北理工11-12年概率论试题&标准答案
11-12(2)概率统计B(答案)
东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）2011 --2012 学年第二学期一、填空题（共70分 每空2分）2、已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则=)(B P 0.7 。
3、.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的点数),则这两颗骰子的点数和为5的概率是91。
4、袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只。
如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为158；如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为 0.48 。
5、已知某对夫妇有四个小孩，则男孩的个数Y 服从的分布为 )5.0 ,4(B ，恰有两个男孩的概率为83，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为1514。
10、一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为 0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心 极限定理可得，整个系统正常工作的概率为 0.5 。
13、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤=其它 ,010 ,)(2x kx x f ， 则=k 3 .，=2EX 53。
14、设二维随机向量),(Y X 的联合分布密度函数=)(x f XY ⎩⎨⎧≤≤-其它, 00 ,y x e y ，则X 的密度函数=)(x f X ⎩⎨⎧<≥-0,00 ,x x e x ，Y X 与的独立性为不独立。
15、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。
如果老板希望牛奶供不应求的概率不超过0.025，则该超市购进的牛奶量至少为239.2公斤。
16、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤+=其它 ,010 )1()(x x x f θθ，则参数θ的矩估计量=θ XX --112 17、设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列统计量3211X X X T -+=，)(313212X X X T ++=，3213614121X X X T ++=， )(21214X X T +=中， 总体均值的无偏估计量为421,,T T T ， 在上述无偏估计量中最有效的一个为 2T18、在假设检验中，显著性水平α＝0.01时拒绝H 0，则当显著水平α＝0.05时应 拒绝 （拒绝、接收、有时拒绝有时接收）H 0。
2012年秋季学期 概率论考题及答案
哈工大 2012年秋季学期概率论与数理统计 试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则 （A ）1EX λ=，21DX n λ=． （B ）,λ=X E n X D λ=． （C ）,nX E λ=2n X D λ=． （D ）,λ=X E λn X D 1=． 【 】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A）99-. （B）69+. （C ）928-6. （D）69-． 【 】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x x x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.（C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。
11-12概率论(A)答案 天津科技大学概率论
①715； ② 169； ③ 43； ④ 1615. 2．若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ ③ ）.① ()()()P a X b F b F a <≤=-； ② ()()()P a X b F b F a <<=-； ③ ()()()P a X b F b F a <<≠-； ④ ()0P X a ==.3．已知随机变量)(~λP X 且2=λ，设23-=X Y ，则=)(Y E （ ② ）。
① 2； ② 4； ③41； ④ 214. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，在以下概率中，（ ④ ）肯定可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
① (13)P X <<； ② (1()2)P X E X <-<； ③ (11)P X -<<； ④ (()1)P X E X -≥.5. 若随机变量X 与Y 方差存在，且满足1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （ ② ）。
① 1； ② -1； ③ 0.5； ④ -0.5.三、某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，由于设备差别，各车间的生产量分别占总产量的60% 、 25%、 15% ；各车间生产的产品优质品率分别为70%、 80%、 90% 。
现从总产品中随机挑选一件，求此产品为优质品的概率.（10分）解：设123,,A A A 表示抽到的产品分别为甲、乙、丙车间生产的事件，记=B {抽到是优质品}。
则11()0.6, (|)0.7P A P B A ==，22()0.25, (|)0.8P A P B A ==， 33()0.15, (|)0.9P A P B A == （4分）当816y ≤<时，8220(8)()864y Y x y F y dx --==⎰； 当16y ≥时，()1Y F y =。
（7分） 所以Y 的密度函数为8,816()()320,Y Y y y f y F y -⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 （10分） 六、设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）概率(0.5)P X <.（10分） 解：（1）由11()2Af x dx Axdx +∞-∞===⎰⎰ 解得2A =； （3分） （2）200,0()()2,011,1xxx F X f x dx xdx x x x -∞<⎧⎪⎪===≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰⎰； （5分）（3）(0.5)(0.5)0.25P X F <==. （10分）七、已知随机变量(3,1)X N - ，(2,1)Y N ，且X 与Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+，试求()E Z 和()D Z ，并写出Z 的概率密度函数。
11-12-2概率统计答案(A卷)
2011—2012学年第二学期闽江学院试卷参考答案与评分标准考试课程：概率统计试卷类别：A 卷 B 卷□ 考试形式：闭卷 开卷□ 适用专业年级： 本科周3学时各专业班级 姓名 学号一、单项选择题（3%χ5=15%）1、A2、C3、A4、A5、B二、填空题 (3χ6=18%)6、9/227、2020801000.90.1C8、19279、2210、231612=11、12(1)C n =-．三、计算题 （60 %） 12、（8%）甲盒中装有1个白球2个黑球，乙盒中装有3中装有4个白球1个黑球．采取掷一颗骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4或5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒子中随机摸出1个球. 经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，求此球来自乙盒的概率．解：记A 1=“选甲盒”，A 2=“选乙盒”，A 3=“选丙盒”，B=“摸得白球”。
依题意123()1/2,()1/3,()1/6P A P A P A ===， ……… 2分123(|)1/3,(|)3/5,(|)4/5P B A P B A P B A ===， ……… 4分由贝叶斯公式222112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)3/15620.41/63/152/155645P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++====++++ ……… 8分13、（8%）设连续型随机变量X 的分布函数为：1e 0()2e ,0xx x F x B A x -⎧⎪=⎨⎪->⎩，≤ （1） 求常数,A B ；（2）求X 的概率密度()f x ． 解：（1）由分布函数的性质：(0)(0)12F F B A +=⇒-= ……… 1分()11F B +∞=⇒= ……… 3分因此可得 1/2,1A B == ……… 4分（2）代入,A B 的值，可得102()11,02xx e x F x e x -⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，≤ ……… 6分故10(0()2()1,02xx e x x dF x f x dx e x -⎧=⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，≤补充处的定义）……… 8分14、（12%）某种清漆的干燥时间（单位：小时）2~(8,)X N σ,0σ>，且由以往观测的数据可知，此种清漆的干燥时间在8至10小时之间的概率为0.2881，已知(0.8)0.7881Φ=，（1）求σ的值；（2）求此种清漆的干燥时间不超过6小时的概率．解：（1）由题意888108(810)0.28810.2881.X P X P σσσ---⎛⎫<<=⇒<<= ⎪⎝⎭……… 2分即2(0)0.2881σ⎛⎫Φ-Φ= ⎪⎝⎭……… 4分 20.7881.σ⎛⎫⇒Φ= ⎪⎝⎭……… 6分2.5.σ⇒= ……… 8分（2）所求概率8682(6)210.2119.X P X P σσσσ--⎛⎫⎛⎫≤=≤=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-Φ= ⎪⎝⎭……… 12分15、（10%）设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为,01,||(,)0,a x y xf x y <<<⎧=⎨⎩其它， （1）求常数a ；（2）求概率2{}P X Y ≤.解：（1）由题意10(,)11xxR Rf x y dxdy adx dy -⨯=⇒=⎰⎰⎰⎰ ……… 2分可以得到 1211a xdx a =⇒=⎰ ……… 4分（2）把1a =代入密度函数22{}(,)x yP X Y f x y dxdy ≤≤=⎰⎰……… 6分21120()xxdx dy x x dx ==-⎰⎰⎰ ……… 8分16=……… 10分16、（10%）保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布； （2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值．（()x Φ的值见卷末附表）解（1）根据题意索赔户数X 服从二项分布(100,0.2)B ，故X 的概率分布为100100()0.20.8,1,2,,100.kk k P X k C k -=== ..............… 4分（2）因()20,E X np ==()(1)16,D X np p =-=根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有..............…6分1420203020{1430}444X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭ ...............…8分201.5 2.5(2.5)( 1.5)4X P -⎧⎫=-≤≤≈Φ-Φ-⎨⎬⎩⎭(2.5)(1.5)10.927.=Φ+Φ-= .............................................…10分17、（12%）设总体X 的概率密度为233, 0,()0, x x f x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.（1）求θ的矩估计量1ˆθ；（2）求θ的最大似然估计量2ˆθ． 解，（1） 33033()().4x E X xf x dx dx θθθ+∞-∞===⎰⎰……… 3分 记∑==n i i X n X 11，令3,4X θ=得θ的矩估计量为 4ˆ.3X θ= ……… 4分 （2）依题意可知，似然函数为：22123311133(,,,;)(,)nn nni n i i n i i i x L x x x f x x θθθθ======∏∏∏……… 6分则1ln ln 33ln 2ln nii L n n x θ==-+∑ ……… 8分两边对θ求导可得ln 3d L nd θθ=- 再求解似然方程：30nθ-= ……… 10分无法可得出。
11-12下概率统计试卷B及参考答案
杭州商学院2011/2012学年第二学期考试试卷(B)课程名称： 概率论与数理统计 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现重复独立进行n 次试验，则事件A 至少发生一次的概率为（ ）。
（A ）n p -1（B ）n p（C ）n p )1(1--（D ）n p )1(-2、设A ，B 为两事件，则A －B 不等于（ ）。
（A ）B A（B ）B A（C ）AB A -（D ）B B A -)(3、如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ）。
（A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0=DY（D ）0=⋅DY DX4、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ ）。
（A ）8（B ）16（C ）28 （D ）445、设总体)1,0(~N X ，n X X X ,,,21⋅⋅⋅为其样本，又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ）。
（A ）)1,0(~N X （B ）)1,0(~N X n （C ）)(~212n X ni i χ∑= （D ）)1(~-n t SX二、填空题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为随机事件，7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ________。
2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则=λ_______。
3、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则有=Y)1,0(~___________N 。
4、设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = 。
北理工《概率论与数理统计》期末考试精选题汇总【含答案解析】 68
《概率论与数理统计》复习提纲第一章1.掌握古典概率的定义，以及求随机事件概率的方法，会用简单的排列组合的工具；2.给定随机试验，会写样本空间及随机事件中包含的样本点，以及事件的交和并中的包含的样本点；3.熟练运用事件概率的性质计算事件的概率，如加法公式、减法公式等；4.熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式，并利用这两个公式解决相关问题。
第二章1.掌握离散型随机变量的分布律的概念及其性质，会利用分布律求未知参数以及随机变量取值在某个区间的概率；针对特定的随机变量会求其分布律；2.掌握连续型随机变量的密度函数的概念和性质，并利用它求未知参数以及相关事件的概率；3.掌握分布函数的概念和性质，针对给定的函数，会判断其是否是分布函数；4.掌握几种常见的随机变量的分布，如：正态分布，均匀分布，泊松分布等；5.掌握随机变量函数的分布的求法；第三章1.掌握二维离散型随机变量的概念和性质，并根据具体的问题求离散型随机变量的联合分布律；2.掌握二维离散型随机变量的边缘分布律的概念，并掌握联合分布律和边缘分布律的关系；3.掌握随机变量的独立性的定义，并会判断离散型随机变量是否独立，会利用独立的离散型随机变量的边缘分布律求联合分布律；4.掌握二维离散型随机变量的函数的分布律的求法。
第四章1.掌握随机变量的数学期望的定义和性质，并且针对离散型随机变量和连续型随机变量的分布律和密度函数会求其数学期望；2.掌握随机变量的方差的定义和性质，并且针对离散型随机变量和连续型随机变量的分布律和密度函数会求其方差；第五章自己复习第六章1.掌握统计量的概念，会判断给定的量是否是统计量；2.掌握常见的统计的定义，如样本均值和样本方差；对给定的样本值，会计算统计量的值。
第七章1.掌握矩估计方法和最大似然估计方法的基本思想；2.会利用矩估计方法和最大似然估计方法求总体中的未知参数的估计量；第八章1.掌握假设检验的概念和基本思想；2.掌握单总体下，U检验、T检验以及2检验法的思想及用法；3.针对具体的问题，利用上述三种检验方法进行检验。
高考数学试题分项版解析专题12 概率(学生版) 理
2012年高考试题分项版解析数学（理科）专题12 概率（学生版）一、选择题:1. (2012年高考广东卷理科7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是（ ） A.49 B. 13 C. 29 D. 192．(2012年高考北京卷理科2)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） （A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-4.(2012年高考辽宁卷理科10)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ） (A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45二、填空题:1. （2012年高考江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．2．(2012年高考上海卷理科11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.4. (2012年高考湖南卷理科15)函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，2），则ω= ;（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .5.(2012年高考重庆卷理科15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.三、解答题:2. (2012年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
2011-2012概率论考试试卷(B卷)
系别 专业 年级 姓名 学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 专 业 概率论与数理统计 课2011——2012学年度第二学期期末考查试卷(B 卷)一、判断题（在题前的括号内打√或×，每小题2分，共20分）（ ）1.若P (A )=1，则A 一定为必然事件. （ ）2.若P (A )=0,则A 与任何事件都相互独立. （ ）3.设ξ为随机变量,若()D ξ=0,则X 为常数．（ ）4.F (x )是随机变量的分布函数,则F (x )是x 的非增函数. （ ）5.若ξ与η相互独立，则ξ与η的相关系数0ρ=. （ ）6.如果随机变量~(20,0.3)b ξ，则() 4.2.D ξ=. （ ）7. 设~(1,2)N ξ-，则(1)0.5P ξ>=.（ ）8.若,)ξη（服从二维正态分布，且ξ与η不相关，则ξ与η一定相互独立. （ ）9.若ξ与η相互独立，且方差都存在，则()()D D ξηξη+=-.（ ）10.如果12,,ξξ…是相互独立，都服从参数为5的泊松分布，则01.051lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→n k k n X n P .二、填空题（每小题2分，共２0分）1.在1个，求其为次品的概率 .2. 已知事件,A B 互不相容，则()P AB 的值是 .3.某家庭有两个小孩，已知该家至少有一个是女孩，则“此家另一个也是女孩”的概率为 .4设连续随机变量ξ的分布函数为20,0;(),01;1, 1.x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则常数A= .5.设ξ为一随机变量，()2E ξ=-,2()5E ξ=，求(13)D ξ-= .6.设随机变量ξ～(5,9)N ，则c =_______时，()12P c ξ>=.7.设随机变量ξ与η相互独立，且(1,3)N ξ ，(2,4)N ξ ，235Z ξη=--，则()D Z = .8. 已知随机变量ξ的密度函数为;()0.xce x t p x x t -⎧>=⎨≤⎩ ，则常数c 为 .9.设ξ服从参数为2的泊松分布，32ηξ=-，则ov(,)C ξη= .10.已知随机变量ξ~N (0,1)，η~N (3,5)，且ξ与η相互独立，随机变量21Z ξη=-+，则Z ~_________.三、单项选择题 (每小题2分, 共10分)1. 设A 、B 、C 为三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1，则下列给定的事件中不相互独立的是（ ）（A ）C B A 与⋃ （B ）C AC 与 （C ）A-B 与C （D ）AB 与C2. 设随机变量,)~(3,2,4,9,0.5)N ξη（，则（ ）（A ）()6E ξη= （B ）()9E ξη= （C ）()12E ξη= （D ）()15E ξη=3. 设随机变量12,,,,n ξξξ 相互独立，根据辛钦大数定律，当n →+∞时，X 要是依概率收敛于其数学期望，需要随机变量序列{}n X 还满足（ ）（A ）有相同的数学期望 （B ）有相同的方差（C ）服从相同的分布 （D ）期望和方差均相同但未必服从相同分布4.下列n P 能成为概率分布（即分布列或分布律）的是（ ）（A ）1(2)n P n n =≥ （B ）1(1)(2)n P n n n =-≥ （C ）21(2)n P n n =≥ （D ）1(1)(2)n P n n n =+≥5. 设~(10)t η，则()E η=（ ）（A ）0 （B ）10 （C ）5（D ）20 四、计算题（每小题10分，共４0分）1. 设二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列为问其中α、β取何值时ξ与η相互独立？（10分）2. 设随机变量,)ξη（的密度函数为221,1(,)0,x y p x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他（！）求()X p x ,()Y p y （4分）；（2）判断ξ与η的独立性（2分）；（3）求ov(,)C ξη（4分）.3. 设随机变量,)ξη（的密度函数为()1(),0,0;(,)20,.x y x y ex y p x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其它（1）问ξ与η是否相互独立； （2）求Z ξη=+的密度函数()Z p t .4．设某厂一车床生产的纽扣，据经验其直径服从正态分布2(,)N μσ，0σ未知．为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量37n =的子样，其子样均值26.56x =，29nS =且生产正常时026μμ==，而生产不正常时0μμ≠．要求在显著性水平0.05α=下检验生产是否正常（()()0.9750.9536 2.0281,36 1.6883t t ==）．（10分）五、证明题（每小题10分，共50分）设0()1,0()1P A P B <<<<，试证：A 与B 独立的充要条件是(|)(|)1P A B P A B +=．。
北理工《概率论与数理统计》期末考试精选题汇总【含答案解析】 93
（29）北京理工大学现代远程教育学院《概率论与数理统计》期末试卷校外学习中心 学号 姓名 成绩注意：①半开卷，允许学生带一张A4纸（手写，可记录知识要点）进入考场；②可用计算器；③各题计算结果保留小数点后三位； ④三题至七题要书写计算过程。
一、填空题（每小题3分 共12分）1．一口袋中装有8只白球，5只黑球，从中陆续不放回地取出三只球，则第三次取出的是一只黑球的概率是153。
2．某居民小区有40%住户订甲种报纸，有35%住户订乙种报纸，有60%住户至少订甲、乙两种报中的一种，则只订甲种而不订乙种报的住户的百分比（概率）是 0.25 。
3． 设随机变量X 服从正态N (8,4)分布，且知4332.0)85(=≤<X P ，则=≤)5(X P 0.0668 ==)8(X P 0二、单项选择题（将各题正确答案前的字母填入该题中括号内，每小题4分共12分）1．已知二维离散型随机变量X 与Y 相互独立，且知其分布律分别为：4.06.021PX ，8.02.010KP Y ，则 ()Y X , 的联合分布律为（D ）。
A ：3.01.058.012.02110YB ： 08.032.012.048.01021YC ：32.008.048.012.02110Y D ：32.008.048.012.0121Y2．盒中有五件产品，其中2件次品，3件正品。
每次从中任取一件是X XX X次品的个数是随机变量X 。
每次从盒中任取一件有放回地抽取8次，得容量为8的样本821,,,X X X ，则样本方差2S 的数学期望()=X D （ C ）。
A ：4.052= ， B ：92.12568=⨯ C ：03.08256=⨯ ， D ：24.0256=4、若离散型随机变量X 的分布列是 X -1 0 1 3 P 0.3 a b 0.2 且知E (X )=0.7，则常数a 、b 的值是（ B ） A a =0.4，b =0.1 B a =0.1，b =0.4 C a =0.3，b =0.1 D a =0.2，b =0.4三、(16分)某厂的一批同类型产品是由一、二、三车间生产，已知某月一车间生产了250件，二车间生产了100件，三车间生产了150件。
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2011-12第一学期概率论与数理统计试题标准答案
一．（12分）设甲,乙,丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为2：5：3，而三
个地区感染此病的比例分别为 6%,4%,3%,现从这三个地区任意抽取一个人，问
(1) 此人感染此病的概率是多少;
(2) 如果此人感染此病,此人选自乙地区的概率是多少？
答 设1A表示甲地区的人, 2A表示乙地区的人, 3A表示丙地区的人
B
表示某人感染流行病
123
()0.2,()0.5,()0.3PAPAPA
123
()0.06,()0.04,()0.03,PBAPBAPBA
-----------------------------------2分
则由全概率公式
123
()()()()PBPABPABPAB
112233
()()()()()()0.2*0.060.5*0.040.3*0.030.041PBAPAPBAPAPBAPA
- ------------------------------------3分
-----------------------------------------2分
则由贝叶斯公式
22
112233
()()()()()()()()PBAPA
PBAPAPBAPAPBAPA
--------------------------------------------3分
0.5*0.04
0.48780.2*0.060.5*0.040.3*0.03
-------------------------------------------------2分
二、（14分）设随机变量2~0,XN，求 YX 的密度函数.
解： 当 0y 时，0YFy； …………… 2分
当 0y 时，
Y
FyPYy
PXy
PyXy …………… 4分
yy
22
2
123
()()()()()()()PABPAB
PABPBPABPABPAB
21y
…………… 4分
故 YX 的密度函数
2,0()0,0Yy
yfyy
2
2
2
21
,00,0yeyy
……… 4分
三、（18分）设随机向量（X, Y）的联合密度为
. ,0,10,10 ,2),(其他yxx
yxf
(1) 计算P(Y > X )；
(2) 求X, Y的概率密度fX(x)，fY (y);
(3) 判断X与Y是否相互独立，说明理由；
(4) 求Z = X+Y的概率密度fZ(z).
解：（1）.312),()(110xxyxdydxdxdyyxfXYP……………. 4分
（2）dyyxfxfX),()(
.2x 2)(1010xdyxfxX时，当
.,0,10,2)(其他xx
xf
X
………………4分
dxyxfyfY),()(
.10,1 2)(10ydxxyf
Y
.,0,10,1)(其他y
yf
Y
……………… 4分
（3）因为，..),()(),(eayfxfyxfYX所以X与Y相互独立. …………….. 2分
（4）.),()(dxxzxfzfZ
.22)(21,2)(1021120zzdxxzfzzdxxzfzzZzZ时，当
时，当
. ,0,2z1 ,2,10 ,)(22其他zzzzzf
Z
……………….4分
四. （18分）设随机变量X服从指数分布, 且E(X)=2. 随机变量Y服从区间[1,7]上的均匀
分布, 随机变量Z服从二项分布B(16,1/4), 且21,21,21YZXZXY.
(1)求E(X-2Y+Z); (2) 求Var(X-2Y+Z).
解: 由题设条件得到E(X)=2, Var(X)=4;
……………2分
E(Y)=4, Var(Y)=3;
……………2分
E(Z)=4, Var(Z)=3.
……………2分
(1)
24422)()(2)()2(ZEYEXEZYXE.
……………3分
(2)(2)()(2)()2cov(,2)2cov(,)2cov(,2)()4()()4cov(,)2cov(,)4cov(,)VarXYZVarXVarYVarZXYXZZYVarXVarYVarZXYXZZY
………………4分
()4()()4()()2()()4()()XYXZZYVarXVarYVarZVarXVarYVarXVarZVarZVarY
………………5分
五．（8分）有50台电话交换机，它们的工作状态是相互独立的。假设每台电话交换机在1
分钟内受到的呼叫次数服从泊松分布，且平均呼叫为2次。求这50台电话交换机在1分钟
内受到的呼叫次数超过120次的概率。
解：设X为50台电话交换机在1分钟内受到的呼叫次数
Xi每台电话交换机在1分钟内受到的呼叫次数 ， i=1,50
………………2分
E(X)=100, D(X)=100 ………………2分
………………4分
六．（18）设总体X服从二项分布(,)BNp，其中,Np为未知参数，12,,,nXXX为来
自总体X的样本，12,,,nxxx为相应的样本观测值.
(1)求参数和Np的矩估计；
(2)若1N，求参数p的最大似然估计.
解：(1)由于,(1)EXNpDXNpp
得 222()(1)()EXDXEXNppNp ………………3分
令 2211(1)()niiNpXNppNpXn ………………3分
解得N和p的矩估计为
2
2
1ˆ1()nii
X
N
XXX
n
，211()ˆ1niiXXnpX ……………3分
(2)总体X的分布律为1()(1),0,1xxPXxppx
100
100X
近似服从N(0,1),
)120(XP)210100(XP0228.0)2(1
501i
i
XX由题意
2)()(,501iiXDXEXX相互独立且同分布，
似然函数为 111()()(1)iinnxxiiiLpPXxpp
11(1)nniiii
xnx
pp
………3分
对数似然函数为
11ln()lnln(1)nniiii
Lpxpnxp
…………2分
对p求导并令其为零，得
11ln()1101nniiii
dLp
xnx
dppp
…………2分
解得p的最大似然估计为 11ˆniipxxn ………………2分
七. （12分）设某地区成年人的每日睡眠时间服从正态分布。随机抽取25个成年人，随机
样本显示平均每日睡眠时间为8 h，样本标准差为1.8 h 。试问：在显著性水平0.05下，是
否可以认为成年人的每日睡眠时间的方差超过2 h2 ？
解：设 222120:;:HH ………3分
选取检验统计量 20221Sn)( ………3分
构造拒绝域： )(122n ………3分
n=25，=0.05，查表得,.)()(.4153624120502n
818.,sx
，计算得：4153688382812422.... ………2分
故拒绝0H，可以认为成年人的每日睡眠时间的方差超过2 h2 .
………1分