第3章 动量与角动量

r P
∑ r
Fi +
i≠ j
r f ij
=
dpr i dt
对所有质点求和：
∑ ∑ N r ∑ ∑ ∑ Fi +
i =1
N i =1
i≠ j
r f ij
=
N dpri
i =1
dt
N
d
pr i
= i=1
dt
内力的作用 可以改变系 统的总动能,
r Fr F
=
r dP
0
dt
rr
r
dI = Fdt = dP
但却不能改 系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量
11
3.3 火箭飞行原理
vr
u
vr + dvr
中国航天
中国航天
M
dm M − dm
(t)
(t + dt)时刻
ur：dm相对火箭体喷射速度
火箭飞行过程内力>>外力（引力和空气阻 力），火箭不受外力的作用，系统动量守恒
dm (v − u ) + (M − dm )(v + dv ) = Mv
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注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
例1 任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
xc
=
mx1 + mx 2 3m
=
x1 + x2 3
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例1 一船浮于静水中，船长 5 米，质量为 m。一 个质量亦为 m 的人从船尾走到船头，不计水和空 气的阻力，则在此过程中船将（A）不动（B）后 退5米（C）后退2.5米（D）后退5/3米。
解：系统（人、船）质心保持静止。以岸为参照系，
第3章 动量与角动量
3.1 冲量与动量定理 3.2 动量守恒定律 3.3 火箭飞行原理 3.4 质心 3.5 质心运动定理
3.6 质点的角动量和角 动量定理 3.7 角动量守恒定律 3.8 质点系的角动量 定理 3.9 质心参考系中的 角动量*
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1
重令写牛d顿I 第=二Fr定d3t律.1的称冲微为分量dt形时与式间动内量的F冲r定d量t理–= 力d p的r 时间积累量
( ) d m = ρdV =ρπ R2 −y2 dy
O
dy Rx
∫ y c
=
∫
ydm m
=
R yρπ(R2 − y2)d y
0
ρ2πR3 / 3
∫ ( ) =
R R2 − y2 d y2
0
=
4R3 / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
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3.5 质心运动定理
xc
=
m1 ⋅ 0 + m2 x2 m1 + m2
=
m2 m1 + m2
x2
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例3 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设
薄板每单位面积的质量为 σ 则此面积元的质量
o
大小：
r M
=
rr
×
r F
=
rr
r F
sinθ = ON ⋅ F
——力臂乘以力
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26
3.6 质点的角动量和角动量定理
2. 质点(对固定点)的角动量
质点角动量（对O点） Lv m α r
r L
=
rr
×
pr
L单位： kg⋅m2/s 或 J⋅s
L = mvr sinα
o
x2
x
yc
=
my1 3m
=
y1 3
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例2 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼 此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？
m2
m1 C
O x20
x10 x
解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外
力，此方向的动量守恒，即质心静止。
f'
特点质：点成系对的出内现力；之大和小为相零等方向相∑反fri = 0 i
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
f
r 质点系 F
rr 约定：系统内任一质点受力之和写成 Fi + fi
∑ ∑ r r
r
(Fi + fi ) = Fi
i
i
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7
一、质点系的动量定理
共有N个质点，外力作用F，内力（即质点之间的 相互作用）f，则第i个质点的运动方程有
t f − ti
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2
Iv
=
∫tf
r F
d
t
ti
=
pr f
− pr i
说明
(1) 冲量的方向：
冲 元量 冲量Ir 的Fr方d向t 的一合般矢不量是某∫t一t12Fr瞬dt时的力方Fri向的。方向，而是所有
(2) 在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
Ix
=
∫ F t 2
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24
例3 直九型直升机的每片旋翼长5.97m。若按宽度一定 厚度均匀的薄片计算，当旋翼以400r/min的转速旋转 时，其根部受的拉力为其重力的几倍？
解： 由质心运动定理
Fn
= =
macn = m 5.97
mrcω 2 = m (2π 400)2
l 2
(2π
n)2
2
60
Fn / mg =
∫ 对于有
限时间：
pv f pr i
dpr
于是有
=
Ir∫tti=f Frprdft
令
− pri
r I
=
∫tf ti
r F (t )dt
这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受
到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。
平均冲力
r F
=
∫tf
ti
r F (t)dt
pv f − pvi = Fv (t f − ti )
5.97 (2π 2× 9.8
400 )2 60
= 534
F=534mg
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3.6 质点的角动量和角动量定理
一. 质点的角动量 Cθ r
1.
力矩:
r M
=
rr
×
r F
N
o′•
rv′rrθ
×
r M
F
方向： 用右手螺旋法则确定
即：则右手拇指四指指从的就rr方是向Mr绕的向方F向r
dm = 2xσ dx
y a
三角形质心坐标xc是
O
x
∫ ∫ xc =
xdm a/ 2 2σ x2dx
=0
=
2a
m
σ 1 a2
3
x dx
2
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例4 确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标
y
已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
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对连续物体，质心位置可用积分求得：
rvc
=
∫ rvdm ∫ dm
=
∫
rvdm m
分量式为：
xc
=
∫ xdm ∫ dm
yc
=
∫ ydm ∫ dm
zc
=
∫ zdm ∫ dm
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线分布 面分布 体分布
dm =λdl dm=σ dS dm = ρ dV
球对地面的平均冲力为： Δt
x
Fv ′ = − 2m
2 gh
r j
=
−3.8 ×102
rj
（N）
Δt
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例2
逆风行舟动量分析
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6
6
3.2 动量守恒定律
** 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统(研究对象)称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
开始时：
m
m人 x人 + m船 x船 = 2mxc
c
mm
m × ( −1.25 ) + m ×1.25 = 0
mc
x
运动过程质心位置不变：
m人 x人′ + m船 x船′ = 2mxc = 0
o
x人′ + x船′ = 0
x人′ = − x船′ = 1.25m
选（C） x人′ − x船′ = 2.5
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mg = λLg
dP = [λ(L − l − dl)(v + dv)] − λ(L − l)v
∴ N = 3λ lg
= λ(L − l )dv − λvdl − λdvdl ≈ λ(L − l)dv − λvdl
= λ( L − 2011-2-26 l )dv − λv ⋅ v / gFd. Yv. M==EλNλG((LLL−−3l3l))ldg)vdtv− 2λldv
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12
− dm = dM
Mv = dm(v − u) + (M + dM)(v + dv)
= −dM(v − u) + (M + dM)(v + dv)
dv
=
−u
dM M
,
vf
Mf
∫ ∫ dv
vi
=
−u
Mi
dM M
vf
− vi
=
u
ln
Mi Mf
火箭体对喷射的气体的推力：
(M- dm)[(v + dν ) − v] = Mdν = −udM = −u dm
+xxvv人车xv车=地−
xv人
=
v Li
+
xv车
Livxv+车xv车
xv车
=
−
m
m +M
Liv
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10
例4 手提一匀质柔软链条的上端，使其 下端刚与桌面接触，松手使链自由下落， l
试证明下落过程中，桌面所受压力等于
已解：落将在链桌条面视上为链质重点的系3倍统。各点均作自由落体L-l
L
以铅直向下为正方向：任意时刻，dt 内
dP = Fdt = (mg − N )dt≈ λ(L − 3l )gdt v2 = 2gl
设：链条质量密度λ ，t 时刻空中链条的下落速度 v = gt
dt 时间内链条落下dl ,速度增加dv : vdv = gdl
任意t 时刻，dt 时间内系统动量变化量：
质心加速度
arc
=
drvc dt2
则
Marc
=
r F
质心运 动定理
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r F
=
Marc
=
r dP dt
=
M
dυrc dt
(1)Leabharlann Baidu质心运动可看成是把质量和力都集中在质心的
一个质点的运动
(2)
r F =0
质心保持静止或匀速直线运动
对于质心的运动来说，系统的内力永远不起作用。
1. 合外力为零，或者外力与内力相比小很多（碰撞、 爆炸、子弹入射等） 2. 合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒
3. 动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系
4. 与质点系统的选择有关
比牛顿定律更普遍的最基本的定律
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例3
xC总 = 0
m M
=−
xv人地
=vvvv人 车xv人=车−
到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s，
求：篮球对地平均冲力？
∫ v
F
=
1
t2
v Fdt
=
mvv2
t2 − t1 t1 解：篮球到达地面的速度
篮球刚离开地面的速度
vvrrt122
− mvv1 − t1
yr
= − 2ghrj
= 2 gh j
地面对球的平均冲力为：
Fv = 2m
2 gh r j
变系统的总 动量!
∫t2 t1
r F外
dt
=
v P2
−
v P1
系统动量定理
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∫ 对于质点二系、，动若量∑守Fv恒i =定0 律质点t系t12Fr所外受dt合=外Pv2力−为Pv1零，
∑ 则
r P
=
N
pri = const .
总动量不随时间改变
i =1
动量守恒条件
若各质量点质量不变，应有
∑∑ rrc =
m i rri m
i
∑ ∑ r
dP
∑ dt
=
N
d
pri
i =1
dt
=
N i =1
mi dvri dt
=
N mid 2rri
i =1
dt 2
∑ ∑ d 2 N mirri i =1 dt2
d2 =M
N mirri
i =1
M dt2
=
M
d 2rrc dt2
=
v F
t1
x
d
t
=
mv
2x
−
mv 1 x
Iy
=
∫ F t 2 t1
y
d
t
=
mv
2y
−
mv
1y
Iz
=
∫ F t 2
t1
z
d
t
=
mv
2z
−
mv
1z
比牛顿定律更普遍的最基本的定律
(3) 动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
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3
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4
例1：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，
角动量方向
—— 动量臂乘以动量
注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的
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角动量的几何含义：
L = mvr sin α = m lim
1
Δrr
Δt →0
r sinα
= 2m lim 2
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23
例2 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量 M，纸被拉动时与球的摩擦力为F，求t 秒后球相对桌面 移动多少距离？
y o
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r F
x
解：把球体看作一个系统，它
在水平方F向r 上=只M受ar到c一个外力
ac
=
F M
xc
=
1 2
F M
t2
答：沿拉动纸的方向移动 1 F t 2 2M
dt
dt
即喷射的气体对火箭体的推力：
F
=
u
dm dt
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3.4 质 心
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi rc
ri
∑ ∑ rrc
=
N mi rri
i =1
N
∑mi
N mi rri = i=1
m
i =1
N
∑mi xi
xc
=
i =1
m
x
y
同理对 y 和 z 分量
质心位矢与坐标系的选择有关；但 质心相对于各质点的相对位置不变