用椭圆的参数方程求最值

号成立,
故
∋A OB 的最大值是
arctan
3 4
.
% 19%
数理化学习 ( 高中版 )
五、求参数的最值
例 6 已知椭圆 x2 + 4(y - a) 2 = 4与抛物 线 x 2 = 2y 有公共点, 求实数 a 的最大值.
解: 设 x = 2cos , y = a + sin 代入抛物线 方程得 4cos2 = 2a + 2sin ,
所以 a = 2co s2 - s in = - 2( sin + 1 ) 2 4
+ 187, 所以 - 1 ( a ( 187.
故实数 a的最大值为 187. 六、求斜率的最值
例 7 设 A ( 1, 2) 为 定 点, P 为 椭 圆
(
x
- 7) 16
2
+
( y - 3) 2 9
=
1上任意一点, 求 AP 的
例 9 已知椭圆的焦点 F1 ( - 3, 0)、F2 ( 3,
0) 且与直线 x - y + 9 = 0有公共点, 求其中离
心率最大的椭圆方程.
解:
设椭圆
x2 a2
+
y2 a2 -
= 9
1与直线 x - y +
9 = 0的公共点为 M ( a cos , a2 - 9sin ),
则 a cos - a2 - 9sin + 9 = 0有解, 所以 a2 + ( a2 - 9) ∃ ( - 9) 2, 即 a2 ∃ 45,
斜率的最大值与最小值.
解: 根据题意, 设 P ( 7 + 4cos , 3 + 3sin ).
则 AP 的斜率 k =
1+ 6+
3 s in 4 cos
, 所以
3 s in
-
4k cos = 6k - 1, 所以 32 + 16k2 ∃ ( 6k - 1) 2, 即 5k2 - 3k -
2(
0, 解得 -
错解: 因为 a + 2是三角形的最大边, 依题
意 知 其 对 角 为 钝 角 为 , 所 以 cos =
a2 + ( a + 1) 2 - ( a + 2) 2 = a - 3 < 0, 所以 0
2a ( a + 1)
2a
< a < 3. 点评: 三角形这个条件隐含三边关系, 故本
题还应考虑 a + a + 1 > a + 2, 即 a > 1, 所以 a 的取值范围应为 1 < a < 3. 当然, 若本题条件 变为锐角三角形, 用余弦定理解题时, 三边关系 已经包含在其中, 则不必另外考虑.
=
5co s! =
5&
4 5
=
4.
故所求点 P 为 ( 6, 4). 四、求角的最值
例 5 己知椭圆 x2 16
+ y2 = 1和圆 x2 + y2 =
16, 点 A 是 圆在第一象
限上的点, 过 A 作 AM 垂 直 x 轴于点 M, 交椭圆
于点 B, 求 ∋ AOB 的最
大值.
解: 如图 3, 根据题意, 设 A、B 两点的坐标
+ 2y = 4cos2 + 2b sin = - 4sin2 + 2bsin + 4
= - 4( sin
-
b 4
)
2
+
b2 4
+
4.
当 0 < b < 4, sin = b 时, x2 + 2y 有最大 4
值 b2 4
+
4;
当 b ∃ 4, sin = 1时, x 2 + 2y 有最大值 2b,
|m in
-
4 3
2
=
4 32.
例4
在椭
圆
x2 1 00
+
y2 25
=
1上求一点 P, 使
数理化学习 ( 高中版 )
它到已知直线 l: 3x + 8y + 72 = 0的距离 d为最
大值. 解: 依题意可设 P ( 10cos , 5sin ), 由点到
直线距离公式, 知 d = | 30cos + 40sin + 72 | 73
由 e=
1 2
,
知
a
=
2c. 由题设知, 椭圆中心
的横坐标为 x0 =
a2 = c
2a.
因为椭圆经过定点 M ( 1, 2), 所以 1 = 2a +
a cos , 所以 a
=
2
+
1 cos
,
当 cos = - 1时, 2a有最大值 2, 当 co s =
1时, 2a 有最小值 23.
八、求离心率的最值
9 PQ | 的最小值.
解: 依题意可设 P ( 5cos , 4sin ), 则
| PM | = ( 5cos - 1) 2 + ( 4sin ) 2
=
9( co s -
5 9
)
2
+
1298.
所以当 cos =
5 9
时,
| PM
| min =
8 3
2.
如 图 2,
| PQ |m in = | PM
湖北省孝感市航天中学 ( 432000)
# 耿凤华
用椭圆的参数方程求最值
我们知道, 椭圆的参数方程与三角函数有
密切的联系. 在求与椭圆有关的最值问题时, 利
用椭圆的参数方程, 借助正余弦函数的有界性,
能使问题简便快捷获解.
一、求多元函数的最值
例 1 ( 2005重庆卷 ) 若动点 (x, y ) 在曲
分别为 ( 4cos , 4sin ), ( 4cos , sin ),
( 0,
2 ).
令 ∋ BOM =
, 则 tan
=
1 4
tan
,
所 以 tan∋AOB = tan( - ) =
tan - tan 1 + tan tan
=
3
tan
+
4 tan
(
34 .
当且仅当 tan
=
4 tan
,
即
= arctan2时等
( C) 充要条件
( D ) 既不充分也不必要条件
错解: 选 ( D) .
点评: ! 在 ABC 中 ∀ 这个条件隐含 0 < A
< , 0 < B < , 且 0 < A + B < , 结合图像
易知本题选 ( C ).
例 10 要使 a, a + 1, a + 2为钝角三角形
的三边, 求 a 的取值范围.
数理化学习 ( 高中版 )
易得原函数周期应为 . 七、主值区间隐含 例 8 求 a rcsin( sin5) 的值. 错解: arcsin( sin5) = 5
点评: 反正弦函数的主值区间为 [ - 2,
2 ] , 5 [ - 2, 2 ], 上解显然错误. 事实上, 令
= arcsin( sin5) , 则 sin = sin5且 [ - 2,
一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角 (或二角一边或三边 ), 求其它三个元素问题, 进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线 ) 及周长等基本问题.
% 20%
故选 (A ). 二、求面积的最值
例2
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1与 x 轴、y 轴的正半
轴分别交于点 A、B, 在第一象限内的椭圆上找
一点 C, 使四边形 OACB 的面积最大, 最大面积
是多少? 解: 如图 1, 连结 OC, 依题意可设 C ( a cos ,
b sin ),
则 S四边形OACB = S OAC + S OBC
所以 am in = 3 5, 所以 em ax =
的方
程
x2 45
+
y2 36
=
1.
55, 此时椭圆
山东省莱芜凤城高级中学 ( 271105)
#周 艳
正、余弦定理的五大命题热点
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判 定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已 知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的 关系. 在近年高考中主要有以下五大命题热点:
= | 50sin( + !) + 72 |. 73
其中 tan!=
34, sin! =
3 5
,
co s!=
45.
故当
=
2 - !时, dm ax =
122 . 73
此时 x = 10cos = 10co s( 2 - !) =
10 s in! =
10 &
来自百度文库
3 5
=
6,
y
=
5 s in
= 5sin( 2 - !)
2 ] , 又 sin = sin( 5- 2 ) 且 5- 2 [ - 2,
2 ] , 故 = 5 - 2 , 即 a rcsin( sin) 5 = 5 - 2 . 忽视反正弦函数隐含的主值区间是本题出错的 根本原因.
八、三角形性质隐含 例 9 在 ABC中, ! sinA > sinB ∀是 ! A > B∀的( ) ( A ) 充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
2 5
(
k(
1.
故 km in = - 25, kmax = 1.
七、求长轴的最值
例 8 求经过定点 M ( 1, 2) 且以 y 轴为准
线、离心率为
1 2
的椭圆的长轴的最大值与最小
值.
解: 根 据 题 意, 设 椭 圆 的 参 数 方 程 为
x = x0 + a co s ( a > b > 0). y = y0 + b sin
线
x2 4
+
y2 b2
=
1 (b >
0) 上变化, 则 x2 +
2y 的最
大值为 ( )
b2 + 4( 0 < b < 4) (A) 4
2b ( b ∃ 4)
% 18%
( B)
b2 4
+
4
(0<
b<
2)
2b ( b ∃ 2)
( C)
b2 4
+
4
( D ) 2b
解: 依题意可设 x = 2cos , y = b sin , 则 x2
=
1 2
ab
(
s
in
+
co s
)
= 22ab sin( + 4 ).
当 = 4 时, S四边形OACB 有最大面积 22ab, 此
时 C 点坐标为 ( 22a, 22b ).
三、求距离的最值 例 3 已知 P 在椭圆 x 2 + y2 = 1上移动,
25 16 Q 在圆 M: ( x - 1) 2 + y2 = 32上移动, 求距离 |