sx1209数学与当代科学技术

专题9 数学与当代科学技术 在科学发展的进程中，数学的作用日渐凸显，一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学；另一方面，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重身份，现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是数学思想和方法的运用。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更广泛和方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。 传统的观点认为，理论与实验是科学研究的两个基本方法。由于20世纪前半期数学的巨大发展，使得它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问题可以转化为数学问题。二次世界大战以来，社会各方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。二次世界大战后电子计算机及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟）都可以进行。如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。

第一部分 数学与当代自然科学 我们这里所说的自然科学，主要是指物理学、化学、天文学、地学、生物学这样一些基础学科。数学与自然科学在20世纪越来越紧密地相互结合，越来越深刻地相互影响和渗透，产生出许多交叉学科，形成了一个规模庞大的数理科学系统。 传统的观点认为，理论与实验是科学研究的两个基本方法。由于20世纪前半期数学的巨大发展，使得它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问题可以转化为数学问题。二次世界大战以来，社会各方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。二次世界大战后电子计算机及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟）都可以进行。如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。 一、数学与天文学 天文学是最早运用数学的科学领域，这可以上溯到2000多年前的古希腊时代。17世纪，牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质上是数学的而不是物理学的。借助数学方法和和计算技术，天体力学在当代获得了引人注目的成就，例如，应用牛顿定律和高速计算机，天文学家们已经预测了太阳系在未来２亿年内的运动情形。 当代，数学在天文学中的应用更加广泛和深入。一个著名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度常常是以光年计算的（例如，离太阳系最近的恒星是半人马座比邻星，距离大约为 4.3光年；银河系的范围约为10万光年；最近的河外星系的距离约为 100万光年），其时间常常是以亿年计算的（例如，太阳系是在距今50 ─ 46亿年前形成的），天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其他许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及到极为复杂的多变量微分方程和积分方程。例如，太阳的表面温度为 5770K，白矮星的密度为每立方厘米105─107克，20世纪20年代，人们发现天狼星的一颗伴星，其质量约为太阳的 1.053倍，但半径却只有 0.0074 太阳半径，平均密度高达每立方厘米 106克，温度约107K。中子星的密度为每立方厘米1013 ─ 1016克等。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现与计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。 现代宇宙学中的宇宙模型。

二、数学与物理学 一位物理学家写道：“贯穿整个物理科学的曲折变化的历史，有一个仍然不变的因素，就是数学想象力的绝对重要性。每个世纪都有它特有的科学预见和它特有的数学风格。每个世纪物理科学的主要进展是在经验的观察与纯数学的直觉相结合的引导下取得的。对于一个物理学家来说，数学不仅是计算现象的工具，也是得以创造新理论的概念和原理的主要源泉。”相对论和量子力学是现代物理学的核心领域，它们的建立与发展都与数学有密切关系。 1．爱因斯坦的广义相对论。1905─1915年，爱因斯坦发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是认识到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径，例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁掠过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播，光线路径的弯曲实际上表明引力场的空间是弯曲的。空间弯曲的程度是由宇宙中物质的分布所决定，一个区域内的物质密度越大，空间的曲率也就越大。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经准备好了：在此之前半个世纪，数学家黎曼就研究了弯曲的三维空间的问题；广义相对论所需要的另一个数学工具张量分析也已经在19世纪末初步建立。 2．量子力学。量子力学的两种基本形式：矩阵力学与波动力学。1900年，德国物理学家普朗克发现，像物质一样，能量也只能被分为有限的份数，而不是无穷多份。他的这个工作的中心是一个数学关系，它表明，量子的能量可以用辐射的频率乘以一个新的基本自然常数来计算，现在这个常数就被称为普朗克常数。1925年７月，德国物理学家海森堡发表论文“关于运动学和动力学关系的重新解释”，从丹麦物理学家玻尔的对应原理出发，由经典运动方程加量子条件，得到了一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程，并用这个方程求解一个较简单的非谐振子量子力学系统，得到了与实验相符的频率和跃迁几率。两个月后，德国物理学家玻恩及其学生P.约旦发表论文“论量子力学”，用矩阵代数的形式系统地表示海森堡理论，矩阵元对应于可观察量，矩阵乘法规则与海森堡运算规则一致，得出的矩阵方程相当于海森堡量子条件。随后，他们与海森堡合作发表了论文“论量子力学Ⅱ”，系统地发展起矩阵形式的量子力学体系，成功地处理了一系列问题，从而建立了量子力学的基本形式之一 —— 矩阵力学。矩阵论是在19世纪中期由英国数学家凯莱在研究线性变换不变量问题时开创的，矩阵代数的运算与通常的代数运算有一个明显的差异：矩阵乘法不满足交换律。后来人们认识到，这个不对称的数学特点联系着这样一个事实：仅仅是测量的前后次序不同，微观世界就可能给出不同的结果。这是量子世界所显示的许多奇特性质之一。从1926年 1月27日到 6月23日，奥地利物理学家薛定谔接连发表６篇关于量子力学的论文，致力于用一个全新的数学量 ─ 波函数描述微观客体在时空中的定态和运动变化，并建立起相应的波动方程，以数学语言表达了在空间以特定形式传播或振动的波的性质，给出了波函数随空间坐标和时间变化的关系。求解这些偏微分方程得出的本征值就是量子化假设中的分立能级，对一系列实例得出了与实验相符的理论解。论文还分析了微观系统和宏观的关系，证明了这种波动力学与矩阵力学在数学上的等价性。还有一件事情值得一提：1924年，希尔伯特出版了《数学物理方法》，它恰好为第二年出现的量子力学准备了工具。 3．群论与物理学。运用群论方法，研究系统的对称性质，引出系统的各种定量和定性的结论，有下面两个重要特点：⑴只要依据的对称性质是严格的，则由它引出的结论是精确的、可靠的；⑵对称性质与系统的具体细节无关，特别当我们对所研究对象还知之甚少的情况下，分析系统的对称性质，就可以得出一些带普遍性的结论来，甚至可以以对称性质作为依据，猜测和探索系统的基本运动规律。 4．规范场与纤维丛。杨振宁《几何和物理学》：“回顾前面关于规范场的历史渊源的画面，我已经在其中列举了物理学家认为在描述实验定律时是必要的那些概念的发展。寻求这些概念的动机渊源于物理现象。因此十分令人惊讶的是人们发现规范场概念等同于叫做纤维丛的几何概念，它是数学家完全独立地发展起来的，与物理实在没有任何关系。” 5．正电子的发现。1930年，英国理论物理学家狄拉克 (Paul Ddrac) 发现了描述电子运动的正确方程，这一发现主要是基于对称性的考虑。但是出人意料的事情发生了：狄拉克方程预示着存在一个除了负荷外，每个方面都与电子一样的粒子。以前从未有人观察到这个假设中的“反粒子”，于是实验物理学家们开始去寻找它。1932年 8月•2日，美国物理学家卡尔·安德森 (Carl D.Anderson) 发现了正电子。人们称这个用数学方法预言而作出的发现是一个“比现实还现实”的优美例子。

三、数学与地球科学 在地球科学中运用数学方法，产生了计量地理学、数学地质学、数值天气预报等一系列研究领域与方法，并在地震预报、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。此外，现代地球科学中还广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法，许多实质性的进展依赖于有关的数学理论与方法的发展。数学在地球科学中不仅已经显示出巨大的作用，而且必将产生更为广泛和深刻的影响。 航空摄影测量学。为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图象拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面图景投影到照相底片的平面上。这两个平面如果不平行，底片上的图象就会变形，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。 1967年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot ，1924─ ）发表了“不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维”一文，其中首先注意到更早的理查德森（Richardson）已经作出的研究：当用无穷小的尺度去测量海岸线时，会得出海岸线是无限长的令人困惑的结论。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于1977年出版了《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的正式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学也应运而生。 19世纪末，挪威学者已将流体力学引入气象学研究，1922年理查森提出数值解法，但只有冯·诺伊曼等借助计算机与适当的数值方法才于1952年首次实现数值天气预报。与气象学一样，当前一系列科学与工程领域的发展都依赖于计算机与计算方法，这导致了大规模科学计算的迅猛发展。 1998年，当时的美国副总统戈尔提出了“数字地球”的构想，成为近年来地球科学领域最引人注目的话题之一。通俗地说，所谓数字地球就是一个数字化的地球仪，它可以按照统一的地球空间坐标，将地球的自然地理信息、社会经济数据、人文信息等组织起来，构成一个具有多分辨率、多类型、多时项的三维地球数据集。这种数字地球可以提供普通地球仪无法提供的许多重要信息，使人们可以任意选择、逐级放大或缩小所感兴趣的观察对象，可以