简述费马大定理

简述费马大定理

——一个困惑了世界智者358年的谜

数学与计算机科学学院数学与应用数学专业

105012007160 田国平

【摘要】简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.

【关键词】初等数论；费马猜想；费马大定理；启示

初等数论是研究整数性质的数学分支,同其它数学学科相比,它的历史古老且悠久,历史上许多最优秀的数学家都研究过数论,有数学王子之称的德国数学家高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”.十七至十八世纪,数论的研究基本上仍然是凭借数学家的才智与技巧独立地解决问题,但是其成果的丰富、内容的深刻、问题的难度、技术的高超,却是难以想象的.一个题意明确、表达简单的问题,证明起来却有着意想不到的困难,仿佛唾手可得,却毕生求索,终归茫然,由此产生出一批号称“世界难题”的猜想,其数量之多是任何其他数学分支所不能比拟的.这一时期对数论贡献最大的,先是费马,然后是欧拉,他在数论方面,堪称为丢番图后第一人.现简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾分析费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.

1．费马及其猜想

费马(Pierre Fennat,1601-1665)是法国数学家,生于法国南部图卢兹附近的波蒙地区.上大学时学的是法律,毕业后以律师为业,从30岁开始迷恋数学,他谦逊文雅,敏于思而慎于言,他发表的成果极少,然而贡献极大,在微积分、解析几何、概率论和数论等领域都有丰富的原始创新,因此他被誉为“业余数学家之王”.费马发表的多数成果在手稿、通信或页边空白处,许多重要思想和成果只写结论,很少写出证明,他的结论后来全靠瑞士数学家欧拉给出证明,其结果好像是费马编了一本高水平的习题集,欧拉则是解题者.由于费马有“研而不作”的习惯,因此,费马去世后,1670年由他的儿子萨缪尔·费马将其遗作整理汇集成书出版.费马在数论中的重要贡献是证明并提出了许多命题.1640年,费马建立了所谓“费马小定理”：“若p 为素数,则(m od )p a p ≡,其中a 为任意整数.”1736

年,欧拉给出了费马小定理的证明.同年,费马还提出形如“21k

+的费马数”问题.费马发现形如“221()n n F n N =+∈”的 03F =,15F =,217F =,3257F =,465537F =数皆

为素数,据此他猜想“22

1()n n N +∈形的费马数皆为素数”.但1732年,欧拉给出了反例525216416700417F =+=⨯是合数!从而推翻了费马猜想.到目前为此,数学家

们只发现了前5个费马素数,反而证明了50个费马合数,因此人们提出了反费马猜想“当5n ≥时n F 均为合数”.

费马提出的最著名猜想是费马大定理.在公元三、四世纪之间,古希腊著名代数学家丢番图在他的著作《算术》中有一个不定方程“222x y z +=的整数解问题”,费马对这个不定方程很感兴趣,并在它的启发下提出了如下猜想.1637年前后,费马在丢番图的《算术》(译本)第二卷关于毕达哥拉斯三元组的页边空白处写下了一段结论：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者更一般地说,不可能将一个高

于2次的幂写成两个同次幂之和.”接着他又俏皮地写下了一个附加的评注：“我对此命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下.”这就是说费马认为他证明了下面的结论：“当3n ≥时,不定方程 (2)n n n x y z n +=>没有正整数解”.上述的评注是在费马死后五年的1670年发表的.事实上人们遍寻费马的手迹,并没有发现这一“美妙的证明”,而只看到他对于4n =的证明,费马对这一证明颇为得意,自命为“无穷递降法”,或许费马认为用这种方法可以证明任意3n ≥的情形.但事实远不是如此简单,可能费马也未必想到,他的这一猜想竟然成为“引无数英雄竞折腰”的世界难题.后来很多数学家努力寻求这一问题的证明,以至于除了它以外,费尔马提出的所有猜想早已得到解决,所以,此猜想被证明后人们称它为费马大定理.这个困扰世间智者358年的谜团,终于在1994年,由一个英国出生,在普林斯顿大学数学系工作的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)所证明.

2．费尔马大定理获证始末

从费马时代起,人们就不断地试证费马猜想.巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,奖励证明费马猜想的人.布鲁赛尔科学院也悬赏重金,但都无结果.数学家首先对费马猜想进行如下分析：“如果费马猜想对于某一个自然数n 成立,那么对

n 的任何正整数倍数()m n m N ∈也成立”.事实上,假设(2)(1n n n x y z n +=> 无正整数解,将(2)mn mn mn x y z += 改写为：()()()n n n m m m x y z +=,如果(2)有正整数解x ,y ,z ,那么m x ,m y ,m z 就是(1)的一个正整数解,这与(1)无正整数解矛盾.又由于任何一个大于2的整数,如果不能被4整除,它就一定能被某一奇素数整除.因此,只要证明4n =及n 是任一奇素数时结论成立,费马猜想就获证.这就为后来的证明指出了方向.1770年,欧拉证明3n =了时费马大定理成立.1823年勒让德证明了5n =成立；1825年狄利克雷也证明了5n =成立；1831

年靠自学成才的法国妇女索菲娅在假定x,y,z与n互质的前提下,证明了对小

于100的奇素数费马大定理成立；1832年狄利克雷证明了14

n=成立.1839年拉

梅证明了7

n=成立；1849年,德国数学家库默尔取消了索菲娅关于x,y,z与n 互质的限制,将n的上限推进到100；1987年美国罗瑟教授将n的上限推进到41 000 000.

为了研究的方便,数学家们对费马大定理作了相应的简化：“对于素数p,当p不能整除x,y,z之积时,不定方程(2)

p p p

+=>无正整数解”,称此为费

x y z p

马大定理的第一种情形,这种情形的证明相对容易一些.法国数学家热尔曼和

勒让德先后证明了对于所有素数100

p<,费马大定理的第一种情形成立.1847年至1851年,受费马问题的启发,库默尔引进了一种“理想数”,并发现了把分圆域的理想数分解为理想质数的惟一分解定理,这个定理今天已被推广到任一代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位.库默尔把素数分为正规素数和非正规素数,首先证明了对于正规素数,费马大定理成立.库默尔验证了100以内的奇素数除37、59、67是非正规素数外,其余全为正规素数.1857年库默尔证明

了59,67

p=费马大定理成立；1892年米里曼诺夫证明了37

p=费马大定理成立.电子计算机发明并广泛应用后,对非正规素数的证明取得了新进展.1978年至1992年,证明了610以内的非正规素数费马大定理成立.1948年至1985年证明了存在无穷多个素数p使第一种情形成立.数学先驱者对费马大定理的证明得到了许多成果,促进了某些数学分支的发展,但是离定理的最终证明还相差很远.于是,一种思维方向是把问题具体化,寻找定理不成立的反例.经过验证发现

9

⨯以内的所有素数,费马大定理第一种情形都成立,80年代指数n的上限已310

推进至1800000

10,但是这个时期证明方法没有实质上的新思想,费马大定理的研

究没有本质的进展,人们对完全解决费马大定理看不出任何希望.“山重水复