数学建模入门试题极其答案修订稿

数学建模入门试题极其

答案

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1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否

走得越快，淋雨量越少呢？

2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出

书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？

3.

4.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00

从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？

5.

6.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？

7.

8.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗

一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？9.

10.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先

到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。

用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？

11.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在

两人他们认识的人一样多。

12. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10厘米高的水（如右图），其下端小

孔的

面积为平方厘米，求这些水流完需要多少时间？

13. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡，计

算这种情

下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？

14. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很

长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

1．解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b ，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿x 周方向走，v>0,而设语雨速为

（x,y,z ）,行走距离为L ，则淋雨量Q 的表达式为：

Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v

记q=a|x|+b|z|,则

L(

1q -+v x ),v≤x Q(v)=

L(v x

-q +1),v>x

2.

的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x(t)的函数，则它应满足（时间t

其中0。

X(t) =70[1-e t10 ]

由于当t ∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。

3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f（t）,

即t时刻走的距离为f（t）;同样设从B点到A点的路程为函数g（t）。由题意有f(8)=0,f(18)=|AB|，g（8）=|AB|，g（18）=0；

令h（t）= f（t）--g（t），则有h(8)= f(8) -- g（8）=-- |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= |AB|>0 又注意f（t），g（t）都是时刻t的连续函数，因此h（t）也是时刻t的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使h（t。）=0，即f（t。）=g （t。）

所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解：设I为平面上任一封闭曲线，p为平面上一点（不妨设p在I内），则存在已过点p的直线，将I所围的面积二等

分，如下图

设l为过点p的一条直线，若S1= S1，则得证，否则设S1 >S2,l与x轴夹角为a，让l逆时针绕p旋转S2 ，S2，则S1，S2随a的变化连续的变化，记其面积为S1a），S2（a）,则记S1（a）= S1, S2（a）= S2,

f(a+∏)<0,且f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，∏）存在ā使f（ā）=0，a=ā对应的直线即为所求。

5．解：哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。6．解：设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点，显然0≤x≦60,0≦y≦60，若两人相遇则有|x-y|≦10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为A={（x，y）|≤x≦60,0≦y≦60}

它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为

G={（x，y）, |x-y|≦10}

其图形见上图阴影部分，Sa，Sg分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈

7. 证明：设第i个人认识的人为s（i），则s（i）∈……N-1}

设没有两个人认识的人一样多，则s（1），s（2），……互不相等，则s （i）取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值，即至少存在某两个人k1，k2使s（k1）=N-1，s（k2）=0，而对第ki个人，由于（ki）=N-I，故他必然认识第k2人，故s（k）至少为1，与s（k2）=0矛盾，得证。

8．解：由水力学定律可知Q=dv/dt=gh

2，其中为流量系数S为空口横截面，g为重力加速度，h为从从空口到水面的高度，故有dv=gh

2，

另一方面，在△t时间内，水面由h降至h+dh（dh<0）,则仅有

dv=-∏r*r*dh=-∏/3*h*h*dh, 所以有gh

2=-∏/3*h*h*dh，再由h(0)=10,

联立求得其解为