柯西不等式及证明

柯西不等式

一.【二维形式】

22222)())((bd ac d c b a +≥++

等号成立条件：当且仅当bc ad =（即d

b

c a =）时，取“=”。 扩展：

233221122322212232221)())((n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++

等号成立条件：当且仅当11a b μ=，，， 22a b μ=n n a b μ=时取等号。 二．其他形式

①向量形式：||||||b a b a ⋅≥⋅，),(21a a a =，),(21b b b =。

证明：2222212221222112||||))(()()(b a b b a a b a b a b a =++≤+=⋅

推广：||||||b a b a ⋅≥⋅，),,,(21n a a a a =，),,,(21n b b b b =。

②三角形式：222222)()(d b c a d c b a +++≥++

+

等号成立条件：当且仅当bc ad =（即

d

b

c a =）时，取“=” 扩展形式：

∑∑∑===≥n

i n

i n

i i i i

i b a b

a 1

1

21

22)(

等号成立条件：

n

n b a b a b a === 22

11或i a 、i b （n i ,,3,2,1 =）中有一个为零。 上述不等式等同于概述图中的不等式。

推广形式：n n

n

i i n

n

i i

n n y x y x y x y x ])()

[(

)())((11

1

1

2211 ++≥++++++∏∏==

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在n m ⨯矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。

③概率论形式：|)(|)()(2

2XY E Y E X E ≥

④积分形式：()⎰⎰⎰≤dx x g dx x f

dx x g x f )()()()(22

2

⑤一般形式：

设V 是一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记做),(βα ，它具有以下性质：

1、),(),(αββα=

2、),(),(βαβαk k =

3、),(),(),(γαβαγβα+=+

4、0),(≥αα，0),(=αα 当且仅当0=α 并定义α的长度ααα,||= ，则柯西不等式表述为：|||||),(|βαβα≤

三．证明

①二维形式的证明：

))((2222d c b a ++

22222222c b d a d b c a ⨯+⨯+⨯+⨯=

222)()()(bd ac bc ad bd ac +≥-++=)(R d c b a ∈、、、

等号在且仅在0=-bc ad 即bc ad =时成立。 ②三角形式的证明：

222222)()(d b c a d c b a +++≥+++

证明：

22222)(d c b a +++

222222222d c b a d c b a +⨯+++++= ||22222bd ac d c b a +++++≥ )(22222bd ac d c b a +++++≥

222222d bd b c ac a +++++=

22)()(d b c a +++=

两边开平方得

222222)()(d b c a d c b a +++≥+++

③一般形式的证明：

剩余几种情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的证明方法来证。

R t ∈∀，0),(≥++βαβαt t

∴R t ∈∀，0),(),(2),(2≥++βββαααt t ∴0),)(,(4),(42≤-=ββααβα∆ ∴),)(,(),(2ββααβα≤

四．应用：

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视，技巧以拆常数，凑常值为多 巧拆常数证不等式

例：设c b a 、、为正数且互不相等，求证：c

b a a

c c b b a ++>+++++9

222 。 证明：如果了解柯西不等式，那么很简单 ∵9]1

11[

)(>+++++⨯+++++a

c c b b a a c c b b a ∴

c

b a a

c c b b a ++>+++++9

222。 附证：设b a x +=2，c b y +=2，a c z +=2。

则所证不等式等价于

z

y x z y x ++>

++9

111 ∵93233))(111(

=⨯+>++++++=++++y

z

z y x z z x x y y x z y x z y x ∴上式显然成立。 求某些函数最值

例：求函数x x y -+-=9453的最大值。 解：函数的定义域为]9,5[，0>y ， 则1025)9()5(4394532222=⨯=-+-⨯+≤

-+-=x x x x y 。

函数仅在5493-=-x x ，即25

161

=x 时取到等号。 以上只是柯西不等式的部分示例。