三角形复习一 华师大版
华师大版八年级下全等三角形判定(角边角或角角边)
D
3 4
C
∴ △ABE≌△ACD(ASA)
∴ AC=AB(全等三角形对应角相等)
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF， △ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的 结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的两 个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。 用数学符号表示
蓬溪县任隆镇中
李华
复习
1.什么是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什 么条件?
边角边(SAS)
有两边和它们夹角对应相等的 两个三角形全等。
试一试
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，
如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？
能恢复原来三角形的原貌吗？
A
D
C
E
B
探究1
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/ =∠A，∠B/ =∠B 把画好的△A/B/C/剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？
（3）会根据已知两角画三角形
（4）进一步学会用推理证明。
作法： 1、作A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁作∠DA/ B/ =∠A ，
∠EB/A/ =∠B， A/ D与B/E交于点C/。
E C C′ D
A
B
A′
B′
通过实验你发现了什么结论？
探究反映的规律是： 有两角和它们夹边分别对应相等的两个三角形全等 (简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A`
∵
A
B
七年级数学下册9.1三角形学习指导素材华东师大版(new)
《三角形》学习指导三角形是平面内最简单、最基本的几何图形之一，在生活中随处可见.他不仅是我们学习其他图形的基础，而且是现实生活中有着广泛的应用。
因此探讨三角形中的基本性质可以使我们更好的认识现实世界，为了更好的学好三角形，我们先着眼于三角形的一些基本概念和性质。
1. 三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边,三个内角，三个顶点。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表示为△A BC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示,BC可用a表示。
注意:①三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接;②三角形是一个封闭的图形；③△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义。
2.三角形的分类按边分类:不等边三角形（三边均不相等）和等腰三角形（至少两边相等）按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角)直角三角形（有一个角为直角）钝角三角形（有一个角为钝角）3. 三角形中的主要线段三角形中的主要线段有三种,特们分别是三角形的角平分线、中线和高。
对此应注意以下几点：(1）他们都是线段，在一个三角形中都分别有3条。
（2）关于三角形的主要线段有以下结论：三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点。
三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点.三角形的高线有三条，它们相交于一点，这点的位置由三角形的形状确定.锐角三角形的高交于三角形内,直角三角形的高交于直角顶点上，钝角三角形的高交于三角形外。
由于它们都有交于一点的特性，可用此检验所画的三条角平分线、中线和高线是否正确。
（3）要把图形和文字语言、符号语言结合起来。
为了帮大家系统的学好这些重要的线段，现将他们的文字语言、符号语言和图形表述如下:名称定义(文字语言）图形符号语言三角形的角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
【华师大版】初一七年级数学下册《9.1.1 认识三角形》课件
它既可对林场、输电线路、石油管道进行多架次 空中监护，为农田喷药施肥，又能搭载游客，使其亲 身感受惊险的特技飞行. 它的优良性能与三角形的特性 是分不开的. 三角形具有那些优良特性呢？学习了本 章你就明白了．
知识点 1 三角形及有关概念
知1－导
三角形(triangle)是我们早就认识的几何图形，它 是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成 的平面图形，这三条线段就是三角形的边.
解：∵|a－2|＝0，∴a＝2.
由
2b 3c 10, 5b 4c 2,
解得
b 2, c 2.
∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
知2－讲
知2－练
1 下列说法：①有一个内角是锐角的三角形是锐角三 角形；②一个三角形不是锐角三角形，就一定是钝 角三角形；③一个三角形可能既是直角三角形，又 是等腰三角形，其中正确的有________个．
（来自《教材》）
图中，三个三角形的内角各有什么特点?
知2－导
第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三 角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一 个内角是钝角.
三角形可以按角来分类： 所有内角都是锐角——锐角三角形； 有一个内角是直角——直角三角形； 有一个内角是钝角——钝角三角形. （来自《教材》）
9.1 三角形
第9章 多边形
第1课时 认识三角形
1 课堂讲解 三角形及有关概念
三角形的分类
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
三角形飞机
俄罗斯新发明了一款三角形 多用途飞机，这是一种两人乘坐 的小型飞机，飞机名为“克鲁伊 兹”，由超轻型复合材料制成. 飞机的机身呈三角形， 机翼可在飞行员控制下灵活地变换飞行角度. “克鲁伊 兹”配有特技飞行、领航和发动机参数控制系统，能 够完成高难度的飞行动作且操作流程简便.
华师大版-数学-八年级上册-华师七下第十章第三节等腰三角形复习学案
等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
等边三角形的判定2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形；
（7）直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【典型例题】
（一）基础知识例题
例1.（1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为。
（3）等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）
（4）等边三角形的有关概念
在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
（5）等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 。
（2）当AB<BC时，根据题意得： 解得 这个三角形各边的长为10cm，10cm，7cm或8cm，8cm，11cm.
11、
【励志故事】
命运在自己手里
一次，去拜会一位事业上颇有成就的朋友，闲聊中谈起了命运。我问：这个世界到底有没有命运？他说：当然有啊。我再问：命运究竟是怎么回事？既然命中注定，那奋斗又有什么用？
∵∠ABD＝∠E＋∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.
在 AED和 ACD中
∴ ∴AC＝AE
∵AE＝AB＋BE∴AC＝AB＋BD
即AB＋BD＝AC
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1、在 ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为 ，则底角∠B＝.
2、如果一个三角形是轴对称图形且有一个 的角，那么这个三角形的另两个角的度数为。
∴ED⊥AB
又∵ ，∴ ，∴EA＝EB
华师大版八年级下全等三角形判定(角角边)
A
B
∠B=∠B` BC=B`C` B`
C A`
∴ △ABC≌△A`B`C`（AAS）
C`
口答
1、如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD
∠A=∠B（已知）
（已知）
B C
）
∠C=∠D
（已知）
∴△ADC≌△BOD（
O DAΒιβλιοθήκη 练一练1.如图，∠1=∠2，∠B=∠C
求证：AC=AB 证明：在△ABD和△ACD中 ∠1=∠2（已知） ∵ AD=AD（公共边） ∠B=∠C（已证）
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF， △ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的 结论吗？
A D
C E B
F
探究的结论是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的两 个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。 用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A`
七年级数学下册
11.3 探索三角形全等的条件⑵
学习目标
1.探索三角形全等的 “角角边”条件.
2.能运用“角角边”（AAS)条件判别两 个三角形全等.
自学 指导
认真看课本P.73“思考”与P74练习前面 的内容 ，要求: (1)边看边完成“思考” ; (2)结合“思考”推导、记熟判别三角形 全等的条件（角角边）. 4分钟后,比谁能正确地完成自学检测题.
C A 1 2 D B
∴ △ABE≌△ACD(AAS)
∴AC=AB(全等三角形对应角相等)
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证 AB=AD
小结与回顾
初二数学华师大版知识点
初二数学华师大版知识点初二上学期数学知识点归纳三角形知识概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
13、公式与性质：(1)三角形的内角和：三角形的内角和为180°(2)三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(3)多边形内角和公式：边形的内角和等于?180°(4)多边形的外角和：多边形的外角和为360°(5)多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。
②边形共有条对角线。
八年级下册数学复习资料正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
相似三角形的性质PPT课件(华师大版)
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
会说出类似三角形的性质：对应角相等，对应 边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于 类似比，周长比等于类似比，面积比等于类似 比的平方.
• 学习重点：
1. 类似三角形中的对应线段比值的推导； 2. 类似多边形的周长比、面积比与类似比关系
的推导； 3.运用类似三角形的性质解决实际问题.
• 学习难点：
类似三角形性质的灵活运用，类似三角形周长 比、面积比与类似比关系的推导及运用.
复习导入
判定两个三角形类似的简便方法有哪些？
定义法 平行法 判定定理1、2、3.
推动新课
在下图中，△ABC 和 △A′B′C′ 是两个类似三 角形，类似比为 k ，其中AD、A′D′ 分别为 BC、 B′C′ 边上的高，那么 AD、A′D′ 之间有什么关系？
的示意图.已知桌面的直径为 1.2 m，桌面距离地面为
1 m，若灯泡距离地面 3 m，则地面上阴影部分的面
积为_0_._8_1_π__m_2__.
运用类似三角形对应
d = h = 2， d' h' 3 d′ = 1.8m.
h
高的比等于类似比.
h′
d= d′
1.2m
S'
d' 2
2
0.81
m2
A
A′ E
E′
B
D
C
B′ D′ C′
A
A′ E
E′
B
D
C
B′ D′ C′
由此可以得出结论： 类似三角形对应角的平分线之比等于类似比. 类似三角形对应边上的中线之比等于类似比. 类似三角形的周长之比等于类似比.
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》期末复习解答题专题训练(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》期末复习解答题专题训练（附答案）1．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，EC＝BF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．2．已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．（1）求证：△ADE≌△ABC；（2）求证：AE＝CE．3．已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．5．已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．6．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．7．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．（1）请说明CD＝BD；（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，求△ACD的周长．9．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：BC＝BD+CE．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．（1）求证：△ADC≌△CEB．（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．12．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E在BD的延长线上，连接AE，∠BAE ＝∠BEA，连接CE．求证：（1）△ABD≌△EBC；（2）∠BCE+∠BCD＝180°．13．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，AF＝DE，CF＝BE．求证：AF ∥DE．14．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．（1）求证：AF＝DE；（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB 于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．17．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF ⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）求证：DF＝DG．18．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．19．如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB＝OE．20．如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．（1）求证：△AOD≌△COB；（2）求∠APC（用含α的式子表示）；（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON 的数量关系．参考答案1．证明：∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，即EF＝BC，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB＝DE．2．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）；（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵∠2＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．3．证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，∵∠ACD＝∠B，∴∠D＝∠B，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△CDE（AAS）．4．证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°．5．证明：（1）∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF．∵AB∥DE，∴∠A＝∠D．∵AB＝DE，∴在△ABC和△DEF中．∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）∵△ABC≌△DEF（已证），∴∠ACB＝∠DFE．∴EF∥BC．6．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．7．解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED＝∠CFD，∵D是EF的中点，∴ED＝FD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴CD＝BD；（2）由（1）得：CF＝EB＝6，∵AF＝CF，∴AF＝6，∵D是EF的中点，∴DF＝DE＝3，∴AD＝9，∴△ACD的面积：AD•CF＝×9×6＝27．8．（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13，∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．9．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（ASA）；（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，在△DF A和△DFG中，，∴△DF A≌△DFG（SAS），∴F A＝FG．∴CG＝AB＝FB+F A＝FB+FG．10．解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠A＝60°，∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°；（2）证明：在BC上取点G使得CG＝CE，∵∠BPC＝120°，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，在△CPE和△CPG中，，∴△CPE≌△CPG（SAS），∴∠CPG＝∠CPE＝60°，∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，在△BPD和△BPG中，，∴△BPD≌△BPG（ASA），∴BD＝BG，∴BD+CE＝BG+CG＝BC．11．（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），在△ADC与△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．∵CD＝CE﹣DE，∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），即BE的长度是2cm．12．证明：（1）∵∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS）；（2）由（1）得：△ABD≌△EBC，∴∠ADB＝∠BCE，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，又∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠BCE+∠BCD＝180°．13．证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△ACF和△DBE中，，∴△ACF≌△DBE（SSS），∴∠A＝∠D，∴AF∥DE．14．证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF＝DE；（2）由（1）得：Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∵OM平分∠EOF∴OM⊥EF．15．证明：连接AC，在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．16．（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝217．证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，∴∠AED＝∠CED，∵DF⊥AE，DG⊥CE，∴FD＝DG．18．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．19．证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC和△EAD中，，∴△BAC和≌EAD；（2）∵△BAC≌△EAD，∴∠ABC＝∠AED，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE．20．解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，∴∠AOD＝∠COB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（SAS）；（2）由（1）可知△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，令AD与OC交于点E，则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC，∴∠AOC＝∠APC，∵∠AOC＝α，∴∠APC＝α；（3）∵△AOD≌△COB，∴∠P AO＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO，∵OM⊥AD，ON⊥BC，∴∠AMO＝∠CNO＝90°，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OM＝ON．。
数学七年级下华东师大版9.1三角形-9.1.1认识三角形课件
9.1.1 认识三角形
A
一、三角形的相关概念： 1、什么叫三角形：
B C
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形． 2、顶点： 用一个大写字母表示如A、B、C 3、边： 边AB，边BC，边AC 4、角（内角）：∠A，∠B，∠C 5、三角形记作：△ABC 6、对角：BC边的对角是∠A
1.如图图中有几个三角形？ 2.请用符号与字母表示出来； 3.然后再表示出每一个三角 形的边与内角. A
B
C
三角形中内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
A
如图中的∠ACD
BБайду номын сангаас
C
D
请画出一个三角形，用字母与符号表示出来； 然后画出它的6个外角，并用字母与符号表示 出来。
外角
三、课堂小结 1、本节通过贴近我们生活的交通图标出 发，体验了三角形知识的产生过程；
2、掌握了三角形的基本要素及其表示法； 3、学会对三角形进行合理分类，并了解分 类的基本原理； 4、学会用数学知识进行说理．
作 业
1
5
.
4
.
3
6
.
2
4 个； 例、图中以BC为边的三角形共有______ 它们分别 △BCF; △ BCE; △ BCD; △ BCA ． ______________________________ BD 在△ABD中,∠A是_______ 边的对角, ∠ADB是 ABD 的内角,又是________________ △FDC 或△BDC 的一 △_____ A 个外角．
对边：∠C的对边是BA
7、外角 ∠BCE ∠ACD 三角形外角的定义：三角形内角的一边与另一边 的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.
华东师大版七年级数学下册认识三角形(第一课时)
顶点
A
三角形用“△”符号表示
内角 记作：△ABC
读作：三角形ABC
B
边C
（三）三角形的外角 由三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角 叫三角形的外角．
A
C
D
B
（四）三角形的外角 思考 （1）与∠ACB相邻的外角有几个？
（2）△ABC共有几个外角？ （3）同一顶点上的两个外角之间有何关系？为什么？ （4）同一顶点上的外角与内角之间有何关系，为什么？
等边三角形 三条边都相等
(正三角形)
观察下图，解决下列问题：
A形？并把它们表示出来；
（2）指出△ADC的三个内角、三条边； （3）∠BDA是△ACD的什么角?
（4）除了∠BDA外，在图中还有没有三角形
的外角？哪个角是哪个三角形的外角？
课堂小结 1、三角形的概念: 2、三角形的相关概念 （1）顶点 （2）边（3）内角 （4）外角
A
C B
A
B
C
D
下图中三个三角形的内角各有什么特点?
（1）
（2）
（3）
三角形可以按角来分类：
锐角三角形 所有内角都是锐角 三角形 直角三角形 有一个内角是直角
钝角三角形 有一个内角是钝角
下图中三个三角形的边各有什么特点?
等边三角 形是不是 等腰三角
形？
（1）
（2）
（3）
三条边都不相等
三角形
等腰三角形 有两条边相等
3、三角形按角分类：
4、特殊三角形：（1）等腰三角形 （2）等边三角形
瓷砖是生活中常见的装饰材料，你见过哪些形状的 瓷砖？它们有什么特点？
这些形状的地砖或瓷砖 为什么能铺满地面而不 留一点空隙呢？换一些 其他的形状行不行？
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三角形复习（一）
实验初中初三备课组
复习要求
1、理解三角形、三角形的顶点、边、内角、外角
等概念；掌握三角形的角平分线、中线、高等概
念，会画任意三角形的角平分线，中线和高。
4、会对三角形按边或按角进行分类。
3、掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于
与它不相邻的两内角和、三角形的外角大于任何
一个和它不相邻的内角及直角三角形两锐角互余的
性质。
2、理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，
会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。
三
角
形
与三角形有
关的线段
三角形内角和
三角形的外角
三角形知识结构图
三角形的边
高线
中线
角平分线
多边形的内角和
多边形的外角和
1. 三角形的三边关系:(1)三角形的任何两边之和大于第三边:
(2)三角形的任何两边之差小于第三边
(3)判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形;
当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形。
(4)确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和。
2. 三角形的三条高线(或高线所在的直线)交于一点,
锐角三角形三条高线交于三角形内部一点,
直角三角形三条高线交于直角顶点，
钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点。
3. 三角形的三条中线交于三角形内部一点。
4. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。
这是三角形中边的不等关
系，是证明边的不等关系
的依据，也是用来求三角
形一边的范围的依据，
在实际中有广泛的应用。
同时也用来判断三条线段
能否构成三角形。
注意要点:
1．在理解三角形的概念时应注意：
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
叫做三角形。
三条中线和角平分线都在三角形的内部，高有所不同：
锐角三角形
的三条高在三角形内部，
直角三角形
斜边上的高在三角形内部，另两条就是两直角边，
钝角三角形
夹钝角的两边上的高在三角形外部，作这两条高时要先
延长钝角的边，再从锐角顶点作延长线的垂线段。
三角形有三条角平分线、三条中线、三条高，它们都
是线段，而不是直线或射线；
三角形有三条边，三个内角、六个外角，
其中外角是指三角形的一边与另一边的延长线所组
成的角。
①按边分
三角形不等边三角形
等腰三角形等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
②按角分
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法，在数学学习中有重要
作用，注意分类一定要做到“不重复”和“不遗漏”。
三角形的分类有两种方法
练习
一、选择题
1．下列说法中正确的是：
A．三角形一个角的平分线叫做三角形的角平分线。
B．在三角形中连结三个顶点和它的对边中点的直线叫三角形的
中线。
C．从三角形的一个顶点出发向它的对边画的垂线叫三角形的高。
D．三角形的角平分线、中线、高都是线段。
2．一个三角形的三个内角中，至少有：
A．一个钝角B．一个直角C．三个锐角D．两个锐角
3．长度为下列各组数值的三条线段，能构成三角形的是：
A．7，5，12 B．6，8，15
C．4，5，6 D．8，4，3
4．△ABC中，若∠A＋∠B＝2∠C，则∠C的度数是：
A．90°B．60°C．45°D．30°
5．三角形的一个外角小于和它相邻的内角，
则这个三角形为：
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不一定
√
6.下列说法中，错误的是（）
A、一个三角形中至少有一个角不大于60
O
B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；
C、三角形的外角中必有两个角是钝角；
D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；
7.三角形三个内角的度数分别是（x+y)°, (x-y)°,x°,
且x>y>0,则该三角形有一个内角为（）
•A、30°B、45°C、60°D、90°
8.把14cm长的细铁丝截成三段，围成不等边三角形，
并且使三边长均为整数，那么（）
•A、只有一种截法B、只有两种截法
•C、有三种截法D、有四种截法
二、判断题
1．以平面上的任意三点为顶点，都可以画出一个三角形。
2．以10cm长为底的一个等腰三角形，
腰长一定要大于5cm。
3．等腰三角形一定是斜三角形。
4．如果三角形的一个内角等于其余两个内角的差，
那么此三角形一定是直角三角形。
5．三角形三内角的度数之比为2:3:4，
则这个三角形必为锐角三角形。
三、填空题:
1．一个三角形三个内角的度数比为1:2:1，则这个三角
形是________
2.以16cm为腰的等腰三角形，底边长x的取值范围
____________
3.等腰三角形两边长为25cm和12cm，那么周长是
____________
等腰直角三角形
62cm
0cm＜X＜32cm
4.如右图，AD是BC边上的高，BE是△
ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，
∠C= ____∠BED=。
60°65°
A
B
C
D
1
2
E
5、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大
30°，则∠C的外角为_____度，这个三角形是____
三角形
75°
钝角
6、如图，已知：AD是△ABC
的中线，△ABC的面积为50cm
2 ,
则△ABD的面积是_______.
25cm
2
A
B
C
D
8、如图，在△ABC中，CE，BF是两
条高，若∠A= 50°，∠BCE= 30°，
则∠EBF的度数是，∠FBC的度数
是.
40°
20°
A
BC
E
F
7.
一个三角形的三边长是整数，
周长为5，则最小边为；
1
演示文稿
后
等
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9.木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在
角上钉一斜条，根据是
；
10.小明绕五边形各边走一圈，他共转了.
度。
11.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形
（3）正五边形（4）正六边形，其中用一
种正多边形能镶嵌成平面图案的是
；
三角形具有稳定性
360
（1）、（2）、（4）
四.例讲
例1．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平∠ACD，F
是CA延长线上的一点，FG∥EC交AB延长线于G点，
若∠ECD＝62°，∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。
解：∵CE平分∠ACD，∠ECD＝62°
∴∠ACD＝124°
∴∠ACE＝∠ECD＝62°
又∵∠ABC＝40°
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC
＝124°－40°＝84°
(三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和)
∵FG∥CE
∴∠F＝∠ACE＝62°
又∵∠BAC是△AFG的一个外角
∴∠FGA＝∠BAC－∠GFC＝84°－62°＝22°
例2．如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交
AB于G，AB、CD交于点O，且∠A＝48°，
∠D＝46°，求∠BEC的度数。
解：∵∠AGC＝∠EGB(对顶角相等)
(∠A＋∠ACG)＝180°－∠AGC
∠BEC＋∠EBG＝180°－∠EBG
（三角形内角和定理）
∴∠A＋∠ACG＝∠BEC＋∠EBG
同理∠D＋∠DBF＝∠BEC＋∠ECF
又BE平分∠ABD ∴∠EBG＝∠DBF
同理∠ECF＝∠ACG
∴(∠A＋∠ACG)＋(∠D＋∠DBF)＝
(∠BEC＋∠EBG)＋(∠BEC＋∠ECF)
∴∠A＋∠D＝2∠BEC
∴∠BEC＝(∠A＋∠D)＝(48°＋46°)＝47°
练习
1、如图∠ABC＝56°，∠ACB＝44°，AD是高，AE是角
平分线。求∠DAE的度数。
2、如图△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，
∠A＝76°，求∠BOC的度数。
3.如图, △ABC中, ∠A= ∠ABD,
∠C= ∠BDC= ∠ABC,求∠DBC的度数
A
BC
D
0
:
0
0
0
000
0
0
0
00
,22218022180518036,36AXAABDABDXBDCAABDXCABCBDCCABCXDBCABCABDXXXCDBCBDCXXXXXDBC
解设又
又
即
4．如图AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
BA＝BD，
求证：AC＝2AE。
A
BCD
E
F