2020-2021学年江苏省南通市通州区金沙中学高一(下)调研数学试卷 (解析版)
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期末质量检测数学试题(解析版)
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．[0，1]D．[1，2]【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝[0，1]．故选：C．【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．设复数z满足zi＝1﹣2i（i是虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】直接利用复数的除法运算法则求解即可．【解答】解：因为复数z满足zi＝1﹣2i，所以．故选：D．【点评】本题考查了复数的除法运算法，考查了运算能力，属于基础题．3．“a＞b＞0”是“＜”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【分析】先通过转化分式不等式化简条件，再判断a＞b＞0成立是否推出成立；条件成立是否推出a＞b＞0成立，利用充要条件的定义判断出a＞b＞0是成立的什么条件．【解答】解：条件：，即为⇔若条件：a＞b＞0成立则条件一定成立；反之，当条件成立不一定有条件：a＞b＞0成立所以a＞b＞0是成立的充分非必要条件．故选：A．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．4．设a＝20.3，b＝log0.32，c＝log32，则（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【分析】由对数函数、指数函数的单调性及特殊值确定各数的范围，从而比较大小．【解答】解：∵20＜20.3＜21，∴1＜a＜2，∵log0.32＜log0.31＝0，∴b＜0，∴log31＜log32＜log33，∴0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：C．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题．5．德国天文学家，数学家开普勒（J•Kepier，1571﹣1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d．则天王星的公转时间约为（）A．4329d B．30323d C．60150d D．90670d【分析】结合即可求解．【解答】解：设天王星的公转时间为T，距离太阳平均距离为r，土星的公转时间为T′，距离太阳平均距离为r′，由题意可知r＝2r′，T′＝10753，所以．故选：B．【点评】本题考查函数的实际应用问题，考查数学建模的核心素养，属于基础题．6．已知m，n是两条不重合的直线，a，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若m∥n，m∥a，则n∥a B．若a⊥β，m⊥β，则m∥aC．若m∥a，m∥β，则a∥βD．若m⊥a，n⊥a，则m∥n【分析】对于A，n∥a或n⊂α；对于B，m∥a或m⊂α；对于C，a与β相交或平行；对于D，由线面垂直的性质得m∥n．【解答】解：m，n是两条不重合的直线，a，β是两个不重合的平面，对于A，若m∥n，m∥a，则n∥a或n⊂α，故A错误；对于B，若a⊥β，m⊥β，则m∥a或m⊂α，故B错误；对于C，若m∥a，m∥β，则a与β相交或平行，故C错误；对于D，若m⊥a，n⊥a，则由线面垂直的性质得m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则密码被破译的概率为（）A．0.88B．0.7C．0.58D．0.12【分析】利用相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则密码被破译的概率为：P＝1﹣（1﹣0.3）（1﹣0.4）＝1﹣0.7×0.6＝0.58．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中n！＝1×2×3×4×……×n．根据该公式可知，与的值最接近的是（）A．cos57.3°B．cos147.3°C．sin57.3°D．sin（﹣32.7°）【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到＝sin（90°﹣147.3°），求解即可【解答】解：原式＝sin（﹣1）≈sin（﹣57.3°）＝sin（90°﹣147.3°）＝cos147.3°．故选：B．【点评】本题考查了推理的应用，考查了三角函数诱导公式的应用、角度与弧度互化的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在复平面内，复数z对应的点为（1，3），则（）A．z+＝2B．z2＝10C．z•＝10D．【分析】先利用复数的几何意义求出z，然后对四个选项逐一判断即可．【解答】解：由题意，z＝1+3i，对于A，，故选项A正确；对于B，z2＝﹣8+6i，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则以及复数模的运算性质，属于基础题．10．一只袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个白球和2个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则（）A．甲与乙互斥B．乙与丙互斥C．乙与丁互斥D．丙与丁互斥【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：甲与乙不能同时发生，甲与乙是互斥事件，故A正确；乙与丙不能同时发生，乙与丙是互斥事件，故B正确；丁与乙可以同时发生，乙与丁不是互斥事件，故C错误；丙与丁可以同时发生，丙与丁不是互斥事件，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件等基础知识，是基础题．11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是（）A．若，则△ABC为等腰三角形B．若，则△ABC为锐角三角形C．若，则O，B，C三点共线D．若，，则【分析】A，由＝0即可判断；B，可得∠A是锐角，但不一定是锐角三角形，即可判断；C，可得，即可判断；D，由于，，则O是垂心，即可判断．【解答】解：对于A，∵＝0，∴c＝b，故A正确；对于B，由于，则∠A是锐角，但不一定是锐角三角形，故B错误；对于C，∵，∴，则O，B，C三点共线，故C正确；对于D，由于，，则O是垂心，，故D正确；故选：ACD．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量的性质，属于中档题．12．已知圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，P为O1O2上一点，则（）A．圆台的母线长为6B．当圆锥PO1圆锥PO2的体积相等时，PO1＝4PO2C．圆台的体积为56πD．当圆台，上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为80π【分析】转化求解圆台的母线长判断A；利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D．【解答】解：圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，P为O1O2上一点，h＝3×（4﹣2）＝6，母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；，，B正确；，C正确；设球心到上底面的距离为x，则22+x2＝（6﹣x）2+42，解得x＝4，，S＝80π，D正确；故选：BCD．【点评】本题考查旋转体中的圆台的有关知识的应用，球的表面积的求法，考查分析问题解决问题的能力，命题的真假的判断，是中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是18．【分析】根据题意求出平均数，再利用方差公式求出方差．【解答】解：∵＝＝50，∴，故答案为：18．【点评】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题．14．已知角θ的终边经过点P（﹣1，2），则＝3．【分析】根据三角函数的定义，可得tanθ＝﹣2，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣1，2），∴tanθ＝，∴＝．故答案为：3．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，以及正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15．已知a，b是非零实数，若关于x的不等式x2+ax+b≥0恒成立，则的最小值是1．【分析】依题意可得，a2﹣4b≤0，再利用基本不等式直接求解即可．【解答】解：依题意，a2﹣4b≤0，∴，当且仅当，时取等号．∴的最小值是1．故答案为：1．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．16．已知函数f（x）＝|x|﹣|x﹣2|，则f（x）的值域是[﹣2，2]，不等式f（x）＜f（2x）的解集是（0，2）．【分析】（1）分x＜0，0≤x≤2，x＞2三种情况讨论，即可求解f（x）的值域．（2）当x≤0或x≥2时，f（x）＜f（2x），显然不成立，分0＜x≤1，1＜x＜2两种情况讨论，取其并集，即可求解．【解答】（1）∵f（x）＝|x|﹣|x﹣2|，∴当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣（2﹣x）＝﹣2，当0≤x≤2时，f（x）＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，当x＞2时，f（x）＝x﹣（x﹣2）＝2，∴∴f（x）的值域为[﹣2，2]．（2）当x≤0或x≥2时，f（x）＜f（2x），显然不成立，当0＜x≤1时，f（x）＝2x﹣2＜4x﹣2＝f（2x），解得x＞0，∴0＜x≤1，当1＜x＜2时，f（x）＝2x﹣2，f（2x）＝2，当f（x）＜f（2x）时，即2x﹣2＜2，解得x＜2，∴1＜x＜2，综上所述，不等式f（x）＜f（2x）的解集为（0，2）．【点评】本题考查了绝对值不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝log3（3+x）+log3（3﹣x）．（1）求证：f（x）为偶函数；（2）求f（x）的最大值．【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，然后利用偶函数的定义证明即可；（2）利用对数的运算性质将函数f（x）化简变形，然后利用二次函数的性质以及对数函数的性质求解最值即可．【解答】（1）证明：函数f（x）＝log3（3+x）+log3（3﹣x），所以f（x）的定义域为（﹣3，3），因为f（﹣x）＝log3（3﹣x）+log3（3+x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；（2）解：f（x）＝log3（3+x）（3﹣x）＝，因为9﹣x2∈（0，9]，所以∈（﹣∞，2]，故当x＝0时，f（x）取得最大值2．【点评】本题考查了函数最值的求解，主要考查了对数型函数的性质的应用，偶函数定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．18．（本小题满分12分）在①（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____．（1）求角C的大小；（2）若D为边BC上一点，且AD＝6，BD＝4，AB＝8，求AC．【分析】若选①：（1）利用平方差公式化简已知的等式，由余弦定理求出cos C，即可得到角C的值；（2）在△ABD中，利用余弦定理求出cos∠ADB，由同角三角函数关系求出sin∠ADC＝sin∠ADB，再利用正弦定理求解AC即可．若选②：（1）利用两角和的正切公式以及三角形内角定理，求出tan C，即可得到角C的值；（2）在△ABD中，利用余弦定理求出cos∠ADB，由同角三角函数关系求出sin∠ADC＝sin∠ADB，再利用正弦定理求解AC即可．若选③：（1）利用两角和差公式以及三角形内角和公式求出cos C的值，即可得到角C的值；（2）在△ABD中，利用余弦定理求出cos∠ADB，由同角三角函数关系求出sin∠ADC＝sin∠ADB，再利用正弦定理求解AC即可．【解答】解：若选①：（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，则（a+b）2﹣c2＝3ab，即a2+b2﹣c2＝ab，所以，又C为△ABC的内角，所以；（2）因为AD＝6，BD＝4，AB＝8，所以cos∠ADB＝，则sin∠ADC＝，由正弦定理可得，，解得．若选②：因为，则，所以tan（A+B）＝，又tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝，因为C为△ABC的内角，所以；（2）因为AD＝6，BD＝4，AB＝8，所以cos∠ADB＝，则sin∠ADC＝，由正弦定理可得，，解得．若选③：因为，则sin C cos A＝2sin B cos C﹣sin A cos C，所以sin C cos A+sin A cos C＝2sin B cos C，即sin B＝2sin B cos C，又B∈（0，π），所以sin B≠0，则cos C＝，因为C为△ABC的内角，所以；（2）因为AD＝6，BD＝4，AB＝8，所以cos∠ADB＝，则sin∠ADC＝，由正弦定理可得，，解得．【点评】本题考查了解三角问题，涉及了正弦定义与余弦定理的应用，两角和差公式以及三角形内角和定理的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，，．求：（1）；（2）cos∠EAF．【分析】（1）利用•（+）即可计算；（2）利用cos∠EAF＝，即可计算．【解答】解：（1）∵＝+＝+（）＝+，∴•（+）＝+（+）+＝×4++＝．（2）∵cos∠EAF＝，∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了运算能力，属于中档题．20．（本小题满分12分）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：t），得到如下频率分布表：分组频数频率[1.5，4.5）220.22[4.5，7.5）310.31[7.5，10.5）x0.16[10.5，13.5）100.10[13.5，16.5）y z[16.5，19.5）50.05[19.5，22.5）50.05[22.5，25.5）30.03[25.5，28.5）20.02合计1001（1）求表中x，y，z的值；（2）试估计该区居民的月平均用水量；（3）从上表月平均用水量不少于22.5t的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．【分析】由频率＝频数÷总数，频数＝总数×频率进行求解．平均数用每组数据的中点×频率的结果相加得到．【解答】解：（1）由图表可知，[7.5，10.5）区间内，居民用水量的频率为0.16，∴x＝100×0.16＝16．则y＝100﹣（22+31+16+10+5+5+3+2）＝6，∴频率z＝6÷100＝0.06．（2）27×0.02＝9.27．（3）＝＝10，∴从上表月平均用水量不少于22.5t的5户居民中随机抽取2户的基本事件共10件，来自同一分组的可能事件共1+＝4种，∴来自不同分组的可能事件共6种．记事件A：2户居民来自不同分组，则P（A）＝＝．【点评】该题考查利用频率求频数及利用频率求平均数，并考查概率的计算，属于基础题型．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝AD＝＝2，E为棱PD上的一点，且DE＝2EP＝2．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（1）连接BD交AC于F，连接EF．证明EF∥PB，然后证明PB∥面AEC（2）作AG⊥DC，垂足为G，说明直线AE与面PCD所成角为∠AEG．然后求解即可．【解答】（1）证明：连接BD交AC于F，连接EF．因为AB∥CD，所以，所以EF∥PB，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，所以PB∥面AEC（2）解：作AG⊥DC，垂足为G，PD⊥面ABCD，AG⊂面ABCD，所以AG⊥PD，又PD∩CD＝D，所以AG⊥面PCD，所以直线AE与面PCD所成角为∠AEG．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若θ∈（0，π），，求θ的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线C，再把C 上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．若函数在区间（0，nπ）（n∈N*）上恰有2021个零点，求m，n的值．【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，然后利用特殊角的三角函数值，求解三角方程即可；（2）利用三角函数的图象变换，求出g（x）的解析式，然后将函数F（x）的零点转化为方程的根，对根的可能情况进行分类讨论，分别分析求解即可．【解答】解：（1）因为＝（1﹣cos2x）+sin2x+3×＝sin2x+cos2x+2＝，因为，又θ∈（0，π），所以，所以；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线C，再把C上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝2sin x，所以令F（x）＝2cos2x+2m sin x＝2（1﹣2sin2x）+2m sin x＝0，令t＝sin x∈[﹣1，1]，则2t2﹣mt﹣1＝0（*），当t＝0时，方程不成立，①若（*）式中，其中一根为1，则m＝1，另一根为，所以F（x）在（0，π）上1个零点，（π，2π）上2个零点，即F（x）在（0，1346π）上共2019个零点，（1346π，1347π）上1个零点，（1347π，1348π）2个零点，所以不存在n使得（0，nπ）有2021个零点；②若（*）式中，其中一根为﹣1，则m＝﹣1，另一根为，所以F（x）在（0，π）上2个零点，（π，2π）上1个零点，即F（x）在（0，1346π）上共2019个零点，（1346π，1347π）上2个零点，所以n＝1347；③若（*）式中，在（﹣1，1）上只有一根，则F（x）在（kπ，（k+1）π）上要么2个零点，要么0个，所以（0，nπ）上零点个数只能是偶数，因为2021是奇数，所以不符题意．综上所述，m＝﹣l，n＝1347．【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，三角函数图象变换的应用，函数零点的求解，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于难题。
2020-2021学年江苏省南通市高一(下)期末数学模拟试卷
2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分） 1. (2021·浙江省·单元测试)已知复数z =(3i−1)(1−i)i 2019(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A. z 的虚部为4B. 复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C. z 的共轭复数z −=4−2i D. |z|=2√52. (2021·四川省泸州市·月考试卷)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n ⃗ =(√3cosB,√3cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2−cosC ，则C 的值为( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π63. (2021·山东省烟台市·单元测试)设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =√62，则a ，b ，c 大小关系( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. a <c <b4. (2021·云南省·期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若ccosB +bcosC =asinA ，S =√34(b 2+a 2−c 2)，则∠B =( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5. (2020·广东省广州市·单元测试)已知a ∈{0,1，2}，b ∈{−1,1，3，5}，则函数f(x)=ax 2−2bx 在区间(1,+∞)上为增函数的概率是( )A. 512B. 13C. 14D. 166. (2021·浙江省·水平会考)如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是( )A. PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值 B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值 C. |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |是定值D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2是定值7. (2021·北京市市辖区·模拟题)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m 1，m 2；平均数分别为s 1，s 2，则下面正确的是( )A. m 1>m 2，s 1>s 2B. m 1>m 2，s 1<s 2C. m 1<m 2，s 1<s 2D. m 1<m 2，s 1>s 28. (2020·河北省衡水市·月考试卷)在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 是对角线AC 1上的点(点M 与A 、C 1不重合)，则下列结论正确的个数为( )①存在点M ，使得平面A 1DM ⊥平面BC 1D ； ②存在点M ，使得DM//平面B 1CD 1； ③若△A 1DM 的面积为S ，则S ∈(2√33,2√3)； ④若S 1、S 2分别是△A 1DM 在平面A 1B 1C 1D 1与平面BB 1C 1C 的正投影的面积，则存在点M ，使得S 1=S 2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. (2021·北京市·单元测试)在边长为2的等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，满足DE//BC 且ADAC =λ(λ∈(0,1))，将△ADE 沿直线DE 折到△A′DE 的位置．在翻折过程中，下列结论成立的是( )A. 在边A′E 上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF//平面A′CDB. 存在λ∈(0,12)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC ⊥平面BCDEC. 若λ=12，当二面角A′−DE −B 为直二面角时，|A′B|=√104D. 在翻折过程中，四棱锥A′−BCDE 体积的最大值记为f(λ)，f(λ)的最大值为2√39二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）10. (2021·湖北省·模拟题)已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是( )A. 若m//β，n//β，m ，n ⊂α，则α//βB. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，n ⊂γ，则m ⊥nC. 若m ⊥α，α⊥β，α∩β=n ，那么m//nD. 若m//α，m//β，α∩β=n ，那么m//n11. (2021·江苏省南通市·期末考试)关于函数f(x)=4cos 2x +4sinxcos(x +π6)，下列说法正确的是( )A. 若x 1，x 2是函数f(x)的零点，则x 1−x 2是π2的整数倍 B. 函数f(x)的图象关于点(−π6,1)对称C. 函数f(x)的图象与函数y =2√3cos(2x −π6)+1的图象相同D. 函数f(x)的图象可由y =2√3sin2x 的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移π3个单位长度得到12. (2021·江苏省南通市·期末考试)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )A. 若复数z 满足|z −i|=√5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的圆上B. 若复数z 满足z +|z|=2+8i ，则复数z =−15+8iC. 当m ，n ∈N ∗时，有z m z n =z m+nD. 1−i1+i 是集合M ={m|m =i n ,n ∈N}中的元素三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·江苏省南通市·期末考试)如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AB =5km ，AD =7km ，∠ABD =60°，∠CBD =15°，∠BCD =120°，则两景点B 与C 的距离为______ km ．14.(2021·江苏省南通市·期末考试)某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人(假设每人只选修一种类别的课程)，按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测.已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为______ ．15.(2021·浙江省·水平会考)已知向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(λ,1)，若a⃗+2b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．16.(2021·全国·模拟题)如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”.点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足MN⊥AB，若AB=4，则该多面体的表面积为______ ，点N轨迹的长度为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(2021·江苏省南通市·期末考试)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．=√5asinB.在△ABC中，角A，B，C的对边分①3asinC=4ccosA，②2bsin B+C2别为a，b，c，已知____，a=3√2．(1)求sin A的值；(2)如图，M为边AC上一点，|MC|=|MB|，∠ABM=π，求△ABC的面积．218.(2021·江苏省南通市·期末考试)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．(1)求证：EF//平面PAB；(2)若AP=AD，平面PAD⊥平面ABCD，证明：平面PAD⊥平面PCD．19.(2018·江西省赣州市·月考试卷)一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表：网购金额频数频率(单位：千元)[0,0.5)30.05[0.5,1)x p[1,1.5)90.15[1.5,2)150.25[2,2.5)180.30[2.5,3]y q合计60 1.00若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2:3． (1)确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图；(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”．20. (2021·江苏省南通市·单元测试)已知O 为坐标原点，对于函数f(x)=asinx +bcosx ，称向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1)设函数g(x)=√3sin(π+x)−sin(3π2−x)，试求g(x)的伴随向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)记向量ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)的伴随函数为f(x)，求当f(x)=85且x ∈(−π3,π6)时sin x 的值； (3)由(1)中函数g(x)的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到ℎ(x)的图象，已知A(−2,3)，B(2,6)，问在y =ℎ(x)的图象上是否存在一点P ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．21.(2021·江苏省南通市·模拟题)某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得如表：维修次数0123空调台数20303020用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．(1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；(2)请问小李选择哪种质保方案更合算．22.(2018·四川省宜宾市·模拟题)如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CDCD=12所成的角为90°．(Ⅰ)在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，并说明理由；(Ⅱ)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=(3i−1)(1−i)i2019=2+4ii4×504+3=2+4i−i=(2+4i)i−i2=−4+2i．∴z的虚部为2；复数z在复平面内对应的点位于第二象限；z−=−4−2i；|z|=2√5．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】B【知识点】向量的数量积【解析】解：△ABC的三个内角为A，B，C，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n⃗=(√3cosB,√3cosA)，m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=√3sinAcosB+√3sinBcosA=√3sin(A+B)=√3sinC，又因为m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=2−cosC，所以√3sinC=2−cosC，所以√3sinC+cosC=2(sinCcosπ6+sinπ6cosC)=2sin(C+π6)=2，因为0<C<π，所以C+π6=π2，所以C=π3．故选：B．利用向量的坐标表示求出向量的数量积，结合m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=2−cosC，转化求解C．本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．3.【答案】D【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、比较大小【解析】解：由题意知，a=sin14°+cos14°=√2(√22sin14°+√22cos14°)=√2sin59°，同理可得，b=sin16°+cos16°=√2sin61°，c=√62=√2sin60°，∵y=sinx在(0,90°)是增函数，∴sin59°<sin60°<sin61°，∴a<c<b，故选：D．利用两角和的正弦公式对a和b进行化简，转化为正弦值的形式，再由正弦函数的单调性进行比较大小．本题考查了比较式子大小的方法，一般需要把各项转化统一的形式，再由对应的性质进行比较，考查了转化思想．4.【答案】D【知识点】三角形面积公式、余弦定理、正弦定理【解析】【分析】本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=1，结合A的范围可求A=900，由余弦定理、三角形面积公式可求tanC=√3，结合范围00<C<900，可求C的值，根据三角形面积公式可求B的值．【解答】解：由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA，得sinCcosB+sinBcosC=sin2A，可得：sin(C+B)=sin2A，可得：sinA=1，因为，所以；由余弦定理、三角形面积公式及S=√34(b2+a2−c2)，得12absinC=√34⋅2abcosC，整理得tanC=√3，又，所以，故．故选D．5.【答案】A【知识点】古典概型的计算与应用、二次函数、函数的单调性与单调区间【解析】【分析】本题主要考查古典概型的计算与应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．先求出基本事件总数n=3×4=12，再求出函数f(x)=ax2−2bx在区间(1,+∞)上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f(x)=ax2−2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率．【解答】解：∵a∈{0,1，2}，b∈{−1,1，3，5}，∴基本事件总数n=3×4=12．函数f(x)=ax2−2bx在区间(1,+∞)上为增函数，由条件可知a≥0，①当a=0时，f(x)=−2bx，符合条件的只有：(0,−1)，即a=0，b=−1；≤1，符合条件的有：(1,−1)，(1,1)，(2,−1)，(2,1)，共4②当a>0时，需要满足ba种．∴函数f(x)=ax2−2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是P=5．12故选A．6.【答案】C【知识点】向量的数量积【解析】【分析】本题考查平面向量的综合应用，建系设点可以使问题便于思考，本题计算量太大，要注意计算的准确性．属于中档题．如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，且r >√2a ，然后设P(rcosθ,rsinθ)，正方形的四个顶点坐标易给，则将坐标分别代入四个选项判断即可． 【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，且r >√2a ， 然后设P(rcosθ,rsinθ)，A(a,a)，B(−a,a)，C(−a,−a)，D(a,−a)．∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −rcosθ,a −rsinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −rcosθ,a −rsinθ)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −rcosθ,−a −rsinθ)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −rcosθ,−a −rsinθ)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =r 2−2arsinθ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a 2+r 2，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =r 2−2arcosθ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =r 2+2arcosθ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a 2+r 2，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =r 2+2arsinθ．PA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2a 2+r 2−2ar(cosθ+sinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2a 2+r 2+2ar(cosθ−sinθ)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2a 2+r 2+2ar(cosθ+sinθ)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2a 2+r 2−2ar(cosθ−sinθ)． 对于A ，原式=−4a 2+2r 2(定值)，故A 结论成立； 对于B ，原式=4r 2(定值)，故结论B 成立； 对于D ，原式=8a 2+4r 2(定值)，故结论D 成立．对于C ，取θ=0°时，原式=2|PA|+2|PB|=2√a 2+(r −a)2+2√a 2+(r +a)2，再取θ=45°时，原式=|PA|+|PC|+2|PB|=r −√2a +r +√2a +2√r 2+2a 2=2r +2√r 2+2a 2．显然两式不相等．故C 结论不成立． 故选：C ．7.【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数、频率分布直方图【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题．利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10= 0.25，×10=66，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25甲地区的平均数s1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67．乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10= 0.35，×10≈77.1，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35乙地区的平均数s2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5．∴m1<m2，s1<s2．故选：C．8.【答案】C【知识点】线面平行的判定、面面垂直的判定、面面平行的判定、线面垂直的性质、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】【分析】本题主要考查了空间直线与平面，平面与平面的位置关系，以及三角形面积，以及投影的定义的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定理，可得判定②正确；由三角形的面积公式，可求得△A1DM的面积S的范最小值，可判定③错误；由三角形的面积公式，得到S1，S2的范围，可判定④正确．解：连接B1C，设平面A1B1CD与体对角线AC1交于点M，由B1C⊥BC1，DC⊥BC1，B1C∩DC=C,可得BC1⊥平面A1B1CD，即BC1⊥平面A1DM，BC1⊂平面BC1D，∴存在点M，使得平面A1DM⊥平面BC1D，故①对；由BD//B1D1，A1D//B1C，BD∩A1D=D,B1D1∩B1C=B1,利用面面平行的判定可得，平面A1BD//平面B1D1C，设平面A1BD与AC1交于点M，可得DM//平面B1CD1，故②对；连接AD1交A1D于点O，过O作OM⊥AC1，由①可推知，A1D⊥平面ABC1D1，∴A1D⊥OM，∴OM为异面直线A1D与AC1的公垂线，根据△AOM∽△AC1D1，则OMC1D1=OAAC1，即OM=OA⋅C1D1 AC1=√2×22√3=√63，∴△A1DM的最小面积为S△A1DM =12×A1D×OM=12×2√2×√63=2√33，故③错；在点P从AC1的中点向着点A运动过程中，S1从1减少趋向于0，即S1∈(0,1)，S2从0增大到趋向于2，即S2∈(0,2)，在这过程中，必存在某个点P使得S1=S2，故④对．故选：C．9.【答案】D【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、二面角、全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解：如图所示，A.在边A′E上点F，在A′D上取一点N，使得FN//ED，在ED上取一点H，使得NH//EF，作HG//BE交BC于点G，则可得FN−//BG，即四边形BGNF为平行四边形，∴NG//BE，而GN始终与平面ACD相交，因此在边A′E上不存在点F，使得在翻折过程中，满足BF//平面A′CD，不正确．B .λ∈(0,12)，在翻折过程中，点A′在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A′BC ⊥平面BCDE ，因此不正确．C .λ=12，当二面角A′−DE −B 为直二面角时，取ED 的中点M ，可得：AM ⊥平面BCDE ． 则|A′B|=√AM 2+BM 2=√(√32)2+1+(12)2−2×1×12cos120°=√102≠√104，因此不正确．D .在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A′−BCDE 体积f(λ)=13⋅S 四边形 BCDE ⋅√3λ=13×√3(1−λ2)⋅√3λ=λ−λ3，λ∈(0,1)，f′(λ)=1−3λ2，可得λ=√33时，函数f(λ)取得最大值=√33(1−13)=2√39，因此正确． 故选：D ．A .在边A′E 上点F ，在A′D 上取一点N ，使得FN//ED ，在ED 上取一点H ，使得NH//EF ，作HG//BE 交BC 于点G ，可得四边形BGNF 为平行四边形，可得GN 始终与平面ACD 相交，即可判断出结论．B .λ∈(0,12)，在翻折过程中，点A′在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论．C .λ=12，当二面角A′−DE −B 为直二面角时，取ED 的中点M ，可得：AM ⊥平面BCDE.可得|A′B|=√AM 2+BM 2，结合余弦定理即可得出．D .在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A′−BCDE 体积f(λ)=13⋅S 四边形 BCDE ⋅√3λ=λ−λ3，λ∈(0,1)，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题．10.【答案】BD【知识点】平面与平面的位置关系、空间中直线与平面的位置关系【解析】解：由m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，知： 在A 中，若m//β，n//β，m ，n ⊂α，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，n ⊂γ，则由面面垂直的性质定理得m ⊥n ，故B 正确；在C 中，若m ⊥α，α⊥β，α∩β=n ，那么由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故C 错误；在D中，若m//α，m//β，α∩β=n，那么由线面平行的性质定理得m//n，故D正确．故选：BD．在A中，若α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的性质定理得m⊥n；在C中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，由线面平行的性质定理得m//n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BC【知识点】命题及其关系【解析】解：f(x)=4cos2x+4sinxcos(x+π6)=2√3sin(2x+π3)+1，画出函数的图象，如图所示：对于选项A：f(x)的图象与x轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为π2，故A错；对于选项B：函数f(x)的图象关于点(−π6,1)对称，故B正确；对于选项C：函数f(x)=2√3sin(2x+π3)+1=2√3cos(2x−π6)+1，故C正确；对于选项D：函数f(x)的图象可由y=2√3sin2x先向上平移1个单位，再向左平移π6个单位长度得到，故D错误．故选：BC．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质对称性，周期，函数的图象的平移变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】BCD【知识点】复数的模【解析】解：对于A，复数z满足|z−i|=√5，由复数模的几何意义可知，复数z对应的点在以(0,1)为圆心，√5为半径的圆上，故选项A错误；对于B，因为z+|z|=2+8i，所以z=2−|z|+8i，则|z|2=(2−|z|)2+82，解得|z|= 17，所以z=−15+8i，故选项B正确；对于C，由复数的乘法运算律可知，当m，n∈N∗时，有z m z n=z m+n，故选项C正确；对于D，1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i∈M={m|m=i n,n∈N}，故选项D正确．故选：BCD．利用复数模的几何意义判断选项A，利用复数模的定义判断选项B，利用复数的运算律判断选项C，利用复数的除法运算判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了复数知识的运用，主要考查了复数模的几何意义，复数模的定义，复数的运算律，复数的除法运算法则，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．13.【答案】【知识点】解三角形的实际应用【解析】解：如图所示：在△ABD中，AB=5km，AD=7km，∠ABD=60°，利用余弦定理：AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cos60°，整理得49=25+BD2−2×5×BD×12，解得BD=8或−3(负值舍去)．在△BCD中，∠CBD=15°，∠BCD=120°，所以∠CDB=45°，利用正弦定理BDsin120∘=BCsin45∘，整理得BC=BD⋅sin45°sin120∘=8√63．故答案为：8√63首先利用余弦定理的应用求出BD的长，进一步利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】180【知识点】众数、中位数、平均数【解析】解：设这20人中选修政史类课程的学生人数为x，则115x+120×(20−x)=20×119，解得x=4，由分层抽样可知，该校选修政史类课程的学生人数为420×900=180人．故答案为：180．利用平均数的计算公式求出20人中选修政史类课程的学生人数，然后利用分层抽样的特点进行求解即可．本题考查了平均数计算公式的应用，分层抽样的应用，解题的关键是掌握分层抽样是按比例抽取，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.【答案】(1−√11,2)∪(2,1+√11)【知识点】向量的夹角【解析】解：∵向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(λ,1)，∴a⃗+2b⃗ =(4+2λ,4)，a⃗−b⃗ =(4−λ,1)，若a⃗+2b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角是锐角，则a⃗+2b⃗ 与a⃗−b⃗ 不共线，且它们乘积为正值，即4+2λ4−λ≠41，且(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(4+2λ,4)⋅(4−λ,1)=20+4λ−2λ2>0，求得1−√11<λ<1+√11，且λ≠2，故答案为：(1−√11,2)∪(2,1+√11).先求出a⃗+2b⃗ 与a⃗−b⃗ 的坐标，再根据a⃗+2b⃗ 与a⃗−b⃗ 不共线，且它们乘积为正值，求出实数λ的取值范围．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．16.【答案】112√38+8√3【知识点】圆有关的轨迹问题、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积【解析】解：根据题意，该正四面体的棱长为3AB=12，点A，B，M分别是正四面体棱的三等分点，该正四面体的表面积为4×12×12×12×sin60°=144√3，该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面面积为3×12×4×4×sin60°=12√3，每个角上小正四面体的底面面积为12×4×4×sin60°=4√3， 所以该多面体的表面积为144√3−4×12√3+4×4√3=112√3； 如图，设点H 为该多面体的一个顶点，则HF =8=HM =MF ，在△HFB 中，HB 2=HF 2+BF 2−2BH ⋅HFcos60°=82+42−2×4×8×12=48， 则HB =4√3，所以HB 2+BF 2=HF 2，即HB ⊥BF ，同理MB =4√3，MB ⊥AB ， 又HB ∩MB =B ，HB ，MB ⊂平面MBH ，所以AB ⊥平面MBH ，由点N 是该多面体表面上的动点，且总满足MN ⊥AB ，则点N 的轨迹是线段MB ，HB ，MH ，所以点N 的轨迹的长度为MB +HB +MH =8+4√3+4√3=8+8√3． 故答案为：112√3；8+8√3．先求出正四面体的表面积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小正四面体的侧面积和底面面积可得答案；通过证明AB 垂直于一截面，从而得到点N 的轨迹，即可得到答案．本题考查了求多面体的表面积和求动点轨迹的长度问题，解题本题的关键是先证明AB ⊥平面MBH ，得出点N 的轨迹是线段MB ，HB ，MH ，属于中档题．17.【答案】解：选择条件①3asinC =4ccosA ，(1)在△ABC 中，运用正弦定理可得，3sinAsinC =4sinCcosA ， ∵sinC ≠0， ∴3sinA =4cosA ， ∵sin 2A +cos 2A =1， 又∵sinA >0， ∴sinA =45．(2)∵BM =MC ，∴cos∠BMC =−cos∠BMA =−sinA =−45，在△BMC 中，运用余弦定理可得，18=2m 2−2m 2⋅(−45)， 解得m =√5，∴S △BMC =12m 2sin∠BMC =12×5×35=32， 在Rt △ABM 中，∵sinA =45，BM =√5，∠ABM =π2，∴AB =3√54， ∴S △ABM =12×3√54×√5=158，∴S △ABC =32+158=278．选择条件②2bsin B+C 2=√5asinB ，∵2bsin B+C 2=√5asinB ， ∴2bsinπ−A 2=√5asinB ，由正弦定理可得，2sinBcos A2=√5sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴2cos A2=√5sinA =√5⋅2sin A2⋅cos A2， ∵cos A 2≠0， ∴sin A2=√55， ∴cos A2=2√55， ∴sinA =2sin A2⋅cos A2=45． (2)∵BM =MC ，∴cos∠BMC =−cos∠BMA =−sinA =−45，在△BMC 中，运用余弦定理可得，18=2m 2−2m 2⋅(−45)， 解得m =√5，∴S △BMC =12m 2sin∠BMC =12×5×35=32，在Rt △ABM 中，∵sinA =45，BM =√5，∠ABM =π2， ∴AB =3√54， ∴S △ABM =12×3√54×√5=158，∴S △ABC =32+158=278．【知识点】解三角形的实际应用、余弦定理、正弦定理【解析】选择条件①3asinC =4ccosA(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m =√5，再结合三角形面积公式，即可求解． 选择条件②2bsin B+C 2=√5asinB(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m =√5，再结合三角形面积公式，即可求解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．18.【答案】证明：(1)∵底面ABCD 是矩形，∴AB//CD ，∵点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，∴EF//CD ，∴AB//EF ，又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，∴EF//平面PAB ．(2)∵AP =AD ，且F 为PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AF ，∵PD ∩CD =D ，PD 、CD ⊂平面PCD ，∴AF ⊥平面PCD ，∵AF ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．【知识点】线面平行的判定、面面垂直的判定【解析】(1)由矩形的性质知AB//CD ，由中位线的性质知EF//CD ，从而有AB//EF ，再由线面平行的判定定理，得证；(2)由平面PAD ⊥平面ABCD ，可证CD ⊥平面PAD ，知CD ⊥AF ，而AF ⊥PD ，再结合线面垂直和面面垂直的判定定理，得证．本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意得：{3+x +9+15+18+y =6018+y 3+x+9+15=23， 化简得：{x +y =152x =3y，解得：x =9，y =6，故p=0.15，q=0.1，补全的频率直方图如图示：，(2)设这60名网友的网购金额的平均数为x，则x−=0.25×0.05+0.75×0.15+1.25×0.15+1.75×0.25+2.25×0.3+2.75×0.1=1.7(千元)，又∵0.05+0.15+0.15=0.35，0.150.5=0.3，故这60名网友的网购金额的中位数为：1.5+0.3=1.8(千元)，∵平均数1.7<2，中位数1.8<2，故根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”．【知识点】众数、中位数、平均数、频率分布表、频率分布直方图【解析】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是常规题．(1)根据频数和与频数的计算问题，求出x与y的值，再计算p与q的值；求出小组(0.5,1]与(2.5,3]的频率组距，得出对应纵坐标，画出完整的频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，计算平均数和中位数即可．20.【答案】解：(1)∵g(x)=−sin(3π2−x)+√3sin(π+x)∴g(x)=cosx−√3sinx=−√3sinx+cosx∴g(x)的伴随向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)；(2)向量ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)的伴随函数为f(x)=sinx+√3cosx，∵f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)=85，∴sin(x+π3)=45∵x ∈(−π3,π6)，∴x +π3∈(0,π2)，∴cos(x +π3)=35， sinx =sin[(x +π3)−π3]=12sin(x +π3)−√32cos(x +π3)=4−3√310(3)由(1)知：g(x)=−√3sinx +cosx =−2sin(x −π6)将函数g(x)的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y =−2sin(12x −π6)， 再把整个图象向右平移2π3个单位长得到ℎ(x)的图象，得到ℎ(x)=−2sin(12(x −2π3)−π6)=−2sin(12x −π2)=2cos 12x ， 设P(x,2cos 12x)，∵A(−2,3)，B(2,6)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6) 又∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴(x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0 即x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0∴(2cos 12x −92)2=254−x 2(∗) ∵−2≤2cos 12x ≤2，∴−132≤2cos 12x −92≤−52， ∴254≤(2cos 12x −92)2≤1694， 又∵254−x 2≤254，∴当且仅当x =0时，(2cos 12x −92)2和254−x 2同时等于254，这时(∗)式成立．∴在y =ℎ(x)的图象上存在点P(0,2)，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】(1)根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可(2)根据方程，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可(3)根据三角函数的图象变换关系求出ℎ(x)的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解．本题主要考查三角函数和向量的综合应用，根据伴随向量的定义，以及利用辅助角公式，两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．21.【答案】解：(1)两台空调在质保期的两年内维修交数超过2次的概率为：P=C21×15×15+C21×310×12+C21×310×15+C22×(310)2+C22×(15)2=63100．(2)方案一的维修费用X的可能取值为0，200，400，600，800，P(X=0)=0.2×0.8+0.3×0.5+0.3×0.2=0.37，P(X=200)=0.2×0.2+0.3×0.3+0.3×0.3+0.2×0.2=0.26，P(X=400)=0.3×0.2+0.3×0.3+0.2×0.3=0.21，P(X=600)=0.3×0.2+0.2×0.3=0.12，P(X=800)=0.2×0.2=0.04，方案一的质保金与维修费用之和的期望值为：300+0×0.37+200×0.26+400×0.21+600×0.12+800×0.04=540元，方案二的维修费用Y的可能取值为0，200，400，600，P(Y=0)=0.2×1+0.3×0.8+0.3×0.5+0.2×0.2=0.63，P(Y=200)=0.3×0.2+0.3×0.3+0.2×0.3=0.21，P(Y=400)=0.3×0.2+0.2×0.3=0.12，P(Y=600)=0.2×0.2=0.04，方案二的质保金与维修费用之和的期望值为：400+0×0.63+200×0.21+400×0.12+600×0.04=514元，故方案二更合算．【知识点】古典概型的计算与应用【解析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式能求出两台空调在质保期的两年内维修交数超过2次的概率．(2)先分别求出方案一的维修费用期望和方案二的维修费用期望，从而得到方案二更合算．本题考查概率、数学期望的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．22.【答案】解：(Ⅰ)延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=12AD，∵BC=CD=12AD，∴ED=BC，∵AD//BC，即ED//BC，∴四边形BCDE为平行四边形，即EB//CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM//BE，∵BE ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ，∴CM//平面PBE ，∵M ∈AB ，AB ⊂平面PAB ，∴M ∈平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点M(M =AB ∩CD)，使得直线CM//平面PBE ． (Ⅱ)如图所示，∵∠ADC =∠PAB =90°，即PA ⊥AB ，且异面直线PA 与CD 所成的角为90°，即PA ⊥CD ，又AB ∩CD =M ，AB ，CD ⊂平面ABCD ，∴AP ⊥平面ABCD ．∵AD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又AD ⊥CD ，PA ⊥CD ，AD ∩PA =A ，AD ，PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD ．因此∠PDA 是二面角P −CD −A 的平面角，大小为45°．∴PA =AD ．不妨设AD =2，则BC =CD =12AD =1．以A 为坐标原点，平行于CD 的直线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，∴P(0,0，2)，E(0,1，0)，C(−1,2，0)，∴EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−2)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)， 设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：{y −2z =0−x +y =0． 令y =2，则x =2，z =1，∴n⃗ =(2,2，1)． 设直线PA 与平面PCE 所成角为θ，则sinθ=|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√9×2=13．【知识点】平面与平面所成角的向量求法、线面平行的判定、直线与平面所成角的向量求法【解析】本题考查了线面平行的判定定理，以及利用空间向量求线面的夹角，同时考查了二面角，线面垂直的判定定理和性质定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．AD，由BC= (Ⅰ)延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=12 AD，可得ED=BC，已知ED//BC，可得四边形BCDE为平行四边形，即EB//CD. CD=12利用线面平行的判定定理证明直线CM//平面PBE即可．(Ⅱ)由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，以及AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD.利用线面垂直的判定定理和性质定理可得CD⊥PD，PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P−CD−A的平面角，大小为45°，所以PA=AD，不妨设AD=2，AD=1.建系，可得P(0,0，2)，E(0,1，0)，C(−1,2，0)，利用法向量的则BC=CD=12性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．。
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期中教学质量调研(二)数学试题及答案
2
2 AM
2
调研 2 数学答案 第 1 页 共 4 页
18. （1）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，由 AA1 // CC1 ， AA1 CC1 得： 四边形 AA1C1C 为平行四边形 A1C1 // AC ， A1C1 平面 ACD1 ， AC 平面 ACD1
A1C1 // 平面 ACD1 同理可证： BC1 // 平面 ACD1 ， A1C1 BC1 C1 , A1C1 A1C1B , BC1 A1BC1
5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]
填空题
13.
高一数学 第 6 页 共 6 页
2020-2021学年度第二学期教学质量调研（二）
高一年级 数学
19.
考场/座位号：
姓名：
准考证号
班级：
注意事项
1．答题前，请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题必须使用2B铅笔填 涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题使用黑色笔书写。 4．必须在题号对应的答题区内作 答，超出答题区书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。
在 ACM 中， AMC 120 ，而 AM MC 1 ，
利用余弦定理得： AC 3 . （2）法一：在 ACM 中， AMC 120 ，由正弦定理得：
................................5 分
AC sin1200
AM sin C
sin C
2020-2021学年江苏省南通市通州区金沙中学高一(下)调研数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南通市通州区金沙中学高一（下）调研数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={x|x >−1}，集合N ={x|−2<x <1}，则M ∩N =( )A. (−2,−1)B. (−1,1)C. (−1,+∞)D. (−2,+∞)2. 已知命题p ：∃x >1，x 2−4<0，则￢p 是( )A. ∃x >1，x 2−4≥0B. ∃x ≤1，x 2−4<0C. ∀x ≤1，x 2−4≥0D. ∀x >1，x 2−4≥03. 在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα=( )A. −√55B. √55C. 2√55D. −2√554. 将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π6个单位后与函数g(x)的图象重合，则函数g(x)为( )A. sin(2x −π6)B. sin(2x +π6)C. sin(2x −π3)D. sin(2x +π3)5. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是( )A. y =1xB. y =x 3C. y =lnxD. y =sinx6. 已知a =log 20.4，b =log 0.40.5，c =20.4，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. a <c <bD. c <a <b7. 函数f(x)=√1−log 2(x +2)的定义域为( )A. [−2,0]B. (−2,0)C. (−2,0]D. (−2,+∞)8. 已知函数f(x)={2x (x ≥2)f(x +1)(x <2)，则f(log 23)=( )A. 6B. 3C. 13D. 16二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设函数f(x)=(12)|x|，下列说法正确的是( )A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)是奇函数C. 函数f(x)有最大值1D. 函数f(x)在(−∞,0)上单调递减10. 已知a >b >c ，且ac <0，则下列不等式恒成立的有( )A.b−a c<0B. b a >caC. 1a >1cD. b 2c >a 2c11.已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则下列结论正确的是()A. θ∈(π2,π) B. cosθ=−35C. tanθ=−34D. sinθ−cosθ=7512.下列说法中，正确的有()A. e ln1+lg2+lg2lg5+lg25=2B. 幂函数y=xα图像过原点时，它在区间(0,+∞)上一定是单调增函数C. 设a，b∈(0,1)∪(1,+∞)，则“log a b=log b a”是“a=b”的必要不充分条件D. “φ=π2+2kπ(k∈Z)”是“函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(3,√3)，则f(x)=______．14.已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为______ ．15.若x>1，则9x+1x−1的最小值等于______．16.不等式ax2+1ax+c>0的解集为{x|−2<x<1}，则函数y=√ax2+cx的单调递增区间是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知sinα=35，且α∈(π2,π)．(1)求cosα，tanα的值；(2)求sinα−cosαsinα+cosα的值．18.集合A={x|14<2x<8}，B={x|a−1<x<2a+1}．(1)当a=0时，求A∩B；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=2x，x∈R．(1)若函数f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；(2)若f(1x)=3，求3x+3−x的值．20.为助力凉山脱贫攻坚，州农科所通过培育新品种、引进新技术及配套高产栽培技术示范，为某县水果产业发展提供技术服务.研究发现，一亩脐橙树的产量w(单位：吨)与肥料费用x(单位：千元)近似满足如下关系：使用肥料不超过3千元时，w=1.7+3x5，若使用肥料超过3千元且不超过6千元时，w=−110x2+13x10+12.此外，还需投入其他成本2x千元.若该脐橙的市场售价为1万元/吨，且市场上对脐橙的需求始终供不应求，该脐橙树每亩可获得的利润为f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)求当每亩地投入多少肥料时利润最大？并求出利润的最大值．21.已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求出函数f(x)的函数解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求函数f(x)在[−π6,π3]上的最值．22.已知函数f(x)=a⋅4x−14x+1是定义在R上的奇函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式f(x2−2x)+f(3x−2)<0；(3)是否存在实数k，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n]，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：M={x|x>−1}，N={x|−2<x<1}，∴M∩N=(−1,1)．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，掌握存在量词命题的否定是全称量词命题是解决本题的关键，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可．【解答】解：命题是存在量词命题，则否定是全称量词命题，即∀x>1，x2−4≥0，故选：D．3.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P(1,−2)，即x=1，y=−2，则r=√12+(−2)2=√5．∴sinα=yr =√5=−2√55．故选：D．由题意可得x=1，y=−2，求出r，利用任意角的三角函数的定义，直接求出sinα．本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3).则函数g(x)为：y=3sin(2x+π3).故选：D．利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：A.函数是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．B.函数在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数，满足条件，C.函数的定义域为(0,+∞)为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵a=log20.4<log21=0，0=log0.41<b=log0.40.5<log0.40.4=1，c=20.4>20=1，∴a<b<c．故选：A．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】根据函数有意义的条件建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题． 【解答】解：要使函数有意义，则1−log 2(x +2)≥0得log 2(x +2)≤1， 即0<x +2≤2，得−2<x ≤0， 即函数的定义域为(−2,0]， 故选：C ．8.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)={2x (x ≥2)f(x +1)(x <2)，∴f(log 23)=f(log 23+1)=2log 23+1=3×2=6． 故选：A ．由函数性质得f(log 23)=f(log 23+1)=2log 23+1，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9.【答案】AC【解析】解：根据题意，f(x)=(12)|x|，则f(x)的定义域为R ， 有f(−x)=(12)|x|=f(x)，是偶函数，A 正确，B 错误， f(x)=(12)|x|={(12)x ,x ≥02x ,x <0，在区间(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则函数f(x)有最大值为f(0)=1， 故C 正确，D 错误， 故选：AC ．根据题意，分析函数的奇偶性可得A 正确，B 错误，将f(x)写成分段函数的形式，可得f(x)的最值以及单调性，可得C正确，D错误，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质、最值的分析，涉及分段函数的性质，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：由已知可得a>0，c<0，而b的符号不确定，所以C正确，D错误，则b−a<0，所以b−ac>0，故A错误；因为b>c，a>0所以ba >ca，故B正确；故选：BC．由已知可得a>0，c<0，b的符号不确定，然后对应各个选项逐个判断即可．本题考查了不等式的性质，考查了学生对不等式的分析推理能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题．先对sinθ+cosθ=15两边平方求出sinθcosθ的值，即可判断出θ所在的象限，再求出(sinθ−cosθ)2的值，从而求出sinθ，cosθ，tanθ的值．【解答】解：∵sinθ+cosθ=15，∴两边平方得：1+2sinθcosθ=125，∴sinθcosθ=−1225，∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈(0,π)，∴θ∈(π2,π)，∴sinθ>cosθ，∴(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，∴sinθ−cosθ=75，又∵sinθ+cosθ=15，∴sinθ=45,cosθ=−35，tanθ=−43，故选：ABD．12.【答案】ABC【解析】解：对于A：e ln1+lg2+lg2lg5+lg25=1+lg2+lg5(lg2+lg5)=1+lg10=2，故A正确；对于B：当幂函数y=xα图像经过原点时，所以α>0，它在区间(0,+∞)上是单调增函数，故B正确；对于C：设a，b∈(0,1)∪(1,+∞)，当“log a b=log b a”时，得到a=b或ab=1，所以“log a b=log b a”是“a=b”的必要不充分条件，故C正确；对于D：“φ=π2+2kπ(k∈Z)”时，函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数”，当函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数”则φ=kπ+π2(k∈Z)，故“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是“函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件，故D错误．故选：ABC．直接利用对数的运算，幂函数的性质，对数函数的性质，三角函数的关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：对数的运算，幂函数的性质，对数函数的性质，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】x12【解析】解：设幂函数y=f(x)=xα，把点(3,√3)代入可得√3=3α，∴α=12，即f(x)=√x，故答案为：√x．设幂函数y=f(x)=xα，把点(3,√3)代入可得α的值，求出幂函数的解析式即可．本题主要考查求幂函数的解析式，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由扇形的面积公式可得该扇形的面积为12×1×22=2．故答案为：2．由扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．15.【答案】15【解析】解：由于x>1，所以x−1>0，则：9x+1x−1=9(x−1)+1x−1+9≥2√9+9=15，当且仅当9(x−1)2=1，即当x=43时，等号成立．故答案为：15直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】[0,1]【解析】解：∵不等式ax2+1ax+c>0的解集为{x|−2<x<1}，∴−2和1是ax2+1a x+c=0的两根，由根与系数的关系知−2+1=−1a2=−1，−2×1=ca=−2，由不等式的解集为{x|−2<x<1}，可知a<0，∴a=−1，c=2，则y=√ax2+cx=√−x2+2x，因为函数y=√−x2+2x的定义域为[0,2]，令g(x)=−x2+2x，则对称轴为x=1，则该函数的增区间为[0,1]，所以y=√−x2+2x的增区间为[0,1]， 故答案为：[0,1]．根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数的关系求出a ，c 的值，然后根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)因为sinα=35，且α∈(π2,π)，所以cosα=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45，tanα=sinαcosα=−34；(2)sinα−cosαsinα+cosα=35−(−45)35+(−45)=−7．【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解． (2)由(1)即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)当a =0时，B ={x|−1<x <1}，由A ={x|14<2x <8}，可知：A ={x|−2<x <3}，∴A ∩B ={x|−1<x <1}． (2)由(1)知，A ={x|−2<x <3}，B ={x|a −1<x <2a +1}，且B ⊆A ， i)当B =⌀时，a −1≥2a +1，即a ≤−2； ii)当B ≠⌀时，{a −1<2a +1a −1≥−22a +1≤3，解得−1≤a ≤1．综上所述：a 的取值范围为：(−∞,−2]∪[−1,1]．【解析】(1)当a =0时，求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．(2)求出集合A ，由B ⊆A ，得当B =⌀时，a −1≥2a +1，当B ≠⌀时，列出不等式组，由此能求出a 的取值范围．本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)f(x)=2x 为R 上的增函数，则f(x)在区间[a,2a]上为增函数，∴f(x)min =2a ，f(x)max =22a ，由22a +2a =6，得22a +2a −6=0，即2a =−3(舍去)，或2a =2，即a =1； (2)若f(1x )=3，则21x=3，即1x =log 23=lg3lg2=1lg2lg3=1log 32，则x=log 32，∴3x +3−x =3log 32+3−log 32=2+12=52．【解析】(1)由指数函数的单调性求得函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值，由最大值与最小值的和为6列式求得a 值；(2)由f(1x )=3求得x ，代入3x +3−x ，再由对数的运算性质求解．本题考查指数函数的单调性及其应用，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知：f(x)={10×(1.7+35x)−2x −x,x ∈[0,3]10×(−110x 2+1310x +12)−2x −x,x ∈(3,6], 即f(x)的解析式为：f(x)={17+3 x,x ∈[0,3]−x 2+10x +5,x ∈(3,6]；(2)由(1)知：f(x)={17+3 x,x ∈[0,3]−x 2+10x +5,x ∈(3,6]；①当x ∈[0,3]时，f(x)=17+3x 为单调递增函数， 所以当x =3时，f(x)的最大值为26千元．②当x ∈(3,6]时，f(x)=−x 2+10x +5=−(x −5)2+30， x =5时取得最大值为30千元．综上所述：每亩地投入肥料5千元时，利润最大为30千元．【解析】(1)根据题意即可求出利润的解析式；(2)根据(1)的解析式分段求出最大值，比较即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到函数的单调性，考查了学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由图可知：A =2，T 4=π4，即T =π，根据T =2πω，得：ω=2，由f(π6)=2，得：2×π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ， ∴φ=π6，(|φ|<π2)，故函数f(x)的解析式为：f(x)=2sin(2x +π6)． (2)由(1)知函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)， ∴−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， ∴−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ． (3)由(2)知f(x)在[−π6,π6]上为增函数，f(x)在[π6,π3]上为减函数， ∴f(x)在x =−π6时，取得最小值f(−π6)=−1， f(x)在x =π6时，取得最大值f(π6)=2，综上所述：f(x)在[−π6,π3]上的最小值为−1，最大值为2．【解析】(1)由函数图象可得A 及函数周期，利用周期公式可求ω，由y =f(x)过点(π6,2)，结合范围|φ|<π2，可求φ，可得函数解析式．(2)由已知可求−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，即可得解函数的单调递增区间． (3)利用正弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数，则f(0)=a×40−140+1=0，解可得a =1，当a =1时，f(x)=4x −14x +1，有f(−x)=4−x −14−x +1=−4x −14x +1=−f(x)，是奇函数，符合题意；故a =1；(2)函数f(x)在R 上为增函数，证明如下：f(x)=4x −14x +1=1−24x +1，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=2(4x 1−4x 2)(4x 1+1)(4x 2+1)， 又由x 1<x 2，则(4x 1−4x 2)<0，(4x 1+1)>0，(4x 2+1)>0， 则f(x 1)−f(x 2)<0， 则函数f(x)在R 上为增函数； 不等式f(x 2−2x)+f(3x −2)<0⇔f(x 2−2x)<−f(3x −2)⇒f(x 2−2x)<f(2−3x)⇒x 2−2x <2−3x ， 解可得：−2<x <1， 则不等式的解集为(−2,1)；(3)假设存在实数k ，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n ]， 又由(2)的结论，函数f(x)在[m,n]上为增函数，则有{f(m)=4m −14m +1=k4mf(n)=4n −14n +1=k 4n，则m 、n 为方程4x −14x +1=k 4x的两根， 令t =4x ，有t >0，则t−1t+1=kt 即t 2−(k +1)t −k =0有2个不等的正根，则有{1+k 2>0Δ=(k +1)2+4k >0−k >0，解可得−3+2√2<k <0，则k 的取值范围为(−3+2√2,0)．【解析】(1)根据题意，由奇函数的定义可得f(0)=a×40−140+1=0，解可得a 的值，验证即可得答案；(2)根据题意，由作差法分析可得函数为增函数；据此结合函数的奇偶性分析可得f(x 2−2x)+f(3x −2)<0⇔f(x 2−2x)<−f(3x −2)⇒f(x 2−2x)<f(2−3x)⇒x 2−2x <2−3x ，解可得x 的取值范围，即可得答案；(3)假设存在实数k ，满足题意，结合函数的单调性分析可得{f(m)=4m −14m +1=k4mf(n)=4n −14n +1=k4n，则m 、n 为方程4x −14x +1=k4x 的两根，令t =4x ，用换元法分析可得t 2−(k +1)t −k =0有2个不等的正根，结合一元二次函数的性质分析可得{1+k 2>0Δ=(k +1)2+4k >0−k >0，解可得k 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，(3)中注意转化为一元二次方程的根的分布问题，属于综合题．。
江苏省南通市通州区2024届数学高一第二学期期末监测试题含解析
江苏省南通市通州区2024届数学高一第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（）A．B．C．D．2．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A．60 B．55 C．45 D．503．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．④4．已知ABC 的三个顶点都在一个球面上，22,4AB BC AC ===，且该球的球心到平面ABC 的距离为2，则该球的表面积为（ ） A ．80πB ．16053πC ．32πD ．6423π5．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域概率为49； （2）豆子落在黄色区域概率为13；（3）豆子落在绿色区域概率为29； （4）豆子落在红色或绿色区域概率为13； （5）豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos a A b B =，那么ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格99.510.511销售量 118 6 5由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的（ ）A ．10B ．11C ．12D ．10.58．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0B m ，()0m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．49．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减10．已知向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥b ，则tan()4πθ-=( )A ．2B ．-3C ．-1D ．-3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
（1）选①，由题意化简得 ，即 ，根据余弦定理得 ，因为 所以 .
选②，由题意得 ,则 ，因为 所以 .
选③，由题意化简得 ,当 时代入原式显然不成立，故 ，因为 所以 .
（2）在 中，根据余弦定理得 ，所以 ，故 ,所以 ，在 中根据正弦定理得 ，解得
19．（1） ；（2） .
【分析】
（1）由向量的线性运算法则，可得 ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解；
6．已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
7．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为 ，乙译出密码的概率为 ．则密码被破译的概率为（）
A． B． C． D．
8．英国数学家泰勒发现了如下公式： ，其中 ．根据该公式可知，与 的值最接近的是（）
【详解】
若 ， ，则n可能在α内，只要过m作平面β与α相交，交线即可作为直线n,故A错误；
若 ， ，则m可能在α内，只要m在α内垂直于两平面α，β的交线即有m⊥β，故B错误；
若 ， ，则α，β可能相交，只要m不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C错误；
若 ， ，根据线面垂直的性质定理可知 ，故D正确；
4．设 ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
5．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的 倍，土星的公转时间约为 ．则天王星的公转时间约为（）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期末调研模拟测试数学试题1 Word版含答案
南通市2023届高一期末调研模拟测试数 学 2021.05注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
在试卷、 草稿纸上作答一律无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3. 本场考试时间120分钟，满分150分。
本试卷共6页，共22小题。
命制：马超。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A. z 的虚部为B. 复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C. z 的共轭复数D.2. 设的三个内角为A ，B ，C ，向量，，若，则C 的值为（ ）A.B.C.D.3. 设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a ，b ，c 大小关系（ ）A.B.C.D.4. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示的面积，若，，则角B 度数为（ ）A.B.C.D.5. 若a ∈{0，1,2}，b ∈{-1,1,3,5}，则函数在上为增函数的概率是（ ）A.B.C.D.6. 如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A. 是定值B. 是定值C. 是定值D. 是定值7. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．3π32π65π若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，，平均数分别为，，则（） A.，B. ，C. ，D. ，8.在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点点M与A、不重合，则下列结论正确的个数为（）存在点M，使得平面平面存在点M，使得平面若的面积为S，则若、分别是△A1DM在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9.若m，n是两条不重合的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列四个命题正确的是（）A.若，，m，，则B. 若，，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则10.关于函数，下列说法正确的是（）A. 若是函数的零点，则是的整数倍B. 图象关于点对称C. 图象与函数的图象相同D. 图象可由的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到11.已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）A. 若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上B. 若复数z满足，则复数C. 当m，时，有D. 是集合中的元素12.在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足且，，将沿直线DE折到的位置在翻折过程中，下列结论不成立的是（）A. 在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面B. 存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDEC. 若，当二面角为直二面角时，D. 在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上.13.如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，则两景点B与C的距离为 km．14.某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人假设每人只选修一种类别的课程，按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测．已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为．15.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数取值范围为．16.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为；点N轨迹的长度为．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知；（1）求sinA的值（2）如图，M为边AC上一点，，，求的面积18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：平面PAB（2）若，平面平面ABCD，证明：平面平面PCD19. （本小题满分12分）一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表：网购金额（千元）频数频率3x p91518y q若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”，已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为．（1）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”20.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．（1）设函数，试求的伴随向量（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值（3）由中函数的图象纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，问在的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由21.（本小题满分12分）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：交纳质保金300元，在质保两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率（2）请问小李选择哪种质保方案更合算22. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，为棱AD 的中点，异面直线PA与CD所成的角为.（1）在平面PAB内找一点M，使直线平面PBE，并说明理由（2）若二面角的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值南通市2023届高一期末调研模拟测试数学参考答案2021.05一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14. 180 15. 16.(阅卷提醒：第16小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解：若选，（1）在，由正弦定理可得因为，所以可得，在中，所以，所以；（2）设，易知．在中，由余弦定理得，解得，所以，在中，因为，，，所以所以，所以．若选，（1）因为，所以，由正弦定理可得，因为，，所以，，所以，（2）设，易知．在中，由余弦定理得，解得，所以，在中，因为，，，所以所以，所以．18.解：（1）由题意得：，化简得：解得：，，故，，补全的频率直方图如图示：，（2）设这60名网友的网购金额的平均数为x，则千元，又，，故这60名网友的网购金额的中位数为：千元，平均数，中位数，故根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”．19.（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以又在矩形ABCD中，，所以又平面PAB，平面PAB所以平面（2）证明：在矩形ABCD中，，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD所以平面PAD，又平面PAD所以因为且F是PD的中点，所以，由及平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．又平面PAD，所以平面平面PCD．20. 解：，的伴随向量为；（2）向量的伴随函数为，当，有，由可得，所以，则；（3）存在，理由如下：由知，将的图象纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍可得函数，再把整个图象向右平移个单位长度得到，假设存在一点P，使得，设点，，，，，所以，，，，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，时，，符合题意，故存在一点P，此时P点坐标为．21. 解：（1）设“购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次”为事件A，购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X，则，，，，．答：买这样的两台空调在质保期的两年内推使次数提过2次的概率为．（2）①选择方案一，小李可能交纳的维修费为；选择方案二，小车可能交纳的维修费为，其中，所以．因为，所以小李选择质保方案一更合算．22. 解：（1）延长AB交直线CD于点M，点E为AD的中点，，，，，即，四边形BCDE为平行四边形，即．，，，平面PBE，平面PBE，平面PBE，，平面PAB，平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点，使得直线平面PBE．（2）如图所示，，即，且异面直线PA与CD所成的角为，即，又，AB，平面ABCD，平面ABCD．平面ABCD，，且，，，AD，平面PAD，所以平面PAD，平面PAD，．因此是二面角的平面角，大小为．．不妨设，则．以A为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，0，，1，，2，，1，，1，，0，，设平面PCE的法向量为y，，则，可得：．令，则，，2，．设直线PA与平面PCE所成角为，则．（注意：本道题使用几何法得出正确答案也可给全分）。
2020-2021学年江苏省南通市高一下期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年江苏省南通市高一下期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =i2i+1（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设向量a →=(−2，1)，b →=(3，−4)，记a →，b →的夹角为〈a →，b →〉，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．−35B ．35C ．√55D ．−2√553．已知直线l 、m 与平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则α∥β B ．若l ⊥β，则α⊥βC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，则l ⊥m4．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝4，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．√64B ．√104C ．√155 D ．−√1045．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．1B ．√3C ．√33D ．126．某实验单次成功的概率为0.8，记事件A 为“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件A 的概率：先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0，1表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如表：752 029 714 985 034 437 863 694 141 469 037 623 804 601 366 959742761428261根据以上方法及数据，估计事件A 的概率为（ ） A ．0.384B ．0.65C ．0.9D ．0.9047．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2√2，BC ＝SC ＝SD ＝2，BC⊥SD ，则四棱锥S ﹣ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．8√2π3C ．16√2π3D ．4√3π8．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．43C ．23D ．3二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列各式中结果为零向量的是（ ） A ．AB →+MB →+BO →+OM →B ．AB →+BC →+CA →C ．OA →+OC →+BO →+CO →D ．AB →−AC →+BD →−CD →10．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的11．已知复数z ＝1+cos2θ+i sin2θ（−π2＜θ＜π2）（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数C ．|z |＝2cos θD ．1z的实部为−1212．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则z |z|= ．14．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x 的值为 ．15．已知等边△ABC ，D 为BC 中点，若点M 是△ABC 所在平面上一点，且满足AM →=13AD →+12AC →，则AB →⋅CM →= ． 16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50cm ，那么石凳的表面积是 cm 2．四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．已知复数z 1＝（a +i ）2，z 2＝4﹣3i ，其中a 是实数．（1）若在复平面内表示复数z 1•z 2的点位于第二象限，求a 的取值范围； （2）若z 1z 2是纯虚数，a 是正实数，①求a ， ②求z 1z 2+(z 1z 2)2+(z 1z 2)3+⋯+(z 1z 2)2020．18．甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95．求： （1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0.001）19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，﹣2），B （2，3），C （﹣2，﹣1）． （1）以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，求向量AD →的坐标和|AD →|； （2）设实数t 满足(AB −tOC)⋅OC =0，求t 的值．20．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a，b的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．21．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是⊙O所在平面外一点，D是PB的中点．（1）求证：OD∥平面P AC；（2）若△P AC是边长为6的正三角形，AB＝10，且BC⊥PC，求三棱锥B﹣P AC的体积．22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116∑16i=1x i＝9.97，s2=116∑16i=1（x i−x）2=116∑16i=1x i2−x2＝0.045，其中x i为抽取的第i件产品的评分，i＝1，2， (16)该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，（i）估计改进后该生产线生产的产品中A等品所占的比例；（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）2020-2021学年江苏省南通市高一下期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =i2i+1（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z =i 2i+1=i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=25+15i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（25，15），位于第一象限．故选：A ．2．设向量a →=(−2，1)，b →=(3，−4)，记a →，b →的夹角为〈a →，b →〉，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．−35B ．35C ．√55D ．−2√55【解答】解：∵|a →|=√5，|b →|=5，a →⋅b →=−10， ∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−2√55．故选：D ．3．已知直线l 、m 与平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则α∥β B ．若l ⊥β，则α⊥βC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，则l ⊥m【解答】解：由直线l 、m 与平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，得： 在A 中，若l ∥m ，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确； 在C 中，若l ∥β，则α与β相交或平行，故C 不正确； 在D 中，若α⊥β，则l 与m 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：B ．4．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝4，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．√64B ．√104C ．√155D ．−√104【解答】解：如图，根据题意：AB 1=2√5，BC 1=4√2，AB 1→⋅BC 1→=(BB 1→−BA →)⋅(BB 1→+BC →)=BB 1→2−BA →⋅BC →=16−2×4×(−12)=20，∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→||BC 1→|=202√5×4√2=√104，∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√104． 故选：B ．5．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．1B ．√3C ．√33D ．12【解答】解：∵底面是边长为√3的正三角形， ∴底面正三角形的面积S =12×√3×√32×√3=3√34， ∴棱柱的体积V ＝S •h =3√34h =94，解得h =√3．设点P 在面ABC 上的投影为点Q ，连接PQ 、AQ ，则∠P AQ 即为所求， ∵P 为底面A 1B 1C 1的中心，∴Q 也为面ABC 的中心， ∴PQ ＝h =√3，AQ =√32×√3×23=1， 在Rt △PQA 中，tan ∠P AQ =PQ AQ =√31=√3， ∴P A 与平面ABC 所成角的正切值为√3．故选：B ．6．某实验单次成功的概率为0.8，记事件A 为“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件A 的概率：先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0，1表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如表：752 029 714 985 034 437 863 694 141 469 037 623 804 601 366 959742761428261根据以上方法及数据，估计事件A 的概率为（ ） A ．0.384B ．0.65C ．0.9D ．0.904【解答】解：由随机模拟实验可得：“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成功1次”共141，601两组随机数，则“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”共20﹣2＝18组随机数， 即事件A 的概率为1820=0.9，故选：C ．7．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2√2，BC ＝SC ＝SD ＝2，BC ⊥SD ，则四棱锥S ﹣ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．8√2π3C ．16√2π3D ．4√3π【解答】解：在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为矩形， 则BC ⊥CD ，由于BC ⊥SD ， 所以BC ⊥平面SCD ，由于AB ＝2√2，BC ＝SC ＝SD ＝2， 在等腰三角形SCD 中，由于CD 2＝SD 2+SC 2，所以△SCD 为等腰直角三角形．所以四棱锥S ﹣ABCD 的外接球的球心为：经过底面矩形ABCD 的对角线的交点且垂直于平面ABCD 及侧面等腰直角三角形SCD 经过斜边CD 的中点，且垂直于平面SCD 的直线，正好交点为底面矩形的对角线的交点． 设外接球的半径为R ，则R 2=12+(√2)2，解得R =√3， 所以V =43⋅π⋅(√3)3=4√3π． 故选：D ．8．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．43C ．23D ．3【解答】解：由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成， 四棱锥底面四边形面积为正方形面积一半为2， 高为正方体棱长一半为1， 所以V =13×2×1×2=43． 故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列各式中结果为零向量的是（ ） A ．AB →+MB →+BO →+OM →B ．AB →+BC →+CA →C ．OA →+OC →+BO →+CO →D ．AB →−AC →+BD →−CD →【解答】解：由向量加法的法则得A ：AB →+MB →+BO →+OM →=AB →+MB →+BM →=AB →，故结果不为零向量，B ：AB →+BC →+CA →=AC →+CA →=0→，结果为零向量，C ：OA →+OC →+BO →+CO →=BO →+OA →=BA →，结果不为零向量，D ：AB →−AC →+BD →−CD →=AB →+BD →−（AC →+CD →）=AD →−AD →=0→，结果为零向量； 故选：BD ．10．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的【解答】解：某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验， 所以该检验采用分层抽样的方法，故选项A 正确，选项B 错误． 对于选项C ：1500+6000+2000＝9500，所以抽样为57×15009500=9，57×60009500=36，57×20009500=12，故选项C 正确．对于选项D ：对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项D 正确． 故选：ACD ．11．已知复数z ＝1+cos2θ+i sin2θ（−π2＜θ＜π2）（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数C ．|z |＝2cos θD ．1z的实部为−12【解答】解：z ＝1+cos2θ+i sin2θ＝2cos θ（cos θ+i sin θ），∵−π2＜θ＜π2，∴cos θ＞0，sin θ∈（﹣1，1），则复数z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限，故A 错误；当sin2θ＝0，θ＝0∈（−π2，π2）时，复数z 是实数，故B 正确；|z |=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cos θ，故C 正确；1z=11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ−isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ−isin2θ)=1+cos2θ−isin2θ2+2cos2θ，则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12，故D 错误；故选：BC ．12．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【解答】解：依题意，乙的逻辑推理能力3分，而甲的逻辑推理能力4分，故A 正确； 甲的数学建模能力指标值为3分，乙的直观想象能力指标值为5分，故B 错误； 乙的六维能力指标值有4项优于甲的六维能力指标值，故C 正确；甲的数学运算能力指标值为4分，而甲的直观想象能力指标值为5分，故D 错误； 故选：AC ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则z |z|=35+45i ．【解答】解：∵z ＝3﹣4i ，∴z =3+4i ，|z|=√32+(−4)2=5， ∴z |z|=35+45i ．故答案为：35+45i ．14．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x 的值为 172 ． 【解答】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%， 故答案为：172．15．已知等边△ABC ，D 为BC 中点，若点M 是△ABC 所在平面上一点，且满足AM →=13AD →+12AC →，则AB →⋅CM →= 0 ． 【解答】解：由已知有|AB →|＝|AC →| 因为AB →⋅CM →=AB →•（AM →−AC →） =AB →•（13AD →+12AC →−AC →） =AB →•（16AB →+16AC →−12AC →）=AB →•（16AB →−13AC →）=16AB →2−13AB →⋅AC →=16(AB →2−AB →2) ＝0， 故答案为：0．16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有 14 个面；如果被截正方体的棱长是50cm ，那么石凳的表面积是 7500+2500√3 cm 2．【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm ，那么石凳的表面积是S 表面积＝8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=（7500+2500√3）（cm 2）． 故答案为：14，7500+2500√3．四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．已知复数z 1＝（a +i ）2，z 2＝4﹣3i ，其中a 是实数．（1）若在复平面内表示复数z 1•z 2的点位于第二象限，求a 的取值范围； （2）若z 1z 2是纯虚数，a 是正实数，①求a ， ②求z 1z 2+(z 1z 2)2+(z 1z 2)3+⋯+(z 1z 2)2020．【解答】解：（1）由题可得：z 1=(a +i)2=a 2−1+2ai ， z 1⋅z 2=(4a 2+6a −4)+(3+8a −3a 2)i ， ∵在复平面内表示复数z 1•z 2的点位于第二象限， ∴{4a 2+6a −4＜03+8a −3a 2＞0，解得−13＜a ＜12；（2）①依题意得：z 1z 2=(a+i)24−3i=(a+i)2(4+3i)(4−3i)(4+3i)=(a 2+2ai+i 2)(4+3i)42−(3i)2=4a 2+8ai+4i 2+3a 2i+6ai 2+3i 316−(−9)=(4a 2−6a−4)+(3a 2+8a−3)i25，∵z 1z 2是纯虚数，则{4a 2−6a −4=03a 2+8a −3≠0，又a 是正实数， 解得a ＝2．②当a ＝2时，z 1z 2=4×22−6×2−4+(3×22+8×2−3)i25=i ，则z 1z 2+(z 1z 2)2+(z 1z 2)3+⋯+(z 1z 2)2020=i +(i)2+(i)3+⋯+(i)2019+i 2020=i(1−i 2020)1−i=0．18．甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95．求： （1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0.001）【解答】解：（1）甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次， 甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95． ∴三人中恰有一人没有射中的概率为：P ＝0.9×0.95×0.05+0.9×0.05×0.95+0.1×0.95×0.95＝0.17575≈0.176． （2）三人中至少有两人没有射中的概率为：P ＝0.9×0.05×0.05+0.1×0.95×0.05+0.1×0.05×0.95+0.1×0.05×0.05＝0.012． 19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，﹣2），B （2，3），C （﹣2，﹣1）． （1）以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，求向量AD →的坐标和|AD →|； （2）设实数t 满足(AB −tOC)⋅OC =0，求t 的值．【解答】解：（1）由题意知，AC →=（﹣1，1），AB →=（3，5）， ∴AD →=AC →+AB →=（2，6），即|AD →|=2√10．（2）由题意知，OC →=（﹣2，﹣1），AB →−tOC →=（3+2t ，5+t ）， ∵(AB −tOC)⋅OC =0，∴﹣2（3+2t ）﹣（5+t ）＝0，解得t =−115． 20．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a ，b 的值； （2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．【解答】解：（1）∵从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，∴a=1001000×2=0.05，∵（0.05+0.1+0.2+0.075+0.05+b）×2＝1，∴b＝0.025．（2）由频率分布直方图得该市中学生阅读时长不小于10小时的频率为：（0.05+0.025）×2＝0.15．∴估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率为0.15．（3）用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，从[10，12）中抽取：6×0.050.05+0.025=4人，从[12，14]中抽取：6×0.0250.05+0.025=2人，从这6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，基本事件总数n=C62=15，这2名学生来自不同组包含的基本事件个数m=C41C21=8．∴这2名学生来自不同组的概率p=mn=815．21．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是⊙O所在平面外一点，D是PB的中点．（1）求证：OD∥平面P AC；（2）若△P AC是边长为6的正三角形，AB＝10，且BC⊥PC，求三棱锥B﹣P AC的体积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点，又D是PB的中点，∴OD∥P A，∵OD⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，∴OD∥平面P AC；（2）解：由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，得∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面P AC．∵△P AC是边长为6的正三角形，∴S△PAC=12×62×sin60°=9√3．BC=√AB2−AC2=√102−62=8．∴V B−PAC=13×S△PAC×BC=13×9√3×8=24√3．22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.26 9.9110.13 10.029.22 10.0410.05 9.95经计算得x =116∑ 16i=1x i ＝9.97，s 2=116∑ 16i=1（x i −x ）2=116∑ 16i=1xi2−x 2＝0.045，其中x i 为抽取的第i 件产品的评分，i ＝1，2， (16)该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分， （i ）估计改进后该生产线生产的产品中A 等品所占的比例； （ii ）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算） 【解答】解：（1）（i ）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为： 10.00 10.17 10.01 10.01 10.06 9.97 10.03 10.09 10.31 9.96 10.18 10.07 9.27 10.09 10.10 10.00 其中，A 等品共有13个，∴估计改进后该生产线生产的新产品中A 等品所占的比例为1316．（ii ）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为y i （i ＝1，2，3，…，200）， 改进后该天生产出的产品评分设为z i （i ＝1，2，3，…，200），其中z i ＝y i +0.05， 由已知得用样本估计总体可知y =9.97，∴z =1200∑ 200i=1z i =1200∑ 200i=1(y i +0.05)=y +0.05＝10.02，∴估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：9.97×200+10.02×200400=9.995．由已知得用样本估计总体可知s y 2=0.045，∴s t 2=1200∑ 200i=1(z i −z)2=1200∑ 200i=1[(y i +0.05)−(y +0.05)]2=s y 2=0.045．估计改进后该厂的所有产品评分的方差为：1400[∑ 200i=1(y i −9.995)2+∑ 200i=1(z i −9.995)2]=1400{∑200i=1[（y i−y）+（y−9.995）]2+∑200i=1[（z i−z）+（z−9.995）]2}=1400{∑200i=1[（y i−y）2﹣2（y i−y）（y−9.995）+（z−9.995）]2+∑200i=1[（z i−z）2﹣2（z i−z）（z−9.995）+（z−9.995）2]}=1400{[∑400i=1（y i−y）2﹣2（y−9.995）∑200i=1（y i−y）+200（y−9.995）2]+[∑200i=1（z i−z）2﹣2（z−9.995）]∑200i=1（z i−z）+200（z−9.995）2]}=1400{[∑200i=1（y i−y）2+200（y−9.995）2]}+[∑200i=1(z i−z)2+200（z−9.995）]2}（*），∵s y2=1200∑200i=1（y i−y）2，∴∑200i=1(y i−y)2=200s y2，同理，∑200i=1(z i−z)2=200s z2，∴（*）式=1400{[200s y2+200（y−9.995）2]+[200s z2+200（z−9.995）2]}=200 400×[0.045+（9.97﹣9.995）2]+200400×[0.045+（10.02﹣9.995）2]＝0.045+0.0252＝0.045625．（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：（2000﹣1200）×516×200×365﹣1500×104＝325×104（元），将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：1500×104×（1+8.2%）﹣1500×104＝123×104（元），∵325×104＞123×104，∴将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大．第21 页共21 页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年江苏省南通市通州区金沙中学高一（下）调研数学试卷一、单选题（共8小题）.1．设集合M＝{x|x＞﹣1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）2．已知命题p：∃x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（）A．∃x＞1，x2﹣4≥0B．∃x≤1，x2﹣4＜0C．∀x≤1，x2﹣4≥0D．∀x＞1，x2﹣4≥03．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα＝（）A．B．C．D．4．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后与函数g（x）的图象重合，则函数g （x）为（）A．B．C．D．5．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝sin x6．已知a＝log20.4，b＝log0.40.5，c＝20.4，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b7．函数的定义域为（）A．[﹣2，0]B．（﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）8．已知函数f（x）＝，则f（log23）＝（）A．6B．3C．D．二、多选题（共4小题）.9．设函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）是偶函数B．函数f（x）是奇函数C．函数f（x）有最大值1D．函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减10．已知a＞b＞c，且ac＜0，则下列不等式恒成立的有（）A．B．C．D．11．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．12．下列说法中，正确的有（）A．e ln1+lg2+lg2lg5+lg25＝2B．幂函数y＝xα图像过原点时，它在区间（0，+∞）上一定是单调增函数C．设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“log a b＝log b a”是“a＝b”的必要不充分条件D．“”是“函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则该函数的解析式为f（x）＝．14．已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为．15．若x＞1，则9x+的最小值等于．16．不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数的单调递增区间是．四、解答题17．已知，且．（1）求cosα，tanα的值；（2）求的值．18．集合A＝{x|＜2x＜8}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）＝2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；（2）若，求3x+3﹣x的值．20．为助力凉山脱贫攻坚，州农科所通过培育新品种、引进新技术及配套高产栽培技术示范，为某县水果产业发展提供技术服务．研究发现，一亩脐橙树的产量w（单位：吨）与肥料费用x（单位：千元）近似满足如下关系：使用肥料不超过3千元时，w＝1.7+，若使用肥料超过3千元且不超过6千元时，w＝﹣．此外，还需投入其他成本2x千元．若该脐橙的市场售价为1万元/吨，且市场上对脐橙的需求始终供不应求，该脐橙树每亩可获得的利润为f（x）．（1）求f（x）的解析式；（2）求当每亩地投入多少肥料时利润最大？并求出利润的最大值．21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求出函数f（x）的函数解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求函数f（x）在上的最值．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（x2﹣2x）+f（3x﹣2）＜0；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．设集合M＝{x|x＞﹣1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）解：M＝{x|x＞﹣1}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N＝（﹣1，1）．故选：B．2．已知命题p：∃x＞1，x2﹣4＜0，则￢p是（）A．∃x＞1，x2﹣4≥0B．∃x≤1，x2﹣4＜0C．∀x≤1，x2﹣4≥0D．∀x＞1，x2﹣4≥0解：命题是特称命题，则否定是全称命题，即∀x＞1，x2﹣4≥0，故选：D．3．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα＝（）A．B．C．D．解：角α的终边经过点P（1，﹣2），即x＝1，y＝﹣2，则r＝＝．∴sinα＝＝＝﹣．故选：D．4．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后与函数g（x）的图象重合，则函数g （x）为（）A．B．C．D．解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y ＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）．则函数g（x）为：y＝3sin（2x+）．故选：D．5．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝sin x解：A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．B．函数在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数，满足条件，C．函数的定义域为（0，+∞）为非奇非偶函数，不满足条件．D．函数是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．故选：B．6．已知a＝log20.4，b＝log0.40.5，c＝20.4，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b解：∵a＝log20.4＜log21＝0，0＝log0.41＜b＝log0.40.5＜log0.40.4＝1，c＝20.4＞20＝1，∴a＜b＜c．故选：A．7．函数的定义域为（）A．[﹣2，0]B．（﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）解：要使函数有意义，则1﹣log2（x+2）≥0得log2（x+2）≤1，即0＜x+2≤2，得﹣2＜x≤0，即函数的定义域为（﹣2，0]，故选：C．8．已知函数f（x）＝，则f（log23）＝（）A．6B．3C．D．解：∵函数f（x）＝，∴f（log23）＝f（log23+1）＝＝3×2＝6．故选：A．二、多选题9．设函数，下列说法正确的是（）A．函数f（x）是偶函数B．函数f（x）是奇函数C．函数f（x）有最大值1D．函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减解：根据题意，，则f（x）的定义域为R，有f（﹣x）＝（）|x|＝f（x），是偶函数，A正确，B错误，＝，在区间（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，则函数f（x）有最大值为f（0）＝1，故C正确，D错误，故选：AC．10．已知a＞b＞c，且ac＜0，则下列不等式恒成立的有（）A．B．C．D．解：由已知可得a＞0，c＜0，而b的符号不确定，所以C正确，D错误，则b﹣a＜0，所以，故A错误；因为b＞c，a＞0所以，故B正确；故选：BC．11．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．解：∵，∴两边平方得：1+2sinθcosθ＝，∴，∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈（0，π），∴，∴sinθ＞cosθ，∴，∴，又∵，∴，，故选：ABD．12．下列说法中，正确的有（）A．e ln1+lg2+lg2lg5+lg25＝2B．幂函数y＝xα图像过原点时，它在区间（0，+∞）上一定是单调增函数C．设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“log a b＝log b a”是“a＝b”的必要不充分条件D．“”是“函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件解：对于A：e ln1+lg2+lg2lg5+lg25＝1+lg2+lg5（lg2+lg5）＝1+lg10＝2，故A正确；对于B：当幂函数y＝xα图像经过原点时，所以α＞0，它在区间（0，+∞）上是单调增函数，故B正确；对于C：设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），当“log a b＝log b a”时，得到a＝b或ab＝1，所以“log a b＝log b a”是“a＝b”的必要不充分条件，故C正确；对于D：“φ＝”时，函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”，当函数f （x）＝sin（2x+φ）为偶函数”则φ＝kπ+（k∈Z），故“”是“函数f（x）＝sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故D错误．故选：ABC．三、填空题13．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则该函数的解析式为f（x）＝．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，把点（3，）代入可得＝3α，∴α＝，即f（x）＝，故答案为：．14．已知扇形的圆心角为1，半径为2，则该扇形的面积为2．解：由扇形的面积公式可得该扇形的面积为．故答案为：2．15．若x＞1，则9x+的最小值等于15．解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，则：9x+＝9（x﹣1）+，当且仅当9（x﹣1）2＝1，即当x＝时，等号成立．故答案为：1516．不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数的单调递增区间是[0，1]．解：∵不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴﹣2和1是ax2+x+c＝0的两根，由根与系数的关系知﹣2+1＝﹣＝﹣1，﹣2×1＝＝﹣2，由不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，可知a＜0，∴a＝﹣1，c＝2，则＝，因为函数y＝的定义域为[0，2]，令g（x）＝﹣x2+2x，则对称轴为x＝1，则该函数的增区间为[0，1]，所以y＝的增区间为[0，1]，故答案为：[0，1]．四、解答题17．已知，且．（1）求cosα，tanα的值；（2）求的值．解：（1）因为，且，所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣；（2）＝＝﹣7．18．集合A＝{x|＜2x＜8}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，B＝{x|﹣1＜x＜1}，由，可知：A＝{x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}．（2）由（1）知，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，且B⊆A，i）当B＝∅时，a﹣1≥2a+1，即a≤﹣2；ii）当B≠∅时，，解得﹣1≤a≤1．综上所述：a的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，1]．19．已知函数f（x）＝2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；（2）若，求3x+3﹣x的值．解：（1）f（x）＝2x为R上的增函数，则f（x）在区间[a，2a]上为增函数，∴，，由22a+2a＝6，得22a+2a﹣6＝0，即2a＝﹣3（舍去），或2a＝2，即a＝1；（2）若，则，即，则x＝log32，∴3x+3﹣x＝＝．20．为助力凉山脱贫攻坚，州农科所通过培育新品种、引进新技术及配套高产栽培技术示范，为某县水果产业发展提供技术服务．研究发现，一亩脐橙树的产量w（单位：吨）与肥料费用x（单位：千元）近似满足如下关系：使用肥料不超过3千元时，w＝1.7+，若使用肥料超过3千元且不超过6千元时，w＝﹣．此外，还需投入其他成本2x千元．若该脐橙的市场售价为1万元/吨，且市场上对脐橙的需求始终供不应求，该脐橙树每亩可获得的利润为f（x）．（1）求f（x）的解析式；（2）求当每亩地投入多少肥料时利润最大？并求出利润的最大值．解：（1）由题意可知：，即f（x）的解析式为：f（x）＝；（2）由（1）知：f（x）＝；①当x∈[0，3]时，f（x）＝17+3x为单调递增函数，所以当x＝3时，f（x）的最大值为26千元．②当x∈（3，6]时，f（x）＝﹣x2+10x+5＝﹣（x﹣5）2+30，x＝5时取得最大值为30千元．综上所述：每亩地投入肥料5千元时，利润最大为30千元．21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求出函数f（x）的函数解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求函数f（x）在上的最值．解：（1）由图可知：A＝2，，即T＝π，根据，得：ω＝2，由，得：，k∈Z，∴，，故函数f（x）的解析式为：．（2）由（1）知函数f（x）的解析式为，∴，k∈Z，∴，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）由（2）知f（x）在上为增函数，f（x）在上为减函数，∴f（x）在时，取得最小值，f（x）在时，取得最大值，综上所述：f（x）在上的最小值为﹣1，最大值为2．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（x2﹣2x）+f（3x﹣2）＜0；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则f（0）＝＝0，解可得a＝1，当a＝1时，f（x）＝，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），是奇函数，符合题意；故a＝1；（2）函数f（x）在R上为增函数，证明如下：f（x）＝＝1﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，又由x1＜x2，则（﹣）＜0，（+1）＞0，（+1）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在R上为增函数；不等式f（x2﹣2x）+f（3x﹣2）＜0⇔f（x2﹣2x）＜﹣f（3x﹣2）⇒f（x2﹣2x）＜f（2﹣3x）⇒x2﹣2x＜2﹣3x，解可得：﹣2＜x＜1，则不等式的解集为（﹣2，1）；（3）假设存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，又由（2）的结论，函数f（x）在[m，n]上为增函数，则有，则m、n为方程＝的两根，令t＝4x，有t＞0，则即t2﹣（k+1）t﹣k＝0有2个不等的正根，则有，解可得﹣3+2＜k＜0，则k的取值范围为（﹣3+2，0）．。