离散数学练习题1答案

离散数学练习题1答案

一、单项选择题 1—4 D C B C 6—10 A C B C D A

二、填空题

1． n

n 2． P 、Q 的真值同时为1 3.

4. 奇

5. 12

6. Q P ⌝∧

7. 9

8. 14 9. c 10. P Q ↔ 或 Q P ↔ 11. b

三、判断题

1—5 F F T T F

四、计算题

1.设G 是平面图，有n 个顶点，m 条边，f 个面，k 个连通分支，证明：1+=+-k f m n 。 证明：对于图G 的每个连通分支都是连通平面图，因此由欧拉公式，有

2111=+-f m n 2222=+-f m n

… …

2=+-k k k f m n

其中i i i f m n , , 分别是第i 个连通分支中的顶点数、边数和面数，则

1 , , 212121-+=+++=+++=+++k f f f f m m m m n n n n k k k

将上述k 个等式相加，有k k f m n 21=-++-，即

1+=+-k f m n

2.化简下列布尔表达式。

(1) ()()

()c b c b a b a ⋅+⋅⋅+⋅ (2) ()()()

c b a c b a ⋅+⋅+⋅ 解：(1) ()()()()()b b c a c a b c c a a b c b c b a b a =⋅=+++⋅=+⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅1 (2) ()()()()()()()b a c b a c c b a c b a c b a +⋅=+⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

3. 证明在格中，若c b a ≤≤，则有()()()()c a b a c b b a ⊕⊗⊕=⊗⊕⊗。 证明： 因为c b a ≤≤，所以a b a =⊗，b c b =⊗，b b a =⊕，c c a =⊕，

因此()()b b a c b b a =⊕=⊗⊕⊗，()()b c b c a b a =⊗=⊕⊗⊕ 故()()()()c a b a c b b a ⊕⊗⊕=⊗⊕⊗

4.设{}c b a A , , =，()A P 是A 的幂集，⊕是集合的对称差运算，已知() , ⊕A P 是群，在群() , ⊕A P 中，求： (1) 关于运算⊕的幺元； (2) ()A P 中每个元素的逆元； (3) 求元素x ，使得{}{}b x a =⊕。 解：(1) ()A P ∈Φ∃，对于任意的()A P x ∈，有x x =Φ⊕，所以关于运算⊕的幺元是Φ。

(2) 对于任意的()A P x ∈，有Φ=⊕x x ，所以x 的逆元是其自身。 (3) {}b a x , =，使得{}{}b x a =⊕。 5. 设}* , , , , d c b a 是半群，其运算表如下

证明：}* , , , , d c b a 是循环群。

证明：从运算表可知，a 是幺元，b 与d 互为逆元，c 以自身为逆元，所以

{}* , , , , d c b a 是群。

因为c b =2

，d b =3

，a b =4

，所以b 是生成元，则}* , , , , d c b a 是循环群。

6. 设R 是集合A 上的二元关系，若R 是自反的和传递的，则R R R = 。 证明：由于R 是传递的，必有R R R ⊆ 。

对任意的R y x ∈,，因为R 是自反的，有R x x ∈,，从而R R y x ∈,，所以R R R ⊆。 综上知，R R R = 。

7.设D S ,75是格，其中75S 是75的的所有正因数的集合，D 是75S 上的整除关系，求75S 中每个元素的余元素。 解：由格D S ,75的哈斯图可知：1与75互为余元素，3与25互为余元素，而5和15没有余元素。 8. 证明等价式：()()()Q R P Q R Q P →∨=→∧→。 证明：()()()()Q R Q P Q R Q P ∨⌝∧∨⌝=→∧→ ()()Q R P Q R P ∨∨⌝=∨⌝∧⌝= ()Q R P →∨=

9. 设集合{}c b a A , , =，R 是A 上的二元关系，{}

b c c a b a a a R , , , , , , , =，试求： (1) ()A P ；

(2) R 的关系图与关系矩阵R M ； (3)()R r 、()R s 、()R t 。

解：(1) (){}{}{}{}{}{}{}

{}c b a c b c a b a c b a A P ,,,,,,,,,,,,Φ= (2) ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=010000111R M

关系图为：

(3) (){}

b c c a b a c b b a a R r ,,,,,,,,,= (){}

c b b c a c a a b b a a a R s ,,,,,,,,,,,,= (){}

R b c a b a a a R t ==,,,,,,, 五、证明题 1． 证明等价式：

()()()()C Q P A C Q P A C A Q P →↔∧=∨∨→∧→∧∧

证明：

()()

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()C

Q P A C Q P Q P A C Q P Q P A C Q P Q P A C Q P Q P A C Q P A Q P A C Q P A C Q P A C Q P A C A Q P C Q P A C A Q P →↔∧=→⌝∧⌝∨∧∧=→∨∧⌝∨⌝⌝∧=→∨∧⌝∨⌝∨⌝⌝=∨∨∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨∧∧⌝=∨∨→∧→∧∧