数学模型--分形简介
分形图形与分形的产生
分形图形分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
分形理论的详细介绍
（三）标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，
对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的 形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它 的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。 所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果 用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看 到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放 大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标 度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的 koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它 放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很 显然，它具有标度不变性。 因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关 的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明， 自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一 切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形 和不具有特征长度的图形。对于特征长度，并没有严 格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度， 就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方 体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物 体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特 征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加 简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有 太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高 度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错； 如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替 身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说， 关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
分形理论简介ppt
进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而 每条折线的长度为1/9； 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。
由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个 平面上的每一个点，因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数
盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r
自仿射性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的， 那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
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两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体（连续、光 滑、规则、可微） 大自然创造的复杂 的真实物体（不连 续、粗糙、不规则、 不可微）
N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
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线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r
相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似， 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为
分形科普-Fractal
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
分形体的表面积、体积
怪异体，只有表面没有内容。
体积：每次迭代体积都更小，无穷次迭代后体积趋近0。
分形出现 试图用经典几何学描述分形 出现大量处处连续不可微图形
1875~1925
计算机图形学发展 分形构图软件大量出现 计算机进行分形研究兴起
研究分形维数 分形集的局部性质 分形集的结构 S-集分析与几何性质
成为独立学科 曼德尔布莱特出版里程碑专著
1926~1975
1976~2010
分形画
分形画
谢谢！
Thanks For Your Coming
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
朱丽亚图谱
曼德勃罗集图
广义曼德勃罗集图
k=3 k=4 k=5
事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况；
事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况。
分形的功能
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大
分形的奥秘与力探索分形的世界与应用
分形的奥秘与力探索分形的世界与应用分形是指在各个尺度上都具有相似性的图形。
它们的美学吸引力和数学特性使得分形成为了一个极具研究和应用价值的领域。
本文将探讨分形的奥秘与力，以及分形的世界和应用。
一、分形的概念与特性分形的概念最早由波兰数学家曼德勃罗特（Benoit Mandelbrot）在20世纪70年代提出。
分形的特性使得它们与自然界中的很多事物有着惊人的相似性。
例如，云朵、山脉、树叶和河流的形态和分形非常相似。
分形具有几个重要特性。
首先，分形是自相似的。
它们在各个尺度上都存在相似的模式，即部分的形态与整体的形态非常相似。
其次，分形具有无限细节。
无论在何种缩放程度下观察，分形都能揭示出新的细节结构。
最后，分形具有分维度的特性。
普通的几何形体具有整数维度，而分形则具有非整数维度，常被称为分维。
二、分形的数学模型分形的数学模型可以通过递归函数或迭代法来实现。
其中，最著名的分形是曼德勃罗特集合（Mandelbrot Set）。
曼德勃罗特集合是由以下复数序列生成的：Z（n+1）= Z（n）^2 + C，其中Z（0）=0，C为复数常量。
对于每个C值，如果序列在有限次迭代后仍然保持有界，则该C值属于曼德勃罗特集合。
曼德勃罗特集合的图像呈现出复杂多样、充满细节的美感。
它已经成为了分形研究和艺术创作的重要素材。
三、分形的物理与生物学应用分形不仅在数学中有重要应用，还在物理学和生物学中发挥着关键作用。
在物理学领域，分形可以用来描述自然界中的多种现象。
例如，分形维度可以用来计算海岸线的长度，城市的空间分布，以及材料的表面形态等。
此外，分形理论还可以用于描述复杂流体、耗散结构和混沌系统等物理现象。
在生物学领域，分形理论被广泛应用于描述生物体的形态和内部结构。
例如，分形维度被用于研究树木的分枝结构、肺部的支气管系统，以及神经网络的连接方式等。
分形还可以用来研究生物体的动态行为和增长模式。
四、分形的艺术与设计应用分形的美学吸引力使得它成为了很多艺术家和设计师的灵感之源。
分形几何学
分形几何学谁创立了分形几何学？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
分形几何理论与应用
分形几何理论与应用分形几何理论是一种独特的数学理论，它研究的不是传统意义上的整数、有理数或代数等，而是那些细致、复杂、无规则的自相似结构。
这个理论的发展和应用可以追溯到上世纪60年代，由波兰数学家曼德博特和法国数学家朱利亚·帕西亚斯开创并推动。
分形几何理论的应用范围广泛，涉及到自然科学、工程技术、艺术设计等领域。
本文将介绍分形几何理论的基本概念、应用案例以及未来的发展趋势。
一、基本概念分形几何理论的核心概念是“分形”。
分形是一种具有自相似性质的几何形状或图形，即整体的某一部分与整体本身具有相似的结构。
分形可以是自然界中的云朵、树叶、山脉等，也可以是数学模型中的图形、曲线等。
分形具有以下基本特征：1. 自相似性：分形的一部分与整体具有相似的结构，无论进行何种放大或缩小，都能保持这种相似性。
2. 细节复杂性：分形结构的细节非常复杂，无法用简单的几何形状或方程进行描述。
3. 尺度无关性：分形的特征在不同尺度上都存在，并且不会随着放大或缩小而改变。
二、应用案例1. 自然科学领域：分形几何理论在自然科学领域的应用广泛。
例如，地理学家可以利用分形理论来研究地貌形态的分布规律，了解山脉、河流等地貌形状的演化过程。
生物学家可以利用分形模型来研究植物、动物体内的血管网络结构。
天文学家可以用分形几何理论解释银河系的分布规律等。
2. 工程技术领域：分形几何理论在工程技术领域的应用也非常广泛。
例如，在传输网络设计中，可以采用分形模型来提高网络的稳定性和可靠性。
在材料科学中，可以利用分形几何理论来研究材料的表面粗糙度和纹理结构，从而优化材料的性能。
在城市规划中，分形理论可以帮助设计人员更好地解决交通流量、建筑物布局等问题。
3. 艺术设计领域：分形几何理论对艺术设计也有很大的启发。
艺术家可以运用分形的特性创作出具有美感和复杂性的艺术作品。
分形图形的迭代、放大和变换等操作可以产生各种独特的视觉效果，被广泛用于绘画、雕塑和数字艺术等领域。
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2、图形迭代生成分形
• 给定初始图形 F0 ，依照某一规则 R 对图形反复作用
Fk 1 RFk , k 0,1,...
得到图形序列 F1 , F2 , ... 其极限图形是分形，作用规则 R 称为生 成元。
例如，Cantor 集的生成元是
• Julia集
考虑复变函数迭代
Zn1 Z c,
2 n
n 0,1, (2)
固定复参数 c，使得迭代序列{Zn } 有 界的初值 Z 0 在复平面上的分布图形 称为Julia集，亦即
J c { Z0 | 迭代序列 {Z n } 有界}
• Mandelbrot集 固定初值 Z0 ，使得迭代序列（2）有 界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 J Z {c | 迭代序列{Zn } 有界} 记
分形音乐
• 如果我们把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一 种波动，则音乐可归入科学中的噪音范畴。科学中的 噪音的定义是指任何量Ｖ随时间t的不可预测的变化。 现已发现每一种噪音的跟踪轨迹都是一条分形曲线。 • 音乐它的波动既有随机性又有一定的相关性，音乐往 往会给人一种悦耳的感觉。研究发现：几乎所有的音 乐节律都模仿一种噪音。
自然界中的分形几何
• 自然界存在的一些 形状及其结构诸如 星系、闪电、泥裂、 材料断口、水系、 晶簇、蜂窝石、小 麦须根系、树冠、 支气管、小肠绒毛、 大脑皮层等等。尽 是分形。
自然界中的分形几何
• 我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形， 星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数 学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数 学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”—— 做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版 的图表等。 • 这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几 里得结构——特别是需要分形几何学。分形几何它与欧几里 得几何相反，是没有规则的。它们处处无规则。而在各种尺 度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近 处观察，分形客体看起来一个模样——自相似。整体中的小 块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分 明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。
V {F ,,, [, ]}, w F , P : F F [ F ] F [ F ]F
花草树木(L 系统）
3、函数迭代产生的分形
Z表示复数，在复平面上定义函数f(Z)。 任意给定初始复数值 Z 0 ，定义复数序列 Z n1 f (Z n ), n 0,1,2, (1) 对于什么样的初始值 Z 0 ，复数序列{Zn } 收敛或有界？
英国的海岸线有多长？
• Mandelbrot突破了这一点，长 度也许已不能正确概括海岸线 这类不规则图形的特征。海岸 线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。 • 从不同比例尺的地形图上，我 们可以看出海岸线的形状大体 相同，其曲折、复杂程度是相 似的。海岸线的任一小部分都 包含有与整体相同的相似的细 节。
Zk 1 wi ( zk ), k 0,1,...
则点集 {Zk } 的聚点集合称为一个IFS吸引子。
• 用IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为
V [ xmin, xmax ] [ ymin, ymax ]
假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数 为 N。 ２、将 V 分成 a b 的网格，格点为( xi , y j ) 用 V ij 表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入 ij [ xi , xi 1 ] [ y j , y j 1 ] max ij 中点的个数。记 Vij 则象素 (i,j)的灰度 G(i, j) ij / L 为
M max( 2, p 2 q2 )
3、将区域 R [ M , M ] [ M , M ] 分成 a b 的网格，分别以每个网格点为初值 ( x0 , y0 ) 利用（3）做迭代。如果对所有的 n N 2 2 yn M 2 ，则将象素(i, j) 臵为黑 都有 xn 2 2 xn yn M2 ， 色。如果从某一步 n 开始， 则将象素 (i,j)臵为颜色 n mod K。
• IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换
wi ( Z ) ai Z bi , i 1,2,...,n
以及 n 个概率 p1, p2 ,..., pn ( p1 ... pn 1) 任给初值 Z0 ，以概率 pi 选取变换 wi 进行迭代
自然界中的分形几何
• 模型所建立的简单的 几何结构，其与所生 成的自然结构特征相 同。从山峦的分形模 拟方法产生一种理论， 以描述地球表面的地 势起伏。
自然界中的分形英国的海岸线有多长？
• 1967年Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题。 • 长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于 1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则能测出被忽 略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进一步地变小，测 得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确 定值，这个极限值就是海岸线的长度。 • Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大 的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上 海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑 的。 • 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和 二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界 大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线 化，得出一个有意义的长度。
0
Z x i y, c p i q
则（2）变为
xn 1 xn 2 yn 2 p yn 1 2 xn yn q (3)
• Julia 集的绘制方法：
1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图 形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值
Julia 集
Mandelbrot集
４、IFS迭代产生分形
• 混沌游戏 给定平面上三点A, B, C。再任意给定初 始点 Z0 , 做下列迭代 ( Z n A) / 2, 当掷出的硬币呈正面 Z n 1 ( Z n B ) / 2, 当掷出的硬币呈反面 ( Z C ) / 2, 当掷出的硬币呈侧面 n 按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图 形。故称为混沌游戏。
数学模型 • 分形简介
北京理工大学 王宏洲
一、分形简介 1、分形的起源
大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶 体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何 用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线 的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科 ---分形(Fractal)：英国的海岸线有多长？
自然界中的分形几何
• 分形几何学它描述了大自然和我们周围的许多 不规则和支离破碎的形状.分形理论是一门交 叉性的学科，从振动力学到流体力学、天文学 和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生 物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学， 从经济学到语言学、 社会学等等，都与分形 融合与关联。分形理论对方法论和自然观产生 了强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现， 这个世界是以分形的方式存在和演化着的.
• 分形的特性
1、具有无限精细的结构
2、局部与整体的相似性
3、具有非拓扑维数，并且它大于对的
拓扑维数
4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。
• 分形的应用领域
1、数学：动力系统
2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流
3、化学：酶的构造，
4、生物：细胞的生长
分形在数字全息显示中的应用
• 数字点阵全息图 • 分形图的编码
数字点阵全息图
• 数字点阵全息图是由计算机控制的激光光束干涉 点阵刻蚀而成. • 它是依赖计算机产生图形并通过计算机精密地控 制干涉激光束在记录介质上刻蚀点阵衍射光栅来 实现。 • 应用混沌和分形的理论，以带有无限变量重复码 的方式来产生一系列类似于万花筒中观察到的随 机花样的图案 --- 分形图像和探索应用分形图像 制作数字像元全息图时逐点的仿射对应关系。
Van Koch 雪花曲线的生成元是
Minkowski “香肠”
Sierpinski地毯
花草树木(L系统）
• 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统 可表示为一个有序的三元素集合：
G V , w, P
其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。 • 例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。
分形音乐
• 分形音乐是分形艺术的一个重要部分，分形音乐 是由一个算法的多重迭代而产生。利用分形几何 的自相似特性来建构一些带有自相似小段的合成 音乐。主题在带有小调的多次的返复循环中重复， 在节奏方面加上一些随机变化，所创造的效果， 无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正 的音乐。 • 有人把著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为 《倾听曼德勃罗集》（Hearing the Mandelbrot Set），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数 据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式 表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。
自然界中的分形
• 自然界的树并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是 所谓超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能 看到的小尺度的星系可延伸到1500万到3000万光年之遥。 但仍然存在着尺度超过30000万光年的大空白区。 • 应用分形最活跃的领域是在物理学和生命科学.它们已帮 助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难 问题。