初三-反比例函数(教师版)

1 反比例函数 一、 上节回顾 （1）概率：一般的，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）. （2）概率的求法：一般的，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n. （3）事件与概率的关系：在P（A）=m/n中，由m和n的含义， 可知0 ≤m≤n，进而0≤m/n≤1.因此0≤P（A）≤1； 特别地，当A为必然事件时，P（A）=1.当A为不可 能事件时，P（A）=0.

二、本节内容 知识点一：反比例函数的概念 反比例函数的概念 一般地，函数xky（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy

或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 【例1-1】已知反比例函数22(21)mymx，则m= ，函数的表达式是 . 【答案】±1 1yx或xy1 【例1-2】k为何值时，322)(kkxkky是反比例函数？ 2

【例1-3】已知y与x2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y等于 （ ） A．-2 B．2 C．12 D．-4

C[提示：因为y与x2成反比例，所以2(0),kykx当x=-2时，y=2，所以22(2)k，所以k=8，所以28yx.

当x=4时，281.42y] 举一反三： 1.当m 时，y=3xm-7是反比例函数.

【答案】6

2.已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6. (1)写出y与x的函数关系式; (2)求当x=4时y的值.

分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=kx，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值.

解：(1)设y=kx，因为当x=2时y=6，则有6=2k.解得：k=12,∴y=12x.

(2) 把x=4代入y=12x，得y=124=3.

知识点二：反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3

2、反比例函数的性质 反比例函数 )0(kxky

k的符号 k>0 k<0

图象 y O x y

O x

性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

【例2-1】在同一直角坐标系中，函数 与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）

A. B. C. D. 【答案】B 【考点】反比例函数的图象 【解析】解答：∵a≠0，∵a＞0或a＜0． 当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限， 当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限． 故选：B． 分析：因为a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论进行判断．直线y=kx+b、 4

双曲线 ，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限． 【例2-2】已知抛物线 与x轴没有交点，则函数 的大致图象是（ ）

A. B. C. D. 【答案】C 【考点】反比例函数的图象 【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴没有交点，∵方程 没有

实数根，∵∵=4﹣4×1×（﹣m﹣4）=4m+20＜0，∵m＜﹣5，∵函数 的图象在二、四象限．故答案为：C【分析】根据已知抛物线 y = x 2 + 2 x − m − 2 与x轴没有交点，可得出b2-4ac＜0，求出m的取值范围，再利用反比例函数的性质解答即可。

【例2-3】已知反比例函数y=的图象经过点（1，2），则k的值为 1 ． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】直接把点（1，2）代入反比例函数y=，求出k的值即可． 【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，2）， ∵2=3k﹣1，解得k=1． 故答案为：1．

【例2-4】如图，是反比例函数y1=和一次函数y2=mx+n的图象，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是（ ）

A．1＜x＜6 B．x＜1 C．x＜6 D．x＞1 5

【分析】观察图象得到：当1＜x＜6时，一次函数y2的图象都在反比例函数y1的图象的上方，即满足y1

＜y2．

【解答】解：由图形可知：若y1＜y2，则相应的x的取值范围是：1＜x＜6；

故选A． 举一反三： 1.点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（ ）

A．﹣3 B．3 C． D． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案． 【解答】解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y=上， ∵k=﹣3×1=﹣3， 故选：A．

2.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A，B两点，已知

点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（ ）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∵B点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：A．

3.如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，AB∵x轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（ ） 6

A.3 B.－6 C.2 D.6 【答案】B 【考点】反比例函数的图象 【解析】【解答】此题用直接很困难，而用排除法就非常简单：因为点B所在双曲线的分支在第四象限，

所以它对应的函数解析式 中的k＜0，这样就把ACD排除了，故答案为：B【分析】观察函数图像，可得出点B所在双曲线的分支在第四象限，因此k＜0，可排除A、C、D，即可解答。

4.如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC∵y轴于

点E，BD∵y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=﹣k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值． 7

知识点三：反比例函数求解析式 确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 【例3-1】已知反比例函数 的图象经过点(1,1),则k的值为（ ）. A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：根据题意得2k-3=1，解之k=2 故答案为：D 【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，就可求出k的值。

【例3-2】矩形ABCD在坐标系中如图所示放置．已知点B，C在x轴上，点A在第二象限，D（2，4）BC=6，反比例函数 y= （x＜0）的图象经过点A，则k=（ ）

A. 8 B. -8 C. 16 D. -16 【答案】D 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：∵点D的坐标为（2，4），BC=6，∵OB=4，AB=4，∵点A的坐标为（﹣4，4）．∵

反比例函数y= （x＜0）的图象经过点A，∵4= ，解得：k=﹣16．故答案为：D． 【分析】根据点D的坐标和BC=6易求得点A的坐标为A（-4，4），用待定系数法即可求得k的值。

举一反三： 1.如图，在平面直角坐标系中．矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∵AC，AE∵OB．如果OA=3，OC=2，则经过点E的反比例函数解析式为（ ） 8

A. B. C. D. 【答案】A 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：∵BE∵AC，AE∵OB， ∵四边形AEBD是平行四边形， ∵四边形OABC是矩形， ∵DA= AC，DB= OB，AC=OB，AB=OC=2， ∵DA=DB，∵四边形AEBD是菱形； 连接DE，交AB于F，如图所示：

∵四边形AEBD是菱形，∵AB与DE互相垂直平分， ∵OA=3，OC=2， ∵EF=DF= OA= ，AF= AB=1，3+ = ， ∵点E坐标为：（ ，1）， 设经过点E的反比例函数解析式为：y= ，把点E代入得：k= ， ∵经过点E的反比例函数解析式为：y= ． 故选A． 【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y= ，把点E坐标代入求出k的值即可．

2.已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA∵x轴于点A，

CD∵x轴于点D．