高等数学向量代数与空间解析几何习题
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向量代数 与空间解析几何
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
数量积
混合积
向量的 表示法
向量积
1、向量的概念
向量的模、单位向量、 零向量、
自由向量、 相等向量、 负向量、
平行向量、 向径.
2、向量的线性运算
加、减、数乘
3、向量的表示法
向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量：
旋转曲面、 柱面、 二次曲面 3、空间曲线 4、平面 5、空间直线
线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离 两直线共面的条件
L 1:xm 1x1y n1y1z p1z1 L 2:xm 2 x2y n2y2z p2z2
s1 s1s2
共面 M 1 M 2 ( s 1 s 2 )L1 M 1
M 1 M 2 (s 1 s 2 )
来自百度文库 即 ( 1 ) x 5 y ( 1 ) z 4 0 ,
其法 n { 1 向 ,5 ,1 } 量 .
又已知平面 n 的 {1,4法 ,8}向 . 量
由题设知
cos 4
nnnn11
(1 )1 5 ( 4 ) (1 )( 8 )
1 2 ( 4 )2 ( 8 )2(1 )2 5 2 (1 )2
向量的坐标表示式： 向量的坐标： 模、方向余弦的坐标表示式
4、数量积、向量积、混合积
各种积的坐标表达式 两向量平行、垂直的条件
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
1、空间直角坐标系 2、曲面
s2
L2
M2
x2 x1 m1
m2
y2 y1 n1 n2
z2 z1 p1 0 p2
6、平面束
二、典型例题
例1
已知 a
i，b
j
2k ,
c
2i
2j
k,
求一单位向量
n0，使
n0c，且
n0
,
a,
b
共面．
解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
n0 1 n0c n 0 a b
2
A
D
C
1|a|2 sin2
4
而 |a b | |a ||b |co|s a b | |a ||b |sin
|ab2||b|a|2b| |a|2|b2|2|cb|o2ssin
1|a|2 sin2
4 SBA D |a b 2||b |a | 2b |
② 因 dds12|a|2co2s
令 ds 0 得唯一驻点 (0,)
d
42
而
d2s
d
2
4
|a|2sin 2 4
|a|20
4
时
SBAD 面积最大
( 1 | a|2 ) 4
例4
设
(a
3b )
(7a
5b )
,
(a
4b )
(7a
2b )
求 a与b的夹角
解 由题设知
( a 3 b ) ( 7 a 5 b ) 0( a 4 b ) ( 7 a 2 b ) 0
v c 1 t 5 t 4 2 t2t1 而 |c|3
故 1Prjcvv|cc| 7t
t 1 7
故，所求向量为
v
1,
75 , 71
例6
求过直线
:
x x
5 z
y 4
z0 0,
且与平面
x
4
y
8z 12 0 组成 角的平面方程. 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4 ) 0 ,
2
F
BEBC1CA
a
1
b
2
2B
CFCA1AB 2
b
1 2
c
D
E C
A D B E CF
3(abc)
0
例3
2 已知
AB
a, AC
b , ADB
证明① ②
当Ba,AbD的的夹面角积为何| a值 b时2||，b| |a2 BA2bD| 的面积最大
证 ① SBAD12ADBD
B
1|a|cos|a|sin
zt1
z2t1
设所求 L与 直 L1,L线 2的交点分别为
A ( t 1 , 2 t 1 , t 1 1 ) 和 B ( t 2 , 3 t 2 4 , 2 t 2 1 ). M 0(1,1,1)与 A,B三点,共线
故 M 0A M 0B (为实 ). 数
于是 M0A, M0B对应坐标,成 即有比例 t1 1 2 t1 1 (t1 1 ) 1, t2 1(3 t24 ) 1(2 t2 1 ) 1
7 | a | 2 1 a b 6 1 | b | 2 5 0
7 | a | 2 3 a b 0 8 | b | 2 0
两式相减得 4a 6 b 2|b 3 |2
ab1|b|2 2
代入前式有 |a||b| 故 coas,(b)|aa||bb|
|b| 2| a|
x 1 y 3 z 相交的直线方程
1
12
解 设所求直线的方向数为 m,n, p
则直线方程为 x1 yz4 mn p
x2 y2 z2 1 2 x 2 y z 0 2 y z 0
解得 n 0(2i1 j2k ). 333
例2
设 ABC
的三边
BC
a,CA
b,
AB
c
三边中点分别为 D、E、F 试用 a,b,c
表示 AD, BE,CF 并证明
A
AD BE CF 0
证 ADAB1BC c 1 a
2
即2 3 , 由此解得 3 .
2 2227
4
代回平面束方程为 x 2y 0 7 z 1 0 2 .
例7
求过点
M 0 (1,1,1)
且与两直线
L1
:
y z
2x x
, 1
L2
:
y z
3x 2x
4 1
都相交的直线
L.
解 将两已知直线方程化为参数方程为
xt
xt
L1:y2t , L2:y3t4
1 2
(a ,b)arcc1os
23
例5 已知向量 a 2,3,1,b 1,2,3,c 2,1,2
求与 a,b 同时垂直，且在 c 上投影为 1
的向量 v
解
由于 v
同时垂直于
a,
b
v /a /b
i
而
a
b
2
j 3
k 1
7 i 5j k
1 2 3
故可设 v t(a b ) 7 t, 5 t, t
解之 t10 ,t2 得 0 , A ( 0 ,0 , 1 )B ,( 2 ,2 ,3 ) 点 M 0(1 ,1 ,1 )和 B (2 ,2 ,3 )同在 L 上 ,直线 故 L的方程为
x1y1z1. 112
例8 求过点 (1,0,4) 且平行于平面
3x 4 y z 10 0 又与直线
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
数量积
混合积
向量的 表示法
向量积
1、向量的概念
向量的模、单位向量、 零向量、
自由向量、 相等向量、 负向量、
平行向量、 向径.
2、向量的线性运算
加、减、数乘
3、向量的表示法
向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量：
旋转曲面、 柱面、 二次曲面 3、空间曲线 4、平面 5、空间直线
线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离 两直线共面的条件
L 1:xm 1x1y n1y1z p1z1 L 2:xm 2 x2y n2y2z p2z2
s1 s1s2
共面 M 1 M 2 ( s 1 s 2 )L1 M 1
M 1 M 2 (s 1 s 2 )
来自百度文库 即 ( 1 ) x 5 y ( 1 ) z 4 0 ,
其法 n { 1 向 ,5 ,1 } 量 .
又已知平面 n 的 {1,4法 ,8}向 . 量
由题设知
cos 4
nnnn11
(1 )1 5 ( 4 ) (1 )( 8 )
1 2 ( 4 )2 ( 8 )2(1 )2 5 2 (1 )2
向量的坐标表示式： 向量的坐标： 模、方向余弦的坐标表示式
4、数量积、向量积、混合积
各种积的坐标表达式 两向量平行、垂直的条件
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
1、空间直角坐标系 2、曲面
s2
L2
M2
x2 x1 m1
m2
y2 y1 n1 n2
z2 z1 p1 0 p2
6、平面束
二、典型例题
例1
已知 a
i，b
j
2k ,
c
2i
2j
k,
求一单位向量
n0，使
n0c，且
n0
,
a,
b
共面．
解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
n0 1 n0c n 0 a b
2
A
D
C
1|a|2 sin2
4
而 |a b | |a ||b |co|s a b | |a ||b |sin
|ab2||b|a|2b| |a|2|b2|2|cb|o2ssin
1|a|2 sin2
4 SBA D |a b 2||b |a | 2b |
② 因 dds12|a|2co2s
令 ds 0 得唯一驻点 (0,)
d
42
而
d2s
d
2
4
|a|2sin 2 4
|a|20
4
时
SBAD 面积最大
( 1 | a|2 ) 4
例4
设
(a
3b )
(7a
5b )
,
(a
4b )
(7a
2b )
求 a与b的夹角
解 由题设知
( a 3 b ) ( 7 a 5 b ) 0( a 4 b ) ( 7 a 2 b ) 0
v c 1 t 5 t 4 2 t2t1 而 |c|3
故 1Prjcvv|cc| 7t
t 1 7
故，所求向量为
v
1,
75 , 71
例6
求过直线
:
x x
5 z
y 4
z0 0,
且与平面
x
4
y
8z 12 0 组成 角的平面方程. 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4 ) 0 ,
2
F
BEBC1CA
a
1
b
2
2B
CFCA1AB 2
b
1 2
c
D
E C
A D B E CF
3(abc)
0
例3
2 已知
AB
a, AC
b , ADB
证明① ②
当Ba,AbD的的夹面角积为何| a值 b时2||，b| |a2 BA2bD| 的面积最大
证 ① SBAD12ADBD
B
1|a|cos|a|sin
zt1
z2t1
设所求 L与 直 L1,L线 2的交点分别为
A ( t 1 , 2 t 1 , t 1 1 ) 和 B ( t 2 , 3 t 2 4 , 2 t 2 1 ). M 0(1,1,1)与 A,B三点,共线
故 M 0A M 0B (为实 ). 数
于是 M0A, M0B对应坐标,成 即有比例 t1 1 2 t1 1 (t1 1 ) 1, t2 1(3 t24 ) 1(2 t2 1 ) 1
7 | a | 2 1 a b 6 1 | b | 2 5 0
7 | a | 2 3 a b 0 8 | b | 2 0
两式相减得 4a 6 b 2|b 3 |2
ab1|b|2 2
代入前式有 |a||b| 故 coas,(b)|aa||bb|
|b| 2| a|
x 1 y 3 z 相交的直线方程
1
12
解 设所求直线的方向数为 m,n, p
则直线方程为 x1 yz4 mn p
x2 y2 z2 1 2 x 2 y z 0 2 y z 0
解得 n 0(2i1 j2k ). 333
例2
设 ABC
的三边
BC
a,CA
b,
AB
c
三边中点分别为 D、E、F 试用 a,b,c
表示 AD, BE,CF 并证明
A
AD BE CF 0
证 ADAB1BC c 1 a
2
即2 3 , 由此解得 3 .
2 2227
4
代回平面束方程为 x 2y 0 7 z 1 0 2 .
例7
求过点
M 0 (1,1,1)
且与两直线
L1
:
y z
2x x
, 1
L2
:
y z
3x 2x
4 1
都相交的直线
L.
解 将两已知直线方程化为参数方程为
xt
xt
L1:y2t , L2:y3t4
1 2
(a ,b)arcc1os
23
例5 已知向量 a 2,3,1,b 1,2,3,c 2,1,2
求与 a,b 同时垂直，且在 c 上投影为 1
的向量 v
解
由于 v
同时垂直于
a,
b
v /a /b
i
而
a
b
2
j 3
k 1
7 i 5j k
1 2 3
故可设 v t(a b ) 7 t, 5 t, t
解之 t10 ,t2 得 0 , A ( 0 ,0 , 1 )B ,( 2 ,2 ,3 ) 点 M 0(1 ,1 ,1 )和 B (2 ,2 ,3 )同在 L 上 ,直线 故 L的方程为
x1y1z1. 112
例8 求过点 (1,0,4) 且平行于平面
3x 4 y z 10 0 又与直线