第九讲菲涅尔衍射夫琅和费衍射
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第九讲 菲涅尔衍射 夫琅和费衍射
衍射惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量
理论
• 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳 引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定 理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标 量衍射公式
• 衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为的复振幅能否用光 场中其它各点的复振幅表示出来
• 显然，这是一个根据边界条件求解波动方程的问题。 • 惠更斯—菲涅尔提出的子波干涉原理与基尔霍夫求解波动方程所 得的结果十分一致，都可以表示成类似的衍射公式
点光源照明平面屏幕的衍射
• 衍射公式
• 倾斜因子
e jkr U P C U P K ds r
cosn,r cos n,r ' K
1 2 2 z k ( x0 y0 ) 2
这就是夫琅和费衍射公式。在夫琅和费近似条件下，观察面上的场 分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的 乘积 对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场 的傅里叶变换并没有区别
矩孔,单缝,和圆孔的夫琅和 费衍射图样
夫琅和费衍射举例
平面波角谱衍射理论的基本公式
• 作傅里叶反变换有
U ( x, y, z) A ( f x , f y ,) exp( j
z f x f y ) exp[ j ( f x x f y y)]df x df y
• 代入在衍射平面上的角谱的表达式得到
夫琅和费衍射 : 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条 件，即取 则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是
U ( x, y , z ) exp( jkz) k exp[ j ( x 2 y 2 )] jz 2z 2 U ( x , y , 0 ) exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 0 0 z
菲涅耳衍射成立的条件
菲涅耳衍射成立的条件为 因而
2 2z 1 2 2 f x 2 f y2 1 8
2z 1 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 1 2 2 8 z z
2
2 2 所以观察距离满足 z 3 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( L2 0 L1 ) max 4 4
• 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 1 2 2 2 2 2 2 1 f x f y 1 ( f x f y2 ) 2 • 这样四重积分式变为 。
U ( x, y, z ) exp( jkz)
U ( x , y ,) exp[ jz ( f x f y )]
其中孔径的最大尺寸和观察区的最大区域分别为
2 2 L0 ( x0 y0 ) max
这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似 ，此时传递函数可表示为
L1 ( x 2 y 2 ) max
H ( f x , f y ) exp(jkz) exp[ jz( f x2 f y2 )]
夫琅和费衍射与傅里叶变换
• 该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射 公式完全一样，更常用的菲涅耳衍射公式如下
exp( jkz) k U ( x, y) exp[ j ( x y ) U ( x , y ) jz z exp[ j k ( x y )]exp[ j ( xx yy )]dx dy z z
dx dy
0
0
平面波角谱的衍射理论
• 本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
• 前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U ( x, y,) 可通过傅里叶变换得到其角谱
A( f x , f y ,0) U ( x, y,0) exp[ j 2 ( xf x yf y )]dxdy
U ( x, y, z ) U ( x , y ,) exp( j
z
f x f y )
exp{j [ f x ( x x ) f y ( y y )]}df x df y dx dy
• 上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽 管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按 照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做 个直观的说明
• 复常数 C
j
菲涅尔衍射计算公式
• 衍射公式可以适用于更普遍的任意单色光照明的情况，这是因为 任意复杂的光波都可以分解为简单球面波的线性组合，把它们的 贡献叠加起来 • 根据基尔霍夫对平面屏幕假定的边界条件，孔径以外阴影区内， 因此积分限可以扩展到无穷
jkr U P U P K e ds jr
exp{j [ f x ( x x ) f y ( y y )]}df x df y dx dy
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（2）
• 利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有
• 因而
exp j z f f exp j f x x f y y df x df y x y
exp j x y jz z
exp( jkz) U ( x, y, z) U ( x , y , ) exp{ j [( x x ) ( y y ) ]}dx dy jz z
按传播距离划分衍射区
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1）
z x y max max
• 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只 对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
及
Байду номын сангаас
z x max y max
• 因而
x x0 y y0 f x cos 1, f y cos 1 z z
• 在傍轴近似下，并利用二项式近似
K θ
r z x x y y
x x y y z z z
• 上述近似均代入得到菲涅尔衍射计算公式
1 k x x0 2 y y0 2 U x, y exp jkz U 0 x0 , y0 exp j jz 2z
• 其后，可以求出它传播到平面 z z 上的角谱 cos cos cos cos A( , , z ) A( , ,) exp jkz cos cos
• 最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 U ( x, y,) 表示的 衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式
• 1 矩孔与单缝衍射 • 2 双缝衍射 • 3 圆孔衍射
衍射惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量
理论
• 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳 引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定 理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标 量衍射公式
• 衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为的复振幅能否用光 场中其它各点的复振幅表示出来
• 显然，这是一个根据边界条件求解波动方程的问题。 • 惠更斯—菲涅尔提出的子波干涉原理与基尔霍夫求解波动方程所 得的结果十分一致，都可以表示成类似的衍射公式
点光源照明平面屏幕的衍射
• 衍射公式
• 倾斜因子
e jkr U P C U P K ds r
cosn,r cos n,r ' K
1 2 2 z k ( x0 y0 ) 2
这就是夫琅和费衍射公式。在夫琅和费近似条件下，观察面上的场 分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的 乘积 对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场 的傅里叶变换并没有区别
矩孔,单缝,和圆孔的夫琅和 费衍射图样
夫琅和费衍射举例
平面波角谱衍射理论的基本公式
• 作傅里叶反变换有
U ( x, y, z) A ( f x , f y ,) exp( j
z f x f y ) exp[ j ( f x x f y y)]df x df y
• 代入在衍射平面上的角谱的表达式得到
夫琅和费衍射 : 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条 件，即取 则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是
U ( x, y , z ) exp( jkz) k exp[ j ( x 2 y 2 )] jz 2z 2 U ( x , y , 0 ) exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 0 0 z
菲涅耳衍射成立的条件
菲涅耳衍射成立的条件为 因而
2 2z 1 2 2 f x 2 f y2 1 8
2z 1 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 1 2 2 8 z z
2
2 2 所以观察距离满足 z 3 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( L2 0 L1 ) max 4 4
• 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 1 2 2 2 2 2 2 1 f x f y 1 ( f x f y2 ) 2 • 这样四重积分式变为 。
U ( x, y, z ) exp( jkz)
U ( x , y ,) exp[ jz ( f x f y )]
其中孔径的最大尺寸和观察区的最大区域分别为
2 2 L0 ( x0 y0 ) max
这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似 ，此时传递函数可表示为
L1 ( x 2 y 2 ) max
H ( f x , f y ) exp(jkz) exp[ jz( f x2 f y2 )]
夫琅和费衍射与傅里叶变换
• 该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射 公式完全一样，更常用的菲涅耳衍射公式如下
exp( jkz) k U ( x, y) exp[ j ( x y ) U ( x , y ) jz z exp[ j k ( x y )]exp[ j ( xx yy )]dx dy z z
dx dy
0
0
平面波角谱的衍射理论
• 本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
• 前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U ( x, y,) 可通过傅里叶变换得到其角谱
A( f x , f y ,0) U ( x, y,0) exp[ j 2 ( xf x yf y )]dxdy
U ( x, y, z ) U ( x , y ,) exp( j
z
f x f y )
exp{j [ f x ( x x ) f y ( y y )]}df x df y dx dy
• 上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽 管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按 照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做 个直观的说明
• 复常数 C
j
菲涅尔衍射计算公式
• 衍射公式可以适用于更普遍的任意单色光照明的情况，这是因为 任意复杂的光波都可以分解为简单球面波的线性组合，把它们的 贡献叠加起来 • 根据基尔霍夫对平面屏幕假定的边界条件，孔径以外阴影区内， 因此积分限可以扩展到无穷
jkr U P U P K e ds jr
exp{j [ f x ( x x ) f y ( y y )]}df x df y dx dy
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（2）
• 利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有
• 因而
exp j z f f exp j f x x f y y df x df y x y
exp j x y jz z
exp( jkz) U ( x, y, z) U ( x , y , ) exp{ j [( x x ) ( y y ) ]}dx dy jz z
按传播距离划分衍射区
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1）
z x y max max
• 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只 对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
及
Байду номын сангаас
z x max y max
• 因而
x x0 y y0 f x cos 1, f y cos 1 z z
• 在傍轴近似下，并利用二项式近似
K θ
r z x x y y
x x y y z z z
• 上述近似均代入得到菲涅尔衍射计算公式
1 k x x0 2 y y0 2 U x, y exp jkz U 0 x0 , y0 exp j jz 2z
• 其后，可以求出它传播到平面 z z 上的角谱 cos cos cos cos A( , , z ) A( , ,) exp jkz cos cos
• 最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 U ( x, y,) 表示的 衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式
• 1 矩孔与单缝衍射 • 2 双缝衍射 • 3 圆孔衍射