《数学分析》(华师大二版)课本上的习题16

第十六章 多元函数的极限于连续
P.120 §1平面点集与多元函数
1． 判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点：

（1）;,,dcba (2);0|),(xyyx

(3) ;0|),(xyyx (4) ;|),(2xyyx
(5) ;2,2,2|),(yxyxyx (6) ;0|),(xyyx

(7) ;0,1sin|),(xxyyx (8) ;10,01|),(22xyyxyx或
(9) ;21,01|),(22xyyxyx或
(10) ;,|),(均为整数yxyx
2.试问集合;0,0|),(byaxyx〈与集合;,|),(byaxyx是
否相同？
3．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}E,PnP0.PPnn0lim时，P0是E的

聚点。
4.证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。

5．证明：点列),(yxPnnn收敛于),(000yxP的充要条件是xxnn0lim和

yy
nn0
lim



6．求下列个函数的函数值：

（1）])()([2),(yxarctgyxarctgyxf，求);231,231(f

（2）yxxyyxf222),(，求),1(xyf；
（3）yxxytgyxfyx22),(，求f(tx,ty).
7.设F(x,y)=ln xln y,证明：u>0,v>0,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v);
8.求下列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：

（1）yxyxyxf2222),( ； （2）;321),(22yxyxf
（3）f(x,y)=xy; (4);11),(22yxyxf
(5);lnln),(yxyxf (6));sin(),(22yxyxf
(7))ln(),(xyyxf (8);),()(22eyxyxf
(9)1),,(22yxzzyxf

(10))(,1),,(22222222rRzyxfrzyxzyxR
9.证明：开集与闭集具有对偶性——若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集。
10．证明：（1）若F1，F2为闭集，则FFFF2121与都为闭集；

（2）若E1，E2为开集, 则EEEE2121与都为开集；
（3）若F为闭集，E为开集，则F\E为闭集，E\F为开集。
11．试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之。
12．证明定理16.4（有限覆盖定理）

§2二元函数的极限
1． 试求下列极限（包括非正常极限）：

（1）yxyxyx2222)0,0(),(lim； （2）yxyxyx2222)0,0(),(1lim；

（3）;11lim2222)0,0(),(yxyxyx （3）yxxyyx44)0,0(),(1lim；
（5）yxyx21lim)2,1(),(； （6）;1sin)(lim22)0,0(),(yxyxyx
（7）.)sin(lim2233)0,0(),(yxyxyx
2.讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限。
(1)yxyyxf222),( (2);1sin1sin)(),(yxyxyxf
(3))(22222),(yxyxyxyxf (4) yyxfxyx233),(
(5)xyyxf1sin),( (6) yxyxyxf3322),(
(7) xyyxfeeyxsin),(
3.证明：若1o),(lim),(),(yxfbayx存在且等于A，2oy在b的某邻域内，存在有
.),(limlim),(),(limAyxfyyxfaxbyax则


4．试应用定义证明0lim222)0,0(),(yxyxyx。
5．叙述并证明：二元函数极限存在的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。
6．试写出下列类型极限的精确定义：

（1）;),(lim),(),(Ayxfyx （2）;),(lim),0(),(Ayxfyx

7．试求下列极限：

（1） yxyxyx4422),(),(lim （2）eyxyxyx)(22),(),()(lim

（3） )11(sin),(),(limxyyxyx （4）)11()0,(),(limxyxxyx
8．试作一函数f(x,y)使当,x,y时，
（1） 两个累次极限存在而重极限不存在；
（2） 两个累次极不限存在而重极限存在；
（3） 重极限和累次极限都不存在；
（4） 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在。
9．证明定理16.5及其推论3。

§3二元函数的连续性
1． 讨论下列函数的连续性：

（1）)),(22(yxtgyxf （2）][),(yxyxf
0,siny
y

xy

(3)),(yxf
0 y=0

0,sin2222


y
x

y
x

xy

(4) ),(yxf
0

0 x为无理数
(5) ),(yxf
y x为有理数

),ln(222yxy 022
y
x

（6）),(yxf
0 022yx
（7）yxyxfsinsin1),( （8）eyxyxf),(
2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性。
3． 设

,
2
2
)(yxpx

022
y
x

),(yxf
0 022yx
讨论它在（0，0）点处的连续性。
4． 设),(yxf定义于闭矩形域S=[a,b][c,d].若f对y在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上（且
关于y）为一致连续，证明f在S上处处连续。
5． 证明：若RD2是有界闭域，f为D上连续函数，则f(D)不仅有界（定理16.8），而
且是闭区间。
6． 设),(yxf在集合RG2上对x连续，对y满足利普希茨条件：
yyyy
Lxfxf''''''),(),(
，其中（x,y’）,(x,y’’)G,L为常数，试证明f在G上

处处连续。
7． 若一元函数)(x在[a,b]上连续，令),(yxf=)(x，（x,y）).,(],[baD试讨
论f在D 上是否连续，是否一致连续？
8． 设

),(yxf
=)1,0[)1,0[),(,11Dyxxy，

证明f在D上连续但不一致连续。
9． 设f在R2上连续，且.,),(lim22yxrAyxfr证明（1）f在R2上有界；（2）f
在R2上一致连续。
10．设f在R2上分别对每一个自变量x和y是连续的，并且每当固定x时对y是单调的，
证明f是R2上的二元连续函数。

总练习题
1． 设RE2是有界闭集，d(E)为E的直径，证明：存在P1,P2E,使得)(),(21EdPP。

2． 设),(yxf=xy1，

r=,1,22kyx,1|),(1kxyxkyxD0,0|),(2yxyxD.
试分别讨论 i =1,2时极限),(lim),(yxfDyxr是否存在？为什么？
3． 设,)(lim0Ayyy,0)(lim0xxx且在（),00yx附近有
.),(lim).()(),(),(),(00Ayxfyxxyyxfyx证明

4． 设f为定义在R2上的连续函数，是任一实数，
,),(,),(|),(2RyxyxfyxE
,),(,),(|),(2RyxyxfyxF

证明E是开集，F是闭集。
5． 设f在有界开集E上一致连续，证明：
（1） 可将f连续延拓到E的边界。
（2） f在E上有界。

6． 设),(yx与),(yx在xy平面中的点集E上一致连续；与把点集E映射

为平面中的点集D，f(，)在D上一致连续，证明复合函数f[),(yx,),(yx]
在E上一致连续。
7． 设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数

)(),(),()()(),('xyxFyxyxyfxfyxFf

定义在区域),(),(babaD内，证明：对任何c(a,b),有
).(),(lim'),(),(cyxFfccyx
