初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳第17讲 反比例函数的图象与性质

第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1.反比例函数的定义:形如k y x=(或1y kx -=,k ≠0),y 叫做x 的反比例函数. 2.反比例函数的图象特征:反比例函数的图象是双曲线,关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称,关于原点O 成中心对称,当k ＞0时,图象的两支分别在第一、三象限,当k ＜0时,图象的两支分别在第二、四象限,3.反比例函数的性质:当k ＞0时,在每个象限内,y 随x增大而减小;当k ＜0时,在每个象限内,y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】(西宁)已知函数ky x=-中,x ＞0时,y 随x 增大而增大,则y ＝kx －k 的大致图象为()而一 次函数y A. 01.x,则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 02.(龙岩)函数y ＝x ＋m 与my x=(m ≠0)在同一象限内的图象可以是( (2,2);②x 的增大而增大,y 2【例2】如图,A 、B 分别是反比例函数10y x =,6y x=图象上的点,过点A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为C 、D ,连接OB 、OA ,OA 交BD 于E点,△BOE 的面积为S 1,四边形ACDE 的面积为S 2,则S 2－S 1＝ .【解法指导】在反比例函数ky x=中,k 的几何意义为: A BC D AB C DOABC S k =长方形,或2ABO k S ∆=. 题中122121106()()22222ODE OBE k k S S S S S S ∆∆-=+-+=-=-= 【变式题组】01.(宁波)如图,正方形ABOC 的边长为2,反比例函数ky x=过点A ,则k 的值是( ) A .2 B .－2 C .4 D .－402.(兰州)如图,在直角坐标系中,点A 是x 轴正半轴上的一个定点,点B 是双曲线3y x=(x ＞0)上的一个动点,当点B 的横坐标逐渐增大时,△OAB 的面积将会( ) A .逐渐增大 B .不变 C .逐渐减小 D .先增大后减小yx A .S ＝2 B .S ＝4 C .2＜S ＜4 D .S ＞4 05.(泰安)如图,双曲线ky x=(k ＞0)经过矩形OABC 的边BC 的中点E ,交AB 于点D ,若梯形ODBC 的面积为3,则双曲线的解析式为( ) A .1y x =B . 2y x =C . 3y x =D .6y x= 【例3】(成都)如图,一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x=的图象交于点A (－2,1),B (1,n )两点 ⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; ⑵求△AOB 的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积. 解:⑴∵点A (－2,1)在反比例函数my x=的图象上, ∴m ＝(－2)×1＝－2,∴反比例函数的表达式为2y x=-. ∵点 B (1,n )也在反比例函数2y x=-图象上,∴n ＝－2,即B (1,－2) 把点A (－2,1)点B (1,－2)代入一次函数y ＝kx ＋b 中,得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1. 第1题图 第2题图 第3题图第4题图第5题图⑵在y ＝－x －1中,当y ＝0时,得x ＝－1,∴直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C (－1,0),∵线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ,∴1113111212222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.【变式题组】01.(徐州)如图,已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点,直线AB 与y 轴交于点C. ⑴求反比例函数和一次函数的关系式; ⑵求△AOC 的面积; ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集(直接写出答案)02.已知反比例函数112k y x =的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点,A (1,n ),B (12-,－2).⑴求两函数的解析式;⑵在x 轴上是否存在点P ,使△AOP 为等腰三角形？若存在,请你直接写出P 点的坐标;若不存在,说明理由. ⑶求AOB △S ;⑷若y 1＞y 2,求x 的取值范围.03.如图,A 是反比例函数1ky x=(x ＞0)上一点,AB ⊥x 轴,C 是OB 的中点,一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点,并交y 轴为D (0,－2),AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式;⑵在y 轴右侧,若y 1＞y 2时,求x 的取值范围.04.如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点,AB ⊥x 轴于B ,32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式; ⑵求A 、C 两点的坐标;⑶若P 是y 轴上一动点,5PAC S ∆=,求点P 的坐标.【例4】(咸宁)两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示,点P 在k y x =的图象上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图象于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图象于点B ,当点P 在ky x=的图象上运动时,以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA 与PB 始终相等;④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 (把你认为正确的序号都填上)【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上,根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==,因而①正确;∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形,当k 不变时,若P 变动,而四边形PAOB 的面积不变.因而是②正确;若设P (t ,k t ),则A (t ,1t),B (,t k k t ),∴PA ＝11k k t t t --=,PB ＝t t k -.若PA ＝PB ,则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时,有PA ＝PB ,并不是PA 与PB 始终相等,因而③不正确;当A 为PC 的中点时,OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==,OPC ODP S S ∆∆=,∴ODB OPB S S ∆∆=,∴DB ＝PB ,因而④正确;故填1x =①,②.④.【变式题组】01.(武汉)如图,已知双曲线ky x=(k ＞0)经过矩形OABC 的边AB 的中点F ,交BC 于点E ,且四边形OEBF 的面积为2,则k ＝ .02.如图,矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上,且3ABCD S =矩形,则k ＝ .03.如图,P 为x 轴正半轴上一点,过点P 作x 轴的垂线,交函数1y x =(x ＞0)的图象于点A ,交函数4y x =(x ＞0)的图象于点B ,过点B 作x 轴的平行线,交1y x=(x ＞0)于点C ,连接AC ,当点P 的坐标为(t ,0)时,△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04.函数2y x =(x ＞0)与8y x=(x ＞0)的图象如图所示,直线x ＝ t (t ＞0)分别与两个函数图象交于A 、C 两点,经过A 、C 分别作x 轴的平行线,交两个函数图象于B 、D 两点,探索线段AB与CD 的比值是否与t 有关,请说明理由.第1题图第3题图05.如图,梯形AOBC 的顶点A 、C 有反比例函数的图象上,OA ∥BC ,上底OA 在直线y ＝x 上,下底BC 交x 轴于E (2,0),求四边形AOEC 的面积.演练巩固·反馈提高01.(恩施自治州)如图,一次函数y 1＝x －1与反比例函数22y x=的图象点A (2,1)、B (－1,－2),则使y 1＞y 2的x 的取值范围是( )A .x ＞2 B. x ＞2或－1＜x ＜0 C. －1＜x ＜2 D. x ＞2或x ＜－102.(常州)若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是( )A.－1B.3C.0D.－303.(荆州)如图,直线l 是经过点(1,0)且与y 轴平行的直线,Rt △ABC 中直角边AC ＝4,BC ＝3,将BC边在直线l 上滑动,使A 、B 在函数ky x=的图象上,那么k 的值是( ) A.3 B.6 C.12 D.154 04.(丽水)点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图象上,且横坐标为2,若将点P 先向右平移两个单位,再向上平移一个单位后所得点为P /,则在第一象限内,经过点P /的反比例函数图象的解析式是( ) A. 5y x =-(x ＞0) B. 5y x =(x ＞0) C. 6y x =-(x ＞0) D. 6y x=(x ＞0) 05.(铁岭)如图所示,反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A (2,1),若y 2＞y 1＞0,则x的取值范围在数轴上表示为( )06.(泰安)函数1y xx=+图象如图所示,下列对该函数性质的论断不可能正确的是( )A.该函数的图象是中心对称图形B.当x＞0时,该函数在x＝1时取得上值2C.在每个象限内,y随x的增大而减小D.y的值不可能为107.(芜湖)在平面直角坐标系xOy中,直线y＝x向上平移一个单位长度得到直线l, 直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为A(a,2)则k的值等于.08.(广安)如图,在反比例函数4yx=-(x＞0)的图象上有三点P1、P2、P3,它们的横坐标依次为1,2,3,分别过这3个点作x轴、y轴的垂线,设斩中阴影部分的面积依次为S1、S2、S3,则S1＋S2＋S3＝.09.(十堰)已知函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B,与双曲线kyx=交于点A、D,若AB＋CD＝BC,则k的值为.10.(遵义)如图,在平面直角坐标系中,函数kyx=(x＞0,常数k＞0)的图象经过点A(1,2),B(m,n),(m＞1),过点B作y轴的垂线,垂足为C,若△ABC的面积为2,则点B的坐标为.11.如图,点P的坐标为(2,32),过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线kyx=(x＞0)于点N,作PM⊥AN,交双曲线于kyx=(x＞0)于点M.连接AM,已知PN＝4,⑴求k的值;⑵求△APM的面积.A B C D第5题图第3题图第6题图第8题图12.如图,反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P(6,2),A、B为直线上的两点,点A的横坐标为2,点B的横坐标3,D、C为反比例函数图象上的两点,且AD、BC平行于y轴,⑴直接写出k、m的值;⑵求梯形ABCD的面积.13.如图,已知双曲线kyx=(x＞0)经过Rt△OAB斜边的中点D,与直角边AB相交于点C,若△OBC的面积为3,求k的值.14.如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E,双曲线kyx=(x＞0)的图象经过点A,若BECS∆＝8,求k的值.15.如图,Rt△ABC中,∠BAC＝90°,BC所在直线的解析式为42033y x=-+,AC＝3,若AB的D在双曲线ayx=(x＞0)上,将三角形向左平移,当点B落在双曲线上时,求三角形平移的距离.16.(荆州)如图,D 为反比例函数ky x=(k ＜0)图象上一点,过D 作DC ⊥y 轴于C ,DE ⊥x 轴于E ,一次函数y x m =-+与2y x =+的图象都经过点C ,与x 轴分别交于A 、B 两点,若梯形DCAE 有面积为4,求k 的值.17.(四川广安)如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A (－1,2)、点B (－4,n )⑴求一次函数和反比例函数的解析式; ⑵求△AOB 的面积.18.(河北省)如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,顶点A 、C 分别在坐标,顶点B 的坐标为(4,2),过点D (0,3)和E (6,0)的直线分别与AB 、BC 交于点M 、N , ⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标;⑵若反比例函数my x=(x ＞0)的图象经过点M ,求该反比例例函数的解析式,并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上？ ⑶若反比例函数my x=(x ＞0)的图象与△MNB 有公共点,请直接．．写出m 的取值范围.培优升级·奥赛检测01.如图,直线l 与反比例函数m y x =与ny x=(m ＞n ＞0)的图象分别交于点A 、B ,且直线l ∥x 轴,连接PA 、PB ,小芳与小丽同学针对△PAB 面积的讨论,有以下两种意见:小芳:点P 在x 轴上移动时,△PAB 的面积总保持不变; 小丽:当直线l 上下平移时,△PAB 的面积总保持不变; 那么,你认为她们的说法中( )A.只有小芳正确B.只有小丽正确C.两人都正确D.两人都不正确02.(南昌市八年级竞赛题)在函数21a y x+=-(a 为常数)的图象上有三点:(－1,y 1),(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A. y 1＜y 2＜y 3 B. y 3＜y 2＜y 1 C. y 3＜y 1＜y 2 D. y 2＜y 1＜y 303.(济南)如图,等腰直角三角形ABC 位于第一象限,AB ＝AC ＝2,直角顶点A 在直线y ＝x 上,其中A 点的横坐标为1,且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴,若双曲线ky x=(k ≠0)与△ABC 有交点,则k 的取值范围是( ) A.1＜k ＜2 B.1≤k ≤3 C. 1≤k ≤4 D. 1≤k ＜404.(第十八届“希望杯”初二)直线l 交反比例函数y =的图象于点A ,交x 轴于点B ,点A 、B 与坐标原点O 构等边三角形,则直线l 的函数解析式为 05.(成都)如图,正方形OABC 的面积是4,点B 在反比例函数ky x=(k ＞0,x ＜0)的图象上,若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点,过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为M 、N ,从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积,记剩余部分的面积为S ,则当S ＝m (m 为常数,且0＜m ＜4)时,点R 的坐标是 .(用含m 的代数式表示)06.如图,已知直线12y x =与双曲线ky x=(k ＞0)交于A 点,且点A 的横坐标为4,若双曲线kyx=(k＞0)上一点B的纵坐标为8,求△AOB的面积.07.(北京)如图,A、B两点在函数myx=(x＞0)的图象上,⑴求m的值及直线AB的解析式;⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点,请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.08.(温州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B,与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C(1,6)点D(3,n).过点C作CE⊥y轴于E,过点D作DF⊥x轴于点F,⑴求m、n的值;⑵求直线AB的函数解析式;⑶求证:△AEC≌△DFB.09.如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数k y x =(k ＞0,x ＞0)的图象上,点P (m ,n )是函数k y x=(k ＞0,x ＞0)的图象上的任意一点,过点P 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F ,并设在矩形OEPF 中和正方形OABC 不重合的部分面积为S .⑴求点B 的坐标和k 的值; ⑵当92S =时,求点P 的坐标; ⑶写出S 关于m 的函数关系式.10.如图,已知A (－6,n ),B (3,－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数m y x =图象的两个交点,直线AB 与x 轴和y 轴的交点分别为C 、D.⑴求反比例函数和一次函数的解析式; ⑵求不等式m kx b x+-＜0的解集(请直接写出答案); ⑶求证:AC ＝BD ;⑷若y 轴上有一动点P ,使得△PAB 的面积为18,求P 点的坐标.。