N，连接CG.证明△HGM≌△HCN(AAS)，Rt△HDN≌Rt△HDM(HL)，△BCG是等边三角形即可解决问题．。
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷含解析
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）的绝对值是（）A．﹣3B．C．3D．2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠﹣2 3．（3分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a4 5．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＜0D．＞0 6．（3分）下列命题是真命题的是（）①方程x2＝2x的解为x＝2；②矩形对角线互相垂直；③五边形内角和为540°；④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等A．①②B．③④C．①③D．②④7．（3分）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个直角三角形8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，它的运行轨道距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为．10．（3分）计算的结果是．11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝．12．（3分）如图，已知a∥b，∠l＝78°，则∠2＝°．13．（3分）已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是．14．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（5，3），则其第四个顶点C的坐标是．15．（3分）已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝7，则k的值为．16．（3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于度．17．（3分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（2﹣x）（x+2）+x（x﹣1），其中x＝﹣1．20．（8分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．21．（8分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取名学生进行调查，扇形统计图中的x＝；（2）请补全统计图；（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有名．22．（8分）某校举行趣味运动会共有三个项目：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”．小明和小刚参与了该运动会的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为；（2）列表或画树状图求小明和小刚被分配到同一项目组的概率．23．（8分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？24．（10分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．25．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．26．（10分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝6，求邻余线AB的长．27．（12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P 与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB 的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数表达式；②未来两年内，当月销售量P为时，月毛利润为w达到最大．28．（14分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA ＝2，OC＝1．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）的绝对值是（）A．﹣3B．C．3D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．【解答】解：根据绝对值的概念可知：|﹣|＝，故选：B．【点评】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠﹣2【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．3．（3分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【解答】解：几何体的主视图为：故选：C．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a4【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＜0D．＞0【分析】直接利用数轴得出a，b的取值范围进而分别分析得出答案．【解答】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，A、a＜b，故此选项错误；B、|a|＞|b|，故此选项错误；C、a+b＜0，正确；D、＜0，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出a，b的取值范围是解题关键．6．（3分）下列命题是真命题的是（）①方程x2＝2x的解为x＝2；②矩形对角线互相垂直；③五边形内角和为540°；④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据方程的解、矩形的性质、多边形的内角和和全等三角形进行判断即可．【解答】解：①方程x2＝2x的解为x＝2或x＝0，原命题是假命题；②矩形对角线互相相等，原命题是假命题；③五边形内角和为540°，是真命题；④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．7．（3分）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个直角三角形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：A．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线P A的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△P AB∽△ADE，即可判断出y＝（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．【解答】解：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线P A的距离为：y＝DA＝BC＝4（0≤x≤3）．（2）如图1，当点P在BC上移动时，，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝，∵∠P AB+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠P AB＝∠ADE，在△P AB和△ADE中，∴△P AB∽△ADE，∴，∴，∴y＝（3＜x≤5）．综上，可得y关于x的函数大致图象是：．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，它的运行轨道距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为 4.39×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：439000＝4.39×105．故答案为：4.39×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）计算的结果是4．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：＝＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6x+3，＝3（x2﹣2x+1），＝3（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（3分）如图，已知a∥b，∠l＝78°，则∠2＝102°．【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝78°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣78°＝102°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝102°．故答案为：102．【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，熟练掌握性质和概念是解题的关键．13．（3分）已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是﹣3．【分析】根据x＝2y﹣3，可得：x﹣2y＝﹣3，据此求出代数式4x﹣8y+9的值是多少即可．【解答】解：∵x＝2y﹣3，∴x﹣2y＝﹣3，∴4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9＝4×（﹣3）+9＝﹣12+9＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（5，3），则其第四个顶点C的坐标是（2，3）．【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（5，3），∴点C的坐标为（5﹣3，3），即C（2，3）；故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（3分）已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝7，则k的值为3．【分析】方程组中两方程相加表示出x+y，代入已知方程计算即可求出k的值．【解答】解：①+②得：3x+3y＝6k+3，整理得：x+y＝2k+1，代入x+y＝7得：2k+1＝7，解得：k＝3，则k的值为3．故答案为：3．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．（3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于70度．【分析】连接OA、OB，先由切线的性质得∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再由四边形的内角和为360°，得出∠AOB+∠APB＝180°，然后利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系，得出∠AOB＝110°，从而求得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠APB＝360°，∴∠AOB+90°+90°+∠APB＝360°，∴∠AOB+∠APB＝180°，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和及同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于基础知识的考查，难度不大．17．（3分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝．【分析】作AE⊥y轴于E，如图，由于OD∥AE，利用平行线分线段成比例定理得＝＝，所以OD＝AE，CE＝6，设A（t，2），则OD＝t，再证明△CBD为等腰三角形得到OB＝OD＝t，则B（﹣t，0），接着利用勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，即（t+t）2+22+（t）2+42＝t2+62，解方程求出t得A（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．【解答】解：作AE⊥y轴于E，如图，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OD∥AE，∴＝＝，而AC＝3AD，即CD：CA＝2：3，∴＝＝，∴OD＝AE，CE＝6，∴OE＝2，设A（t，2），则OD＝t，∵OC平分∠ACB，OC⊥BD，∴△CBD为等腰三角形，∴OB＝OD＝t，∴B（﹣t，0），∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴（t+t）2+22+（t）2+42＝t2+62，解得t＝，∴A（，2），把A（，2）代入y＝得k＝A×2＝．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了勾股定理．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（2﹣x）（x+2）+x（x﹣1），其中x＝﹣1．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用整式的混合运算法则分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝2+3；（2）（2﹣x）（x+2）+x（x﹣1）＝4﹣x2+x2﹣x＝4﹣x当x＝﹣1时，原式＝4+1＝5．【点评】此题主要考查了实数运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（8分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【分析】分别计算出两个不等式的解集，根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出解集范围内的非负整数即可．【解答】解：，由①得：x≥﹣1；由②得x＜3．∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，∴非负整数解为：0，1，2．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确求得不等式组的解集，再根据得到的条件确定不等式组的特殊解．21．（8分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取200名学生进行调查，扇形统计图中的x＝15%；（2）请补全统计图；（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是36度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有900名．【分析】（1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学生数占总人数的百分比即可得到结论；（2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整；（3）依据“扬琴”的百分比，即可得到“扬琴”所占圆心角的度数；（4）依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量．【解答】解：（1）80÷40%＝200，x＝×100%＝15%，故答案为：200；15%；（2）喜欢二胡的学生数为200﹣80﹣30﹣20﹣10＝60，补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：36；（4）3000×＝900，答：该校喜爱“二胡”的学生约有有900名．故答案为：900．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．22．（8分）某校举行趣味运动会共有三个项目：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”．小明和小刚参与了该运动会的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为；（2）列表或画树状图求小明和小刚被分配到同一项目组的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小明和小刚被分配到同一项目组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有三个项目，分别是：A．“协力竞走”、B．“快乐接力”、C．“摸石过河”，∴小明被分配到A．“协力竞走”项目组的概率为；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中小明和小刚被分配到同一项目组的有3种，则P（同一项目组）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：+＝27，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（10分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝AB＝2，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF，EF分别是△ABC的中位线，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝4，∴DF＝DB＝DA＝AB＝2，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝2，∴四边形BEFD的周长为8．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．25．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理，由＝，得到∠BAD＝∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE＝∠BAD，所以∠ACD＝∠DCE；（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD＝EH＝4，则CH＝HE﹣CE ＝2，于是有∠HOC＝30°，得到∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD进行计算．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，∵∠DCE＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，即CD平分∠ACE；（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：连结OD，如图，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，而∠OCD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD＝EH，∵CE＝2，AC＝8，∴OC＝OD＝4，∴CH＝HE﹣CE＝4﹣2＝2，在Rt△OHC中，∠HOC＝30°，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD＝﹣×42＝π﹣4．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．26．（10分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝6，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA 互余，即∠F AB与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝6，∴NC＝10，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝20，∴AB＝AC＝20．【点评】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．27．（12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P 与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB 的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数表达式；②未来两年内，当月销售量P为23时，月毛利润为w达到最大．【分析】（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t+2；（2）直接利用每件利润×总销量＝总利润，进而得出代数式求出即可．【解答】解：（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，解得：，∴当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式为：P＝t+2；（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t+8）×＝240；当8＜t≤12时，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；综上所述，w关于t的函数解析式为：w＝，②当0＜t≤8时，w＝240；当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，当t＝21时，w取得最大值529，∵529＞448＞240∴t＝21时，w取得最大值此时P＝t+2＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．28．（14分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA ＝2，OC＝1．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A（2，0），B（1，），C（﹣1，）．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为y＝x．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为y＝﹣x+．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是2＜r＜4．【分析】（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；。
江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷(含解析)(1)
2017年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）1．3﹣1=（）A．﹣ B．C．﹣3 D．32．下列运算正确的是（）A．a7÷a4=a3B．5a2﹣3a=2a C．3a4•a2=3a8D．（a3b2）2=a5b43．百度搜索“撸起袖子加油干”，为您找到相关结果约4190000个，其中4190000用科学记数法表示为（）A．4.19×105B．4.19×106C．4.19×107D．0.419×1074．由6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．5．若一个正多边形的一个外角是36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．106．若a＜1﹣＜b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣47．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD 的度数为（）A．63° B．54° C．36° D．27°8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是．10．分解因式：2x2﹣8y2= ．11．甲、乙、丙、丁四位同学参加了10次数学测验，他们测验的平均成绩（）与方差（S2）如下表所示，那么这四位同学中，成绩较好，且较稳定的是12．如图，若l1∥l2∥l3，如果DE=4，EF=2，AC=5，则BC= ．13．已知圆锥的侧面积为15π，母线长5，则圆锥的高为．14．若x+3y﹣4=0，则3x•27y= ．15．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＞的解集为．16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．17．若方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），则将m，n，a，b按从小到大的顺序排列为．18．如图，在直角坐标系，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（3，1），将矩形沿对角线BO翻折，C点落在D点的位置，且BD交x轴于点E．那么点D的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（1）计算：2sin60°×﹣（﹣1）0；（2）化简：﹣÷．20．解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．21．为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：请根据所提供的信息解答下列问题：（1）样本的中位数是分；（2）频率统计表中a= ，b= ；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？22．如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是．（2）若甲、乙均可在本层移动．①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）试说明：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，试说明：四边形ADCE是矩形．24．如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．（1）求B点到OP的距离．（2）求滑动支架AC的长．（参考数据：sin37°=，cos37°=，tan37°=）25．新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙．已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？26．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边BC于点D，点E是上一点．（1）若AC为⊙O的切线，试说明：∠AED=∠CAD；（2）若AE平分∠BAD，延长DE、AB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PD的长．27．数学活动课上，某学习小组对有一内角（∠BAD）为120°的平行四边形ABCD，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究：在（2）的条件下，学习小组某成员探究发现AE+2AF=AC，试判断结论是否正确，并说明理由．28．如图，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A、B（5，0），与y轴交于点C（0，5），点P 是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y 轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P在第四象限，则△BPC的面积有值（填“最大”或“最小”），并求出其值；（3）当t＜5时，△BPE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．2017年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）1．3﹣1=（）A．﹣ B．C．﹣3 D．3【考点】6F：负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式=，故选（B）2．下列运算正确的是（）A．a7÷a4=a3B．5a2﹣3a=2a C．3a4•a2=3a8D．（a3b2）2=a5b4【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【分析】分别利用单项式乘以单项式以及单项式除以单项式、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a7÷a4=a3，正确；B、5a2﹣3a，无法计算，故此选项错误；C、3a4•a2=3a6，故此选项错误；D、（a3b2）2=a6b4，故此选项错误；故选：A．3．百度搜索“撸起袖子加油干”，为您找到相关结果约4190000个，其中4190000用科学记数法表示为（）A．4.19×105B．4.19×106C．4.19×107D．0.419×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4190000=4.19×106．故选：B．4．由6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是一个正方形，故选：B．5．若一个正多边形的一个外角是36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选D．6．若a＜1﹣＜b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】先求出的范围，再求出1﹣的范围，求出a、b的值，代入求出即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴﹣2＞﹣3，∴﹣1＞1﹣＞﹣2，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3，故选C．7．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD 的度数为（）A．63° B．54° C．36° D．27°【考点】M5：圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理得到∠ACD=∠AOD=27°，然后利用互余求解．【解答】解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，∵点D对应54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=∠AOD=27°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．故选A．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，h==，∵PD∥BC，∴=，∴AD=2x，AP=x，∴S1+S2=•2x•x+（2﹣1﹣x）•=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是a≤3 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴3﹣a≥0，解得a≤3．故答案为：a≤3．10．分解因式：2x2﹣8y2= 2（x+2y）（x﹣2y）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：2x2﹣8y2=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．11．甲、乙、丙、丁四位同学参加了10次数学测验，他们测验的平均成绩（）与方差（S2）如下表所示，那么这四位同学中，成绩较好，且较稳定的是乙【考点】W7：方差．【分析】比较平均数的大小可确定乙和丙的成绩较好，然后比较乙和丙的方差即可得到成绩较好，且较稳定的同学．【解答】解：∵乙和丙的平均数比甲和丁的平均数大，∴乙和丙的成绩较好，∵S乙2＜S丙2，∴乙的成绩比丙要稳定，∴这四位同学中，成绩较好，且较稳定的是乙．答案为：乙．12．如图，若l1∥l2∥l3，如果DE=4，EF=2，AC=5，则BC= ．【考点】S4：平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，即=，解得，BC=，故答案为：．13．已知圆锥的侧面积为15π，母线长5，则圆锥的高为．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•5=15π，然后解方程求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得•2π•r•5=15π，解得r=3，所以圆锥的高==4．故答案为4．14．若x+3y﹣4=0，则3x•27y= 81 ．【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】将x+3y看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．【解答】解：∵x+3y﹣4=0，∴x+3y=4，∴3x•27y=3x•33y=3x+3y=34=81．故答案为：81．15．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＞的解集为﹣1＜x ＜0或x＞2 ．【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【分析】把A（2，1）．B（﹣1．﹣2）代入y=kx+b得到一次函数的解析式为y=x﹣1，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵A（2，1）．B（﹣1．﹣2），∴，∴，∴一次函数的解析式为：y=x﹣1，设y=，解：得，，∴不等式kx+b＞的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEC=90°，∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，∴E、C、B共线，在Rt△AEB中，tan∠ABC===．故答案为．17．若方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），则将m，n，a，b按从小到大的顺序排列为m＜a＜b＜n ．【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．【分析】利用数形结合的思想，根据题意得到二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与直线y=3的交点的横坐标分别为a、b，加上二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两交点的坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向下，于是可得到m＜a＜b＜n．【解答】解：因为方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b（a＜b），所以二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与直线y=3的交点的横坐标分别为a、b，而二次函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两交点的坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向下，所以m＜a＜b＜n．故答案为m＜a＜b＜n．18．如图，在直角坐标系，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（3，1），将矩形沿对角线BO 翻折，C 点落在D 点的位置，且BD 交x 轴于点E ．那么点D 的坐标为 （，） ．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠可知：BD=BC=OA=3，∠ODE=∠OAB=∠OCB=90°，OD=OC=AB=1，由AAS 证明△ODE ≌△BAE ，得出DE=AE ，OE=BE ，设AE=x ，那么OE=3﹣x ，DE=x ，在Rt △ODE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出OE=，DE=，证明△ODF ∽△DOE ，得出对应边成比例求出OF=，DF=，即可得出点D 的坐标．【解答】解：如图，过D 作DF ⊥OC 于F ，∵点B 的坐标为（3，1），∴BC=AO=3，AB=OC=1，根据折叠可知：BD=BC=OA=3，∠ODE=∠OAB=∠OCB=90°，OD=OC=AB=1，在△ODE 和△BAE 中，，∴△ODE ≌△BAE （AAS ），∴DE=AE ，OE=BE ，设AE=x ，那么OE=3﹣x ，DE=x ，∴在Rt △ODE 中，OE 2=DE 2+OD 2，∴（3﹣x ）2=x 2+12，解得：x=，∴OE=，DE=，又∵DF ⊥OC ，∴DF ∥EO ，∴∠ODF=∠EOD，∵∠DFO=∠ODE=90°，∴△ODF∽△DOE，∴==∴OF=，DF=，∴点D的坐标为（，）．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（1）计算：2sin60°×﹣（﹣1）0；（2）化简：﹣÷．【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据特殊角的三角函数和零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．【解答】解：（1）2sin60°×﹣（﹣1）0=2××2﹣1=6﹣1=5；（2）﹣÷===．20．解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+4＜3（x+2），得：x＞﹣1，解不等式+1＞x，得：x＜4，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则不等式组的最小整数解为0．21．为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：请根据所提供的信息解答下列问题：（1）样本的中位数是44.5 分；（2）频率统计表中a= 12 ，b= 0.30 ；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W4：中位数．【分析】（1）根据题意可知中位数是第50个数和51个数的平均数，本题得以解决；（2）根据表格和随机抽取了100名学生的成绩，可以求得a、b的值，本题得以解决；（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；（4）根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数．【解答】解：（1）∵随机抽取了100名学生的成绩，由表格可得，1+2+3+3+6+7+5+8+15=50，50+9+59，∴中位数为： =44.5，故答案为：44.5；（2）由表格可得，a=100×0.12=12，b=30÷100=0.30，故答案为：12，0.30；（3）补全的频数分布直方图如右图所示，（4）由题意可得，1200×（0.20+0.35+0.30）=1020（人），即该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人．22．如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是．（2）若甲、乙均可在本层移动．①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X4：概率公式．【分析】（1）若乙固定在E处，求出移动甲后黑色方块构成的拼图一共有多少种可能，其中是轴对称图形的有几种可能，由此即可解决问题．（2）①画出树状图即可解决问题．②中心对称图形有两种可能，由此即可解决问题．【解答】解：（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是．故答案为．（2）①由树状图可知，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率=．②黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形，①甲在B处，乙在F处，②甲在C处，乙在E处，所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是．故答案为．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）试说明：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，试说明：四边形ADCE是矩形．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC ≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵▱ABDE中，AB=DE，AB∥DE，∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形．24．如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．（1）求B点到OP的距离．（2）求滑动支架AC的长．（参考数据：sin37°=，cos37°=，tan37°=）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】（1）根据三角函数分别表示出OH和DH，再根据点D到点O的距离为28cm可列方程求解；（2）在Rt△BDH中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．【解答】解：（1）如图所示：在Rt△BHD中，∠BDH=37°，由tan37°=，可令BH=3x，则DH=4x．由题意∠BOD=90°﹣45°=45°，则OH=BH=3x，由OD=OH+DH=28得：4x+3x=28，解得x=4，∴BH=3x=12 （cm）；答：B点到OP的距离为12cm．（2）在Rt△BHD中，sin∠BDH=，∴BD=，∴AC=BD=20（cm）；答：滑动支架AC的长为20cm．25．新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙．已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，根据时间关系列出方程，解方程即可．【解答】解：设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，由题意，得﹣=，解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则1.2x=120．答：大货车的速度为100km/h，小轿车的速度为120km/h．26．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边BC于点D，点E是上一点．（1）若AC为⊙O的切线，试说明：∠AED=∠CAD；（2）若AE平分∠BAD，延长DE、AB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PD的长．【考点】MC：切线的性质．【分析】（1）首先证明∠CAD=∠B，根据∠AED=∠B即可证明结论．（2）只要证明AD∥OE，可得==，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AC是切线，∴∠CAB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠DBA，∵∠DBA=∠AED，∴∠AED=∠CAD．（2）解：连接OE．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAB，∴∠DAE=∠AEO，∴AD∥OE，∴==，∴DP=3DE=6．27．数学活动课上，某学习小组对有一内角（∠BAD）为120°的平行四边形ABCD，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究：在（2）的条件下，学习小组某成员探究发现AE+2AF=AC，试判断结论是否正确，并说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，根据ASA即可证明．②利用①中结论，即可证明．（2）首先利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，再证明△ACE∽△HCF，即可推出==2．（3）利用代数法证明，如图2中，由（2）可知，设FH=α，则AE=2a，设AH=x，则AH=3x，易知AC=2x，AF=3x﹣a，即可得出AE+2AF=2a+2（3x﹣a）=6x=AC．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠BCF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF．②如图1中，∵△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．∴AE+AF=AC．（2）证明：如图2中，设DH=x，由题意CD=2x，CH=x．∴AD=2AB=4x，AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=16x2，AD2=16x2，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°=∠ACH，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴==2，∴AE=2FH．（3）结论正确．理由：如图2中，由（2）可知，设FH=α，则AE=2a，设AH=x，则AH=3x，易知AC=2x，∴AF=3x﹣a，∴AE+2AF=2a+2（3x﹣a）=6x=AC．28．如图，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A、B（5，0），与y轴交于点C（0，5），点P 是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y 轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P在第四象限，则△BPC的面积有最大值（填“最大”或“最小”），并求出其值；（3）当t＜5时，△BPE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标可求得抛物线解析式；（2）可求得直线BC的解析式，则可用t表示出PE的长，进一步可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）可用t表示出P、H、E 的坐标，由（2）可知△BHE为等腰直角三角形，可求得BE=（﹣t+5），分PE=PB、BE=BP和BE=PE三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵B（5，0），C（0，5），∴c=5，0=25a﹣30+c，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5；（2）∵B（5，0），C（0，5），∴直线BC解析式为y=﹣x+5，∵P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．∴P（t，t2﹣6t+5），E（t，﹣t+5），∴PE=﹣t+5﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，∴S△PBC=OB•PE=×5（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴S△PBC有最大值，最大值为，故答案为：最大；（3）存在．理由如下：由题意可知P（t，t2﹣6t+5），则H（t，0），E（t，﹣t+5），且△BHE为等腰直角三角形，∴BE=BH=（5﹣t），∵△BPE为等腰三角形，∴有PE=PB、BE=BP和BE=PE三种情况，①当PE=PB时，由于∠PEB=45°，∴△PEB为等腰直角三角形，点P在A点处，即P（1，0），符合题意；②当BE=BP时，由于PE⊥BH，∴HE=HP，即点E与点P关于x轴对称，∴﹣t+5+t2﹣6t+5=0，解得t=2或t=5（不合题意，舍去），∴P（2，﹣3）；③当BE=PE时，∵△EHB为等腰直角三角形，∴BE=HB=（5﹣t），且PE=|﹣t2+5t|，∴|﹣t2+5t|=（5﹣t），解得t=±或t=5（不舍题意，舍去），∴P（，7﹣6）或（﹣，7+6）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，0）或（2，﹣3）或（，7﹣6）或（﹣，7+6）．。
2020年中考数学一模试卷(带答案)
2020年中考数学一模试卷(带答案)一、选择题1．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（ ） A ．15 B ．14C ．15 D ．4173．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．94．定义一种新运算：1an nnbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．255．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数/分 70 80 90100 人数/人13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A ．80分 B ．85分C ．90分D ．80分和90分6．已知11(1)11A x x ÷+=-+，则A ＝( ) A ．21x x x -+ B ．21x x - C ．211x - D ．x 2﹣17．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁8．下列图形是轴对称图形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ）A ．14cmB ．4cmC ．15cmD ．3cm10．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（30ABC ∠=︒），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30°D ．40︒11．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（ ）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°12．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A．10B．12C．16D．18二、填空题13．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____．14．如果a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a=，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数，…，依此类推,则2019a=___________．15．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为_____．17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．18．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量10020050010002000A出芽种子数961654919841965发芽率0.960.830.980.980.98B出芽种子数961924869771946发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是__________（只填序号）．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．20．二元一次方程组627x yx y+=⎧⎨+=⎩的解为_____．三、解答题21．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？23．如图1，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A，C两点的坐标；(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】的大小，即可得到结果． 【详解】46 6.25<<Q ，2 2.5∴<<，的点距离最近的整数点所表示的数是2， 故选：B ． 【点睛】此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2．A解析：A 【解析】∵在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC ，则cos B =BC AB ， 故选A3．A解析：A 【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解． 【详解】∵E 是AC 中点， ∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．B解析：B 【解析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可. 【详解】 根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-， 则25m =-， 经检验，25m =-是方程的解， 故选B. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】先通过加权平均数求出x 的值，再根据众数的定义就可以求解． 【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1）， x=3∴该组数据的众数是80分或90分． 故选D ． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x 是解答问题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】 由题意可知A=111)11x x ++-（，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再用分式的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】 解：A=11111x x ++-=111xx x +-g =21x x -故选B. 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2xx --=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.8．C解析：C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故轴对称图形有4个．故选C．考点：轴对称图形．9．A解析：A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则22222(65)(5)10x+++=，x=（负值已舍），故选A解析：B【解析】【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论.【详解】解：Q直线//m n，21180ABC BAC∴∠+∠∠+∠=+︒，30ABC=︒∠Q，90BAC∠=︒，140∠=︒，218030904020∴∠=---︒︒=︒︒︒，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.11．D解析：D【解析】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．C解析：C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE=12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．二、填空题13．36°或37°【解析】分析：先过E作EG∥AB根据平行线的性质可得∠AEF=∠BA E+∠DFE再设∠CEF=x则∠AEC=2x根据6°＜∠BAE＜15°即可得到6°＜3x-60°＜15°解得22°＜解析：36°或37°．【解析】分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x ＜25°，进而得到∠C的度数．详解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x-60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，故答案为：36°或37°．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．14．【解析】【分析】利用规定的运算方法分别算得a1a2a3a4…找出运算结果的循环规律利用规律解决问题【详解】∵a1=4a2=a3=a4=…数列以4−三个数依次不断循环∵2019÷3=673∴a2019 解析：34. 【解析】【分析】 利用规定的运算方法，分别算得a 1，a 2，a 3，a 4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a 1=4a 2=11111143a ==---， a 3=211311413a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭=---， a 4=31143114a ==--， …数列以4,−1334，三个数依次不断循环， ∵2019÷3=673， ∴a 2019=a 3=34， 故答案为：34. 【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.15．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程通过解关于m 的方程求得m 的值即可【详解】∵关于x 的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=解析：2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．16．【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q过C作CM⊥x轴于M过E作EF⊥x 轴于F设D点的坐标为（ab）求出CE的坐标代入函数解析式求出a再根据勾股定理求出b即可请求出答案【详解】如图过D作DQ⊥x轴于Q解析：25【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），则C点的坐标为（a+3，b），∵E为AC的中点，∴EF=12CM=12b，AF=12AM=12OQ=12a，E点的坐标为（3+12a，12b），把D、E的坐标代入y=kx得：k=ab=（3+12a）12b，解得：a=2，在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，即22+b2=9，解得：5∴5故答案为5【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a、b的方程是解此题的关键．17．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC，可得11243ABES∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADFS S S S S S∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S△ADF－S△BEF=218．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确解析：②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．20．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．三、解答题21．（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【解析】分析：（1）找出当x=6时，y 1、y 2的值，二者作差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y 1、y 2关于x 的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y 1﹣y 2的值，设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1﹣y 2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y 1=mx+n ，y 2=a （x ﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y 1=mx+n ，3563m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y1=﹣23x+7；将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，4=a（3﹣6）2+1，解得：a=13，∴y2=13（x﹣6）2+1=13x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣23x+7﹣（13x2﹣4x+13）=﹣13x2+103x﹣6=﹣13（x﹣5）2+73．∵﹣13＜0，∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣13x2+103x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+73（t+2）=22，解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：1200090001501.5x x+=解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．23．（1）y=﹣14x2+32x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析；（3）点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣0）、（3，0）、（0）．（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，再由两点间的距离公式求出线段AB、AC、BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC为直角三角形；（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0）（-2<n<8），通过分割图形法求面积，再根据相似三角形面积间的关系以及三角形的面积公式即可得出S△AMN关于n的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键. 24．见解析【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.25．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)10π．【解析】【分析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．【详解】解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)如图，△A1B1C1为所作；(3)如图，△A2B2C2为所作，OC2213+10，点C旋转至C29010π⋅⋅10π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．。
2024年江苏省扬州市江都区中考数学一模试卷+答案解析
2024年江苏省扬州市江都区中考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是()A. B. C. D.32.下列运算正确的是()A. B. C. D.3.二次根式有意义，则x的取值范围是()A. B. C. D.4.如图，该几何体的左视图是()A. B. C. D.5.如图，把一块含角的三角板的直角顶点靠在长尺两边的一边b上，若，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角的度数为()A. B. C. D.6.某学习小组9名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如下表人数人1341分数分80859095那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是()A.90，90B.90，85C.90，D.85，857.漏刻如图是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为()…24712………A. B. C. D.8.对于函数的图像和性质，下列说法正确的有：①图像与x轴的交点坐标为；②图像与y 轴没有交点；③图像不经过第四象限；④当时，y随着x的增大而增大．()A.①②B.①②③C.①②③④D.①②④二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示为_______.10.因式分解_____.11.把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为__________.12.一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是_________.13.若圆锥底面圆的半径为3，母线长为6，则该圆锥的侧面积是_______.14.如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为__________.15.如图，在的内接四边形ABCD中，若点E在上，则的度数为_________16.若函数与的图像的交点坐标为，则的值是_____.17.小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片如图，若，，，则原直角三角形玻璃的面积为______参考数据：，，18.若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是_____.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2020年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷(解析版)
2020年扬州市邛江区中考数学一模试卷、选择题（共8小题） 1 . -4"的绝对值是（ ） A . - 3B. —C. 32 .若分式 士有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x>- 2B. xw2C. xw04 .下列计算正确的是( ) A. a 3+a 2 = a 5B. a 3? a 2=a 6C. (a 2) 3= a 55 .实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是_s __________ -2 -1 01 2A. a>bB. |a|< |b|C. a+bv 06 .下列命题是真命题的是（ ）①方程x 2=2x 的解为x=2; ②矩形对角线互相垂直； ③五边形内角和为 540° ;④一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 A.①②B.③④C.①③D.②④7 .下列图形中一定是相似形的是（ ）A.两个等边三角形B.两个菱形D.两个直角三角形3.如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ D. xw — 2D. a 6+a 2=a 4C.两个矩形8 .如图，矩形 ABCD 中，AB=3, BC = 4,点P 从A 点出发，按 A - B-C 的方向在 AB 和BC 上移动.记PA = x ，点D 到直线PA 的距离为V,则y 关于x 的函数大致图象是()二、填空题(本大题共 10小题，每小题3分，共30分)9 . 1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，它的运行轨道距地球最近点 439000米.将439000用科学记数法表示应为14.在平面直角坐标系中，？OABC 的三个顶点 O (0, 0)、A (3, 0)、B (5, 3),则其第四个顶点C 的坐标是16 .如图，PA, PB 是。
的切线，A, B 为切点，点 C 在。
上，且/ ACB=55。
，则/ C.4 D.15.已知关于x 、y 的方程组的解满足x+y= 7,则k 的值为APB 等于度.A.3 3 0B.0 010.计算17 .如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD = 15/3米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30。
2023年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试【答案版】
2023年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．函数y=√x−2中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≠22．最接近﹣π的整数是（）A．3B．4C．﹣3D．﹣43．下列各式中，计算结果为a6是（）A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a24．已知点A（1，m）与点B（3，n）都在反比例函数y=k（k＞0）的图象上，那么m与n的关系是（）xA．m＜n B．m＞n C．m＝n D．不能确定5．某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数6．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．7．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C ．D ．8．如图，点A ，B 的坐标分别为A （3，0）、B （0，3），点C 为坐标平面内的一点，且BC ＝2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．32√2+1B ．3√2+2C ．32√2D ．2二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．我国钓鱼诸岛面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为 ． 10．因式分解：a 3﹣4a ＝ ．11．关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1＝0没有实数根，则k 的取值范围是 ． 12．二次函数y ＝ax 2+bx +c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：则当﹣3＜x ＜3时，y 满足的范围是 ．13．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ．14．如图，直线a ∥b ，Rt △ABC 的直角顶点C 在直线b 上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．15．圆锥的母线长为12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是 （结果保留π）． 16．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ACB ＝ ．17．如图，在正十边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10中，连接A 1A 4、A 1A 7，则∠A 4A 1A 7＝ °．18．已知二次函数y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣2）（m 为常数）．点A （1，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3）在二次函数的图象上，当y 1⋅y 2⋅y 3≥0时，m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：√12−3tan30°−(12)−1； （2）解不等式：1−2x 2−1≥x+23．20．先化简再求值：(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1，其中x 是方程x 2﹣2x ＝0的一个根． 21．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15 乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15 丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16 请回答下面问题： （1）填空：（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？ （3）你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？22．某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为14．（1）该批产品有正品 件；（2）如果从中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率．23．金山银山不如绿水青山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树900棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？24．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ； （2）证明四边形ADCF 是菱形．25．如图，以点O 为圆心，AB 长为直径作圆，在⊙O 上取一点C ，延长AB 至点D ，连接DC ，∠DCB ＝∠DAC ，过点A 作AE ⊥AD 交DC 的延长线于点E ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若CD ＝4，DB ＝2，求AE 的长．26．将a 克糖放入水中，得到b 克糖水，此时糖水的浓度为ab (b ＞a ＞0)．（1）再往杯中加入m （m ＞0）克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 ； （2）请证明（1）中的数学关系式；（3）在△ABC 中，三条边的长度分别为a ，b ，c ，证明：a b+c+b c+a+c a+b＜2．27．如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一个动点，连接BE ，将△ABE 沿直线BE 翻折得到△FBE ．（1）如图1，若点F 落在对角线BD 上，则线段DE 与AE 的数量关系是 ；（2）若点F 落在线段CD 的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE （不写作法，保留作图痕迹）．连接DF ，则∠EDF ＝ °；（3）如图3，连接CF ，DF ，若∠CFD ＝90°，求AE 的长．28．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．（1）当﹣2≤x ≤1时，下列函数有界的是 （只要填序号）； ①y ＝2x ﹣1；②y =−2x；③y ＝﹣x 2+2x +3．（2）当m ≤x ≤m +2时，一次函数y ＝（k +1）x ﹣2的界值不大于2，求k 的取值范围； （3）当a ≤x ≤a +2时，二次函数y ＝x 2+2ax ﹣3的界值为94，求a 的值．2023年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．函数y=√x−2中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≠2解：根据题意得：x﹣2≥0，解得x≥2．故选：A．2．最接近﹣π的整数是（）A．3B．4C．﹣3D．﹣4解：∵π≈3.14，∴﹣π≈﹣3.14，∴最接近﹣π的整数是﹣3．故选：C．3．下列各式中，计算结果为a6是（）A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a2解：A、a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；C、（a3）2＝a6，故本选项符合题意；D、a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；故选：C．4．已知点A（1，m）与点B（3，n）都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，那么m与n的关系是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．不能确定解：∵k＞0，∴反比例函数y=kx（k＞0）的图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．又∵点A（1，m）与点B（3，n）都位于第一象限，且1＜3，∴m＞n．故选：B．5．某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与第5个数无关．故选：B．6．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：A．7．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC=√62+82=10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C ．8．如图，点A ，B 的坐标分别为A （3，0）、B （0，3），点C 为坐标平面内的一点，且BC ＝2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．32√2+1B ．3√2+2C ．32√2D ．2解：如图，作点A 关于点O 的对称点A '（﹣3，0）， 则点O 是AA '的中点， 又∵点M 是AC 的中点， ∴OM 是△AA 'C 的中位线， ∴OM =12A ′C ，∴当A 'C 最大时，OM 最大，∵点C 为坐标平面内的一点，且BC ＝2， ∴点C 在以B 为圆心，2为半径的⊙B 上运动，∴当A 'C 经过圆心B 时，A ′C 最大，即点C 在图中C '位置． A 'C '＝AB +BC '＝3√2+2． ∴OM 的最大值=32√2+1．故选：A ．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．我国钓鱼诸岛面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为 6.344×106．解：6344000＝6.344×106．故答案为：6.344×106．10．因式分解：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．11．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，解得：k＜﹣1．故答案为：k＜﹣1．12．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是﹣4＜y≤4．解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，∴抛物线开口向下，∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，故答案为，﹣4＜y≤4．13．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是0.3．解：根据概率公式摸出黑球的概率是1﹣0.2﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为50°．解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝40°， ∵∠3+∠2+90°＝180°， ∴∠2＝50°． 故答案为：50°．15．圆锥的母线长为12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是 72π （结果保留π）． 解：圆锥的侧面积=12•2π•6•12＝72π． 故答案为72π．16．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ACB ＝ 105° ．解：如图所示： ∵MN 垂直平分BC ， ∴CD ＝BD ， ∴∠DBC ＝∠DCB ∵CD ＝AC ，∠A ＝50°， ∴∠CDA ＝∠A ＝50°， ∵∠CDA ＝∠DBC +∠DCB ，∴∠DCB ＝∠DBC ＝25°，∠DCA ＝180°﹣∠CDA ﹣∠A ＝80°， ∴∠ACB ＝∠DCB +∠ACD ＝25°+80°＝105°． 故答案为：105°．17．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝54°．解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=310×360°＝108°，∴∠A4A1A7=12×108°＝54°．故答案为：54．18．已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1⋅y2⋅y3≥0时，m的取值范围是m≤﹣1或0≤m≤2或m≥3．解：∵二次函数为y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，∴y1＝（1﹣m）（﹣m﹣1），y2＝（2﹣m）（﹣m），y3＝（3﹣m）（1﹣m），∵y1⋅y2⋅y3≥0，∴（1﹣m）（﹣m﹣1）（2﹣m）（﹣m）（3﹣m）（1﹣m）≥0，∴（1﹣m）2（m+1）m（m﹣2）（m﹣3）≥0，∵（1﹣m）2≥0，∴（m +1），m ，（m ﹣2），（m ﹣3）的负数有偶数个，且m +1＞m ＞m ﹣2＞m ﹣3， 当负数有0个时，m ﹣3≥0，∴m ≥3；当负数有2个时，m ≥0且m ﹣2≤0，∴0≤m ≤2； 当负数有4个时，m +1≤0，∴m ≤﹣1；综上，m 的取值范围为：m ≤﹣1或0≤m ≤2或m ≥3， 故答案为：m ≤﹣1或0≤m ≤2或m ≥3．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：√12−3tan30°−(12)−1； （2）解不等式：1−2x 2−1≥x+23．解：（1）原式=2√3−3×√33−2=√3−2；（2）去分母得：3（1﹣2x ）﹣6≥2（x +2）， 移项、合并同类项得：﹣8x ≥7， 化系数为1得：x ≤−78． 20．先化简再求值：(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1，其中x 是方程x 2﹣2x ＝0的一个根． 解：原式=x−2x−1×(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2，解x 2﹣2x ＝0得：x 1＝0，x 2＝2（使分式无意义，舍去）， 当x ＝0时，原式=−12．21．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15 乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15 丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16 请回答下面问题： （1）填空：（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？ （3）你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？ 解：（1）甲厂：平均数为110（4+5+5+5+5+7+9+12+13+15）＝8，众数为8；乙厂：众数为8，中位数为8.5； 丙厂：中位数为8； 故答案为：（2）甲家的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数； 乙家的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数； 丙家的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数．（3）平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品， 因此应选乙厂的产品．22．某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为14．（1）该批产品有正品 3 件；（2）如果从中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率．解：（1）∵某种电子产品共4件，从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为14；∴批产品有正品为：4﹣4×14=3． 故答案为：3； （2）画树状图得：∵结果共有12种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共6种， ∴P （两次取出的都是正品）=612=12． 23．金山银山不如绿水青山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树900棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？解：设原计划每天种树x 棵．则实际每天种树1.5x 棵， 由题意，得：900x=9001.5x+4，解得：x ＝75，经检验，x ＝75是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树75棵．24．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ； （2）证明四边形ADCF 是菱形．证明：（1）∵AF ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线， ∴AE ＝DE ，BD ＝CD ， 在△AFE 和△DBE 中， {∠AFE =∠DBE∠FEA =∠BED AE =DE， ∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）由（1）知，△AFE ≌△DBE ，则AF ＝DB ． ∵DB ＝DC ， ∴AF ＝CD ． ∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC=12 BC，∴四边形ADCF是菱形．25．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线；∴AE ＝CE ， ∵AD 2+AE 2＝DE 2，∴（6+2）2+AE 2＝（4+AE ）2， 解得AE ＝6．26．将a 克糖放入水中，得到b 克糖水，此时糖水的浓度为ab (b ＞a ＞0)．（1）再往杯中加入m （m ＞0）克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为a+m b+m＞ab；（2）请证明（1）中的数学关系式；（3）在△ABC 中，三条边的长度分别为a ，b ，c ，证明：a b+c+b c+a+c a+b＜2．解：（1）由题意得：加入m 克糖后糖水浓度为：a+m b+m，由糖水变甜可知：a+m b+m ＞ab，故答案为：a+m b+m＞a b；（2）利用作差法比较大小：a+m b+m−a b=b(a+m)b(b+m)−a(b+m)b(b+m)=bm−am b(b+m)=m(b−a)b(b+m)．∵m ＞0，b ＞a ＞0， ∴b ﹣a ＞0，b +m ＞0，即m(b−a)b(b+m)＞0，∴a+m b+m−a b＞0，即a+m b+m＞a b．（3）在△ABC 中，a +b ＞c ，b +c ＞a ，c +a ＞b ，且a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a b+c＜1，bc+a＜1，c a+b＜1．由糖水不等式得，ab+c ＜a+a b+c+a ，b c+a＜b+b c+a+b，cb+a＜c+c a+b+c，∴a b+c+b c+a+ca+b＜a+ab+c+a+b+b c+a+b+c+c a+b+c=2，∴ab+c +bc+a+ca+b＜2．27．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是DE=√2AE；（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝75°；（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．解：（1）DE=√2AE，理由如下：在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，∠A＝90°，由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFB＝∠A＝90°，∴∠EFD＝90°，∴△EFD为等腰直角三角形，即DF＝FE，由勾股定理可得：√2EF＝DE，即DE=√2AE；（2）作图如下：则△FBE 为即为所求，由题意可得：MN 垂直平分CD ，MN 垂直平分AB ，点F 在MN 上， 则AF ＝BF ，由折叠的性质可得AB ＝BF ， ∴△ABF 为等边三角形，∴∠BAF ＝60°，△ADF 为等腰三角形， ∴∠DAF ＝30°，∴∠EDF =12(180°−30°)=75°， 故答案为：75；（3）取CD 的中点O ，连接BO ，FO ，如图，∵∠CFD ＝90°， ∴OF ＝CO ＝OD ＝2， ∵BC ＝BA ＝BF ，BO ＝BO ， ∴△BCO ≌△BFO （SSS ）， ∴∠BFO ＝∠BCO ＝90°， ∴∠EFB +∠BFO ＝180°， ∴点E ，F ，O 共线，设AE ＝EF ＝x ，则DE ＝4﹣x ， 在Rt △ODE 中，OD 2+DE 2＝OE 2， ∴22+（4﹣x ）2＝（2+x ）2， 解得x =43， 即AE 的长为43．28．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．（1）当﹣2≤x≤1时，下列函数有界的是①③（只要填序号）；①y＝2x﹣1；②y=−2x；③y＝﹣x2+2x+3．（2）当m≤x≤m+2时，一次函数y＝（k+1）x﹣2的界值不大于2，求k的取值范围；（3）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的界值为94，求a的值．解：（1）①当﹣2≤x≤1时，函数y＝2x﹣1，当x＝﹣2时，y＝﹣5，当x＝1时，y＝1，∴|y1﹣y2|≤|1﹣（﹣5）|＝6，故y＝2x﹣1在﹣2≤x≤1时是有界函数；②y=−2x；③y＝﹣x2+2x+3．②∵y=−2x的x不等于0，∴函数y=−2x在﹣2≤x≤1时没有最大值和最小值，∴函数y=−2x在﹣2≤x≤1时不是有界函数；③当x＝1时，y＝0，当x＝0时，y＝3，当x＝﹣2时，y＝﹣5，∴|y1﹣y2|≤|3﹣（﹣5）|＝8，故y＝﹣x2+2x+3在﹣2≤x≤1时是有界函数；故答案为：①③；（2）由函数y＝（k+1）x﹣2在m≤x≤m+2时的界值不大于2，∴y最大值﹣y最小值≤2，当k+1＞0时，y随x的增大而增大，∴x＝m时，y最小值＝m（k+1）﹣2，x＝m+2时，y最大值＝（m+2）（k+1）﹣2，∴（m+2）（k+1）﹣2﹣[m（k+1）﹣2]≤2，∴﹣1＜k≤0，当k+1＜0时，y随x的增大而减小，∴x＝m时，y最大值＝m（k+1）﹣2，x＝m+2时，y最小值＝（m+2）（k+1）﹣2，∴m（k+1）﹣2﹣[（m+2）（k+1）﹣2]≤2，∴﹣2≤k＜﹣1，综上所述，k的取值范围为﹣1＜k≤0或﹣2≤k＜﹣1．（3）y＝x2+2ax﹣3＝（x+a）2﹣3﹣a2，当x＝﹣a时，y＝﹣3﹣a2，当x＝a时，y＝3a2﹣3，当x＝a+2时，y＝3a2+8a+1，①当﹣a≤a≤a+2时，a≥0，此时，当x＝a时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值，∴y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝3a2﹣3，∴3a2+8a+1﹣（3a2﹣3）=94，解得a=−732（舍去）．②当a≤﹣a≤a+2时，﹣1≤a≤0，当−12≤a≤0时，y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝﹣3﹣a2，∴3a2+8a+1﹣（﹣a2﹣3）=94，解得a=−14或a=−74（舍去）．当﹣1≤a≤−12时，y最大值＝3a2﹣3，y最小值＝﹣3﹣a2，3a2﹣3﹣（﹣a2﹣3）=94，解得a=−34或a=34（舍去）．③当a≤a+2≤﹣a时，a≤﹣1，y最小值＝3a2+8a+1，y最大值＝3a2﹣3，∴3a2﹣3﹣（3a2+8a+1）=94，解得a=−2532（舍去）．综上所述，a的值为−14或−34．。