江苏省南通市通州区2010届高三联考试卷数学理

合集下载

北京通州区2010届高三摸底考试数学(理)试卷及答案

通州区高三年级摸底考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共10页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将I 卷答题卡和Ⅱ卷答题纸一并交回．第I 卷(选择题共40分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的标号填涂在答题卡相应的位置上1．已知命题:,cos 1p x R x ∀∈≤，则A ．:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1p x R x ⌝∃∈>D ．:,cos 1p x R x ⌝∀∈> 2．5(21)x -的展开式中3x 的系数是A ．10B ．80C ．10D ．-803．若复数312a i i ++（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为A ．6B ．-6C ．32D ．32- 4．给出右面的程序框图，那么输出的数是A ．2450B ．2550C ．5050D ．49005．等差数列{}n a 中，11a =，5998a a +=，n S 为其前n 项和，则9S 等于A ．291B ．294C ．297D ．3006．设变量x 、y 满足约束条件110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y +的最大值是A ．7B ．3C ．1D ．07．极坐标方程cos()4πρθ=-表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 8．将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，所得图像的函数解析式是A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =- 第II 卷（非选择题共110分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔在答题纸的相应位置上作答，在试卷上作答无效。

南通市2010届高三第三次模拟测试

南通市2010届高三第三次模拟测试讲评建议1．考查统计中总体分布的估计，容易题．考前要提醒学生注意回顾相关知识，不能造成考试中知识的盲点．2．考查充要条件及立几中直线与平面垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，容易题．讲评时可提醒学生解此类立几问题时要有构建模型举反例的意识．3．考查复数的概念及集合的运算，容易题．A B ≠∅I ，则A 中的复数必须为实数，所以m=-2；实部恰为8．提醒学生在解决复数问题时，主要手段为对实、虚部的实数化计算．4．考查几何概型，容易题．讲解时可将几何概型的常见问题作简单小结，要注意维度的分析，主要是一维测度和二维测度．5．考查分段函数及对数、三角函数，容易题．()3π14f =-，则()3π2(2)14f f f ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦．此题还可以加大难度，将题目中的()f x 改成2tan 0(2)log ()0x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩，≥，，，则()π2(2)24f f +-= 6．考查函数的性质及零点的概念，考查学生数形结合的数学思想，容易题．(0)()0f f a ⋅<且()y f x =在[]0a ，上是单调函数，则方程()0f x =在（0,a ）内有一实根7．考查算法中阅读流程图的能力，容易题．算法的考查形式不太多，要么阅读程序填结果、要么是分析结果补全程序，此类题目的讲解着重在对处理问题的逻辑顺序上给学生以启发．8．考查不等式的解法，中档题．可分类讨论0,0x x ><转化为解不等式组，也可移项通分转化为解高次不等式．9．考查三角函数的图像与性质及直线方程，考查学生的图形分析能力，中档题．先求出点(2,0),(3,1)A B ，再求得直线方程为20x y --=．10．考查双曲线的几何性质，中档题．法一：首先判断出点(5, 0)为右焦点，因为98a c +=>，所以点P 在双曲线右支上，再由双曲线定义得65164P x =-，解得8P x =．法二：设(,)P x y ，则22221,169(5)36,y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩解得88,(5x x ==-或舍去），所以P(8，±．现在考纲中对双曲线、抛物线的要求比较低，对圆锥曲线的定义及基本量的运算要重视，可适当补充关于椭圆、双曲线、抛物线的相关问题11．考查等差数列的相关内容，中档题．法一：分类讨论，0d >时，56560a a a a ->>⇒>；0d <时，56560a a a a >->⇒>；法二：55566611a a a a a a <-⇒>⇒⇒>．12．考查向量的数量积，中档题．讲评解决数量积问题的三种常用方法：法一：定义法，222cos 28CA AB AO AB AO AB OAC AO ⋅=-⋅=-⋅⋅∠=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ;法二：建系设点进行坐标计算；法三：向量转化，222()0228CA AB AO AB AO OB OA AO OA AO ⋅=-⋅=-⋅-=+⋅=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu r uuu r ;另外还可利用由一般到特殊的思想方法，把菱形特殊化为正方形，解法更为简洁．13．考查直线方程、线性规划等相关知识，考查运动与变化，对学生数形结合能力、函数方程、转化和化归的意识考查要求较高，较难题．点00(,)M x y 在直线210x y ++=上，利用线性规划知识画出可行域为()00052103x y x ++=<-，可行域区域内的点与原点连线的斜率范围是()1125--，，此题中正确画出可行域是前提，明白0y x 的几何意义是关键． 14．考查数列、合情推理、三角函数的性质等相关内容，难题．采用特殊值法求出234,,a a a 分别为1,1,22-，由不完全归纳法得出n a 周期为3，再利用三角函数的图像与性质构造出()2ππ1332n a n =-+．答案不唯一，当2π2π()3k k N ω=+∈时，均可构造出相应的三角函数式；当ω值取定后A 、B 、ϕ的值唯一确定1π,A B ϕ===-． 15．本题是向量与三角结合的题型．以向量为背景，考查了两角和与差的正余弦公式、余弦定理、向量的运算、面积公式、基本不等式等知识点，考查学生的公式、定理的选用能力（运算方向、运算途径的确定）．第（1）小题要注意角的范围的判断；第（2）小题要注意等号成立的条件．近三年江苏高考解答题均没有在三角形背景下考查三角向量，对三角、向量、解三角形等知识联系起来命题的形式值得关注．16．本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明、锥体的体积公式等相关知识，考查空间想象能力．讲评时应强调立体几何中有关平行与垂直定理的符号语言表达，要求规范．第（2）小题求四面体体积时要注意等积转化，培养学生的转化意识．17．本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．古典概率是必修3概率部分的中心内容，以列举法为主．本题结合列举法，留给学生能力发挥的空间，可以列举36种基本事件，如果看问题深刻一些，只要列举6种基本事件，理科学生还可以用排列知识求解．也可以与几何概型链接：变题：田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王前到但等候不超过一刻钟的概率．18．本题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识点，考查学生数形结合、函数与方程等思想的应用，以及学生分析问题与解决问题的能力．讲评时要强化解析几何的本质方法――解析法，从几何性质上分析，用代数的方法求解．第（1）小题求定点F 坐标时强调分离参数的意识；第（2）小题判断r 范围时也可联立方程组用代数法计算，在研究二元函数(,)f m n =范围时，法一：消元，转化为一元函数求值域，此时要注意定义域的影响；法二：数形结合，转化为研究椭圆2214m n +=上动点到原点距离的范围．另外， 19．本题主要考查数列的概念、等比数列、数列前n 项和的求法、不等式等知识，考查学生的分析问题与解决问题的能力及运算能力．讲评时第（1）小题要注意对公比q 的分类讨论；第（2）小题通过对通项分解，并利用数列前n 项的定义避免了利用等比数列求和时的分类讨论问题，问题化归为对关于q 的多项式的正负判断．此题还可以这样解：令f (q )=4q 3－15q 2＋12q ＋6，则2()123012f q q q '=-+，由2()123012f q q q '=-+=0，得q =12，q =2，所以f (q )在区间［0，+∞)上的最小值f min (q )=min{f (0)，f (2)}=2>0，即对q >0，T n －q 2S n =32(415126)15n S q q q -++≥2>0，所以T n >q 2S ．20．本题主要考查函数、导数、对数函数、三角函数等知识，考查函数与方程、数形结合、转化和化归、分类讨论等数学思想方法．第（1）小题评讲时主要讲清分类的标准和目的；第（2）小题，着重在正确审题，怎样将复杂的问题转化成简单的问题．方程0g =（*）无法直接求解，利用22()0,()0,g x g x =⎧⎨'=⎩得22222222ln 20,0.x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 方程（*）其实是由此方程组消去2x 得到的，陷入绝境．我们转而消去参数a 可得222ln 10x x +-=，再利用函数与方程的有关知识解得x 2 = 1，即2 12ln1210a a --⨯=，解得21=a ．本次附加题考查内容尽量回避一模、二模所考内容，其中必做题考查了空间向量与复合函数的导数，没有考查抛物线、数学归纳法、计数原理、随机变量的概率分布，这些知识点希望在后期的复习中不可忽视．。

北京通州区2010年高三数学模拟考试(理)新人教版

图1 通州区高三年级模拟考试（一）数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共10页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将I 卷答题卡和II 卷答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的标号填涂在答题卡相应的位置上．1．复数21ii +等于（A ）i +-1（B ）i +1（C ）i 22+-（D ）i 22+2．已知幂函数()y f x =的图象经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（A ）14（B ）12（C ）2 （D ）13．若函数()()2f x x ax a =+∈R ，则下列结论正确的是（A ）a ∃∈R ，()f x 是偶函数（B ）a ∃∈R ，()f x 是奇函数（C ）a ∀∈R ，()f x 在(0,＋∞)上是增函数（D ）a ∀∈R ，()f x 在(0,＋∞)上是减函数 4．图1是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选手打出分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去掉一个最低分，则所剩数据的平均数和方差分别为（A ）84，4.84 （B ）84，1.6 （C ）85，4（D ）85，1.6正（主）视图侧（左）视图俯视图图3图25．直线20x y m -+=与圆225x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则m 的值为（A ）5±（B ）52±（C ）52±（D ）5226．执行图2所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（A ）5a ≥ （B ）4a ≥ （C ）3a ≥（D ）2a ≥7．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图3，则此立体模型的表面积为（A ）24 （B ）23 （C ）22（D ）218．对于集合M 、N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且， ()()M N M N N M ⊕=--．设{}23A t t x x ==-，(){}lg B x y x ==-，则A B ⊕为（A ）904x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭<-≥或（B ）904x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭-<≤（C ）904x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭->≤或（D ）904x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭-<≤第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔在答题纸的相应位置上作答，在试卷上作答无效． 2．答卷前将答题纸密封线内的个人信息按要求填写清楚．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．圆的参数方程2cos 12sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩=+=（θ为参数）化成普通方程为．图4图510．在ABC ∆中，若120A ∠=︒，5AB =，7BC =，则=AC ． 11．设向量()3,2=-a ，()1,2=b ，若λ+a b 与a 垂直，则实数λ= ． 12．如图4，⊙O 的割线P AB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心，已知6PA =，173AB =，PO =12，则⊙O 的半径为．13．已知()(2)2(1)log (1)a a x a x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩+-<=≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是．14．已知数列{}n a 满足11a =，1231111231n n a a a a a n -=++++-()2,n n N *∈≥，则2010a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()22cos 2sin cos f x x x x =+．（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）若0,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，求()f x 的最大值与最小值的和． 16．（本小题满分13分）如图5，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，E 、F 分别是PC 、PD的中点，1PA AB ==，2=BC ．（I ）求证：EF ∥平面PAB ；（II ）求证：平面⊥PAD 平面PDC ；（III ）求二面角B PD A --的余弦值．17．（本小题满分13分）图6设不等式组222x y -⎧⎨⎩≤≤≤≤0确定的平面区域为U ，20200x y x y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-++-≥≤≥确定的平面区域为V ．（I ）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；（II ）在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．18．（本小题满分13分）已知函数()2,0ax f x x e a -=>其中．（I ）求()x f 的单调区间；（II ）求()x f 在[]2,1上的最大值．19．（本小题满分14分）已知抛物线()220x py p =>与直线2py kx =+交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（I ）当k =1时，求线段AB 的长；（II ）当k 在R 内变化时，求线段AB 中点C 的轨迹方程；（III ）设l 是该抛物线的准线．对于任意实数k ，l 上是否存在点D ，使得0AD BD ⋅=？如果存在，求出点D 的坐标；如不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()()21n n S n a n n n N *=--∈，且112a =．（I ）求23a a 与；（II ）求证：数列1n n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是等差数列；（III ）试比较12323n a a a na ++++与122n n +--的大小，并说明理由．通州区2010年高三数学（理）第一次模拟练习答案二、9．()4122=+-y x ， 10．３， 11．13， 12．8， 13．[)+∞,2， 14．1005．三、15．（Ⅰ）()x x x x f cos sin 2cos 22+=1cos sin 21cos 22++-=x x x12sin 2cos ++=x x 2分142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx 4分∴()x f 的最小正周期ππ==22T ． 6分（Ⅱ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+45,442πππx 8分当242ππ=+x ，即8π=x 时，()x f 取得最大值128+=⎪⎭⎫⎝⎛πf ； 10分当4542ππ=+x ，即2π=x 时，()x f 取得最小值012222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ． 12分 ∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x f 最大值与最小值的和为1228+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f ． 13分16．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0P D C B A ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1,0,21,1,21F E ，⎪⎭⎫⎝⎛-=0,0,21EF ，()1,0,1-=PB ，()1,2,0-=PD ，()1,0,0=AP ，()0,2,0=AD ，()0,0,1=DC ，y()0,0,1=AB ． 3分（Ⅰ）∵,21AB EF -= ∴EF ∥AB ，即EF ∥AB ，又⊂AB 平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ． 6分（Ⅱ）∵()()00,0,11,0,0=⋅=⋅DC AP ，()()00,0,10,2,0=⋅=⋅DC AD ， ∴DC AD DC AP ⊥⊥,，即DC AD DC AP ⊥⊥,．又PAD AD PAD AP A AD AP 面面⊂⊂=,, ， ∴PAD DC 平面⊥． ∵PDC DC 平面⊂，∴平面PDC PAD 平面⊥． 9分（Ⅲ）设平面PBD 的一个法向量()z y x ,,=n ，则∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PD PB n n ，即⎩⎨⎧=-=-020z y z x ，解得平面APC 的一个法向量()2,1,2=n ．而平面APD 的一个法向量是()0,0,1=DC ，设二面角B PD A --为θ，则()()32130,0,12,1,2cos =⨯⋅=⋅⋅=DCDC n n θ．即二面角B PD A --的余弦值为32． 13分17．解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ内共有15个整点，区域Ｖ内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域Ｖ的概率为()V P ，则()4552163151629=⋅=C C C V P ． 6分（Ⅱ）区域U 的面积为8，区域V 的面积为4， ∴在区域U 内任取一点，该点在区域V 内的概率为2184=． 8分 X 的取值为0，1，2，3． 9分ＸＹＯＡＢＣＤＥ()81212103003=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()83212112113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， ()83212121223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， ()81212130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ． 11分()23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． 13分18．解：（Ⅰ）()()()x ax e e a x xe x f ax ax ax 2222+-=-+='--- 2分令()0>'x f ，∵0>-ax e 3分 ∴022>+-x ax ，解得ax 20<<． 4分 ∴()x f 在()0,∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 内是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0内是增函数． 6分（Ⅱ）①当120<<a，即2>a 时，()x f 在()2,1内是减函数． ∴在[]2,1上()()a e f x f -==1max ； 8分 ②当221≤≤a ，即21≤≤a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1内是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a 内是减函数． ∴在[]2,1上()22max 42--=⎪⎭⎫⎝⎛=e a a f x f ； 10分③当22>a，即10<<a 时，()x f 在()2,1是增函数． ∴在[]2,1上()()a e f x f 2max 42-==． 12分综上所述，当10<<a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为a e 24-；当21≤≤a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为224--e a ；当2>a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为a e -． 13分 19．解：设点A 、B 分别为()11,y x 、()22,y x ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+==222p kx y py x ， ∴0222=--p pkx x ，１分 ∴pk x x 221=+，221p x x -=⋅． 2分∴()p pk p x x k p kx p kx y y +=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212121222，22221214122p p x p x y y =⋅=⋅．３分（Ⅰ）当1=k 时，p x x 221=+，221p x x -=⋅，p y y 321=+，22141p y y =⋅． ∴()()221221y y x x AB -+-=4分()()212212122144y y y y x x x x -++-+=p p p p p 49442222=-++=．６分（Ⅱ）设线段AB 中点C 的坐标为()y x ,，则当k 变化时，⎪⎩⎪⎨⎧+=+==+=22222121p pk y y y pkx x x ， 7分消去k ，得222p py x -=．即点C 的轨迹方程为222p py x -=．９分（Ⅲ）抛物线()022>=p py x 的准线l 的方程为2py -=． 10分假设在l 上存在一点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p x D ，使0=⋅BD AD ，则 11分⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1102,y p x x AD ，⎪⎭⎫⎝⎛---=2202,y p x x BD ． 12分令()()022212110=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=⋅y p y p x x x x BD AD ， 13分得()()0241212122102120=++++++-y y p y y p x x x x x x ① 将pk x x 221=+，221p x x -=⋅，p pk y y +=+2212，22141p y y =⋅代入①式，整理得0222020=+-k p pkx x ，即()020=-pk x ，∴pk x =0．∴对于任意实数k ，在l 上存在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,p pk D ，使得0=⋅BD AD ． 14分20．（Ⅰ）解：∵()()*∈--=N n n n a n S n n 12，∴212224a a a S +=-=，3213369a a a a S ++=-=，∵211=a ∴652=a ，12113=a ． 3分（Ⅱ）证明：当1=n 时，122111===+a S S nn n 4分当2≥n 时，1--=n n n S S a ，∴()()112---=-n n S S n S n n n ， 5分 ∴()()11122-+=--n n S n S n n n ，∴1111+-=+-n n S n nS n n ，即1111=--+-n n S n n S n n ．７分∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S n n 1是首项为１，公差为１的等差数列． 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()n n S nn n =⋅-+=+1111，∴12+=n n S n ，又已知()12--=n n a n S n n ，∴()1122--=+n n a n n n n ， ()111111-+-+=-++=n n n n n na n ． 10分∵()n C n C C C nn n n n n nn +≥+++=+++=+=1111210 ，∴n n 2111≥+， ∴n n 2111-≤+-， ∴()12121111--≤-+-+=n n n n n na ， 12分 ∴n na a a a ++++ 32132⎪⎭⎫⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤12121212121212123322n n()n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-++++=2121212122223232()n n n --⎪⎭⎫⎝⎛----=2112112121212n n n --+-=+121221 13分∵当*∈N n 时，121<n ，即0121<-n ，∴n n n --+-+121221221--<+n n ．即n na a a a ++++ 32132221--<+n n ． 14分。

南通市2010届高三第三次模拟考试

南通市高三数学试卷第页(共6页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)2010．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 有一容量为10的样本：2,4,7,6,5,9,7,10,3,8，则数据落在[5.5,7.5)内的频率为________． 2. 已知直线l 、m 、n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m ，且l ⊥n ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)．3. 已知集合A ＝{2,7，－4m ＋(m ＋2)i}(其中i 为虚数单位，m ∈R )，B ＝{8,3}，且A ∩B ≠∅，则m 的值为________．(第7题)4. 在区间[0,1]上任取两个数a 、b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， x ≥0，log 2(－x )，x ＜0，则f ⎝⎛⎭⎫2f ⎝⎛⎭⎫3π4＝____________. 6. 在区间[－a ，a ](a ＞0)内不间断的偶函数f (x )满足f (0)·f (a )＜0，且f (x )在区间[0，a ]上是单调函数，则函数y ＝f (x )在区间(－a ，a )内零点的个数是________．7. 执行如右图所示的程序框图后，输出的结果是__________．8. 不等式x ＜2x－1的解集是________．9. 如图，点A 、B 在函数y ＝tan(π4x －π2)的图象上，则直线AB 的方程为____________．(第9题)10. 双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是__________．11. 已知数列{a n }为等差数列，若a 5a 6＜－1，则数列{|a n |}的最小项是第________项．12. 在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 13. 已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＞x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．14. 数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，若数列{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn＋φ)＋B 的通项公式，其中A 、B 、ω、φ均为实数，且A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则a n ＝________.(只要写出一个通项公式即可)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量m ＝(sin A ，12)与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角．(1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．16. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1) 求证：AE ∥平面BDF ； (2) 求三棱锥D —ACE 的体积．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a、b、c,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A、a、B、b、C、c.两个约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．(1) 如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；(2) 颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋ 3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．设数列{a n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S n是其前n项和．(1) 证明S n·S n＋2＜S n＋1；(2) 设b n＝415a n＋3＋45a n＋1＋25a n，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较q2Sn和T n的大小．已知函数f(x)＝x2－2a cos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a＞0)．(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 若k＝2 010，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值.南通数学附加题试卷第页(共2页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4小题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，CO ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交AB 于点E .求证：DE 2＝DB ·DA .B. (选修4-2：矩阵与变换)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2的特征值及对应的特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)设a 1、a 2、a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.必做题，本小题10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上确定一点P，使AP＝14，并求出二面角P－AB－A1的平面角的余弦值．必做题，本小题10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)＝ln2(1＋x)－x21＋x，g(x)＝2(1＋x)ln(1＋x)－x2－2x.(1) 证明：当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜0；(2) 求函数f(x)的极值．南通市高三数学参考答案第页(共4页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 0.32. 充分不必要3. －24. 125. 16. 27. 38. {x |x ＜－2或0＜x ＜1}9. x －y －2＝0 10. (8，±33) 11. 6 12. －8 13. (－12，－15) 14. 3sin(2π3n －π3)＋1215. 解：(1) 因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.(2分)所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1，(3分)即sin(2A －π6)＝1.(4分)因为A ∈(0，π), 所以2A －π6∈(－π6，11π6)．(5分)故2A －π6＝π2，A ＝π3.(7分)(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc .(8分)又S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，(9分)而b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ＋4≥2bc ⇒bc ≤4，(当且仅当b ＝c 时等号成立)(11分)所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3.(12分)当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c .又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．(14分)16. (1) 证明：设AC ∩BD ＝G ，连结GF .因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE . 因为BE ＝BC ，所以F 为EC 的中点．(3分)在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，所以GF ∥AE .(5分) 因为AE ⊄面BFD ，GF ⊂面BFD ，所以AE ∥面BFD .(7分) (2) 解：取AB 中点O ，连结OE .因为AE ＝EB ，所以OE ⊥AB . 因为AD ⊥面ABE ，OE ⊂面ABE ，所以OE ⊥AD ，所以OE ⊥面ADC .(9分)因为BF ⊥面ACE ，AE ⊂面ACE ，所以BF ⊥AE . 因为CB ⊥面ABE ，AE ⊂面ABE ，所以AE ⊥BC . 又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE .(11分)又BE ⊂面BCE ，所以AE ⊥EB .所以AB ＝AE 2＋BE 2＝22，OE ＝12AB ＝ 2.(12分)故三棱锥E —ADC 的体积为V D —AEC ＝V E —ADC ＝13S △ADC ·OE ＝13×12×2×22×2＝43.(14分)17. 解：记A 与a 比赛为(A ，a )，其他同理． (1) (方法1)齐王与田忌赛马，有如下6种情况： (A ，a )，(B ，b )，(C ，c )；(A ，a )，(B ，c )，(C ，b )； (A ，b )，(B ，c )，(C ，a )；(A ，b )，(B ，a )，(C ，c )；(A ，c )，(B ，a )，(C ，b )；(A ，c )，(B ，b )，(C ，a )．(2分)其中田忌获胜的只有一种：(A ，c )，(B ，a )，(C ，b )．(4分)故田忌获胜的概率为P ＝16.(7分)(方法2)齐王与田忌赛马对局有6种可能： A B C a b c a c b b a c b c a c a bc b a (2分)其中田忌获胜的只有一种：(A ，c )，(B ，a )，(C ，b )．(4分)若齐王出马顺序还有ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA 等五种；每种田忌有一种可以获胜．故田忌获胜的概率为P ＝66×6＝16.(7分)(2) 已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c .(9分)后两场有两种情形：① 若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：(B ，a )，(C ，b )或(B ，b )，(C ，a )．田忌获胜的概率为12.(11分)② 若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：(C ，a )，(B ，b )或(C ，b )，(B ，a )．田忌获胜的概率也为12.(13分)所以，田忌按cab 或cba 的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12.(14分)答：(1) 田忌获胜的概率16.(2) 田忌按cab 或cba 的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为12.(15分)18. 解：(1) (3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0⇔(3x ＋y －3)k ＋(x －3y －3)＝0，(1分)解⎩⎨⎧3x ＋y －3＝0，x －3y －3＝0，得F (3，0)．(3分) 设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则由题设，知⎩⎨⎧c ＝3，a ＋c ＝2＋ 3.于是a ＝2，b 2＝1.(5分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，所以b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2.(8分)因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，所以m 24＋n 2＝1，且－2≤m ≤2.所以m 2＋n 2＝34m 2＋1∈[1,2]．(10分)于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝1m 2＋n2≤1＜r ，(12分) 圆心O 到直线l 2的距离d 2＝4m 2＋n 2≥2＞r .(14分)故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．(15分)19. 证明：(1) 由题设知a 1>0，q >0.(1分)① 当q ＝1时，S n ＝na 1，于是S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21＝－a 21＜0.(3分)② 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，于是S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝a 21(1－q n )(1－q n ＋2)(1－q )2－a 21(1－q n ＋1)2(1－q )2＝－a 21q n＜0.(7分) 由①和②，得S n ·S n ＋2－S 2n ＋1<0.所以S n ·S n ＋2<S 2n ＋1，S n ·S n ＋2＜S n ＋1.(8分) (2) 方法一：b n ＝415a n ＋3＋45a n ＋1＋25a n ＝415a n q 3＋45a n q ＋25a n ，(11分)T n ＝＝(415a k q 3＋45a k q ＋25a k )＝415q 3S n ＋45qS n ＋25S n ， T n －q 2S n ＝S n15(4q 3－15q 2＋12q ＋6)(13分)＝S n15[4q (q －2)2＋(q －2)2＋2]≥2>0，(15分) 所以T n >q 2S .(16分)方法二：T n ＝＝(415a k q 3＋45a k q ＋25a k )＝415q 3S n ＋45qS n ＋25S n ，(11分) 由T n q 2S n ＝415q ＋45q ＋25，(13分) 因为q ＞0，所以415q ＋45q ≥2415·45＝8153(当且仅当415q ＝45q，即q ＝3时取“＝”)．因为8153＋25＝6＋8315＞1，所以T nq 2S n＞1，即T n >q 2S n .(16分)20. 解：(1) 由已知得x ＞0且f ′(x )＝2x －(－1)k ·2ax.当k 是奇数时，f ′(x )＞0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3分)当k 是偶数时，则f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x ＋a )(x －a )x.(5分)所以当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，＋∞) 时，f ′(x )＞0.故当k 是偶数时，f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．(7分) (2) 若k ＝2 010，则f (x )＝x 2－2a ln x (k ∈N *)．记g (x )＝f (x )－2ax ＝x 2－2ax ln x －2ax ，g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )，若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解；(9分) 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a ＞0，x ＞0，所以x 1＝a －a 2＋4a 2＜0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2.(11分)当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，x 2)上是单调递减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数．当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)．(12分) 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，(13分) 两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0，因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)．(14分)设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝0至多有一解．因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.(16分)南通市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：连结OF .因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD ＝90°. 所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC .因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°.(5分) 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE . 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2＝DB ·DA .所以DE 2＝DB ·DA .(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，(3分)由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.(6分)将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0.可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．(8分)将λ2＝3代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0.可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：(1) 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.(2分) 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(4分)(2) 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)．(6分)令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.(8分) 所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.(10分) D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为(1a 1＋1a 2＋1a 3)·m ＝(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥33a 1·a 2·a 3·331a 1·1a 2·1a 3＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立．(8分)又因为m ＝a 1＋a 2＋a 3＞0，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.(10分)22. 解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,2,2)，B 1(0,4,2)，AA 1→＝(0,2,2)， BC →＝B 1C 1→＝(2，－2,0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→||BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(4分)(2)设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P (2λ，4－2λ，2)．于是AP ＝4λ2＋(4－2λ)2＋4＝14⇒λ＝12(λ＝32舍去)，则P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P (1,3,2)．(6分) 设平面P —AB —A 1的法向量为n 1 ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1 ·AP →＝0，n 1 ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝0，2y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2z ，y ＝0. 故n 1＝(－2,0,1)．(8分)而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－25＝－255，故二面角P —AB —A 1的平面角的余弦值是255.(10分)23. (1) 证明：g (x )＝2(1＋x )ln(1＋x )－x 2－2x ，则g ′(x )＝2ln(1＋x )－2x .令h (x )＝2ln(1＋x )－2x ，则h ′(x )＝21＋x －2＝－2x 1＋x.(1分)当－1＜x ＜0时，h ′(x )＞0，h (x )在(－1,0)上为增函数．当x ＞0时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，＋∞)上为减函数．(3分)所以h (x )在x ＝0处取得极大值，而h (0)＝0，所以g ′(x )＜0(x ≠0)，函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．(4分) 当x ＞0时，g (x )＜g (0)＝0.(5分)(2) 解：函数f (x )的定义域是(－1，＋∞)，f ′(x )＝2ln (1＋x )1＋x －x 2＋2x (1＋x )2＝2(1＋x )ln (1＋x )－x 2－2x(1＋x )2，(6分)由(1)知，当－1＜x ＜0时，g (x )＝2(1＋x )ln(1＋x )－x 2－2x ＞g (0)＝0，当x ＞0时，g (x )＜g (0)＝0，所以，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1,0)上为增函数．当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数．(8分)故函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)．故x ＝0时f (x )有极大值0.(10分)。

2010江苏高三数学模拟试题及答案

EOC 1D 1CB 1A 1ADCDB高三数学模拟试卷姓名____ _____．一、填空题：1．已知集合11{1,1},{24,}2x M N xx Z +=-=<<∈，则M N =I ． 2．若复数[)πααα20)cos 1(sin ，，∈--=i z 是纯虚数，则α= ． 3．向量,a b 满足3||1,||=-=a a b ，a 与b 的夹角为60o ，||=b ．4．已知函数)6cos()6sin(ππ++=x x y ，则其最小正周期． 5．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果T 为．6．已知)(x f y =是定义在实数集R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递增。

则不等式)1()2(+≤x f x f 上的解集为． 7．函数cos()32xy π=--的单调递增区间是． 8．若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +的值是． 9．函数x a x x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为．10．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = ．11．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，1=BC ，以 A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是．12．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题：①若α⊥m n m ,//，则α⊥n②若βαβα//,,则⊥⊥m m ；③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ； ④若n m n m //,,,//则=βααI其中不正确的命题的个数是．13．如图，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，F 是椭圆的左焦点，且)(21OF OP OQ +=，4||=OQ 则点P 到该椭圆左准线的距离为．14．定义运算符号“∏”：表示若干个数相乘，例如：1123ni i n ==⨯⨯⨯⨯∏L ．记1nn i i T a ==∏，其中i a 为数列{}n a 中的第i 项．若2()n T n n *=∈N ，则n a = ．二、解答题：15．（本题满分14分） ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 12B m B n B =-=-u r r2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2B m B n B =-=-u r r 且//m n u r r（Ⅰ）求锐角B 的大小；（Ⅱ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值． 16．（本题满分14分）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：直线1B D ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：⊥D B 1平面AC D 1；（Ⅲ）求三棱锥1D D OC -的体积．17．（本题满分15分）抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和相切的圆．（Ⅰ）求定点N 的坐标；（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ；② l 被圆N 截得的弦长为2．18．（本题满分15分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM R = ，45MOP ∠=o ，OB 与OM 之间的夹角为θ．（Ⅰ）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数；（Ⅱ）若45R m =，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m 2)19．（本题满分16分）已知数列{a n }中，a 1= 12，点（n ，2a n ＋1-a n ）（n ∈N *）在直线y =x 上．（Ⅰ）计算a 2，a 3，a 4的值；（Ⅱ）令b n ＝a n ＋1-a n -1，求证：数列{b n }是等比数列；（Ⅲ）设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λT nn}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知函数2ln )(x x a x f +=（a 为实常数）．（Ⅰ）若a = -2，求证：函数f (x )在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 值；（Ⅲ）若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤x a )2(+成立，求实数a 的取值范围．ABCDMOPQ F数学参考答案及评分标准1． {1}- 2．π 3．124．π 5． 10 6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,31 7． 28[4,4],33k k k Z ππππ++∈，8． 24 9． 210．3 11．31 12． 1 13． 25 14.221,1,, 2.(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩≥15. 解：（1）n m ρρΘ// B BB 2cos 3)12cos 2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32tan -=B ……………3分又B Θ为锐角 ()π,02∈∴B 322π=∴B 3π=∴B …………………………7分（2）,23B b π==Q ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=即0422=--+ac c a ---------10又ac c a 222≥+Θ 代入上式得4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立）…12分343sin 21≤==∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立。

江苏省南通市通州区、如东县2025届高三上学期期中联考数学

2024-2025学年（上）高三年级期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合，，则（）A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，，则（）A.2B. C.4 D.164.已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D. 5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（）A.15B.40C.55D.706.一个正四棱台油槽可以装汽油190L （1L=1000cm 3），若它的上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则它的深度为（）A.25cmB.75cmC.100cmD.150cm 7.当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（）A.1B.2C.3D.48.已知函数的定义域为，且，当时，，则112i z =+2i z =12z z {}1,0,1,2A =-02x B xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭A B = {}1,0-{}0,1{}1,2{}1,0,1-a b 1a = 3b = (a b += a b -= ()f x R 0x <()21f x x ax =-++()f x ()0,1a (],2-∞-[)2,-+∞(],1-∞-[)1,-+∞[]0,2πx ∈sin y x =()()π2sin 6f x x ωω+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ω()f x R ()()62f x f x +=(]0,6x ∈()24f x x x =-()21k f k ==∑（）A.-7B.25C.57D.102二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2010年北京通州区高三数学模拟考试理科

通州区高三年级模拟考试(一)数学(理科)试卷2010年4月本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共10页，满分150分，考试时间120分钟•考试结束后，将I卷答题卡和II卷答题纸一并交回.第I卷(选择题共40 分)注意事项:1 •答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上.2 •每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑•如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号•不能答在试卷上.、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的标号填涂在答题卡相应的位置上.1 •复数名等于(A) 1 i (B) 1 i (C) 2 2i1 12•已知幕函数y f x的图象经过点2,2，贝V f 的值为1 1(A) 4 ( B) 2 ( C) 223.若函数f x x ax a R ，则下列结论正确的是(A) a R , f x是偶函数(B) a R, f x是奇函数(C) a R , f x在(0, + s上是增函数(D) a R , f x在(0,+ s)上是减函数(D) 2 2i (D) 14•图1是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选分数的茎叶图.去掉一个最高分，再去掉一个贝U所剩数据的平均数和方差分别为7 99 3 手打出最低分，(A) 84, 4.84 (C) 85, 4 (B) 84, 1.6 (D) 85, 1.65.直线2x y m 0与圆x 2y 2 5交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若 OAOB ，则 m 的值为(C ) 5 2(D ) 2 26•执行图2所示的程序，输出的结果为 20,则判断框中应填入的条件为 (A ) a > 5 ( B ) a > 4 (C ) a > 3( D ) a > 27•用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图 3，则(A ) 24(C ) 22 &对于集合M 、M N xx(B ) 23(D ) 21 N ，定义 M ,且 x N ,M N M NUNM .设 Att(A) x x 9或x > 04(C ) x x < 9或x 04x 2 3x , B x y lg x ，则 A B 为Q(B ) x 弓 x < 04 9(D ) x - < x 04第口卷(非选择题共110分)注意事项：1•用黑色钢笔或签字笔在答题纸的相应位置上作答，在试卷上作答无效. 2.答卷前将答题纸密封线内的个人信息按要求填写清楚. 二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共30分.9•圆的参数方程 x 2cos 1 (为参数)化成普通方程为 _______________________________y 2si n(A )5 ( B ) 此立体模型的表面积为10 .在 ABC 中，若 A 120 , AB 5,BC 7，贝U AC16.(本小题满分13分)如图5,在底面是矩形的四棱锥 PPA 底面ABCD , E 、F 分别是的中点，PA AB 1, BC 2 . (I) 求证：EF //平面PAB ; (II) 求证：平面 PAD 平面PDC (III )求二面角 A PD B 的余弦值.b 1,2，若 ab 与a 垂直，则实数11.设向量a 3, 2 , 1 1 14.已知数列 a n 满足可1 , a n 引 n > 2,n N ，则 a 2010、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f 2x 2cos x 2sin xcosx . (I )求 f x 的最小正周期; (II )若 x0,-，求f x 的最大值与最小值的和.17.(本小题满分13分) 2 < x < 2设不等式组 2 x 2确定的平面区域为 U , 0 < y < 21rJ了並T__.21i5PC 、 ABCD 中, PD图5x y 2 > 0x y 2w0确定的平面区域为V.y > 0(I)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；(II)在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列及其数学期望.18. (本小题满分13分)已知函数f x x2e ax,其中a 0 .(I)求f x的单调区间；(II)求f x在1,2上的最大值.19. (本小题满分14分)已知抛物线x2 2py p 0与直线y kx -2交于A、B两点，O为坐标原点.(I)当k=1时，求线段AB的长；(II)当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；LULLT ULUU(III )设I是该抛物线的准线•对于任意实数k, l上是否存在点D，使得AD BD 0 ?如果存在, 求出点D的坐标；如不存在，说明理由.20. (本小题满分14分)1已知数列a n的前n项和S n n 2a n n n 1 nN ，且a1 -.(I)求a2与a3；(II)求证：数列^Js n是等差数列；n(III)试比较a1 2a2 3a3 L na n与2n 1 n 2的大小，并说明理由.通州区2010年高三数学(理)第一次模拟练习答案答案B C A D D B C A2 2二、9• x 1 y 4 , 10.3, 11. 13, 12. 8, 13. 2, , 14. 1005 •2三、15. (I) f x 2cos x 2sin xcosx22cos x 1 2sin xcosx 1cos2x sin 2x 12•- f x的最小正周期T 一2(□)当x。

2020届江苏省南通市通州区高三下学期复学返校联考数学试题

2020届江苏省南通市通州区高三下学期复学返校联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则A B =_________.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 3．根据如图所示的伪代码，可这输出的S =_________.4．函数()2ln f x x x =-的单调减区间为_______． 5．从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________.6．若函数3()2ln 2f x x x =-+的图像在1x =处的切线l 与两坐标轴分别交于点,A B ，则线段AB 的长为__________.7．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1a ，4a ，10a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6k a b =，则k =__________.8．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =2：3：4，则sin C =______．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S =10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域的边界为224x y +=，河岸线所在直线方程为60x y +-=，假定将军从点()3,2P -处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为________.11．在ABC 中0,,3,AB AC BD DC AC AE AD ⋅===与BE 交于点F .若||4,3AB AC ==，则BF AC ⋅的值为________.12．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（） . 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为_______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（Ⅰ）若c ＝2a ，求sin sin B C的值；（Ⅱ）若C －B ＝4π，求sin A 的值． 17．如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD .（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B ，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．19．已知函数212(),()xf x ax bx c f x e =++=（1）当1,1,02a b c ===时，设21()()()f x mf x f x =-，且函数()f x 在R 上单调递增. ①求实数m 的取值范围；②设22()(3)()h x x m f x =-，当实数m 取最小值时，求函数()h x 的极小值.（2）当0,1,1a b c =>=时，证明：函数21()()()g x f x f x =-有两个零点.20．已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若212n n n a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列.21．设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝301b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．24．由数字0，1，2，3，4组成一个五位数α.（1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X 表示各数位上数字是0的个数，求X 的分布列及数学期望.25．如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值．参考答案1．{1,2,3,4}【分析】直接根据并集定义得到答案.【详解】集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则{1,2,3,4}A B ⋃=.故答案为：{1,2,3,4}.【点睛】本题考查了并集计算，属于简单题.2【详解】(2)1z i i -=+，11323,i i z i i i++∴=+==-z =.3．21【分析】根据伪代码依次计算得到答案.【详解】根据题意：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；13,4S i ==；21,5S i ==，结束. 故答案为：21.【点睛】本题考查了伪代码，意在考查学生的计算能力和理解能力.4．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】求出函数()y f x =的定义域和导数()f x '，然后解不等式()0f x '<或()0f x '≤，即可得出函数()y f x =的单调递减区间.【详解】函数()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，()21122x x x x f x -=-='，0x ，解不等式()0f x '<，即2120x -<，得2x >.因此，函数()2ln f x x x =-的单调减区间为,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或2⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或2⎫+∞⎪⎪⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也要注意求出函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.5．30.【分析】讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A =个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A =个，故一共有30个．故答案为：30.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．【分析】求导，计算切线方程2y x =+，得到AB 坐标，得到答案.【详解】 3()2ln 2f x x x =-+，故22()3f x x x'=-，则(1)1k f '==，(1)3f =，所以31y x -=-，2y x =+，与坐标轴两交点分别为(0，2)，(﹣2，0)，故AB ＝故答案为：【点睛】本题考查了切线方程，线段长度，意在考查学生的计算能力.7．94.【分析】根据等差数列等比数列公式计算2n a nd d =+，132n n b d -=⋅，代入等式计算得到答案.【详解】1a ，4a ，10a 恰为等比数列{}n b 的前三项，故()()211193a a d a d +=+，0d ≠，解得13a d =.()112n a a n d nd d =+-=+，故41623a d q a d===，132n n b d -=⋅， 6k a b =，即5232kd d d +=⨯，解得94k =.故答案为：94.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8．4【解析】【分析】由sinA ：sinB ：sinC=2：3：4及由正弦定理，得a ：b ：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4，由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出．【详解】解：∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，∴由正弦定理，得a ：b ：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4， cosC=2229416122234b ac ab +-+-==-⨯⨯，则=4，【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属基础题，准确记忆定理的内容是解题关键． 9．3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积102【分析】求出点P 关于直线60x y +-=的对称点P '的坐标，于是将问题转化为点P '到圆224x y +=上一点距离的最小值，即为2OP '-，可得出答案.【详解】如下图所示：设点P 关于直线60x y +-=的对称点为点(),P a b '，则线段PP '的中点坐标为32,22a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线PP '的斜率为23PP b k a '+=-，由题意可得326022213a b b a +-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩，解得83a b =⎧⎨=⎩，所以点P '的坐标为()8,3.因此，将军行走的最短路程为222OP'-==.2.【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题的求解，涉及圆的几何性质和对称思想的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．9 4【分析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，计算得到F点坐标，计算得到答案.【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(0，4)，C(3，0)，D(1.5，2)，E(1，0)，直线AD为43y x=，BE为44y x=-+，联立解得34x=，1y=，即F(34，1)，∴BF＝(34，﹣3)，AC＝(3，0)，故94BF AC⋅=．故答案为：9 4 .【点睛】本题考查了向量的数量积，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 12．19【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+ ∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 13．17【解析】试题分析：由题意，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，则tan y x a α=+，tan yx aβ=-，∴222tan tan y y y x a x a x a αβ=⋅=+--，∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率，∴22214a b a -=，∴2243a b =，∴2222143x y b b +=，∴22234x y b =-，22234y x a =--， 3tan tan 4αβ=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 14=3cos+cos cos sin sin 1tan tan 714αβαβαβαβαβαβαβαβ--++===--+（）考点：（1）椭圆的简单性质；（2）两角和与差的余弦函数.14．()8+∞，【分析】求出导函数24()1f x x x λ'=--，根据题意转化为()()212121244x x x x x x λλ++=<对2λ≥恒成立，即可得解.【详解】4()ln 2f x x x x λλ=+-≥，，24()1f x x xλ'=--，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，即121212()(),,0,0f x f x x x x x ''=≠>>，2211224411x x x x λλ--=--， 22121244x x x x λλ-=-，()()212121244x x x x x x λλ++=<所以1216x x λ+>对2λ≥恒成立所以x 1+x 2的取值范围为()8+∞，.故答案为：()8+∞，【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解. 15．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，可得知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质得出//PB OE ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出AE CD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想得出AE PD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE ⊥平面PCD .【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥，因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD .【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16．（1（2【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos 45B =及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以222425a cb ac +-=.因为2c a =，所以222()42522cc b c c +-=⨯，即22920b c =，所以b c =. 又由正弦定理得sin sin B b C c =，所以sin sin B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=∈，所以3sin 5B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sinC A =，所以68sin 2sin()cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=. 又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin C =sin sin B C =. （2）因为cos 45B =，所以27cos 22cos 125B B =-=. 又0B π<<，所以3sin 5B ==，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=. 因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-，所以333724sin sin(2)sin cos 2cos sin 2(4442525A B B B πππ=-=-=-⨯=试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．17．（1）100503π+-（平方米）（2）【分析】（1）连接AB ，广场面积等于正方形面积加上弓形面积，计算得到答案.（2）过O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H ，设∠OAD＝θ（0＜θ4π＜），OD =. 【详解】（1）连接AB ，∵AB ＝10，∴正方形ABCD 的面积为100，又OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为正三角形，则3AOB π∠=，而圆的面积为100π，∴扇形AOB 的面积为1005063ππ=，又三角形AOB 的面积为1102⨯⨯=.∴弓形面积为503π-，则广场面积为100503π+-（平方米）；（2）过O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H ，设∠OAD ＝θ（0＜θ4π＜），则OH ＝10sinθ，AH ＝10cosθ，∴DH ＝|AD ﹣AH |＝|2OH ﹣AH |＝|20sinθ﹣10cosθ|，∴OD ==∴当θ8π=时，)101min OD =.∴4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值为)210120⨯+=（米）.【点睛】本题考查了弓形面积，距离的最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力和计算能力.18．（1）4e =（2）直线11A B 与圆C 相切，理由见解析（3）()(22243x y -+=【分析】（1）根据直线11A B，求出a ,b 的等量关系即可求解离心率；（2）通过计算可得直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切，所以直线11A B 与圆C 相切；（3）根据面积求出半径，依次列方程组求解参数的值. 【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B的倾斜角的余弦值为3=，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E的离心率e = （2）由4e =可设()40a k k =>，c =，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=，又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，所以直线11A B 与圆C 相切．（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20,关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,2424022n m m n ⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪-+=⎪⎩．解得23m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．【点睛】此题考查直线与椭圆和圆的综合应用，涉及求椭圆离心率，判断直线与圆的位置关系，根据已知条件求解圆的方程.19．（1）①[1,)+∞②2e -（2）证明见解析【分析】（1）求导得到()10xf x mex '=--≥恒成立，即1x x m e +≥在R 上恒成立，设1()xx x eϕ+=，求函数的最大值得到答案；2()(3)x h x x e =-，求导得到函数单调性，得到极小值.（2）()1(1)xg x ebx b =-->，计算函数单调性得到min ()(ln )0g x g b =<，故存在唯一1ln x b >，使得1()0g x =，又(0)0g =，得到答案.【详解】（1）①21()2xf x me x x =--，得()1x f x me x '=--，由题意知()0f x '≥在R 上恒成立，1x x m e+∴≥在R 上恒成立. 令1()x x x e ϕ+=，则max (),()xx m x x eϕϕ'≥=-，令()0x ϕ>，得0x <，令()0x ϕ'<，得0x >，()x ϕ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞单调递减，max ()(0)1x ϕϕ∴==， 1m ∴≥，即实数m 的取值范围是[1,)+∞.②当实数m 取最小值时，21,()(3)xm h x x e =∴=-.22()2(3)(23)x x x h x xe x e x x e '=+-=+-，令()0h x '=，解得1x =或3x =-，当3x <-或1x >时，()0h x '>；当31x -<<时，()0h x '<.()h x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴当1x =时，()h x 取得极小值，极小值为2e -.（2）当0,1a c ==时，函数()1(1),()x xg x e bx b g x e b '=-->=-.令()0g x '=，解得ln x b =，当ln x b <，时()0,()g x g x '<在(),ln b -∞上单调递减，当ln x b >时，()0,()'>g x g x 在()ln ,b +∞上单调递增，min ()(ln )ln 1(1).g x g b b b b b ∴==-->令()ln 1(1)p b b b b b =-->则()1ln 1ln 0p b b b '=--=-<，()p b ∴在(1,)+∞上单调递减，()0,p b ∴<即min ()(ln )0g x g b ∴=<.当x →+∞时，()g x →+∞，由零点存在性定理，存在唯一1ln x b >，使得1()0g x =，又(0)0,()g g x =∴有两个零点. 【点睛】本题考查了根据单调性求参数，极值问题，零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）由212n nn a -=计算11322n nn na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列，所以21,n n A a n ==-11n B a ==，所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=，当1n =，10n n a a +->，即12a a <；当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<，所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn bb ---++=+=+-，则2,k =3b =，即13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立，即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-，所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立，进面11n n n n B a B a ++=<=，所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列； ③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=，因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0，所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列，综上所述，数列{}n a 为等差数列. 【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 21．a ＝2，b ＝13. 【分析】设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，将x 1，y 1用x ，y 表示．由9x 1＋y 1－91＝0，得x ，y 的方程，此方程也是l 的方程．【详解】设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，则301b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝11x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即113x x x by y =⎧⎨-+=⎩因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0. 因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以261b a ==917--，解得a ＝2，b ＝13. 【点睛】本题考查了矩阵的线性变换，考查了两条直线重合的条件，考查了运算求解能力，属于基础题.22．l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积.【解析】【分析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(2A ，AB k =故线段AB 中垂线的斜率为13AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5()232y x -=-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=，即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d ==线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题. 23．证明见解析【分析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证. 【详解】解：因为2a b +≤，所以2222a a b b +-+2222a b a b =-++ ()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++ 22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力. 24．（1）58（2）详见解析【分析】（1）计算五位数共有5454A A 96-=，偶数共有60个，计算概率得到答案. （2）确定1~(4,)5X B ，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由0，1，2，3，4组成的五位数共有5454A A 96-=（个），其中是偶数的，第一类，个位是0，有44A 24=（个）；第二类，个位是2或4，有113233C C A 36=(个)，所以α是偶数的概率为24365968P +==. （2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是15，且相互独立，所以1~(4,)5X B . 所以4411()C ()(1),0,1,2,3,455iiiP X i i -==-=，所以X 的概率分布列为14()455E X =⨯=.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.25．（1）2p =；（2）9. 【分析】（1）设直线AB 的方程为2px ty =+，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x ，得到关于y 的二次方程，利用韦达定理结合124y y =-可求出正数p 的值；（2）由直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，并设点()33,Q x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB ，求出点H 的坐标，可得出点P 的坐标，并可得出直线PF 的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q 的坐标，并分别计算出点P 、Q 到直线AB 的距离1d 、2d ，利用三角形的面积公式可得出S 关于t 的表达式，设20k t =>，构造函数()2f k S =，利用导数求出函数()y f k =的最小值，即可得出S 的最小值.【详解】（1）设AB 方程为2p x ty =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pty p --=，所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =；（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-.因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，()33,Q x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，124y y =-，124y y t +=，所以()21241AB y t =-=+，令1x =-，则2y t =-，所以21,H t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线PF 的方程为2112t x y t -=+，由221124t x y t y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140t y y t ---=，所以324ty -=-，32y t =，代入24y x =，得23x t =，所以()2,2Q t t . Q 到直线AB的距离为21d =P 到直线AB的距离为22d =，所以四边形APBQ 的面积()5321221122S AB d d t t +=+==，令20t k =>，则()52241k S k +=，令()()5241k f k k +=，则()()()432132k k f k k+-'=. 当203k <<时，()0f k '<，函数()y f k =单调递减，当23k >时，()0f k '>，函数()y f k =单调递增. 所以，当23k =时，()y f k =有最小值5527，因此，四边形APBQ的面积S 【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.。

南通通州区2010届高三下学期查漏补缺专题训练数学文

南通市通州区2010届高三下学期查漏补缺专题训练数学试题（文科）（考试时间：120分钟满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．2. 复数1+2i(i 是虚数单位)的实部是 ▲ ． 3. 已知幂函数()f x k x =⋅α的图象过点1,2⎛ ⎝⎭，则k α+= ▲ ．4. 已知双曲线2219x y a-=的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 5. 设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为 ▲ ．6. 如图,在矩形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,以A 为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE ,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ▲ ．7. 阅读前面的伪代码，则运行后输出的结果是 ▲ ． 8．函数2()ln f x x x =的单调递减区间为 ▲ ．9. 在ABC ∆中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若cos cos sin sin B C B C +=+,则ABC ∆为 ▲ 三角形.10. 不等式0)(322>++-a x a a x 的解集为{|x 2a x <或a x >}，则实数a 的取值范围▲ ．11. 在ABC ∆中，已知41AB BC ==u u u r u u u r，，ABC S ∆则AB BC ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ ． 12．过直线y x =上的一点P 作圆2)1()5(22=-+-y x 的两条切线B A l l,,,21为切点,当直线21,l l 关于B（第6题图）（第7题图）直线x y =对称时，=∠APB ▲ ．13．若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围是 ▲ ．14．用γβα,,三个字母组成一个长度为1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串可能是αβ或αγ；2=n 时排出的字符串可能是αβγαβα，αγβαγα，(如图).若记长度为1+n 个字母的字符串中，以字母α结尾的所有字符串的种数为n a ，如：120,2,a a ==则数列{}n a 的前n 2项之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）PA //平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ．16.第一车间第二车间第三车间女工 173 100 y男工177xz已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15. (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ (3)已知185,185y z ≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率.n =1n =2（第14题图）ABDOEC17．（本小题满分15分）已知()()4cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 5cos OM ON x x PQ x x ααα⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r（1）当4cos 5sin xα=时，求函数y ON PQ =⋅u u u r u u u r 的最小正周期；（2）当12,13OM ON OM ⋅=u u u u r u u u r u u u u r∥,,PQ x x αα-+u u u r 都是锐角时，求cos2α的值.18. （本小题满分15分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ，过F,B,C 三点作P e ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率e =P e 的方程；（2）若P e 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．19. （本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足: n n b na =,且数列{}n b 的前n 项和为*(1)2()n n S n n N -+∈.(1) 求12,a a 的值；(2) 求证：数列{2}n S +是等比数列；(3) 抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第3n -2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列{}n c ，若{}n c 的前n 项和为n T ，求证：1121153n n T T +<≤.20. （本小题满分16分）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界. 已知函数()11124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；xx m m x g 2121)(⋅+⋅-=. （1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（3）若0>m ，函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ，求)(m T 的取值范围.南通市通州区2010届高三下学期查漏补缺专题训练文科数学试题答案一、填空题： 1.{1}; 2.25; 3.32； 4.23y x =±； 5.2； 6.31； 7.21；8.(0,ee ; 9.直角； 10.[]1,0； 11. ±2； 12. 60°； 13．(2,4]； 14．()3142-n 二、解答题：15．证明：(1) 连接AC 、OE ，AC I BD=O ， ……… 1分在△PAC 中，∵E 为PC 中点，O 为AC 中点．∴PA // EO ，… 3分又∵EO ⊂平面EBD ，PA ⊄平面EBD ，∴PA //BDE ．………7分（2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ． ………… 9分又∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面PAC ． ………… 12分又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ．…… 14分 16.解：（1）由题意可知0.15,1501000xx ==； 4分（2）由题意可知第三车间共有工人数为1000(173177)(100150)400-+-+=名，则设应在第三车间级抽取m 名工人，则50,201000400mm ==． 8分（3）由题意可知400y z +=，且185,185y z ≥≥，满足条件的(,)y z有(185,215),(186,214)，……(215,185)，共有31组．设事件A ：第三车间中女工比男工少，即y z <，满足条件的(,)y z 有(185,215),(186,214)，……(199,201)，共有15组．故15()31P A =． 13分答：（1）150x =，（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为1531. 14分17.解：（1）()4cos ,sin ,cos ,sin 5cos ON x x PQ x x α⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r Q ，∴y ON PQ =⋅=u u u r u u u r 224sin cos sin 5cos x x x α-+．又4cos 5sin x α=Q ，2224sin cos sin cos2sin 5cos xy x x x x α∴=-+=+1cos211cos2cos2222x x x -=+=+ ∴该函数的最小正周期是π．……7分（2）∵()()cos ,sin ,cos ,sin OM ON x x αα==u u u u r u u u r∴()12cos cos sin sin cos 13OM ON x x x ααα⋅=+=-=u u u u r u u u rx α-Q 是锐角 ()()25sin 1cos 13x x αα∴---=OM u u u u r Q ∥PQ u u u r 4cos sin sin cos 05x x αα∴-+-= ，即 ()4sin 5x α+=x α+Q 是锐角 ()()23cos 1sin 5x x αα∴+=-+=()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin x x x x x x ααααααα∴=++-=+--+-⎡⎤⎣⎦312451651351365=⨯-⨯=，即cos2α＝1665． …………………………15分 18. 解：（1）当3e =时，∵1a =，∴3c =∴22231144b a c =-=-=，b =12，点1(0,)2B ,3(F ，(1,0)C -----------2分设P e 的方程为222()()x m y n r -+-= ，由P e 过点F,B,C 得∴2221()2m n r +-=-----------------①2223(m n r ++=-----------------② 222(1)m n r -+=-------------------③ --------------------5分由①②③联立解得23m -=，123n -=，254r = -----------------------7分 ∴所求的P e 的方程为 22231235()(444x y --+-= - ------------8分（2）∵P e 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------④ ----------------------9分 ∵BC 的中点为1(,)22b，BC k b =-∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------⑤ ---------------------11分由④⑤得21,22c b c x y b --==，即21,22c b cm n b --== ----------------12分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b cb--+=⇒(1)()0b b c +-= ∵10b +> ∴b c =由221b c =-得212b =-----------------------------------14分 ∴椭圆的方程为2221x y += --------------------------------------------------------------15分 19. 解:(1)由题意得: 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L L ;………………1分当n=1时,则有: 11(11)2,a S =-+解得: 12a =;当n=2时,则有: 1222(21)4a a S +=-+,即2222(2)4a a +=++,解得: 24a =;∴122,4a a ==………………2分(2) 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L L ① 得:1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L L ② ………………3分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+,即: 11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+ 即:122n n S S +=+; ……………5分∴122(2)n n S S ++=+,由112240S a +=+=≠知:数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.…………………………………8分(3)由(2)知: 1242n n S -+=g ,即1142222n n n S -+=-=-g ……………………9分当n≥2时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=对n=1也成立,即2n n a =(n *)N ∈………………………………………………………….…10分∴数列{}n c 为2356892,2,2,2,2,2,L ,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；…………………11分∴当n=2k-1 *()k N ∈时,25313633132124221()()(222)(222)4(18)8(18)5128,181877k k n k k k k k T c c c c c c -----=+++++++=+++++++--=+=⋅---L L L L 311115121212828,777712812128412,58122835558125(5812)k k k n n n k k n n k kn nT T c T T T T ++++=+=-+=--∴==+-≥∴<≤--g g g Q g g g…………………14分∴当n=2k *()k N ∈时,25313631321242321111()()(222)(222)4(18)8(18)12128,18187712124012828,7777408121071011,8171281233(81)33k k n k k k k k k k k n n n k k n n k kn n T c c c c c c T T c T T T T --+++++=+++++++=+++++++--=+=---=+=-+=--∴==+-≥∴<≤--L L L L g g g g Q g∴1121153n n T T +<≤.……………………………………………………………16分 20. 解：（1）当1a =时，11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为)(x f 在(),0-∞上递减，所以()(0)3f x f >=，即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞ 故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数。

数学_2010年江苏省南通市海安县高考数学回归课本专项检测(二)(含答案)

2010年江苏省南通市海安县高考数学回归课本专项检测（二）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 设集合A ={x|x ≤4}，m ={sin40∘}，m ________A （填“包含于”或“真包含于”的字母符号）2. 已知平面向量a →=(1,2)，b →=(−2,m)，且a →⊥b →，则|a →−b →|=________． 3. 设i 是虚数单位，则复数z =(1+i)⋅2i 所对应的点落在第________象限． 4. 若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11=223π，则tan a 6=________．5. 命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是________．6. 把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是________．7. 设x ，y ∈R ，且满足x −y +2=0，则√x 2+y 2________若x ，y 又满足y >4−x ，则yx 的取值范围是________．8. 设函数f(x)=x 3−(12)x−2，则其零点所在区间为________．9. 设函数f(x)=log 3x+2x−a 在区间(1, 2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．10. 若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是________cm 3．11. 执行如图程序框图，输出S 的值等于________．12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若S 表示△ABC 的面积，若acosB +bcosA ＝csinC ，S =14(b 2+c 2−a 2)，则∠B ＝________．13. 设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l:x −√3y =0截得的弦长等于2，则a =________． 14. 有下列命题：①x =0是函数y =x 3的极值点；②三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d 有极值点的充要条件是b 2−3ac >0；③奇函数f(x)=mx 3+(m −1)x 2+48(m −2)x +n 在区间(−4, 4)上是单调减函数．其中假命题的序号是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知函数f(x)=2asin x2cos x2+sin 2x2−cos 2x2(a ∈R)．（1）当a =1时，求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当a =2时，在f(x)=0的条件下，求cos2x 1+sin2x的值．16. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90∘，AD >BC ．E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：EF // 平面PAD ；17. 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点A(−2√3，0)是其左顶点，点C 在椭圆上，且AC →⋅CO →=0，|AC →|=|CO →|．（1）求椭圆的方程；（2）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于M ，N 两个不同点，求△CMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18. 在一条笔直的工艺流水线上有n 个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x 1，x 2，…，x n ，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短． (I)若n =3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；(II)若n =5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．19. 已知函数f(x)=13x 3−ax 2+(a 2−1)x +b(a, b ∈R)．（1）若x ＝1为f(x)的极值点，求a 的值；（2）若y ＝f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为x +y −3＝0，求f(x)在区间[−2, 4]上的最大值；（3）当a≠0时，若f(x)在区间(−1, 1)上不单调，求a的取值范围．20. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，点(S n, S n+1)在直线y=n+1nx+n+1(n∈N∗)上．（1）求证：数列{S nn}是等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=a n⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设C n=T n22n+3，求证：C1+C2+⋯+C n>2027．2010年江苏省南通市海安县高考数学回归课本专项检测（二）答案1. ⊂2. √103. 二4. −√35. 存在一个常数列不是等比数列6. 0.127. √2,(1, 3)8. (1, 2)9. (log32, 1)10. 1811. 1712. 45∘13. √214. ①15. 解：（1）f(x)=sinx−cosx（一个公式1分）=√2sin(x−π4 )最小正周期为2π，由x−π4=kπ+π2，得x=kπ+3π4(k∈Z)．（标注1分）（2）当f(x)=0时解得tanx=12cos2x 1+sin2x =cos2x−sin2x (cosx+sinx)2=cosx−sinxcosx+sinx=1−tanx1+tanx=1316. 证明：解（1）∵ PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA ⊥BC∵ ∠ABC =90∘， ∴ BC ⊥AB ， ∵ PA ∩AB =A ∴ BC ⊥平面PAB∵ E 为AB 中点，∴ PE ⊂平面PAB ． ∴ BC ⊥PE ．（2）证明：取CD 中点G ，连接FG ，EG ， ∵ F 为PC 中点， ∴ FG // PD∵ FG ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴ FG // 平面PAD ；同理，EG // 平面PAD ∵ FG ∩EG =G ，（没有扣1分）平面EFG // 平面PAD ∴ EF // 平面PAD ．17. 解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∵ 左顶点A(−2√3，0)，AC ⊥CO ，|AC|=|CO|． ∴ a 2=12，C(−√3,√3)，（第三象限的点相同，可以不考虑）又∵ C 在椭圆上，∴312+3b =1，∴ b 2=4， ∴ 椭圆的标准方程为x 212+y 24=1．（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，若CO 的斜率为−1，则设直线l 的方程为y =−x +m ，代入x 212+y 24=1得4x 2−6mx +3m 2−12=0，{△=36m 2−4⋅4(3m 2−12)>0x 1+x 2=3m 2x 1⋅x 2=3m 2−124 ∴ |MN|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√12−3m 24，又C 到直线l 的距离d =√3+√3−m|2=2，∴ △CMN 的面积S =12⋅|MN|⋅d =√34√m 2⋅(16−m 2)≤√34⋅√(m 2+16−m 22)2=2√3，当且仅当m 2=16−m 2时取等号，此时m =±2√2满足题中条件，∴ 直线l 的方程为x +y ±2√2=0．当点C 在第三象限时，由对称可知：直线l 的方程为x −y ±2√2=018. 解：设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x)． (I)d(x)=|x −x 1|+|x −x 2|+|x −x 3|．当x <x 1时，d(x)=x 1+x 2+x 3−3x 在区间(−∞, x 1)上是减函数；当x >x 3时，d(x)=3x −(x 1+x 2+x 3)在区间(x 3, +∞)上是增函数．所以，x 必须位于区间[x 1, x 3]内，此时d(x)=x 3−x 1+|x −x 2|(∗)，当且仅当x =x 2时，(∗)式取最小值，且d(x 2)=x 3−x 1，即供应站的位置为x =x 2． (II)由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x) =3|x −x 1|+2|x −x 2|+|x −x 3|+2|x −x 4|+2|x −x 5|．类似于(I)的讨论知，x 1≤x ≤x 5，且有d(x)={2x 2+x 3+2x 4+2x 5−3x 1−4xx 1≤x <x 2x 3+2x 4+2x 5−3x 1−2x 2x 2≤x <x 32x +2x 4+2x 5−3x 1−2x 2−x 3x 3≤x <x 46x +2x 5−3x 1−2x 2−x 3−2x 4x 4≤x ≤x 5所以，函数d(x)在区间(x 1, x 2)上是减函数，在区间(x 3, x 5)上是增函数，在区间[x 2, x 3]上是常数．故供应站位置位于区间[x 2, x 3]上任意一点时，均能使函数d(x)取得最小值，且最小值为x 3+2x 4+2x 5−3x 1−2x 2，x 2≤x ≤x 3． 19. f′(x)＝x 2−2ax +a 2−1 ∵ x ＝1是f(x)的极值点，∴ f′(1)＝0，即a 2−2a ＝0，解得a ＝0或2； ∵ （1, f(1)）在x +y −3＝0上．∴ f(1)＝2∵ (1, 2)在y ＝f(x)上，∴ 2=13−a +a 2−1+b 又f′(1)＝−1， ∴ 1−2a +a 2−1＝−1∴ a 2−2a +1＝0，解得a =1,b =83∴ f(x)=13x 2−x 2+83,f ′(x)=x 2−2x由f′(x)＝0可知x ＝0和x ＝2是极值点． ∵ f(0)=83,f(2)=43,f(−2)=−4,f(4)=8∴ f(x)在区间[−2, 4]上的最大值为8．因为函数f(x)在区间(−1, 1)不单调，所以函数f′(x)在(−1, 1)上存在零点．而f′(x)＝0的两根为a −1，a +1，区间长为2， ∴ 在区间(−1, 1)上不可能有2个零点．所以f′(−1)f′(1)<0，∵ a 2>0， ∴ (a +2)(a −2)<0，−2<a <2．又∵ a ≠0，∴ a ∈(−2, 0)∪(0, 2)． 20. 解：（1）∵ 点(S n , S n+1)在直线y =n+1nx +n +1(n ∈N ∗)上，S n+1=n+1nS n +n +1，同除以n +1，则有：Sn+1n+1−S n n=1∴ 数列{Sn n }是以3为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，∴ 当n =1时，a 1=3，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1，经检验，当n =1时也成立，∴ a n=2n+1(n∈N∗)．∵ b n=a n2a n，∴ b n=(2n+1)⋅22n+1，T n=3⋅23+5⋅25++(2n−1)⋅22n−1+(2n+1)⋅22n+14T n =3⋅25++(2n−3)22n−1+(2n−1)22n+1+(2n+1)22n+3解得：T n=(23n+19)⋅22n+3−89．（3）∵ C n=T n22n+3=2n3+19−19⋅(14)n∴ C1+C2+⋯+C n=23⋅n(n+1)2+19⋅n−19⋅14[1−(14)n]1−14=3n2+4n9−127+127(14)n>3n2+4n9−127≥79−127=2027．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

江苏省南通市通州区2010届高三联考试卷数学理2010.3

A．正题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．

1．已知全集RU，集合}22)21(|{},0lg|{xxNxxM，则NMC

U)(

▲ ．

2．若函数)()(32Znxxfnn是偶函数，且)(xfy在(0,) 上是减函数，则n ▲ ． 3．若函数2sin(2),(0,)yx在)2,0(x上是减函数，则 ▲ ． 4．若ibiia)2(，其中iRba,,是虚数单位，则ba ▲ ． 5．运行右边算法流程，当输入的x值为 ▲ 时，输出的y值为4． 6．设322()log1fxxxx，则不等式2()(2)0fmfm （mR）成立的充要条件是 ▲ .（注：填写m的取值范围）. 7．已知,,abl表示三条不同的直线，,,表示三个不同平面，有下列四个命题：

①若a，b且//ab，则//； ②若ab、相交且都在、外，//a，//a，//b，//b，则//； ③若a，a，b，ab，则b； ④若,,,,,abmlalb则lm. 其中正确的是 ▲ . 8．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为 ▲ ． 9．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为 ▲ ． 10.已知椭圆22221xyab的左、右焦点分别为F1、F2，则12||2FFc，

点A在椭圆上且2

112120AFFFAFAFc



且，则椭圆的离心率为 ▲ ．

开始输入x 1x xy3 1x

2xy xy1

输出y 结束

N Y Y

元频率组距

20 30

40 50

0.01

0.036 0.024 11．当210x时，21|2|3xax恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ． 12．已知P是ABC内任一点，且满足APxAByAC，x、yR，则2yx的取值范围是 ▲ ． 13．当取遍所有值时，直线cossin42sin()4xy所围成的图形面积为 ▲ ． 14．定义函数()[[]]fxxx，其中[]x表示不超过x的最大整数，如：[1.5]1[1.3]2，，当*[0)()xnnN，时，设函数()fx的值域为A，记集合A中的元素个数为na，则式子90nan的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）已知向量(1,cos),(sin,3),(0)mxnx，函数()fxmn的

图像上一个最高点的坐标为)2,12(，与之相邻的一个最低点的坐标)2,127(. （1）求)(xf的解析式. （2）在△ABC中，abc、、是角ABC、、所对的边，且满足222acbac，求角B的大小以及)(Af取值范围. 16. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE 上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D－AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段 CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

17．（本小题满分15分）已知圆M：22(2)1xy，设点,BC是直线l：20xy上的两点，它们的横坐标分别是,4()tttR，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．（1）若0t，5MP，求直线PA的方程；（2）经过,,APM三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值()Lt．

18. （本小题满分15分）已知函数2()4(0,,)fxaxxbaabR且.设关于x的不等式()0fx 的解集为12,),xx（且方程()fxx的两实根为,. （1）若1，求,ab的关系式；（2）若12，求证：12(1)(1)7xx. 19. （本小题满分16分）各项均为正数的数列na的前n项和为nS，211()42nnnSaanN；

（1）求na；（2）令2,,nnnanbbn为奇数为偶数，24()nncbnN，求nc的前n项和nT．（3）令nanbq（q、为常数，0q且1q），123()nncnbbb，是否存在实数对()q、，使得数列nc成等比数列？若存在，求出实数对()q、及数列nc的通项公式，若不存在，请说明理由．

20. （本小题满分16分）已知函数)(3ln)(Raaxxaxf．（Ⅰ）当1a时，求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）若函数)(xfy的图像在点))2(,2(f处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对

于任意的2,1t，函数)('2)(23xfmxxxg在区间)3,(t上总存在极值？（Ⅲ）当2a时，设函数32)2()(xepxpxh，若在区间e,1上至少存在一个0x，使得)()(00xfxh成立，试求实数p的取值范围．

B．附加题部分本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（本小题为选做题．．．，满分10分）

如图，AB是O的直径，M为圆上一点，MEAB，垂足为E，点C为O上任一点，,ACEM交于点D，BC交DE于点F．求证：（1）AEEDFEEB::；

（2）2EMEDEF．

B E

MFA

O 22．（本小题为选做题．．．，满分10分）已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点．（1）求2xy的取值范围；（2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围．

23．（本小题为选做题．．．，满分10分）求使等式2 42 01 03 50 10 -1M成立的矩阵M．

24．（本小题为选做题．．．，满分10分）已知(0,)2x，求函数21sin2sinyxx的最小值以及取最小值时所对应的x值．

25．（本小题为必做题．．．，满分10分）如图，直三棱柱111ABCABC中， 12CCCBCA，ACCB. DE、分别为棱111CCBC、的中点. （1）求点E到平面ADB的距离；

（2）求二面角1EADB的平面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面

1ADB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

26．（本小题为必做题．．．，满分10分）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.

（I）求某乘客在第i层下电梯的概率)5,4,3,2(i ；（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；

1C1A 1BE

CAB （Ⅲ）求电梯停下的次数的数学期望. 理科数学试题参考答案 A．正题部分一、填空题：

1． (,0] 2． 1或2 3．2 4. 1 5.3

6. 1m或2m 7. ②③ 8. 23 9. 100 10. 512 11. 1322a 12.(0,2) 13.16 14. 13 二、解答题：

15．（1）()sin3cosfxmnxx

 )cos23sin21(2xx

)3sin(2x 2121272T,所以T,于是22T

)32sin(2)x(fx可知

（2）∵222acbac，∴2221cos22acbBac，又0B，∴23B， ()2sin(2)3fAA， ∵23B，03A，233A sin(2)0,13A，()0,2fA

16.（1）证明：ABEAD平面，BCAD// ∴ABEBC平面，则BCAE 又ACEBF平面，则BFAE