高中数学等比数列

要求层次重难点等比数列等比数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题等差比数列的通项公式与前n 项和公式C（一） 知识内容1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示． 2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数； 一个正数与一个负数没有等比中项． <教师备案>1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=． 4. 等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，nn mma q a -=； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．例题精讲高考要求板块一：等比数列通项等比数列2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（二）典例分析：1.等比数列定义【例1】 ⑴在等比数列}{n a 中, 116a =-，48a =，则=7a （ ）A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±⑵ 在等比数列{}n a 中，若39,a a 是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____.⑶在等比数列}{n a 中，公比2q =，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152【变式】 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．【例2】 一个数加上20，50，100后得到的三数成等比数列，其公比为 ．【变式】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．2.等比数列性质【例3】 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=( )A ．()1614n --B ．16(12)n --C ．()32143n --D ．()32123n --【变式】 或判断设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2006a 和2007a 是方程24830x x -+=的两根，则20082009a a += ．【变式】 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【变式】 等比数列{}n a 的公比为2，则123422a a a a ++的值为 ．【例4】 已知等比数列{}n a 满足1611a a +=，且34329a a =. ⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵如果至少存在一个自然数m ，恰使123m a -，2()m a ，149m a ++这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{}n a 是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.【例5】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(12)，，n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782，，，，--中，则6q = ．3.证明等比数列<教师备案>数列的递推公式在必修5中为选学内容，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列的一种方法，也是研究数列的一个途径，本板块与等比数列定义结合，根据数列递推公式，重点讲解用待定系数法求数列的通项公式，也可称为换元法． 主要有几种出题形式： 1．1n n a b a c +=⋅+ 2．1()n n a b a c n +=⋅+ 3．11n n n a pa qa +-=+【例6】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)3n n S a =-*()n ∈N⑴求1a ，2a ；⑵求证：数列{}n a 是等比数列．【例7】 已知数列{}n a 满足11a =，1112n n a a +=+，求其通项公式．【例8】 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求n a ．【点评】 解法一利用待定系数法确定常数λ，从而构造新的等比数列，进而求通项公式；解法二仿照所给关系式，两式相减构造新的数列（等差或等比）【变式】 已知数列{}n a 满足11a =-，1132(2)n n n a a n --=+≥，求n a【点评】 当{}()c n 成等比数列时，1()n n a ba c n -=+由于{}()c n 是等比数列()n c n p q ⇔=⋅，且b 是常数，故()c n 一定可像c 一样分解： 设11()n n n n a A B b a A B ---⋅=-⋅，则pqA q b=-，B q =，且{}n n a A B -⋅成等比数列．【变式】 已知1172a =-，13()5(2)2n n a a n -=-+≥，求n a ．【例9】 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式．【变式】 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n *∈N ．⑴证明数列{}n a n -是等比数列； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．【点评】 1()n n a ba c n +=+，当数列{}()c n 成等差数列时．⑴若1b =，则1()n n a a c n +-=，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“迭加法”即可解决， 即112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+，上一讲已有此类题目，若与等比结合，例如：已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a n +-=-，求n a ．解：∵12n n n a a n +-=-，∴12121a a -=-，23222a a -=-，…，112(1)n n n a a n ---=--(2)n ≥， 迭加法：2n ≥时，有[]211(1222)123(1)n n a a n --=++++-++++-2111(1)(1)(1)(1222)(22)21222n n n n n n n n n n a a a ----=++++++=--+=--而11a =也适合上式 ∴{}n a 的通项公式为(1)212n n n n a -=-- ⑵1()n n a ba c n +=+那么1b ≠且0b ≠时， {}()c n 是等差数列()c n pn q ⇔=+，故()c n 也可以像c 一样分解：[][]1(1)()n n a A n B b a An B +-++=-+则1pA b=-，2(1)q qb pb B b --=-，且{}()n a An B -+成等比数列．也可举更一般的例题：已知112a =-，1321(2)n n a a n n -=+-≥，求n a ．解：设[]{}1()3(1)n n a An B a A n B --+=--+ ∴133(1)3n n a a A n A An B -=---++ 故21232n An A B -=-+-恒成立，故22132AA B =-⎧⎨-=-⎩∴1A =-，1B =-，故{}1n a n ++成等比数列．【例10】 已知数列{}n a 的前n 项和为2*251()n S n n n =++∈N数列{}n b 的前n 项和n B 满足33()22n n B b n *=-∈N⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【例11】 设0a 为常数，且1132(*)n n n a a n --=-∈N ．⑴ 证明对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-⋅；⑵ 假设对任意1n ≥有1n n a a ->，求0a 的取值范围．（一） 知识内容<教师备案>错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．（二）典例分析：1.等比数列求和公式【例12】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例13】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例14】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3板块二：数列的前n 项和设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【变式】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例15】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例16】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值；⑵求n a 的通项公式及10S ．【变式】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【变式】 ⑴ 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．⑵ 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．⑶ (2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例17】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【例18】 ⑴等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n - ⑵ 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值. ⑵ 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．⑶在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例19】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n 和公比q ．【例20】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例21】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .板块三：等比数列综合【例22】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【变式】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项； ⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例23】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例24】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【变式】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【变式】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【点评】 本题的⑵属于数列与不等式的结合问题，涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题，注意与指数函数和对数函数相结合．【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例28】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．<教师备案> 1． 复利．复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息，叫做复利． 2． 复利公式．设有一笔资金的本金为m 元，每期的利率为i ，若按复利计算，则本利和S 可按期数排成下面的数列．板块四：等比数列知识的应用因此本利和是个等比数列，则m 元本金在利率i 下，经n 期后，按复利计算的本利和公式为(1)n n S m i =+习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率．【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【变式】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【变式】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例32】 (05上海卷．理12)用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。