椭圆知识点归纳汇总和经典例题

椭圆知识点归纳汇总和经典例题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

椭圆的基本知识

1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：

12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必

考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

.

,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线

向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:

(相

关点法)设点M (x , y ),

点P (x 0, y 0

),

则x ＝x 0, y ＝ 2

0y

得x 0＝x ， y 0＝2y.

∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,

即.14

2

=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.

4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的

长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．

|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．

在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2．

7.椭圆的几何性质：

a A 1y

O F 1F 2x B 2

B 1A 2

c b y

O F 1F 2x

M

c c

x

F 2

F 1

O y M

c c

y x

P

O P '

M

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐

标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要22

22x y 1(a b 0)

a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出22

22y x 1(a b 0)a b

+=>>的有关性质。总结如下：

几点说明：

（1）长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e ，因为a>c>0，所以0

由于222

21c a b b e a a a -===-，所以e 越趋近于1，b 越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，

b 越趋近于a ，椭圆越圆。

（3）观察下图，22||,||OB b OF c ==，所以22||B F a =，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF 2B 2

8.直线与椭圆：

直线l ：0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）

椭圆C ：22

22x y 1(a b 0)a b

+=>>

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断

直线和椭圆交点的情况。方法如下：

222

201Ax By C x y a

b ++=⎧⎪

⎨+=⎪⎩ 消去y 得到关于x 的一元二次方程，化简后形式如下

20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ∆=-

（1）当0∆>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

（2）当0∆=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0∆<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的长度（即弦长）为2

2

1212||()()AB x x y y =-+-，设直线的斜率为k ，

可得：2

2

1212||()[()]AB x x k x x =-+-=2121||k x x +-，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。

椭圆典型例题

例1 已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2

2

2

c b a +=可求出m 的值．

解：方程变形为

1262

2=+m

y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2

262=-m ，5=m 适合．故5=m ．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a 和b （或2

a 和2

b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x ．

由椭圆过点()03，P ，知1092

2=+b

a ．又

b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为19

22

=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

x a y ．