初中数学满分必学难题模型培优讲义无答案(pdf版)

专题01 “确”有其事——由确定性带来的延展式思考

【专题解读】确定一条直线需要2个要素，若缺其一，则会形成一个直线系或一簇直线；同样的道理，确定三角形时，也是需要3个要素且有关联性，若缺其一，则图形不定，而当图形确定时，一定是可解析的，当图形不确定时，多会产生多解或最值情形。这也是审计划规模环节时的一个方向性思考，即先从试题的结构性，一致性上选择破题之道， 对试题有一个整体性的把控。本专题便从“定”与“不定”两个方面来解读．

【思维索引】 例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知P (a ,a +2)，求OP 的最小值．

（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为Q ，

求OQ 的最小值．

例2．已知，如图ABC ∆中，90C ∠=︒．

（1）用没有刻度的直尺和圆规求作点P ，使得经过点C 的P 与直线AB 相切于点A ； （2）在（1）的条件下，若10AB =，8BC =，求P 的半径．

例3.如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，CD 与AB 交于点F ，ACB ∆

的顶点A 在ECD ∆的斜边DE

上，若AE =

AD =

初中数学满分必学难题模型培优讲义

【变式】

在ABC ∆和DCE ∆中，CA =CB ，CE =CD ，90ACB DCE ∠=∠=︒，3BC =，4CD =CED ∆绕着点C 逆时针旋转．

（1）如图1，求当点A 落在ED 上时，AC 、AD 、CD 围成的图形的面积．

（2）如图，若P 是AB 的中点，Q 是DE 上任意一点，求PQ 的最大值与最小值的差．

例4．已知二次函数()2

20y ax ax c a =-+>的图像与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y

轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且:2:3CP PD =． （1）求A 、B 两点的坐标；

（2）若3a ≤，求这个二次函数上最低点的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）若5

tan 4

PDB ∠=，求这个二次函数的关系式．

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【素养提升】

1．半径为5的O 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且垂直于OP 的弦CD 的长为 （ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

2．半径为5的O 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且长度为整数的弦的数量有 （ ） A.1条

B.5条

C.8条

D.10条 3．如图，平面直角坐标系中，点()9,6A ，AB y ⊥轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方形运动，同时，点Q 从点A 出发向B 运动，当点Q 到达B 时，整个运动停止，若点P 与点Q 的速度之比为1:2，

则下列说法正确的是 （ ） A.线段PQ 始终经过点（2，3） B.线段PQ 始终经过点（3，2） C.线段PQ 始终经过点（2，2） D.线段PQ 不可能始终经过某一点

(第3题图) ( 第4题图)

4．如图，ABC ∆是等边三角形，12AB =，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 （ ）

A.

B.6+

C.3

D.6

5．对于二次函数()()2

2110y ax a x a a =--+-≠，有下列结论中正确的结论是 （ ）

①其图象与x 轴一定相交；

②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；

③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上； ④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点． A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④

6．已知，如图，AB 是O 直径，C 为圆上一点，若6AC =，8BC =，D 为半圆弧AB 的中点，则CD 的值为____ __．

7．已知，如图，AB 是O 直径，C ，D 都为圆上的一点，若6AC =，8BC =，且ABD ∆是等腰直角三角形，则CD 的值为____ __．

8．已知二次函数2

1y x mx m =----经过的定点的坐标为__ ____．

9．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 为BC 上一点，将ABE ∆沿着AE 折叠，点B 的对应为P ．

（1）连接CP ，则线段CP 的最小值为____ __；

（2）连接DP ，若2DP =，则EDP ∆的面积为____ __．

10．如图，平面直角坐标系中，()7,0A ，()5,2B ，()0,2C ，一条动直线l 分别与BC ，OA 交于点E 、

F ，且将四边形OABC 的面积分成相等的两部分，则点C 到动直线l 的距离的最大值为__________． 11．如图，ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆（其中B 旋

转后得到D ，C 旋转后得到E ），若DE 恰好经过点C ，求此时BD 的长．

12．如图，6AB =，60ABC ∠=︒，将AC 绕点A 旋转60︒得到AD ，求ABD ∆的面积．

13．已知：如图，AB 是O 的直径，3AC =，4BC =，P 是AB 下方半圆上一动点，CQ PC ⊥交PB

的延长线于点Q ．

（1）若P 在弧AB 的中点，求CQ 的长； （2）若CQ 最大，求最大的CQ 的长．

14．如图，二次函数()2

20y ax ax c a =-++>的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，过A 的直线

()20y kx k k =+≠与这个二次函数图象交于另一点F ，与其对称轴交于点E ，与y 轴交于点D ，

DE EF =．

（1）求A 点坐标；

（2）若BDF ∆的面积为12，求此二次函数的表达式；

（3）若二次函数图象顶点为P ，连接PF ，PC ，2CPF DAB ∠=∠，求此二次函数的表达式．