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椭圆知识点总结及经典习题.docx
圆锥曲线与方程--椭圆知识点一•椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c};这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。
2 2 22•标准方程：c= a- b2 2χ+y _ 1①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0)a b2 2y X②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C)a b注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上；2 2②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1m n二•椭圆的简单几何性质：1. 范围2 2(1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤ba2b22 2(2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤aa2b22. 对称性椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b)(2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4 .离心率(1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率,2a ae = O 是圆；e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1( e 越大)，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 •椭圆的的内外部2 2 x 2 y 2 亠—x o + yo W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U21a ba b2 2 x 2 y 2亠XO* y O 彳(2)点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1.a ba b6. 几何性质(1) 点P 在椭圆上， 最大角∙ F 1PF 2max =∕F 1B 2F 2,(2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系(1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法记作 e ( 0 < e < 1),例题讲解: 一.椭圆定义：1 •方程-2 2 y^ . X 2 2 y 2 =10化简的结果是 __________________________2•若. ABC 的两个顶点A -4,0 ,B 4,0 , ABC 的周长为18 ,则顶点C 的轨迹方程是 ____________2—=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为9二•利用标准方程确定参数2 21. 若方程 厶 +丄=1 (1)表示圆，则实数k 的取值是5 _k k _3(2) _____________________________________________________ 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 ______________________________________ . ________ (3) _____________________________________________________ 表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 _______________________________________ . ________ (4) _______________________________________ 表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2. 椭圆4X 2 25y 2 =100的长轴长等于 _______________ ，短轴长等于 _____________ ,顶点坐标 是 _______________ , ____________ 焦点的坐标是 __________ , ________ 焦距是 _________ ，离心率等于—, ____2 23•椭圆 — -1的焦距为 2 ,贝U m= ______________ 。
高考椭圆专题知识点
高考椭圆专题知识点椭圆是高中数学中的一个重要几何形状，也是高考数学中的热点考点之一。
掌握椭圆的基本概念和相关知识点对于解题至关重要。
本文将详细介绍高考椭圆专题的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上到两个不重合点的距离之和等于常数的动点构成的轨迹。
其中，这两个点被称为焦点，记作F1和F2，二者之间的距离为2a。
椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示椭圆的瘦胖程度。
椭圆的主要特点包括：1. 对称性：椭圆关于长轴、短轴及原点均具有对称性。
2. 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。
3. 直径：椭圆上的直径包括长轴和短轴，长轴和短轴的中点都在椭圆上。
4. 首尾距离：椭圆上首尾相接的两个点到两个焦点的距离之和也等于常数。
5. 扇形面积：以焦点和首尾相接的两个焦点连线为半径的扇形面积与椭圆扇形面积的和为常数。
6. 弧长性质：椭圆上的弧长与弦长的关系满足等角弧弦定理。
7. 方程表达：椭圆可以用方程的形式表达，常见的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
二、椭圆的性质与方程推导1. 椭圆的离心率性质：椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，为圆。
2. 椭圆的焦点距离性质：椭圆的焦点距离满足2a=c^2=a^2-b^2。
3. 椭圆的焦半径平方和：椭圆上任意一点到两个焦点距离平方之和等于两个焦点距离平方之和。
4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a·cosθ，y=b·sinθ。
5. 椭圆的斜轴方程：斜轴方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。
6. 椭圆的标准方程：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
三、椭圆的相关定理和性质1. 弦长定理：椭圆上两个不相交的弦的长度之积与它们两个弦所夹的角的余弦值成正比。
2. 切线定理：过椭圆上一点的切线与椭圆两焦连线的夹角等于该点切线与椭圆中心连线的夹角。
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（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2
②椭圆
y2
1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
a2 b2
A1 (a,0) ， A2 (a,0) ， B1 (0,b) ， B2 (0,b)
③线段 A1 A2 ， B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1 A2 2a , B1B2 2b 。 a 和 b 分
( BF1 BF2 a) ； ( OF1 OF2 c) ； A1B A2 B a 2 b2 ；
（3） A1F1 A2 F2 a c ； A1F2 A2 F1 a c ； a c PF1 a c ；
知识点四：椭圆第二定义
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ，那么这个点的轨
若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 a2 b2
2．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a2 b2
3.椭圆的参数方程
x
y
a b
cos sin
(为参数)
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆
的标准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有 (a b 0) 和 c 2 a 2 b2 ；
3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ， (c,0) ；
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
完整版)椭圆基本知识点总结
完整版)椭圆基本知识点总结椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(即PF1+PF2=2a>F1F2)时，动点P的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，或者y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴长，c为焦距满足a^2=b^2+c^2.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)或者F1(0,-c)，F2(0,c)。
椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
椭圆的顶点为(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率e=c/a(0<e<1)。
椭圆上任意一点P到焦点的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
最大角为当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2为最大角。
求椭圆标准方程的方法是先判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，然后设方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)，在不能确定焦点位置的情况下也可设mx^2+ny^2=1(m>0，n>0且m≠n)，接着根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组，最后解方程组，代入所设方程即可得到所求的椭圆标准方程。
点与椭圆的位置关系为，若点在椭圆内，则x^2/a^2+y^2/b^21.最后，直线与椭圆的位置关系需要根据直线的斜率和截距来判断。
若直线与椭圆相交，则有两个交点；若直线与椭圆相切，则有一个交点；若直线与椭圆不相交也不相切，则没有交点。
本文介绍了在解决圆锥曲线问题时常用的两个公式：关于直线和椭圆的一元二次方程和弦长公式，以及点差法的步骤。
专题10 椭圆及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题10椭圆及其性质【知识梳理】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=>注意：当22a c =时，点的轨迹是线段；当22a c <时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>>()222210y x a b a b +=>>统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）范围a x a -≤≤且b y b-≤≤b x b -≤≤且a y a-≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A①2max 12122cos 1,b F BF r r θθ=-=∠，（B 为短轴的端点）②1202012|s |,1tan 2|in 2|,PF F c y x S x r b r c y θθ∆⎧⎪===⎨⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上12()F PF θ=∠考点1：椭圆的定义与标准方程考点2：椭圆方程的充要条件考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：椭圆上两点距离的最值问题考点5：椭圆上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：椭圆的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹【典型例题】考点1：椭圆的定义与标准方程1．（2021·湖北·高二期中）椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，与y 轴的一个交点为A ，若12π3F AF ∠=，则m =（）A ．1B CD ．2【答案】C 【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a =，b m =，1c =.易知12AF AF a ==.又12π3F AF ∠=，所以12F AF 为等边三角形，即112AF F F =2=，即m =.故选：C.2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆2251162x y +=上点P 到上焦点的距离为4，则点P 到下焦点的距离为（）A ．6B ．3C ．4D ．2【答案】A【解析】椭圆2251162x y +=，所以225a =，即5a =，设上焦点为1F ，下焦点为2F ，则12210PF PF a +==，因为14PF =，所以26PF =，即点P 到下焦点的距离为6；故选：A3．（2021·山东山东·高二期中）已知椭圆的两个焦点为(10,F ，(2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22194x y +=B ．22149x y +=C ．22127x y +=D ．22172x y +=【答案】B【解析】由212PF PF a +=，得()222121222124PF PF PF PF PF F a P ++⋅+==，又因为12MF MF ⊥，所以()22212220PF PF c +==，由22121220,8PF PF PF PF +=⋅=，得222121242201636a PF PF PF PF =++⋅=+=，所以29,3a a ==，又2c b =∴=.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的方程是22149x y +=.故选：B.4．（2021·四川·遂宁中学高二期中（文））与椭圆229436x y +=有相同的焦点，且短半轴长为）A ．2212520x y +=B ．2212520y x +=C ．2214520y x +=D ．2218580y x +=【答案】B【解析】椭圆229436x y +=的标准方程为22194y x +=，该椭圆的焦点坐标为(0,，设所求椭圆的长半轴长为a ，则5a =，故所求椭圆的标准方程为2212520y x +=.故选：B.5．（2021·全国·高二期中）设1F 、2F 分别是椭圆E ：2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且222AB AF BF =+，则AB 的长为______．【答案】43【解析】由椭圆的定义得：122AF AF a +=，122BF BF a +=，又222||||||AB AF BF =+，11AB AF BF =+，所以43AB a =，由椭圆222:1y E x b+=知1a =，所以43AB =.故答案为：436．（2021·江苏省南通中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点()3,2M ；(2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．【解析】（1）由焦距是4可得2c =，又焦点在y 轴上，所以焦点坐标为()0,2-，()02,，由椭圆的定义可知28a ==，所以4a =，所以22216412b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为2211612y x +=；（2）由题意知226a =，即13a =，又513c e a ==，所以5c =，所以22222135144b a c =-=-=，当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的方程为221169144x y +=；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为221169144y x +=，所以椭圆的方程为221169144x y +=或221169144y x +=7．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为(0,3),(0,3)-，且过点16(,3)5P 的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点11(,33P 、1(0,)2Q -的椭圆标准方程.【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为22221y x a b+=由椭圆定义，210a ==故5,3,4a cb ===故椭圆的标准方程为：2212516y x +=（2）不妨设椭圆的方程为：221mx ny +=经过两点11(,)33P 、1(0,2Q -故11199114m n n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5,4m n ==即22541x y +=故椭圆的标准方程为：2211145y x +=8．（2021·吉林油田高级中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆22184x y +=有相同的焦点，且经过点()2,3-；(2)点A，B-，(2,C -，()3,0D 中恰有三个点在椭圆上.【解析】(1)椭圆22184x y +=的焦点坐标为()2,0-，()2,0.所以设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意得()222222231,4,a ba b ⎧-⎪+=⎨⎪-=⎩解得2216,12.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2211612x y +=.(2)根据椭圆的对称性，A，B-两点必在椭圆上，因为点A 和点C的纵坐标为A ，C 两点并不关于y 轴对称，故点C 不在椭圆上.所以点A，B-，()3,0D 三点在椭圆上.设椭圆方程为()2210 ,0mx ny m n +=>>，代入A ，D 两点得381,91,m n m +=⎧⎨=⎩解得1,91.12m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为221912x y +=.考点2：椭圆方程的充要条件9．（2021·安徽·芜湖一中高二期中）若方程22191x y k k +=--表示椭圆C ，则下面结论正确的是（）A ．()1,9k ∈B ．椭圆C的焦距为C ．若椭圆C 的焦点在x 轴上，则()1,5k ∈D ．若椭圆C 的焦点在x 轴上，则()5,9k ∈【答案】C【解析】因方程表示椭圆，则有90k ->，10k ->，且91k k -≠-，即()()1,55,9k ∈，A 错误；焦点在x 轴上时，910k k ->->，解得()1,5k ∈，D 错误，C 正确；焦点在x 轴上时，则()291102c k k k =---=-，焦点在y 轴上时，()219210c k k k =---=-，B 错误.故选：C10．（2021·北京工业大学附属中学高二期中）设22:1p mx ny +=表示的是椭圆；:0,0q m n >>，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若221mx ny +=表示的是椭圆，则0,0m n >>且m n ≠，即p q ⇒成立；反例：当1m n ==时，221mx ny +=表示的是圆，即q p ⇒不成立；即p 是q 成立的充分不必要条件，故选：A.11．（2021·上海·高二期中）对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当0mn >时，方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆，例如：当1m n ==时，方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆；或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到0mn >；由上可得：“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.12．（多选题）（2021·江苏·无锡市第一女子中学高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确，故B 错误；对于C ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半的圆，故C 不正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：AD.13．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知方程22164x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______；【答案】61m -<<-【解析】由于方程22164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，所以4660m m m ->+⎧⎨+>⎩，解得61m -<<-.故答案为：61m -<<-14．（2021·广西·钦州一中高二期中（文））若椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，则实数k的取值范围是___________.【答案】(1,2)【解析】因为椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，所以313010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得12k <<，即实数k 的取值范围为(1,2).故答案为：(1,2)考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题15．（2021·全国·高二期中）已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上动点，则12PF PF +的值是______；12PF PF ⋅的取值范围是______．【答案】4[]2,1-【解析】对椭圆2214x y +=，其2224,1,3a b c ===，焦点坐标分别为())12,F F ，由椭圆定义可得：12PF PF +24a ==；设点P 的坐标为(),x y ，则2214x y =-，且[]2,2x ∈-，故12PF PF ⋅())222123,,324x y x y x y x =-⋅-=+-=-，又[]2,2x ∈-，故[]2322,14x -∈-，即12PF PF ⋅的取值范围为：[]2,1-.故答案为：4；[]2,1-.16．（2021·安徽滁州·高二期中）已知1F 、2F 是椭圆22110020x y +=的两个焦点，M 是椭圆上一点，且12MF MF ⊥，则12F MF △的面积为______．【答案】20【解析】由22110020x y +=，得2100a =，220b =，所以10a =，c ==所以122F F c ==1MF m =，2MF n =，所以220m n a +==，因为12MF MF ⊥，所以22320m n +=，所以()()222280mn m n m n =+-+=，所以12F MF △的面积为12mn 20=．故答案为：20.17．（2021·安徽·高二期中）设12,F F 是椭圆22:1167x yC +=的左，右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，且||3OP =，则12PF F △的面积为___________.【答案】7【解析】由题意得，4a =，3c =，12132OP F F ==，∴P 在以线段12F F 为直径的圆上，∴12PF PF ⊥，∴222121236PF PF F F +==①，由椭圆的定义知，128PF PF +=②，由①②，解得1214PF PF ⋅=，∴1212172PF F S PF PF =⋅=△.故答案为：7.18．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆221126x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，P 在椭圆上，且12PF F △是直角三角形，这样的P 点有______个【答案】6【解析】当P 不是直角顶点时，P 为过焦点与x 轴垂直的直线与椭圆的交点，易知这样的点有4个；当P 是直角顶点时，P 在以12F F为直径的圆上，c =故圆方程为226x y +=，联立方程：222211266x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.综上所述：共有6个点满足条件.故答案为：6.19．（2021·上海市控江中学高二期中）设1F ､2F 分别是椭圆22:12516x yC +=的左､右焦点，点P在椭圆C 上，且满足120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【解析】由题意，椭圆22:12516x y C +=，可得5,4a b ==，则3c =，根据椭圆的定义，可得1210PF PF +=，又由120PF PF ⋅=，可得12PF PF ⊥，所以22212436PF PF c +==，因为()2221212121221002PF PF PF PF PF PF PF PF +=+-=-，即12100236PF PF -=，解得1232PF PF =.故答案为：32.20．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）已知1F ，2F 是椭圆22:1123x y C +=的两个焦点，点P 在椭圆上，120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积是（）A ．3B ．6C．D．【答案】A【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，2221212PF PF F F +=，则()221212122PF PF PF PF F F +-⋅=，所以222122226PF PF a c b ⋅=-==，所以1212132PF F S PF PF =⋅=△，故选：A21．（多选题）（2021·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △C ．12PF PF -的最大值为D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个【答案】ABC【解析】在椭圆M 中，2a =，1b =，c =12F F =对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠=，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即222PF ≤≤，所以，()12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()100F P x y =，()200F P x y =，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-=，所以，0y =03x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.22．（多选题）（2021·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M ：2212520x y +=的左右焦点分别为12F F 、，左右顶点分别为12A A 、，P 是椭圆上异于12A A 、的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．12PF F △周长为10B ．12PF F △面积最大值为10C ．存在点P 满足：1290F PF ︒∠=D ．若12PF F △面积为P横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F，2F，短轴一个端点2B，由题知12210PF PF a +==，故12PF F △周长为10+A 错误；利用椭圆的性质可知12PF F △面积最大值为1102⨯=，故B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，故C 错误；因为121212PF F P P S F F y y =⋅=△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确．故选：BD ．23．（2021·湖南·长沙市明德中学高二期中）椭圆221169x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B ，则2ABF 的周长为（）A ．32B ．16C ．8D ．4【答案】B【解析】在椭圆221169x y +=中，4a =，则2ABF 的周长为1212416AF AF BF BF a +++==.故选：B.24．（2021·广东·广州市番禺区实验中学高二期中）已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号），12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.考点4：椭圆上两点距离的最值问题25．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆22:14x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为________.【答案】3【解析】根据题意，易知()0,1B ，设(),P x y ，则2214xy +=，即2244x y =-，故PB =因为11y -≤≤，所以当13y =-时，max PB ==26．（2021·福建宁德·高二期中）点P 为椭圆22159x y +=上一点，F 为焦点，则PF 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【解析】22159x y +=，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：C27．（2021·河北·正定一中高二期中）椭圆22195x y +=上任一点P 到点()1,0Q 的距离的最小值为（）AB ．152C ．2D ．3【答案】B【解析】设点P 的坐标为(),m n ，其中[3,3]∈-m ，由22195m n +=，可得22559m n =-，又由PQ ====，当94m =时，PQ 取得最小值，最小值为min 2PQ =.故选：B.28．（2021·上海市行知中学高二期中）设1F 、2F 是椭圆2216416x y+=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则22AF BF +的最大值为______.【答案】28【解析】由题意，椭圆2216416x y +=，可得2264,16a b ==，即8,4a b ==，根据椭圆的定义，可得121216,16AF AF BF BF +=+=，则22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=，所以2232AF BF AB +=-，当AB 垂直于x 轴时，AB 取得最小值，此时22AF BF +取得最大值，此时2221648b AB a ⨯===，所以22AF BF +的最大值为32428-=.故答案为：28.考点5：椭圆上两线段的和差最值问题29．（2021·四川·树德中学高二期中（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y+=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB +的最大值为______．【答案】10+221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC +=-+=+-，MB MC BC -≤==，所以MA MB +的最大值为10+故答案为：10+30．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，点(4,4)A -，则2||PA PF -的最小值为__________．【答案】1【解析】依题意，椭圆22143x y +=的左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ，点P 为椭圆上一点，点A 在此椭圆外，由椭圆的定义得21||4||PF PF =-，因此，211||||4||4PA PF PA PF AF -=+-≥-41=-=，当且仅当点P 是线段1AF 与椭圆的交点时取“=”，所以2||PA PF -的最小值为1.故答案为：131．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C 的方程为221,(2,0),(4,2)95x y B A +=-，M 为C 上任意一点，则||||MA MB -的最小值为___________.【答案】6【解析】由题意，3,a b ==2c =，所以(2,0)B -为左焦点，(2,0)D 为右焦点，所||||||(2||)||||2||26MA MB MA a MD MA MD a AD a -=--=+-≥-=，当且仅当M ､D ､A 共线时取等号.故答案为：6.32．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F 1，F 2分别是椭圆225x +216y=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为____.【答案】15【解析】如图所示：在椭圆225x +216y=1中，a =5，b =4，c =3，所以焦点坐标分别为F 1(-3，0)，F 2(3，0).|PM |+|PF 1|=|PM |+(2a -|PF 2|)=10+(|PM |-|PF 2|).∵|PM |-|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号，∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |-|PF 2|)max =|MF 222(6-3)(40)+-=5，此时|PM |+|PF 1|取最大值，最大值为10+5=15.故答案为：1533．（多选题）（2021·河北·石家庄市第四中学高二期中）已知椭圆22x y E :13620+=的左、右点分别为1F ，2F ，定点()1,4A ，若点P 是椭圆E 上的动点，则1PA PF +的值可能为（）A ．7B ．10C ．18D ．20【答案】AB【解析】由椭圆方程得6,25,4a b c ===，则由椭圆定义可得1212PF PF +=，∴1221212PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，()24,0F ，()2221445AF ∴-+=，255PA PF ∴-- ，则1717PA PF + .故选：AB.34．（2021·河北·石家庄二十三中高二期中）设P 是椭圆2212516x y +=上一点，M ，N 分别是圆221:(3)1C x y ++=和222:(3)4C x y -+=上的点，则PM PN +的最大值为（）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】A【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中1F 、2F 是椭圆的左，右焦点，在1PMF 中可得：1111PF PM PF -≤≤+①，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：2222PF PN PF -≤≤+②，当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由①+②得：121233PF PF PM PN PF PF +-≤+≤++，由椭圆方程2212516x y +=可得：225a =，即5a =，由椭圆定义可得：12210PF PF a +==，所以，713PM PN ≤+≤.故选：A.考点6：离心率的值及取值范围35．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设P 是椭圆C ：2221(6x y a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，PF C 的离心率为_________．【答案】12【解析】P 是椭圆222:1(6x y C a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，||PF 的最，可得a c -=所以a =即a 所以(226a a =-，解得a =所以12c e a =．故答案为：12．36．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高二期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若使得12F PF △为直角三角形的点P 有8个，则椭圆的离心率的范围是______．【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由椭圆的对称性，1221,PF F PF F ∠∠为直角，共有4个位置，12F PF ∠为直角，共有4个位置，于是以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P 在y轴上时，2,2c b c e a ==,12e ⎫∈⎪⎪⎝⎭.故答案为：2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.37．（2021·广西柳州·高二期中（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（）A3B ．12C ．25D【答案】A【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为12121y y x x -=-，又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223b a =，所以椭圆C的离心率33e a ==.故选：A38．（2021·宁夏·吴忠中学高二期中（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为C 上一点，若212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．16B．6C ．13D【答案】D 【解析】P 点椭圆C 上的点，12+2PF PF a∴=212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒2124,33PF a PF a ∴==在12PF F △中，2221221F F PF PF +=即22224(2)()()33c a a +=，整理得：2213c a=即213,33e e =∴=故选：D39．（2021·四川·阆中中学高二期中（文））已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．33(]，B ．32[]，C ．3[312，D ．2[1)2【答案】B【解析】设点(,)P x y ，22212(,)(,)=PF PF c x y c x y x c y ⋅=---⋅---+22222222222b c x c b x x c b a a=-+-=-+，因为220x a ≤≤，所以22212b c PF PF b -≤⋅≤，即2222b c c b -≤≤，结合222=b a c -可得221132c a ≤≤，所以3232e ∈⎣⎦.故选：B.40．（2021·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，P 是椭圆C 上的点，()()12,0,,0F c F c -是椭圆C 的左右焦点，若12PF PF ac ⋅≤恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．1,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．(1⎤⎦C ．12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．)1,1【答案】A【解析】设()()()222002001001200,,,,,,P x y PF c x y PF c x y PF PF x c y ac ∴=--=---∴⋅=-+≤，P 在椭圆上，[]2222222000002221,,,x y a b b x x a a y a b a -∴+=∈-∴=，222222222002a b b x x c y x c ac a -∴-+=-+≤，两边都乘以2a 化简后得：22224302c x a c a a c -+≤，3422220220,a a x a x a c c⎡⎤∴≤+-∈⎣⎦，2342222111152,12,24a a a a c c e e e ⎛⎫∴≤+-∴≤+-⇒-≤ ⎪⎝⎭e ∴≥()0,1e ∈，1,12e ⎫∴∈⎪⎢⎪⎣⎭.故选：A.41．（2021·浙江浙江·高二期中）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ．若椭圆C 上有一点P 满足1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的最小值为（）A 22B ．3C ．13D 【答案】A【解析】由椭圆的几何性质知当点P 在短轴顶点时，12F PF ∠最大，设短轴顶点为B ，则1290F BF ∠≥︒，得sin 452c a ≥︒=，故选：A42．（2021·江苏·扬州中学高二期中）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1-C D 【答案】A【解析】连接1F P ，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-==，故可得：3131c a =-+．故选：A.考点7：椭圆的简单几何性质问题43．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）焦点在x 轴的椭圆2214x y m +=的焦距是4，则m 的值为（）A ．8B ．3C ．5或3D ．20【答案】A【解析】因为焦点在x 轴，故4m >，而焦距是442m -=即8m =，故选：A.44．（2021·辽宁·高二期中）已知椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（）A ．2B ．1C ．14D ．4【答案】C【解析】因为椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上，故01m <<，且椭圆的标准方程为：2211y x m+=，所以221,1a b m==所以141m=⨯，故14m =，故选：C.45．（2021·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．247B ．127C．7D．7【答案】A【解析】设直线AB 方程为1y x =-，联立椭圆方程22143x y+=整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1287x x +=，1287x x ⋅=-，根据弦长公式有：AB ==247．故B ，C ，D 错误.故选：A.46．（2021·安徽·高二期中）已知圆()()222x a y b r -+-=经过椭圆C ：22198x y +=的右焦点，上顶点与右顶点，则b =（）A ．8B ．118C ．1124D ．114【答案】A【解析】椭圆C ：22198x y +=，右焦点为()1,0，上顶点为(0,，右顶点为()3,0，代入圆的方程222()()x a y b r -+-=，得()()()()()()22222222210030a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得22112815332a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以该圆的方程为()221532832x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选：A47．（2021·广西玉林·高二期中（理））已知点P (k ，1)，椭圆2294x y +=1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为_____.【答案】∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【解析】因为点P (k ，1)在椭圆2294x y +=1外，所以2194k +>1，解得k <k >2，故实数k 取值范围为22∞⎛⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，-.故答案为：∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-考点8：利用第一定义求解轨迹48．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆M ：()22236x y ++=，定点()2,0N ，A 是圆M 上的一动点，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则P 点的轨迹C 的方程是（）A ．22143x y +=B ．22195x y +=C ．22134x y +=D ．22159x y +=【答案】B【解析】由题可得圆心()2,0M ，半径为6，P 是垂直平分线上的点，PA PN ∴=，6PM PN PM PA ∴+=+=，∴P 点的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且26,2a c ==，a 3∴=，2225b a c ∴=-=，故P 点的轨迹方程为22195x y +=.故选：B.49．（2021·吉林油田高级中学高二期中（文））已知ABC 的周长是20，且顶点B 的坐标为(0,4)-，C 的坐标为(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)2036x y x -=≠B ．221(0)3620x y x +=≠C ．221(0)2036x y x +=≠D ．221(0)3620x y x -=≠【答案】C【解析】由题意可知20812AC AB BC +=-=>，则点A 的轨迹是焦点在y 轴且中心为原点的椭圆，且点A 不在y 轴上2226,4,6420a c b ===-=，即221(0)2036x y x +=≠故选：C50．（2021·云南省昆明市第十二中学高二期中）一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（）A ．2212516y x +=B ．2212516x y +=C ．221169y x +=D ．221169x y +=【答案】A【解析】设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==,122||6,3c C C c ===，所以222=25916b a c -=-=，故椭圆轨迹方程为:2251162x y +=，故选：A.51．（2021·广东·深圳外国语学校高二期中（理））△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22+1259x y ＝B ．22+1259y x ＝（y ≠0）C ．()22+10169x y y ≠D ．()22+10259x y y ≠【答案】D【解析】因为++18AB AC BC =，所以+10>AC BC AB =，所以顶点C 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，去掉A ，B ，C 共线的情况，即2210,4,9a c b ==∴=，所以顶点C 的轨迹方程是()22+10259x y y ≠，故选：D.52．（2021·安徽·肥东县综合高中高二期中（理））已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D53．（2021·宁夏·贺兰县景博中学高二期中（理））已知动点P 与平面上两定点()A ，)B连线的斜率的积为定值－12．则动点P 的轨迹方程为________【答案】(2212x y x +=≠【解析】设动点(),P x y ，则PA k =PB k =12=-，整理得：2212x y +=，又因为动点P 不能与定点()A ，)B重合，故x ≠综上：动点P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠故答案为：(2212x y x +=≠54．（2021·福建福州·高二期中）已知动圆P 过定点(3,0)A -，且在定圆22:(3)64B x y -+=的内部与其相内切，则动圆P 的圆心的轨迹方程为____________________.【答案】221167x y +=【解析】设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动点P 到定点(3,0)A -和定圆圆心(3,0)B 距离之和恰好等于定圆半径，即||||||||||86PA PB PM PB BM +=+==>，∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4的椭圆，b =∴点P 的轨迹方程为221167x y +=，故答案：221167x y +=．55．（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）ABC 中，()12,0B -，()12,0C ，AC ，AB 边上的两条中线之和为39，则ABC 的重心的轨迹方程为___________.【答案】()221016925x y y +=≠【解析】根据题意，设ABC 的重心为G ，因为AC ，AB 边上的两条中线之和为39，所以23926243GB GC +=⨯=>，根据椭圆定义可知，点G 轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且13a =，12c =，因此ABC 的重心的轨迹方程为()221016925x y y +=≠.故答案为：()221016925x y y +=≠.56．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知圆1C ：()2211x y ++=和圆2C ：()22125x y -+=，动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为________．【答案】22198x y +=【解析】由圆1C ：()2211x y ++=可得圆心()11,0C -，半径11r =，由圆2C ：()22125x y -+=可得圆心()21,0C ，半径25r =，设圆M 的半径为r ，因为动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切，所以11MC r =+，25MC r =-，所以12121562MC MC r r C C +=++-=>=，所以点M 的轨迹是以()11,0C -，()21,0C 为焦点，26a =的椭圆，所以3a =，1c =，b ==，所以动圆的圆心M 的轨迹方程为：22198x y +=，故答案为：22198x y +=.57．（2021·四川·雅安中学高二期中）平面上一动点(),P x y满足4=，则P 的轨迹方程为__________．【答案】22143x y +=【解析】动点(,)P x y4=，∴动点(,)P x y 到(1,0)A -和(1,0)B 的距离之和等于4||2AB >=，∴动点P 的轨迹是以点,A B 为焦点的椭圆，设其方程为22221(0)x ya b a b+=>>，由题得21,24,2,413c a a b ==∴==-=.∴动点P 的轨迹方程是22143x y +=.故答案为：22143x y +=．58．（2021·天津河西·高二期中）动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，则动点M 的轨迹方程是___________.【答案】221259x y +=【解析】因为动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，45=，即()22225254164x y x ⎛⎫⎡⎤-+=- ⎪⎣⎦⎝⎭，整理可得：22925225x y +=，即221259x y +=，故答案为：221259x y +=.。
椭圆基本知识点与题型总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点、焦距)0,(1c F -，)0,(2c F ，cF F 221=),0(1c F -，),0(2c F cF F 221=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，ay ≤顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±对称性关于x 轴、y 轴,轴对称，关于原点中心对称轴长长轴长=a 2，短轴长=b2离心率()10122<<-==e ab ac e e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁通径过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22（通径为最短的焦点弦）准线方程ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=,02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=（见右图）2.椭圆的一般方程：22Ax By C +=()B A C B A 0ABC ≠≠同号，，，，且3.椭圆的参数方程：{cos sin x a y b ϕϕ==（其中ϕ为参数）4.椭圆焦点三角形问题（1）焦点三角形周长：ca 22+（2）在21F PF ∆中，有余弦定理：()θcos 2P P 22122212PF PF F F c -+=经常变形为：()()θcos 22-PF 221212212PF PF PF PF PF c -+=即：()()θcos 22-22212122PF PF PF PF a c -=（3）焦点三角形面积2tan cos 1sin sin 21S 2221P 21θθθθb b PF PF y c p F F =+=⋅=⋅=∆，其中21PF F ∠=θ5.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
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圆锥曲线与方程 椭 圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程：222c a b =- ①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。
（e dPF =||） ①焦点在x 轴上：12222=+bya x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2±=②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2±=小结一：基本元素（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.6.几何性质（1） 最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠ （2）最大距离，最小距离例题讲解：一.椭圆定义： １．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。
2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。
四．焦点三角形1．椭圆221925x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。
2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？21F PF ∆的面积的最大值是多少？3．设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。
变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆1422=+my x 的离心率为21，则=m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
5.在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．最值问题：1.椭圆2214x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆2212516x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___3、已知椭圆2214x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。
4.设F 是椭圆322x ＋242y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P 点坐标 最小值 .同步测试1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、椭圆221169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则∆CDF 1的周长为______ 3已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k ≥0 D k>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)5、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则⊿ABC 的重心G 的轨迹方程为______________________6.椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。
若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为_________7、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 椭圆方程为 ___________________.8已知椭圆的方程为22143x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积9.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是 11．已知椭圆)5(125222>=+a y ax 的两个焦点为1F 、2F ，且821=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长12.在椭圆252x +92y =1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4=x ,那么这个椭圆的方程为 。
14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e =___________.15、椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,准线方程为18±=y ,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.16.已知P 是椭圆90025922=+y x 上的点,若P 到椭圆右准线的距离为8.5,则P 到左焦点的距离为_________.17．椭圆1162522=+y x 内有两点()2,2A ，()0,3B ，P 为椭圆上一点，若使53PA PB +最小，则最小值为18、椭圆32x ＋22y =1与椭圆22x ＋32y =λ(λ>0)有(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对19、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x （0<k<9）的关系为(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴20、椭圆12622=+y x 上一点P 到左准线的距离为2，则点P 到右准线的距离为21.点P 为椭圆1162522=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF PF ⋅的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.。