2024年中考数学考试卷
2024浙江省中考数学真题试卷及答案
2024浙江省中考数学真题试卷一、选择题(每题3分)1.以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是( ).A.北京B.济南C.太原D.郑州2.5个相同正方体搭成的几何体主视图为()A. B.C. D.3.2024年浙江经济一季度GDP 为201370000万元,其中201370000用科学记数法表示为( ) A.920.13710⨯B.80.2013710⨯C.92.013710⨯D.82.013710⨯4.下列式子运算正确的是( ) A.325x x x +=B.326x x x ⋅=C.329()x x =D.624x x x ÷=5.有5位学生参加志愿者,服务次数为:7,7,8,10,13.则这5位学生志愿服务次数的中位数为( ) A.7B.8C.9D.106.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与'''A B C ∆是位似图形,位似中心为点O .若点(3,1)A -的对应点为'(6,2)A -,则点B (-2,4)的对应点'B 的坐标为( )A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)7.不等式组2113(2)6x x -≥⎧⎨->-⎩的解集在数轴上表示为( )A.B.C. D.8.如图,正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(△ABE ,△BCF ,△CDG ,△DAH )和中间一个小正方形EFGH 组成,连接DE .若AE=4,BE =3,则DE=( )A.5B.6 17 D.49.反比例函数4y x=的图象上有12(,),(4,)P t y Q t y +两点.下列正确的选项是( ) A.当4t <-时,210y y << B.当40t -<<时,210y y << C.当40t -<<时,120y y <<D.当0t >时,120y y <<10.如图,在▱ABCD 中,AC ,BD 相交于点,2,3O AC BD ==过点A 作AE BC ⊥的垂线交BC 于点E ,记BE 长为x ,BC 长为y .当x ,y 的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )A.x y +B.x y -C.xyD.22x y +二、填空题(每题3分)11.因式分解:27a a -=____________. 12.若211x =-,则x =____________. 13.如图,AB 是O 的直径,AC 与O 相切,A 为切点,连接BC .已知050ACB ∠=,则B ∠的度数为___________.14.有8张卡片,上面分别写着数1,2,3,4,5,6,7,8.从中随机抽取1张,该卡片上的数是4的整数倍的概率是_________.15.如图,D ,E 分别是△ABC 边AB ,AC 的中点,连接BE ,DE .若,2AED BED DE ∠=∠=,则BE 的长为_______________.16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,53AC BD =.线段AB 与''A B 关于过点O 的直线l 对称,点B 的对应点'B 在线段OC 上,''A B 交CD 于点E ,则△'B CE 与四边形'OB ED 的面积比为___________.三、解答题(17-21每题8分,22,23每题10分,24题12分)17.计算:11()54--18.解方程组:254310x y x y -=⎧⎨+=-⎩.19.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,AE 是BC 边上的中线,AB =10,AD =6,tan 1ACB ∠=. (1)求BC 的长 (2)求sin DAE ∠的值.20.某校开展科学活动.为了解学生对活动项目的喜爱情况,随机抽取部分学生进行问卷调查.调查问卷和统计结果描述如下:根据以上信息.解答下列问题:(1)本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？(2)菜鸡学校共有1200名学生,根据统计信息,估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数. 21.尺规作图问题:如图1,点E是▱ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.小明:如图2.以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.小明:小丽,你的作法有问题.小丽:哦……我明白了！(1)证明AF∥CE(2)指出小丽作法中存在的问题.22.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑,10分钟后小丽才开始跑,小明跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分,B档比A档快40米/分.小明与小丽的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示.时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明16:00~16:50不分段 A 档 4000米 小丽 16:10~16:50 第一段B 档 1800米第一次休息第二段 B 档 1200米第二次休息第三段C 档 1600米(1)求A ,B ,C 各档速度(单位:米/分) (2)求小丽两次休息时间的总和(单位:分)(3)小丽第二次休息后,在a 分钟时两人跑步累计里程相等,求a 的值.23.已知二次函数2y x bx c =++(b ,c 为常数)的图象经过点(2,5)A -,对称轴为直线12x =-.(1)求二次函数的表达式(1)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度,向左平移(0)m m >个单位长度后,恰好落在2y x bx c =++的图象上,求m 的值(3)当2≤a ≤n 时,二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94,求n 的取值范围. 24.如图,在圆内接四边形ABCD 中,AD<AC ,ADC BAD ∠<∠,延长AD 至点E ,使AE=AC ,延长BA 至点F ,连结EF ,使AFE ADC ∠=∠.(1)若60O AFE ∠=,CD 为直径,求ABD ∠的度数.(2)求证:①EF ∥BC ②EF=BD .2024浙江省中考数学真题试卷答案一、选择题二、填空题 三、解答题. 17.【答案】718.【答案】124x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩19.【答案】(1)14 (2)3720.【答案】(1)32 (2)324 21.【答案】证明略22.【答案】(1)80米/分,120米/分,160米/分 (2)5分 (3)42.523.【答案】(1)23y x x =++ (2)4m = (3)112n -≤≤。
2024年安徽省中考数学试题(含答案)
数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。
“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．的绝对值是（ ）A ．5B ．C．D ．2．据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）第3题图A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D5．若扇形AOB 的半径为6，，则的长为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（）A ．B ．C ．1D ．37．如图，在中，，点D在AB 的延长线上，且，则BD 的长是（）第7题图A B C ．D．5-5-1515-70.94410⨯69.4410⨯79.4410⨯694.410⨯356a a a +=632a a a ÷=()22a a -=a=120AOB ∠=︒ AB ()0ky k x =≠2y x =-3-1-Rt ABC △2AC BC ==CD AB =2-8．已知实数a ，b 满足，，则下列判断正确的是（）A ．B．C ．D ．9．在凸五边形ABCDE 中，，，F 是CD 的中点．下列条件中，不能推出AF 与CD 一定垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，，，，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且．设，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）第10题图A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若分式有意义，则实数x 的取值范围是______．12．祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大（填“>”或“<”）．13．不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是______．14．如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．第14题图（1）若点N 在边CD 上，且，则______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边CD ，AD 上，点D 落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形EFGH 是正方形，．、MN 与10a b -+=011a b <++<102a -<<112b <<2241a b -<+<1420a b -<+<AB AE =BC DE =ABC AED ∠=∠BAF EAF∠=∠BCF EDF ∠=∠ABD AEC ∠=∠Rt ABC △90ABC ∠=︒4AB =2BC =DE DF ⊥AE x =14x -227227B 'C 'BEF α∠=C NM '∠=D 'D 'B C ''4AE =8EB =GH 的交点为P ，则PH 的长为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：．16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A 、B ，C 、D 的坐标分别为，，，．第16题图（1）以点D 为旋转中心，将旋转180°得到，画出；（2）直接写出以B ，，，C 为顶点的四边形的面积；（3）在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE 平分，写出点E 的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A ，B 两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B 39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元。
2024年云南省中考数学真题试卷附答案
2024年云南省中考数学真题试卷（全卷三个大题,共27个小题,共8页;满分100分,考试用时120分钟）一、选择题（本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分）1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米,则向南运动100米可记作（）A.100米B.100-米C.200米D.200-米2.某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人,57800用科学记数法可以表示为（）A.45.7810⨯ B.357.810⨯ C.257810⨯ D.578010⨯3.下列计算正确的是（）A.33456x x x += B.635x x x ÷= C.()327a a = D.()333ab a b =4.在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（）A.0x > B.0x ≥ C.0x < D.0x ≤5.某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图,左视图也称侧视图）如图所示,这个几何体是（）A.正方体B.圆柱C.圆锥D.长方体6.一个七边形的内角和等于（）A.540︒B.900︒C.980︒D.1080︒7.甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛,每人10次射击成绩的平均数x （单位:环）和方差2s 如下表所示甲乙丙丁x 9.99.58.28.52s 0.090.650.162.85根据表中数据,从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁8.已知AF 是等腰ABC ∆底边BC 上的高,若点F 到直线AB 的距离为3,则点F 到直线AC 的距离为（）A.32B.2C.3D.729.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ,根据题意,下列方程正确的是（）A.()280160x -= B.()280160x -=C.()80160x -= D.()801260x -=10.按一定规律排列的代数式:2x ,23x ,34x ,45x ,56x ,L ,第n 个代数式是（）A.2nx B.()1nn x- C.1n nx + D.()1nn x+11.中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广．下列四个选项中,是轴对称图形的为（）A.爱B.国C.敬D.业12.在Rt ABC △中,90B Ð=°,已知34AB BC ==，,则tan A 的值为（）A.45B.35C.43D.3413.如图,CD 是O 的直径,点A ,B 在O 上．若 AC BC=,36AOC ∠= ,则D ∠=（）A.9B.18C.36oD.4514.分解因式:39a a -=（）A.()()33a a a -+ B.()29a a + C.()()33a a -+ D.()29a a -15.某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为（）A.700π平方厘米B.900π平方厘米C.1200π平方厘米D.1600π平方厘米二、填空题（本大题共4小题,每小题2分,共8分）16.若关于x 的一元二次方程220x x c -+=无实数根,则c 的取值范围是______．17.已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上,则n =__________．18.如图,AB 与CD 交于点O ,且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++,则AC BD=__________．19.某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活,决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见,随机抽取了该校学生100人,了解他们喜欢的体育项目,将收集的数据整理,绘制成如下统计图注:该校每位学生被抽到的可能性相等,每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人,则该校喜欢跳绳的学生大约有______人．三、解答题（本大题共8小题,共62分）20.计算:120117sin3062-⎛⎫++--- ⎪⎝⎭．21.如图,在ABC ∆和AED △中,AB AE =,BAE CAD ∠=∠,AC AD =．求证:ABC AED ≌△△．22.某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度．23.为使学生更加了解云南,热爱家乡,热爱祖国,体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a,植物园b两个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等;八年级年级组准备从博物馆a,植物园b,科技馆c三个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a,选择植物园b为b,选择科技馆c为c,记七年级年级组的选择为x,八年级年级组的选择为y．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法,求(),x y所有可能出现的结果总数（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．24.如图,在四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是各边的中点,且AB CD ∥,AD BC ∥,四边形EFGH 是矩形．（1）求证:四边形ABCD 是菱形（2）若矩形EFGH 的周长为22,四边形ABCD 的面积为10,求AB 的长．25.A ,B 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢．某超市销售A ,B 两种型号的吉祥物,有关信息见下表成本（单位:元/个）销售价格（单位:元/个）A 型号35aB 型号42b若顾客在该超市购买8个A 种型号吉祥物和7个B 种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A 种型号吉祥物和5个B 种型号吉祥物,则一共需要410元．（1）求a ,b 的值（2）若某公司计划从该超市购买A ,B 两种型号的吉祥物共90个,且购买A 种型号吉祥物的数量x （单位:个）不少于B 种型号吉祥物数量的43,又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y 元,求y 的最大值．注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．26.已知抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标,记533109m M -=．（1）求b 的值（2）比较M 与2的大小．27.如图,AB 是O 的直径,点D ,F 是O 上异于A ,B 的点．点C 在O 外,CA CD =,延长BF 与CA 的延长线交于点M ,点N 在BA 的延长线上,AMN ABM ∠∠=,AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上,90AHD ∠= ,点E 是线段DH 的中点．（1）求AFB ∠的度数（2）求证:直线CM 与O 相切（3）看一看,想一想,证一证以下与线段CE ,线段EB ,线段CB 有关的三个结论:CE EB CB +<,CE EB CB +=,CE EB CB +>,你认为哪个正确？请说明理由．2024年云南省中考数学真题试卷解析一、选择题.1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】B【解析】解:一个七边形的内角和等于()72180900-⨯︒=︒故选:B ．7.【答案】A【解析】由表中数据可知,射击成绩的平均数最大的是甲,射击成绩方差最小的也是甲∴中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲故选:A ．8.【答案】C 【解析】解:如图∵AF 是等腰ABC 底边BC 上的高∴AF 平分BAC∠∴点F 到直线AB ,AC 的距离相等∵点F 到直线AB 的距离为3∴点F 到直线AC 的距离为3．故选:C ．9.【答案】B 【解析】解: 甲种药品成本的年平均下降率为x 根据题意可得()280160x -=故选:B ．10.【答案】D【解析】解:∵按一定规律排列的代数式:2x ,23x ,34x ,45x ,56x ,L ∴第n 个代数式是()1n n x +故选:D ．11.【答案】D 12.【答案】C【解析】解:∵90B Ð=°,34AB BC ==，∴tan A =43BC AB =故选:C ．13.【答案】B 【解析】解:连接OB∵ AC BC=∴36BOC AOC ∠=∠=︒∴1182D BOC ∠=∠=︒故选:B ．14.【答案】A【解析】解:()()()329933a a a a a a a -=-=+-故选:A ．15.【答案】C【解析】解:圆锥的底面圆周长为2π3060π⨯=厘米∴圆锥的侧面积为160π401200π2⨯⨯=平方厘米故选:C ．二、填空题.16.【答案】1c >17.【答案】5【解析】解: 点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上1052n ∴==故答案为:5．18.【答案】12【解析】解: AC BD∥ACO BDO∴ ∽∴AC BD =12OA OC AC OB OD BD ++=++故答案为:12．19.【答案】120【解析】解:该校喜欢跳绳的学生大约有100012%120⨯=人故答案为:120．三、解答题.20.【答案】2【解析】解:120117sin3062-⎛⎫++--- ⎪⎝⎭1116522=++--2=．21.【解析】证明: BAE CAD∠=∠∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠,即BAC EAD∠=∠在ABC 和AED △中AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC AED ∆∆≌．22.【答案】D 型车的平均速度为100km /h【解析】解:设D 型车的平均速度为km /h x ,则C 型车的平均速度是3km /hx根据题意可得,30030023x x-=整理得,6600x=解得100x=经检验100x=是该方程的解答:D型车的平均速度为100km/h．23.【答案】（1）见解析（2）23【解析】【小问1详解】解:由题意可列表如下a ba(),a a(),b ab(),a b(),b bc(),a c(),b c由表格可知,(),x y所有可能出现的结果总数为以上6种【小问2详解】解:由表格可知,该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4种∴P（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）42 63 ==．24.【答案】（1）见解析（2【小问1详解】解:连接BD,ACAB CD ∥,AD BC∥∴四边形ABCD 是平行四边形四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是各边的中点GF BD ∴∥,HG AC∥ 四边形EFGH 是矩形HG GF∴⊥∴BD AC⊥∴四边形ABCD 是菱形【小问2详解】解: 四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是各边的中点12GF EH BD ∴==,12HG EF AC == 矩形EFGH 的周长为22∴22BD AC += 四边形ABCD 是菱形即111122BD AC OA OB +=+= 四边形ABCD 的面积为101102BD AC ∴⋅=,即210OA OB ⋅=()2222121OA OB OA OA OB OB +=+⋅+= ∴2212110111OA OB +=-=∴AB ==．25.【答案】（1）4050a b =⎧⎨=⎩（2）564【小问1详解】解:由题知,8767045410a b a b +=⎧⎨+=⎩解得4050a b =⎧⎨=⎩【小问2详解】解: 购买A 种型号吉祥物的数量x 个则购买B 种型号吉祥物的数量()90x -个 且购买A 种型号吉祥物的数量x （单位:个）不少于B 种型号吉祥物数量的43∴()4903x x ≥-解得3607x ≥A 种型号吉祥物的数量又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．∴()290x x ≤-解得60x ≤即360607x ≤≤由题知,()()()4035504290y x x =-+--整理得3720y x =-+ y 随x 的增大而减小∴当52x =时,y 的最大值为352720564y =-⨯+=．26.【答案】（1）3b =-（2）当32M +=时,2M >;当32M =时,2M <．【小问1详解】解:∵抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线32x =∴3212b -=⨯∴3b =-【小问2详解】解:∵m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标∴2310m m --=∴213m m-=∴422219m m m -+=∴42111m m =-而231m m =+代入得:()41131123310m m m =+-==+∴()()5423310331033311010933m m m m m m m m m m =⋅=+=+=++=+∴5331093333109109m m M m -+-===∵2310m m --=解得:32m ±=当3132M m +==时,1331313302222M +-=-=>∴2M >当32M m -==时,3302222M --=-=<∴2M <．27.【答案】（1）90︒（2）见解析（3）CE EB CB +=,理由见解析【小问1详解】解:∵AB 是O 的直径,点F 是O 上异于A ,B 的点∴90AFB ∠=︒【小问2详解】证明:∵AM BM AB MN⋅=⋅∴AM MN AB BM=又∵AMN ABM∠∠=∴ABM AMN∽∴AMB N ∠=∠,MAN MAB ∠=∠∵180MAN MAB ∠+∠=︒∴90MAN MAB ∠=∠=︒∴OA CA ⊥∵OA 是半径∴直线CM 与O 相切【小问3详解】我认为:CE EB CB +=正确,理由如下连接,,OA OD BD ,连接OC 交AD 于点G ,如图,则:OA OD =∴点O 在线段AD 的中垂线上∵CA CD=∴点C 在线段AD 的中垂线上∴OC AD ⊥∴90OGA ∠=︒∵AB 是O 的直径∴90ADB ∠=︒∴OGA ADB ∠=∠∴OG BD ∥∴AOC ABD ∠=∠∵90AHD ∠=︒∴90DHB ∠=︒∴tan DH HBD BH ∠=,tan EH HBE BH ∠=∵E 为DH 的中点∴11tan tan 22EH DH HBE HBD BH BH ∠==⋅=∠∵tan ,tan AC AC AOC ABC AO AB ∠=∠=,且12AO AB =∴11tan tan 22AC ABC AOC OA ∠=⋅=∠∵AOC ABD ∠=∠∴tan tan HBE ABC ∠=∠∴HBE ABC ∠=∠∴,,B E C 三点共线∴CE EB CB +=．。
2024年吉林省中考数学真题(解析版)
吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2B.1C.0D.1-【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：92040000000 2.0410⨯=故选B ．3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B 、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==，故本选项不符合题意．故选：B ．5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案．【详解】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．【答案】a （a ﹣3）【解析】【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．【答案】23x <<##32x >>【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．【答案】两点之间，线段最短【解析】【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11.正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．【答案】()22220.5x x +=+【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．【答案】11π【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360Sππ-==阴影，故答案为：11π．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =【答案】22a ，6【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =，当a =原式22=⨯6=．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．【答案】13【解析】【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴白色琴键：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．（2）在图②中，画出经过点E的O【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；、，作直线GH，则直线GH即为所求．（2）如图所示，取格点G H【小问1详解】解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD【小问2详解】、，作直线GH，则直线GH即为所求；解：如图所示，取格点G H．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R 的取值范围）．（2）当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．【答案】（1）36I R=（2）12A【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【小问1详解】解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R =≠，把()94，代入()0U I U R =≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；【小问2详解】解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21.中华人民共和国20192023-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？（1）20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全②20192023国居民人均可支配收入最低．【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【解析】【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【小问1详解】-=元，解：39218307338485-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．答：20192023【小问2详解】-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，解：2019202339218元，-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；∴20192023【小问3详解】-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；解：由统计图可知20192023由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）【答案】218.3m【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DGAG DG EAD ===∠，再解Rt GAC △，tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DGAG DG EAD ===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】y，小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为mm记录如下：x16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+（2）36mm【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【小问1详解】，解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；【小问2详解】解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABCS = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．【答案】（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解；（4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A出发，以/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．（1）当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 与点C 重合时，求t 的值．（3）求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）等腰三角形，AQ t=（2）32t =（3）()22233,0427393633,242231,242S t t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【解析】【分析】（1）过点Q 作QH AD ⊥于点H ，根据“平行线+角平分线”即可得到QA QP =，由QH AP ⊥，得到1322HA AP ==，解Rt AHQ △得到AQ t =；（2）由PQE V 为等边三角形得到QE QP =，而QA QP =，则QE QA =，故223AE AQ t ===，解得32t =；（3）当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，1322PG AP ==，则21324S QE PG t =⋅=，此时302t <≤；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，此时)tan 323CF CE E t =⋅∠=-，因此()2132322FCE S CE CF t =⋅=- ，故可得27393342PQE FCE S S S t t =-=-+-△△，此时322t <<；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，此时323PD t =-，()3331PC CD PD t t =+=-=-，解直角三角形得31tan 3PC QC PC t PQC ===-∠，故()213122S QC PC t =⋅=-，此时24t ≤<，再综上即可求解．【小问1详解】解：过点Q 作QH AD ⊥于点H ，由题意得：3AP t =∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=︒，∴PAQ APQ =∠∠，∴QA QP =，∴APQ △为等腰三角形，∵QH AP ⊥，∴1322HA AP ==，∴在Rt AHQ △中，cos AH AQ t PAQ ==∠；【小问2详解】解：如图，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =，∴QE QA =，即223AE AQ t ===，∴32t =；【小问3详解】解：当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==，∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ t ===，∴21324S QE PG t =⋅=，由（2）知当点E 与点C 重合时，32t =，∴233042S t t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，如图，∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而23CE AE AC t =-=-，∴)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，∴())()211232323222FCE S CE CF t t t =⋅=--=- ，∴()22223424PQE FCE S S S t t t =-=--=-+- ，当点P 与点D 重合时，在Rt ADC 中，cos AC AD AP DAC ====∠，∴2t =，∴2733242S t ⎫=-+-<<⎪⎭；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，如图，∵30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒，由上知DC =，∴AD =∴此时PD -，∴)1PC CD PD t =+=-=-，∵PQE V 是等边三角形，∴60PQE ∠=︒，∴31tan 3PC QC PC t PQC ===-∠，∴()21122S QC PC t =⋅=-，∵30B BAD ∠=∠=︒，∴DA DB ==，∴当点P 与点BAD DB =+=解得：4t =，∴()()21242S t t =-≤<，综上所述：()22233,042324231,242S t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．26.小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．（1）直接写出k ，a ，b 的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1,1,2k a b ===-（2）Ⅰ：0x ≤或1x ≥；Ⅱ：2t <或11t ≥；Ⅲ：10m -≤≤或12m ≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．（1）先确定输入x 值的范围，确定好之后将x ，y 的值代入所给的y 关于x 的函数解析式种解方程或方程组即可；（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+，当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，故1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，故0x ≤时，y 随着x 的增大而增大；Ⅱ：问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，考虑两个临界状态，当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，因此当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，11y =，故当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，因此当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即方程230ax bx t ++-=无解；Ⅲ：可求点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，2y =最小值，当0x =时，3y =最大值，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，故①当12m >，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，则12m ≤≤；②当12m <，由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【小问1详解】解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；【小问2详解】解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解；Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，∴()1122m m +-+=，∴点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，1232y =-+=最小值，当0x =时，3y =最大值，∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，∴①当12m >，如图：由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。
2024年云南省中考真题数学试卷含答案解析
2024年云南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作（）A ．100米B ．100-米C ．200米D ．200-米【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．【详解】解：若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作100-米，故选：B ．2．某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（）A ．45.7810⨯B ．357.810⨯C ．257810⨯D ．578010⨯【答案】A【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：457800 5.7810=⨯，故选：A ．3．下列计算正确的是（）A ．33456x x x +=B ．635x x x ÷=C ．()327a a =D ．()333ab a b =【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A 、33356x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项计算错误，不符合题意；C 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；D 、()333ab a b =，选项计算正确，符合题意；故选：D ．4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤5．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A ．正方体B ．圆柱C ．圆锥D ．长方体【答案】D【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体．故选：D ．6．一个七边形的内角和等于（）A ．540︒B ．900︒C ．980︒D ．1080︒【答案】B【分析】本题考查多边形的内角和，根据n 边形的内角和为()2180n -⋅︒求解，即可解题．【详解】解：一个七边形的内角和等于()72180900-⨯︒=︒，故选：B ．7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数x 环）和方差2s 如下表所示：甲乙丙丁x9.99.58.28.52s 0.090.650.162.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，∴中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，故选：A ．8．已知AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，若点F 到直线AB 的距离为3，则点F 到直线AC 的距离为（）A ．32B ．2C ．3D ．72【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF 平分BAC ∠，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，∴AF 平分BAC ∠，∴点F 到直线AB ，AC 的距离相等，∵点F 到直线AB 的距离为3，∴点F 到直线AC 的距离为3．故选：C ．9．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年⨯（1-平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x -=，故选：B ．10．按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，第n 个代数式是（）A ．2nx B ．()1nn x-C ．1n nx +D ．()1nn x+【答案】D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，∴第n 个代数式是()1nn x +，11．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A ．爱B ．国C ．敬D ．业【答案】D【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可．【详解】解：A 、图形不是轴对称图形，不符合题意；B 、图形不是轴对称图形，不符合题意；C 、图形不是轴对称图形，不符合题意；D 、图形是轴对称图形，符合题意；故选：D ．12．在Rt ABC △中，90B Ð=°，已知34AB BC ==，，则tan A 的值为（）A ．45B ．35C ．43D ．3413．如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若 AC BC=，36AOC ∠= ，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4514．分解因式：39a a -=（）A ．()()33a a a -+B ．()29a a +C ．()()33a a -+D ．()29a a -【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将39a a -先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()329933a a a a a a a -=-=+-，故选：A ．15．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A ．700π平方厘米B ．900π平方厘米C ．1200π平方厘米D ．1600π平方厘米【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公二、填空题16．若关于x 的一元二次方程220x x c -+=无实数根，则c 的取值范围是．【答案】1c >/1c<【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4c ＜0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ=（-2）2-4c ＜0，解得c ＞1．故答案为：c ＞1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．17．已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，则n =．18．如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD=．19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有人．【答案】120【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用1000乘以12%即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有100012%120⨯=人，故答案为：120．三、解答题20．计算：12117sin3062-⎛⎫++---⎪⎝⎭．21．如图，在ABC 和AED △中，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，AC AD =．求证：ABC AED ≌△△．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS ”证明ABC AED ≌△△，即可解决问题．【详解】证明： BAE CAD ∠=∠，∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，在ABC 和AED △中，AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC AED ≌．22．某旅行社组织游客从A 地到B 地的航天科技馆参观，已知A 地到B 地的路程为300千米，乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，C 型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度．【答案】D 型车的平均速度为100km /h【分析】本题考查分式方程的应用，设D 型车的平均速度为km /h x ，则C 型车的平均速度23．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(),x y所有可能出现的结果总数；(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．24．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，且AB CD ∥，AD BC ∥，四边形EFGH 是矩形．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若矩形EFGH 的周长为22，四边形ABCD 的面积为10，求AB 的长． ∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 中，点E 、25．A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求a、b的值；(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的43，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．26．已知抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线2x =．设m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标，记533109m M -=．(1)求b 的值；(2)比较M27．如图，AB 是O 的直径，点D 、F 是O 上异于A 、B 的点．点C 在O 外，CA CD =，延长BF 与CA 的延长线交于点M ，点N 在BA 的延长线上，AMN ABM ∠∠=，AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上，90AHD ∠= ，点E 是线段DH 的中点．(1)求AFB ∠的度数；(2)求证：直线CM 与O 相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE 、线段EB 、线段CB 有关的三个结论：CE EB CB +<，CE EB CB +=，CE EB CB +>，你认为哪个正确？请说明理由．【答案】(1)90︒(2)见解析(3)CE EB CB +=，理由见解析∴点O在线段AD的中垂线上，=，∵CA CD∴点C在线段AD的中垂线上，⊥，∴OC AD。
2024年四川省德阳市中考数学真题(解析版)
德阳市2024年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学试卷说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回．2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）1.下列四个数中，比2-小的数是（）A.0B.1-C.12-D.3-【答案】D【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．【详解】解：∵正数>0>负数，11232-<-<-<-，∴132102-<-<-<-<∴32-<-，∴比2-小的是3-．故选：D ．2.下列计算正确的是（）A.236a a a ⋅= B.()ab a b --=-+C.()211a a a +=+ D.222()a b a b +=+【答案】B【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，原选项计算错误；B 、()a b a b --=-+，原选项计算正确；C 、()21a a a a +=+，原选项计算错误；D 、()2222a b a ab b +=++，原选项计算错误；故选B ．3.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB CD ，,70DE BC ABC ⊥∠=︒，则EDC ∠等于（）A.10︒B.20︒C.30︒D.40︒【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出70BCD ABC ∠=∠=︒，再根据垂直与三角形的内角和即可求出EDC ∠．【详解】解：∵AB CD ，70ABC ∠=︒，∴70BCD ABC ∠=∠=︒，∵DE BC ⊥，∴90CED ∠=︒，∴907020EDC ∠=-=︒︒︒故选：B ．4.正比例函数()0y kx k =≠的图象如图所示，则k 的值可能是（）A.12 B.12- C.1- D.13-【解析】【分析】本题考查了正比例函数的性质：当0k >，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大；当0k <，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小．利用正比例函数的性质得到0k >，然后在此范围内进行判断即可．【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，∴0k >，∴选项A 符合题意．故选：A ．5.分式方程153x x =+的解是（）A.3B.2C.32D.34【答案】D【解析】【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．【详解】解：153x x =+，去分母，得35x x +=，解得34x =，当34x =时，()30x x +≠，∴34x =是原方程的解．故选D6.为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：投中次数（个）012345人数（人）1●1017●6表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】C【分析】本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，解题的关键是理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征．先求被遮住投篮成绩的人数，然后根据众数的定义求出众数，而中位数，平均数和方差与所有的数据有关，据此可得答案．【详解】解：∵一共有50名同学，----=名，∴被遮住投篮成绩的人数为5011017616∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，∴这50名学生的投篮成绩的众数为3，出现17次，大于16，与被遮盖的数据无关，∵中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，∴把这50名学生的成绩从小到大排列，第25名和第26名的投篮成绩不能确定，与被遮盖的数据有关，而平均数和方差都与被遮住的数据有关，故选C．7.走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（）A.吉如意B.意吉如C.吉意如D.意如吉【答案】A【解析】【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故选A8.已知，正六边形ABCDEF的面积为，则正六边形的边长为（）A.1B.C.2D.4【答案】C【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可．【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为120︒，故正六边形是由6个正三角形构成的，过O 点作OM AB ⊥垂足是M ，设正六边形的边长为a ，即OA AB a==在正三角形OAB 中，∵OM AB ⊥，∴2aAM BM ==，在Rt AMO △中，2OM a===一个正三角形的面积为：211332224AB OM a ⋅⋅=⨯⨯=，正六边形的面积为：22333642⨯=，∴2332=，解得：2a =，故选：C ．9. ，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有123456728++++++=个数，则第八行左起第1=，故选：C ．10.某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD 的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB ，小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60︒，在小楼房楼顶A 处测得C 处的仰角为30︒．（AB CD 、在同一平面内，B D 、在同一水平面上），则建筑物CD 的高为（）米A.20B.15C.12D.10+【答案】B【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过A 作AE CD ⊥于E ，则四边形ABDE 为矩形，设CE x =，而30CAE ∠=︒，可得tan 30CE AE BD ===︒，10CD x =+，结合tan 60CD BD ︒===【详解】解：如图，过A 作AE CD ⊥于E ，依题意，AB BD CD BD⊥⊥，∴四边形ABDE 为矩形，∴10==AB DE ，AE BD =，设CE x =，而30CAE ∠=︒，∴3tan 30CE AE BD ===︒，∵10CD x =+，∴tan 6033CD BD x︒===解得：5x =，经检验5x =是原方程的解，且符合题意；∴()1015m CD x =+=，故选B11.宽与长的比是512的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形．()AB BC <，点P 是边AD 上一点，则满足PB PC ⊥的点P 的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设AB a =，BC b =，假设存在点P ，且AP x =，则PD b x =-，利用勾股定理得到22222BP AB AP a x =+=+，22222()PC PD CD b x a =+=-+，222BC BP PC =+，可得到方程220x bx a +=-，结合512AB a BC b -==，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．【详解】解：如图所示，四边形ABCD 是黄金矩形，AB BC <，512AB BC =，设AB a =，BC b =，假设存在点P ，且AP x =，则PD b x =-，在Rt ABC △中，22222BP AB AP a x =+=+，在Rt PDC 中，22222()PC PD CD b x a =+=-+， PB PC ⊥，∴222BC BP PC =+，即22222()b a x b x a =++-+，整理得220x bx a +=-，22244b ac b a ∆=-=-，又512AB a BC b ==，即512a b =，∴2222222(51)444(255)4b ac b a b b b -∆=-=-=-⨯=-， 2550<，20b >，∴2224(255)0b a b ∆=-=<，∴方程无解，即点P 不存在．故选：D ．12.一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm ）的正方形纸片ABCD ，他在边AB 和AD 上分别取点E 和点M ，使,1AE BE AM ==，又在线段MD 上任取一点N （点N 可与端点重合），再将EAN 沿NE 所在直线折叠得到1EA N △，随后连接1DA ．小王同学通过多次实践得到以下结论：①当点N 在线段MD 上运动时，点1A 在以E 为圆心的圆弧上运动；②当1DA 达到最大值时，1A到直线AD 的距离达到最大；③1DA 的最小值为252；④1DA 达到最小值时，55MN=-．你认为小王同学得到的结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由折叠可得12A E AE BE ===，可得点1A 到点E 的距离恒为2，即可判断①；连接DE ，由勾股定理得到在Rt ADE △中，DE ==，由11DA A E DE +≥，即可判断③；1DA 达到最小值时，点1A 在线段DE 上，证得1A DN ADE ∽，得到1A D DN AD DE =，从而求得5DN =，通过MN AD DN AM =--即可判断④．在1A DE △中，1A D 随着1DEA ∠的增大而增大，而当NEA ∠最大时，1DEA ∠有最大值，1AG 有最大值，此时点N 与点D 重合．过点1A 作1AG AD ⊥于点G ，作1A P AB ⊥于点P ，可得四边形1AGA P 是矩形，因此1AG AP AE EP ==+，当1A D 取得最大值时，1A EP ∠有最小值，在1Rt A EP 中，11cos EP A E A EP =⋅∠有最大值，1AG AP AE EP ==+有最大值，即可判断②．【详解】解：∵正方形纸片ABCD 的边长为4dm ，AE BE =∴122AE BE AB ===，由折叠的性质可知，12A E AE ==，∴当点N 在线段MD 上运动时，点1A 在以E 为圆心的圆弧上运动．故①正确．连接DE ，∵在正方形ABCD 中，90A ∠=︒，4=AD ，2AE =，∴在Rt ADE △中，DE ===∵11DA A E DE +≥，∴112DA DE A E ≥-=-，∴1DA 的最小值为2．故③正确；如图，1DA 达到最小值时，点1A 在线段DE 上，由折叠可得190NA E A ∠=∠=︒，∴190DA N ∠=︒，∴1DA N A ∠=∠，∵1A DN ADE ∠=∠，∴1A DN ADE ∽，∴1A D DN AD DE =，∴2524=∴5DN =，∴(4512MN AD DN AM =--=---=．故④错误．在1A DE △中，DE =，12A E AE ==，∴1A D 随着1DEA ∠的增大而增大，∵()112DEA NEA NED NEA NED NEA AED NEA NEA AED ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠-∠，∴当NEA ∠最大时，1DEA ∠有最大值，1AG 有最大值，此时，点N 与点D 重合，过点1A 作1AG AD ⊥于点G ，作1A P AB ⊥于点P ，∵90A ∠=︒，∴四边形1AGA P 是矩形，∴1AG AP AE EP ==+，当1A D 取得最大值时，1AEN A EN ∠=∠也是最大值，∵111801802A EP AEN A ENAEN ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∴1A EP ∠有最小值，∴在1Rt A EP 中，11cos EP A E A EP =⋅∠有最大值，即1AG AP AE EP ==+有最大值，∴点1A 到AD 的距离最大．故②正确．综上所述，正确的共有3个．故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综合运用相关知识是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）13.＝__________．【答案】3【解析】a =”进行计算即可得．33=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．14.若一个多项式加上234y xy +-，结果是2325xy y +-，则这个多项式为______．【答案】21-y 【解析】【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上234y xy +-，结果是2325xy y +-”，进行列出式子：()()2232534xy y y xy +--+-，再去括号合并同类项即可．【详解】解：依题意这个多项式为()()2232534xy y y xy +--+-2232534xy y y xy =+---+21y =-．故答案为：21-y 15.某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为______分．【答案】85.8【解析】【分析】本题考查了加权平均数，解题关键是熟记加权平均数公式，准确进行计算．利用加权平均数公式计算即可．【详解】解：她的综合成绩为8630%8030%9040%85.8⨯+⨯+⨯=（分）；故答案为：85.8．16.如图，四边形ABCD 是矩形，ADG △是正三角形，点F 是GD 的中点，点P 是矩形ABCD 内一点，且PBC 是以BC 为底的等腰三角形，则PCD 的面积与FCD 的面积的比值是______．【答案】2【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个面积是解题的关键．作辅助线如图，设BC a =，CD b =，根据性质和图形表示出面积即可得到答案．【详解】解：如图，找BC ，AD 中点为M ，N ，连接MN ，GN ，连接PD ，FC ，过F 作FR CD ⊥交CD 的延长线于R 点，延长RF ，与GN 交于Q点．设BC a =，CD b =，∵PBC 是以BC 为底的等腰三角形，∴P 在MN 上，∴P 到CD 的距离即为12a ，∴111224PCD S b a ab =⨯⨯= ，在GQF 和DRF 中90GF DF GFQ DFR FQG FRD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴()AAS GQF DRF ≌，∴111224QF RF a a ==⨯=，∴11112248FCD S CD FR b a ab =⋅⋅=⨯⨯= ，∴14218PCD FCD ab S S ab == ，故答案为：2．17.数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a 、b ，你认为a 可以是______（填上一个数字即可）．【答案】1##8【解析】【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．∴位于两个中心圆圈的数字a 、b ，只可能是1或者8．故答案为：1（或8）．18.如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y -，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是______（请填写序号）．【答案】①②④【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出32a b =，根据图象可得当1x =时，0y a b c =++<，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设()()126,,5,y y -两点横坐标与对称轴的距离为12d d ，，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【详解】解：①∵抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴312b a -=-，∴1023b a =>，即0ab >，由图可知，抛物线开口方向向下，即0a <，∴0b <，当0x =时，0y c =>，∴0abc >，故①正确，符合题意；②∵直线13x =-是抛物线的对称轴，∴312b a -=-，∴1023b a =>，∴32a b =由图象可得：当1x =时，0y a b c =++<，∴502b c +<，即520b c +<，故②正确，符合题意；③∵直线13x =-是抛物线的对称轴，设()()126,,5,y y -两点横坐标与对称轴的距离为12d d ，，则1117633d ⎛⎫=---=⎪⎝⎭，2116533d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴21d d <，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴12y y <，故③错误，不符合题意；④如图，∵关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，∴4n <，故④正确，符合题意．故答案为：①②④三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19.（1）计算：212cos602-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：2351124x x x -+≤-⎧⎪⎨-<+⎪⎩①②【答案】（1）1，（2）46x ≤<【解析】【分析】（1）先计算立方根、负整数指数幂、锐角三角函数，再进行实数的加减混合运算即可．（2）分别求出不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的确定不等式组的解集即可．【详解】（1）原式：23182cos602-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭()2112222--=-+-⨯2221=-+-34=-+1=．（2）解：2351124x x x -+≤-⎧⎪⎨-<+⎪⎩①②由①235x -+≤-，得4x ≥，由②1124x x -<+，得6x <，∴不等式组的解集为46x ≤<．【点睛】本题考查实数的混合运算、立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数、解一元一次不等式组，熟练掌握立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．20.2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A ：100米直道竞速赛，B ：200米直道竟速赛，C ：500米直道竞速赛，D ：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：市民最关注的比赛项目人数统计表比赛项目A B C D 关注人数4230a b（1）直接写出a 、b 的值和D 所在扇形圆心角的度数；（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．【答案】（1）18a =，60b =，144︒（2）D ，4000（3）13【解析】【分析】本题考查统计表和扇形统计图，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键．根据两个图标识图求解即可．【小问1详解】解：根据两图中A 的数据可得总人数为：4228%=150÷（人），15012%18a =⨯=（人），150********b =---=（人），D 所在扇形圆心角的度数为：60100%360144150⨯⨯︒=︒【小问2详解】D ：3000米绕标赛的关注人数最多，为60100%100004000150⨯⨯=（人）答：估计当天观看比赛的市民中关注D ：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有4000人．【小问3详解】解：根据题意，画出树状图如下图：根据树状图可得，共有12种等可能得结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：41123=．21.如图，一次函数22y x =-+与反比例函数(0)k y x x =<的图象交于点()1,A m -．（1）求m 的值和反比例函数k y x=的解析式；（2）将直线22y x =-+向下平移h 个单位长度(0)h >后得直线y ax b =+，若直线y ax b =+与反比例函数(0)k y x x =<的图象的交点为(),2B n ，求h 的值，并结合图象求不等式k ax b x<+的解集．【答案】（1）4m =；反比例函数的解析式为4y x =-（2）4h =；不等式k ax b x<+的解集为<2x -【解析】【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题：（1）把()1,A m -代入22y x =-+求出4m =，得()1,4A -，从而可求出k 的值；（2）由平移得直线y ax b =+与直线22y x =-+平行，得2y x b =-+，把点(),2B n 代入4y x=-得2n =-，得()2,2B -，代入2y x b =-+，求出2b =-，得出()224h =--=；由图象得当<2x -时，ky x=在直线y ax b =+的下方，故可求出不等式k ax b x<+的解集．【小问1详解】解：∵一次函数22y x =-+与反比例函数(0)k y x x =<的图象交于点()1,A m -，∴()212224m =-⨯-+=+=；∴()1,4A -，把()1,4A -代入k y x=，得：41k =-，∴4k =-，∴反比例函数的解析式为：4y x=-；【小问2详解】解：∵直线y ax b =+是将直线22y x =-+向下平移h 个单位长度(0)h >后得到的，∴直线y ax b =+与直线22y x =-+平行，∴2a =-，∴2y x b =-+，∵直线y ax b =+与反比例函数(0)k y x x =<的图象的交点为(),2B n ，把(),2B n 代入4y x =-得，42n =-，解得，2n =-，∴()2,2B -，把()2,2B -代入2y x b =-+，得：()222b =-⨯-+，∴2b =-，∴()224h =--=；由图象知，当<2x -时，k y x=在直线y ax b =+的下方，∴不等式k ax b x<+的解集为<2x -22.如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，点F 为BC 的中点，连接AF与BD 相交于点E ，连接CE 并延长交AB 于点G ．（1）证明：BEF BCO ∽；（2）证明：BEG AEG △≌△．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键．（1）先根据菱形的性质可得,AB BC AC BD =⊥，再证出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AF BC ⊥，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据等边三角形的性质可得CG AB ⊥，从而可得AG BG =，再根据SAS 定理即可得证．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴,AB BC AC BD =⊥，∵60ABC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∵点F 为BC 的中点，∴AF BC ⊥，∴90BFE BOC ∠=∠=︒∵EBF CBO ∠=∠，∴BEF BCO ∽．【小问2详解】证明：∵ABC 是等边三角形，AFBC ⊥，AC BD ⊥，∴CG AB ⊥，∴90AGE BGE ∠=∠=︒∵ABC 是等边三角形，∴AG BG =，在BEG 和AEG △中，90AG BG AGE BGE GE GE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()SAS BEG AEG ≌．23.罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A 、B 两种组合方式，其中A 组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B 组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A 、B 两种组合的进价和售价如下表：价格A B进价（元/件）94146售价（元/件）120188（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？（2）根据市场需求，超市准备的B 种组合数量是A 种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A 种组合？最大利润为多少？【答案】（1）16元，6元（2）25件，3590元【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的应用和一次函数的性质，根据题意列出式子是本题的关键．（1）根据表格与“A 组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B 组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽”即可列方程求解；（2）设A 种组合的数量，表示出B 种组合数量，根据“两种组合的总件数不超过95件”列不等式求出A 种组合的数量的最大值，再根据题意表示出利润的表达式，根据一次函数的性质即可求得结果．【小问1详解】解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价x 元，每个肉粽的进价y 元．根据题意可得：4694610146x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：165x y =⎧⎨=⎩，答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元．【小问2详解】解：设该超市应准备m 件A 种组合，则B 种组合数量是()35m -件，利润为W 元，根据题意得：()3595m m +-≤，解得：25m ≤，则利润()()()1209418814635152210W m m m =-+--=-，可以看出利润W 是m 的一次函数，W 随着m 的增大而增大，∴当m 最大时，W 最大，即当25m =时，152252103590W =⨯-=，答：为使利润最大，该超市应准备25件A 种组合，最大利润3590元．24.如图，抛物线2y x x c =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当02x <≤时，求2y x x c =-+的函数值的取值范围；（3）将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求55PA PM +的最小值．【答案】（1）2y x x 2=--（2）904y -≤≤（3）55PA PM +的最小值为：655【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）求解2y x x 2=--的对称轴为直线11212x -=-=⨯，而02x <≤，再利用二次函数的性质可得答案；（3）求解()0,2C -，()2,0B ，可得3AB =，求解直线AC 为22y x =--，及1,32M ⎛⎫-⎪⎝⎭，证明M 在直线AC 上，如图，过P 作PG AC ⊥于G ，连接MB ，过P 作PH MB ⊥于H ，可得AC =sin5ACO ∠==，证明AMP ACO ∠=∠，可得5PG PM =，可得5PA PM PA PG PA PH AH +=+=+≤，再进一步求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y x x c =-+与x 轴交于点()1,0A -，∴110c ++=，解得：2c =-，∴抛物线的解析式为：2y x x 2=--；【小问2详解】解：∵2y x x 2=--的对称轴为直线11212x -=-=⨯，而02x <≤，∴函数最小值为：1192424y =--=-，当0x =时，=2y -，当2x =时，4220y =--=，∴函数值的范围为：904y -≤≤；【小问3详解】解：∵2y x x 2=--，当0x =时，=2y -，∴()0,2C -，当220y x x =--=时，解得：11x =-，22x =，∴()2,0B ，∴3AB =，设直线AC 为2y kx =-，∴20k --=，∴2k =-，∴直线AC 为22y x =--，∵拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ，而顶点为19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1,32M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴M 在直线AC 上，如图，过P 作PG AC ⊥于G ，连接MB ，过P 作PH MB ⊥于H ，∵()1,0A -，()0,2C -，∴AC =sin5ACO ∠==，∵对称轴与y 轴平行，∴AMP ACO ∠=∠，∴sin 5PG AMP PM ∠==，∴5PG PM =，由抛物线的对称性可得：PG PH =，MAB MBA ∠=∠，∴5PA PM PA PG PA PH AH +=+=+≤，当,,A P H 三点共线时取等号，∴25sin sin5OC AH MAB ABH AC AB ∠===∠=，∴35AH =，∴5AH =，即55PA PM +的最小值为：5．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．25.已知O 的半径为5，B C 、是O 上两定点，点A 是O 上一动点，且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．（1）证明：点D 为 BC上一定点；（2）过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系，并说明理由；②若ABC 为锐角三角形，求DF 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）①DF 与O 相切，理由见解析；②DF 的取值范围为2DF <<．【解析】【分析】（1）由BAC ∠的平分线交O 于点D ，60BAC ∠=︒，可得 BDCD =，结合B C 、是O 上两定点，可得结论；（2）①如图，连接OD ，证明OD BC ⊥，结合BC DF ∥，可得OD DF ⊥，从而可得结论；②分情况讨论：如图，当90ABC ∠=︒时，可得2DF BQ ==；如图，连接BD ，当90ACB ∠=︒，可得2DF BQ ==，从而可得答案．【小问1详解】证明：∵BAC ∠的平分线交O 于点D ，60BAC ∠=︒，∴30BAD CAD ∠=∠=︒，∴ BDCD =，∵B C 、是O 上两定点，∴点D 为 BC的中点，是一定点；【小问2详解】解：①如图，连接OD ，∵ BDCD =，∴OD BC ⊥，∵BC DF ∥，∴OD DF ⊥，∵OD 为半径，∴DF 是O 的切线；②如图，当90ABC ∠=︒时，∴AC 为直径，10AC =，∵60BAC ∠=︒，∴30ACB ∠=︒，∴5AB =，BC ==∵OD BC ⊥，∴2BQ CQ ==，∵90BQD FQD ABC FBQ ∠=︒=∠=∠=∠，∴四边形BFDQ 为矩形，∴2DF BQ ==；如图，连接BD ，当90ACB ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，OD BC ⊥，∴OD AC ∥，∴60BOD BAC ∠=∠=︒，∵OB OD =，∴BOD 为等边三角形，∴OQ QD =，同理可得：2BQ =，∵BC DT ∥，∴OBQ OFD ∽，∴12OQ BQ OD DF ==，∴2DF BQ ==，∴当ABC 为锐角三角形，DF 的取值范围为2DF <<．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．。
2024年中考数学试卷(附答案)
2024年中考数学试卷（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．若()3-⨯的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A ．()221x -=- B ．()220x -= C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（ ）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,26．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为 ． 8．因式分解：a 2﹣3a= ．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为 ．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．11．正六边形的每个内角等于 °．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒则EFBC的值为 ．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为 ．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．OA=1m ，OB=10m ，40AOD ∠=︒则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 17．如图，在ABCD 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE=BC ．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E的O的切线．20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21．中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：(1)20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ (2)直接写出20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数． (3)下列判断合理的是______（填序号）．①20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．②20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin370.60︒= cos370.80︒= tan370.75︒=）五、解答题（每小题8分，共16分） 23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】y，小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为mm记录如下：【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB=BC ，BD AC ⊥垂足为点D ．若CD=2，BD=1，则ABCS =______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中4''=A C ，2B D ''=则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，FH=3，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH=b ，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，MN=3，KN=4，MK=5，点P 为边MN 上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ； （ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧； （ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ． 请你直接写出MPKQ S 四边形的值． 六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，在ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm ，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A 出发，以/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）． Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．参考答案1．D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=- ()313-⨯=- ()300-⨯= ()()313-⨯-= 四个算式的运算结果中，只有3是正数 故选：D ． 2．B【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：92040000000 2.0410⨯= 故选B ． 3．A【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案． 【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段 故选：A ． 4．B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x -=-<故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B 、()220x -=解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -= 21x -=±解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -= 2x -=1222x x == 故选：B ．5．C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，90OA B ''∠=︒ 据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2 ∴42OA OC ==， ∵四边形OABC 是矩形 ∴290AB OC ABC ===︒，∠∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C ''' ∴42OA OA A B AB '''====， 90OA B ''∠=︒ ∴A B y ''⊥轴 ∴点B '的坐标为()2,4 故选：C ． 6．C【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解． 【详解】解：∵BE AD ∥ 50BEC ∠=︒ ∴50D BEC ∠=∠=︒ ∵四边形ABCD 内接于O ∴180ABC D ∠+∠=︒ ∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒ 故选：C ．7．0（答案不唯一）【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案． 【详解】解：∵分式11x +的值为正数 ∴10x +> ∴1x >-∴满足题意的x 的值可以为0 故答案为：0（答案不唯一）．8．a （a ﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9．23x <<##32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①② 解不等式①得：2x >解不等式②得：3x <∴原不等式组的解集为23x <<故答案为：23x <<．10．两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．120【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720° ∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒ 故答案为：12012．12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒ AD BC = 再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =． 【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O∴45OAD ∠=︒，AD=BC∵点E 是OA 的中点 ∴12OE OA = ∵45FEO ∠=︒∴EF AD ∥∴OEF OAD △∽△ ∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC = 故答案为：12．13．()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+∵AB B C '⊥由勾股定理得：222AC B C AB ''+=∴()22220.5x x +=+故答案为：()22220.5x x +=+．14．11π【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360S ππ-==阴影故答案为：11π．15．22a 6【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =当a =原式22=⨯ 6=．16．13【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种 ∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==． 17．证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠∵点O 是AB 的中点∴OA OB =∴()AAS AOE BOC △≌△∴AE BC =．18．白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个由题意得：()1688x x ++=解得：36x =∴白色琴键：361652+=（个）答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；易证明四边形ABCD 是矩形，且E 、F 分别为AB CD ，的中点；（2）解：如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求；易证明四边形OGTH 是正方形，点E 为正方形OGTH 的中心，则OE GH ⊥．20．(1)36I R= (2)12A 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R=≠ 把()94，代入()0U I U R=≠中得：()409U U =≠ 解得36U = ∴这个反比例函数的解析式为36I R =； （2）解：在36I R =中，当3R =Ω时 3612A 3I == ∴此时的电流I 为12A ．21．(1)8485元 (2)35128元 (3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．218.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DG AG DG EAD===∠，再解Rt GAC △ tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG == 90DGA ∠=︒在Rt GAD 中45EAD ∠=︒ ∴873tan DG AG DG EAD===∠ 在Rt GAC △中37EAC ∠=︒∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．23．(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+ (2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1）解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠∵当16.5,115.5x y == 23.1,148.5x y ==∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：533k b =⎧⎨=⎩ ∴函数解析式为：533y x =+经检验其余点均在直线533y x =+上∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=解得：36x =∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．（1）2，（2）4，（3）152 12EFGH ab S =四边形 证明见详解，（4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解； （4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB=BC BD AC ⊥ 2CD =∴2AD CD ==∴4AC = ∴122ABC S AC BD =⨯⨯= 故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中4''=A C 2B D ''= ∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形 故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥ ∴12EFG S EG FO =⨯⨯ 12EHG S EG HO =⨯⨯ ∵EFG EHG EFGH S S S =+四边形 ∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形 ∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形 ∵5EG = 3FH = ∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形 故答案为：152猜想：12EFGH ab S =四边形 证明：∵EG FH ⊥ ∴12EFG S EG FO =⨯⨯ 12EHG S EG HO =⨯⨯ ∵EFG EHG EFGH S S S =+四边形 ∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形 ∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形 ∵EG a = FH b = ∴12EFGH ab S =四边形； （4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠∵在MNK △中3MN = 4KN = 5MK =∴222MK KN MN =+∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒∴90NMK MKN ∠+∠=︒∵QPM MKN ∠=∠∴90NMK QPM ∠+∠=︒∴MK PQ ⊥∵4PQ KN == 5MK =∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．25．(1)等腰三角形AQ t = (2)32t =(3))2223,023221,24S t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【分析】（1）过点Q 作QH AD ⊥于点H ，根据“平行线+角平分线”即可得到QA QP =，由QH AP ⊥，得到12HA AP ==，解Rt AHQ △得到AQ t =； （2）由PQE 为等边三角形得到QE QP =，而QA QP =，则QE QA =，故223AE AQ t ===，解得32t =；（3）当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE ，过点P 作PG QE ⊥于点G 12PG AP == 则212S QE PG =⋅=，此时302t <≤；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，此时)tan 23CF CE E t =⋅∠-，因此)21232FCE SCE CF t =⋅=-，故可得2PQE FCE S S S =-=+△△322t <<；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △， 此时PD =-)1PC CD PD t =+- 解直角三角形得1tan PC QC t PQC ==-∠，故)2112S QC PC t =⋅=-，此时24t ≤<，再综上即可求解．【详解】（1）解：过点Q 作QH AD ⊥于点H ，由题意得：AP =∵90C ∠=︒ 30B ∠=︒∴60BAC ∠=︒∵AD 平分BAC ∠∴30PAQ BAD ∠=∠=︒∵PQ AB ∥∴30APQ BAD ∠=∠=︒∴PAQ APQ =∠∠∴QA QP =∴APQ △为等腰三角形 ∵QH AP ⊥∴12HA AP == ∴在Rt AHQ △中cos AH AQ t PAQ==∠； （2）解：如图∵PQE 为等边三角形 ∴QE QP =由（1）得QA QP = ∴QE QA =即223AE AQ t === ∴32t =；（3）解：当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE ，过点P 作PG QE ⊥于点G∵30PAQ ∠=︒∴12PG AP == ∵PQE 是等边三角形 ∴QE PQ AQ t ===∴212S QE PG =⋅= 由（2）知当点E 与点C 重合时32t =∴2302S t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭； 当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，如图∵PQE 是等边三角形∴60E ∠=︒而23CE AE AC t =-=-∴)tan 23CF CE E t =⋅∠-∴()))21123232322FCE S CE CF t t t =⋅=--=-∴)2223234PQE FCE S S S t =-=-=+当点P 与点D 重合时，在Rt ADC 中cos AC AD AP DAC ===∠ ∴2t =∴2322S t ⎫=+<<⎪⎭； 当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，如图∵30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒由上知DC =∴AD =∴此时PD =-∴)1PC CD PD t =+=-∵PQE 是等边三角形∴60PQE ∠=︒∴1tan PC QC t PQC ===-∠∴)2112S QC PC t =⋅=- ∵30B BAD ∠=∠=︒∴DA DB ==∴当点P 与点BAD DB =+=解得：4t =∴)()2124S t t =-≤<综上所述：)2223,023221,24S t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．26．(1)1,1,2k a b ===-(2)Ⅰ：0x ≤或1x ≥；Ⅱ：2t <或11t ≥；Ⅲ：10m -≤≤或12m ≤≤【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．（1）先确定输入x 值的范围，确定好之后将x ，y 的值代入所给的y 关于x 的函数解析式种解方程或方程组即可；（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：3y x ，二次函数解析式为：223y x x =-+，当0x >时223y x x =-+对称为直线1x =，开口向上，故1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时3y x ，10k =>故0x ≤时，y 随着x 的增大而增大；Ⅱ：问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，考虑两个临界状态，当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，因此当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，11y =故当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，因此当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即方程230ax bx t ++-=无解； Ⅲ： 可求点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，2y =最小值当0x =时3y =最大值 当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，y=3，x=-1时，y=2，故①当12m >，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，则12m ≤≤；②当12m <，由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤． 【详解】（1）解：∵20x =-<∴将2x =-，1y =代入3y kx =+得：231k -+=解得：1k =∵20,30x x =>=>∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩； （2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-∴一次函数解析式为：3y x ，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时3y x 10k =>∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点 ∵对于223y x x =-+，当1x =时2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点 ∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点； 当4x = 168311y =-+=∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点 ∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点 ∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点 即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解； Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+∴()1122m m +-+= ∴点P 、Q 关于直线12x =对称 当1x =，1232y =-+=最小值当0x =时3y =最大值∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时3y =，=1x -时2y = ∴①当12m >，如图：由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩∴12m ≤≤； ②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩ ∴10m -≤≤综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。
2024年四川省凉山州中考数学真题试卷及答案解析
凉山州2024年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试试题数学A 卷（共100分）第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置．1. 下列各数中：，负数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.3. 下列运算正确的是（ ）A. B.C.D.4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（）A. B.C.D.5. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ）A.B. C. D.6. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（）A. B. C. D.7. 匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（）A B. C. D.8. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的位女演员身高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（）A. B. C. D. 无法确定9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（）A. 2B.C. 2或D.10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（）A. B. C. D.11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光的照射下形成的投影是，若，则的面积是（）A. B. C. D.12. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷非选择题（共52分）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）13. 已知，且，则______．14. 方程的解是_______15. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．16. 如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是______．17. 如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 计算：．19. 求不等式的整数解．20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；（2）补全条形统计图；（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．21. 为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．B卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23. 已知，则的值为______．24. 如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______五、解答题（共4小题，共40分）25. 阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______（2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？26. 如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．（1）求证：；（2）求的最小值．27. 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．28. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；（3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案A卷（共100分）第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置．1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．解：，是正数；，是负数；，是负数；0既不是正数，也不是负数；，是负数；，是正数；负数有，，，共3个．故选：C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可．解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形．故选：B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的除法和乘法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．解：.，该选项正确，符合题意；.，该选项错误，不合题意；.，该选项错误，不合题意；.，该选项错误，不合题意；故选：．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．解：由题意，得：，∵，∴，∴；故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．解：∵点关于原点对称点是，∴，，∴，故选：．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解题的关键．】解：∵垂直平分，∴，∴的周长，故选：．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，故选：．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了方差，根据折线统计图结合数据波动小者即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键．解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定，∴，故选：．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．解：是关于的一元二次方程，，即由一个根，代入，可得，解之得；由得；故选A10.【答案】C【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．解：∵是线段的垂直平分线，∴直线经过圆心，设圆心，连接．中，，根据勾股定理得：，即：，解得：；故轮子的半径为，故选：C．11.【答案】D【解析】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光的照射下形成的投影是，，∴，∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，∵三角形硬纸板的面积为，∴，∴的面积为．故选：D．12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．第Ⅱ卷非选择题（共52分）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）13.【答案】【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．解：∵，∴，∵，∴．故答案为：．14.【答案】x=9【解析】【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘x（x-3），得3x-9=2x，解得x=9．检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．∴原方程的解为：x=9．故答案为：x=9．15.【答案】##100度【解析】【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．解：∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴．故答案为：．16.【答案】42【解析】【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案．解：四边形各边中点分别是、、、，、、、分别为、、、的中位线，，，，，四边形的周长为：，故答案为：42．17.【答案】9【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．解：将代入，得：，解得：，∴直线的解析式为．当时，，解得：，∴点C的坐标为，，∴．故答案为：9．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.【答案】2【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．解：．19.【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．先将变形为，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再找出其中的整数解即可．解：由题意得，解①得：，解②得：，∴该不等式组的解集为：，∴整数解为：20.【答案】（1），；（2）补图见解析；（3）．【解析】【分析】（）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数；（）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图；（）画出树状图，根据树状图即可求解；本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键．小问1解：本次调查的总人数是人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，故答案为：，；小问2解：最喜欢篮球项目的学生有人，∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，∴补全条形统计图如下：小问3解：画树状图如下：由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．21.【答案】．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．解：由题意可得，，，，，设，在中，，在中，，∵，∴，解得，∴，答：塔高为．22.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线可得代入数据计算即可．小问1解：点在正比例函数图象上，，解得，，在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为．小问2解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，令，则，∴记直线与轴交点坐标为，连接，联立方程组，解得，（舍去），，由题意得：，∴同底等高，．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移，三角形的面积，熟练掌握函数的平移法则是关键．B卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23.【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．解：∵，∴，将代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案为：3．24.【答案】【解析】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，当，，当，即，解得：，而∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵与相切，∴，∴，∵，∴当最小时即最小，∴当时，取得最小值，即点P与点K重合，此时最小值为，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值为．【点拨】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．五、解答题（共4小题，共40分）25.【答案】（1）36；120；（2）不能（3）一共能摆放20排．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．小问1解：三角点阵中前8行的点数之和为，前15行的点数之和为，那么，前行的点数之和为；故答案为：36；120；；小问2解：不能，理由如下：由题意得，得，，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；故答案为：不能；小问3解：同理，前行的点数之和为，由题意得，得，即，解得或（舍去），∴一共能摆放20排．26.【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明；（2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可．小问1证明：连接，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∵是垂直平分线，∴，∴；小问2解：过点N作于点F，连接，∵，∴，∵，∴，当点A.N、F三点共线时，取得最小值，如图：即，∴在中，，∴的最小值为．【点拨】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．27.【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明；（2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到．小问1解：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，即，∵是的半径∴是的切线；小问2解：连接，∵，∴在中，，由勾股定理得：∴，∵在中，，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．28.【答案】（1）抛物线的解析式为（2）的坐标为（3）的坐标为或或或【解析】【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；（2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为；（3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．小问1解：把代入得：，，把，代入得：，解得，抛物线的解析式为；小问2解：设，则，，，，解得或（此时不在直线上方，舍去）；的坐标为；小问3解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图：中，令得，解得或，，，，，，设，则，，∵，的面积等于面积的一半，，，或，解得或，的坐标为或或或．【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．。
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一、选择题（每小题4分，共计40分）
1．使代数式43xx有意义的x的取值范围是 （ ）
A．x>3 B．x≥3 C．x>4 D．x≥3且x≠4
2．下列运算正确的是 （ ）
A．523 B．
623
C．
13)13(
2
D．353522
3．在根式
abxyx
x
ba2743
5
21222,,,
中，最简二次根式是（ ）
A．1) 、2) B．3)、 4) C．1)、 3) D．1)、 4)
4.将
a
a
1
根号外的a移到根号内，得 ( )
A．a B．a C．a D．a
5．若关于x的一元二次方程
01
22
kxxk
的一个根为1，则k的值
为 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．0或
1
6．用配方法解方程
052
2
xx
时,原方程应变形为（ )
A．
6)1(
2x B．6)1(2x C．9)2(2x D．9)2(2
x
7．下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A B C
D
8．如图,
'',30,90
00
OBABAOB
可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转
α角度得到的.若点A'在AB上,则旋转角α的大小可以是( )
A．
030 B．0
45
C．
060 D．0
90
9．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两
竖的彩条，横、竖彩条的宽度比
为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形面积的三分之一，
设每个横彩条的宽为2x，则下列方
程正确的是（ ）
30cm
20cm
A．(20－3x)(30－2x)＝(1－13 )×20×30
B．(20－6x)(30－4x)＝13 ×20×30
C．(20－6x)(30－4x)＝(1－13 )×20×30
D．(20－2x)(20－3x)＝(1－13 )×20×30
10．如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转
0
30
到正方形
'''DCAB
,
图中阴影部分的面积为( )
A．21 B．33 C．
3
3
1
D．
4
3
1
二、填空题：（每小题4分，共计24分）
11．如果y=
144
22
xx
，则2x+y的值是 .
12．2xx102 =2（x -
2
)
.
13．某矩形的长为a ，宽为b ，且（a＋b）（a＋b＋2）＝8，
则a＋b的值为 _。
14. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好
等于这个两位数，则这个两位
数是 .
15. 关于x的方程
0
4
22
k
xkkx)(
有两个不相等的实数根则k的
取值范围为 。
16.“圣诞节”将至，某商场购进了一种手套30双和一种围巾20
条，围巾的售价是手套2倍，销
售一段时间后，手套和围巾卖出的数量恰好相同，此时商场
决定调价，把手套的售价提高
48%，把围巾的售价降低40%，当商场卖完这两种商品后，
发现这批围巾和手套的平均售价
是一样的，那么调价前卖出的围巾和手套的数量都是
_______．
重庆市永川北山中学校原创2024学年胡文作品—原创2024学年胡
文作品学年度上期第一学月月考答题卷
初 三 数 学
（满分150分 考试时间120分钟 命题人：刘定科 审题人：何
襄渝）
温馨提示：请同学们认真审题，仔细作答，规范书写，考出自己满意
的成绩。
一、选择题（每小题4分，共计40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：（每小题4分，共计24分）
11．______________； 12．____________，____________；
13．_______________；
14．_______________； 15．______________________；
16．_______________；
三、解答题：（17-20题每题6分，21-25题每题10分，26题12分。共
86分）
17．计算（6分）: 433232121
18．计算（每小题3分，共6分）：
①
214505
1
183
②
abbaabb
323235•
19．先化简，再求值（6分）：1－1a－1÷a2－4a＋4a2－a，其中a
＝2＋2
20．用适当的方法解方程（每小题3分，共6分）
① x2+3= 22x
②
0)1(2)1(
2
xxx
21．（10分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方
形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系。
（1）画出四边形OABC关于点O对称的四边
形
111CBOA，并写出点1
B
的坐标是 __ .
（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°
后得到的四边形
222CBOA，并写出点2
B
的坐标
是 .
（3）在第（2）问的条件下，点B旋转到点
2
B
所经过的
弧
'
BB
的长为______________________。
22.（10分）一农户用24米长的篱笆围成一面靠墙(墙长为12米)，
大小相等且彼此相连的三个矩
形鸡舍，(如图)鸡场的面积能够达到32米2吗？若能，给出
你的方案；若不能，请说明理由。
23．（10分）某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次的
产品，每件获利润8元，每提高
一个档次，每件产品利润增加2元，最低档次产品每天可生
产60件，每提高一个档次要减少
3件，如果要使一天获利858元，应生产哪个档次的产品？
A
B
G C E
H
F
D
图甲
A
B
G
C
E
H
F
D
图乙
24．（10分）用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，
把一个足够大的直角三
角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，将三角尺
绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边
BEEF，
相交于点GH，时，如图
甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？
并证明你的结论．
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延
长线相交于
点G、H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简
要说明理由．
25．（10分）我市的公租房建设卓有成效，目前已有部分公租房
投入使用，计划从今年起，在未来
的10年内解决低收入人群的住房问题，预计第x年竣工并投
入使用的公租房面积y (百万平方
米)满足关系式：
61x时，561xy；107x
时，41981xy。
（1）假设第6年到第8年间每年竣工并投入使用的公租房
面积呈下降趋势，且年平均下降率
相同，求这个年平均下降率。（
970415.
）
（2）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房
问题，政府计划在第10年竣工投
入使用的公租房在原预计总面积不变的情况下，要让人均住
房面积比第6年提高a%，这样解
决住房的人数将比第6年解决的人数减少a%，求a的值
(4.12，结果保留整数)。
26．（12分）如图：在直角坐标系中的矩形OABC，点B的坐标
（3，6），若点P从点O沿OA向点A
以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点A沿AB以每秒2
个单位长度的速度运动，如果P、Q
同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，
设运动的时间为t秒。
（1）如图1所示：用含有t的代数式表示△PAQ的
面积（3分）
（2）如图1所示：当t为何值时，线段PQ的长
度为22？（3分）
（3）如图2所示：当t为何值时，△PCQ为等腰
三角形?(6分)