25平面向量的应用举例
2.5平面向量应用举例解析
解：设 AB a, AD b , AR r , 则 AC a b
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系．
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R 1 又因为 ER与EB 共线所以设ER mEB m(a b )
因为 AR AE ER 因此 11 1 1 F D C r b m ( a b ) 所以 n(a b ) b m ( a b ) 2 2 因此 2 m 1 2 即( n m )a 1 (n )1 b 0E R T 2 b 由于向量 b 不共线，要使上式为 0，必须 n (a b a )、 b m (a ) 2 2 n m 0 1 A B 1 m 1 解得：n= m = 所以 AR AC n 0 3 3 2
C BBiblioteka 解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AC BD a b a b
2 2
2
2
a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b
∴
2
2
2
2
2
例1、证明平行四边形两对角线平方和等于两条邻边平方和的两倍 已知：平行四边形ABCD。 D 2 2 2 2 AC BD 2( AB AD ) 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 如果不用向量的方法，你能 A 等，故设 其它线段对应向 AB a , AD b 证明上述结论吗？如果有，怎么 量用它们表示。 来解决呢？
2
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
251平面向量应用举例252向量在物理中的应用
2.5.1平面几何的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量ACCB，即 ACCB0。
解：设 AOa,OCb
则 AC ab,C Bab，
由此可得：AC C a B b a b
22
22
a b a b
r2r2 0
思考：能否用 向量坐标形式 证明？
即 ACCB0 ，∠ACB=90°
例例31。 、一条河的两岸平行，河宽d500m，一艘
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur uuur uuur uuur DBABAD, ACABAD ,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
ERmEBm (a b)
n m 0
r
2
r
r
rn(ab),nR 线，
n
m 1 0 2
u u ur 所 以 uAuuRr1uAuuCr,同 理 TuuCur1uAuuCr,于 是 uRuTur1uAuuCr 33 3
AC
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
高考数学平面向量与应用举例
高考数学平面向量与应用举例数学作为一门基础学科，一直是各级教育的重中之重。
在高考数学中，平面向量是一个重要的知识点。
掌握好平面向量，可以帮助我们更好地理解解析几何和向量的应用。
在本文中，我将详细介绍平面向量及其应用，并提供一些实用的例子来帮助大家更好地理解和掌握平面向量的应用。
一、平面向量的定义和性质平面向量是由大小和方向组成的量，在平面直角坐标系中用有向线段表示。
举个例子，如果有两个有向线段$\vec{v}$和$\vec{w}$，分别表示由点A到点B和点C的位移向量，那么我们可以定义这两个向量的加法、减法和数乘如下：加法：$\vec{v}+\vec{w}$，表示由点A到点B再到点C的位移向量。
减法：$\vec{v}-\vec{w}$，表示从点B到点A和点C之间的向量。
数乘：$k\vec{v}$，表示由点A到点B的位移向量的$k$倍。
此外，平面向量还具有以下性质：交换律：$\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$结合律：$(\vec{v}+\vec{w})+\vec{u}=\vec{v}+(\vec{w}+\vec{u})$数乘结合律：$k(l\vec{v})=(kl)\vec{v}$数乘分配律：$(k+l)\vec{v}=k\vec{v}+l\vec{v}$二、平面向量的应用以上是平面向量的基本概念和性质，实际上平面向量在数学和物理中的应用非常广泛。
以下是几个常见的例子：1. 向量投影向量投影是指从一点向另一点的有向线段所对应的向量开始，在某一方向上的分量，也就是将向量“分解”在某一个方向上。
具体地，假设有一个向量$\vec{v}$和方向向量$\vec{u}$，向量$\vec{v}$在方向$\vec{u}$上的投影为：$$\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|u\|^ 2}\vec{u}$$其中，“$\cdot$”表示向量的数量积。
2.5 平面向量应用举例
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
2.5.1平面向量应用举例三道
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b
2.5平面向量应用举例
2020-2021学年第一学期主备人电子教案的有关三角函数的知识的基础上，对三角函数的图象的画法进行讲解。
教师通过数形结合的方法对三角函数的图象位置的变化进行比较，引导学生思考。
1.解决平面几何问题的一般方法：综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法——以数（代数式）和数（代数式）的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法2.用向量工具解决平面几何问题的“三步曲”⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系.3.利用实数与向量的积证明共线、平行、长度问题.二、例题讲解：例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，,AC AB AD=+,?BD AB AD=-你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗分析：,AB AD==a b令，则,,AC DB=+=-a b a b2222,AB AD==a b涉及长度问题常常考虑向量的数量积.解：()()2AC AC AC=•=+•+a b a b =•+•+•+•a a ab b a b b222 (1)=+•+a ab b2222 (2)BD=-•+a ab b①+②得()() 22222222AC BD AB AD+=+=+a b平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 例2 如图,连接□ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？教师通过数形结合的方法对三角函数的图象位置的变化进行比较，引导学生思考。
师生一起通过五点画图法画出函数的图图象，并掌握其方法。
分析:由于AR,RT,TC在AC上,只要判断AR,RT,TC与AC的关系,,.AD AR AT AC判断与之间的关系即可解：,,,,AB AD AR AT AC=====+a b r t a b设则(),n n R=+∈r a b设又因为12EB AB AE=-=-a bER EB与共线，所以可以1,2ER mEB m m R⎛⎫==-∈⎪⎝⎭a b设∴1122m⎛⎫=+-⎪⎝⎭r b a b因此()1122n m⎛⎫+=+-⎪⎝⎭a b b a b即()12mn m n-⎛⎫-++=⎪⎝⎭a b0∴12n mmn-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得13n m==∴1,3AR AC=同理13TC AC=，于是13RT AC=所以AR RT TC==例3 两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小1F与两绳子间的夹角θ的关系分析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：AR AE ER=+112G G F F ⇒=1F 1F 最小，最小值是多少？1F G =1,882F G ==请同学们自行设定1F 与G 的大小，研究1F 与利用结论解释教材上给出的两个物理现象图，启发学生将物理现B1sinνθ⋅，到河的正对岸B分析:如果水是静止的，则船只要取垂直于河对岸的方向行驶就可以了，但由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于河岸方向。
2.5平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例例题1.如图所示，O 是△ABC 的外心，E 为△ABC 内一点，满足++=，求证：AE ⊥BC例题2.如图所示，平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。
例题3.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东450的方向移动了8m ，其中|F 1|=2N ，方向为北偏东300；|F 2|=4N ，方向为北偏东600；|F 3|=6N ，方向为北偏西300，求合力F 所做的功。
例题4.某船以6km/h 的速度向东航行，船上有人测的风自北方来，若船速加倍，则测的风自东北来，求风速大小。
例题5.如图所示，若点D 是△ABC 内一点，并且满足AB 2+CD 2=AC 2+BD 2，求证：AD ⊥BC例题6.已知△ABC 中，AD 为中线，求证：()2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=BC AC AB AD例题7.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值。
例题8.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足3)21()1()1(OC OB OA OP λλλ++-+-=，（λ∈R ），则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ） A 、内心 B 、垂心 C 、重心 D 、AC 边的中点例题9.如图所示，重力为G 的均匀小球放在倾角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？例题10.质量m=2.0kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F =10N 的作用下，沿斜面角θ=300的光滑斜面向上滑行|s |=2.0m 的距离（如图所示）（1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；（2）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？（3）求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？例题11.在风速为()2675-km/h 的西风中，飞机以150km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
高中数学：2.5平面向量应用举例 (1)_2
第二章 2.5【基础练习】1．(2018年重庆模拟)如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB →·AC →＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4【★答案★】A【解析】如图所示，在圆C 中，过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．在Rt △ACD 中，AD ＝12AB ＝2，可得cos A ＝AD AC ＝2|AC →|，∴AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|×cos A ＝4×|AC →|×2|AC →|＝8.故选A ．2．已知平行四边形ABCD 中，若AB →＝(3,0)，BC →＝(2,23)，则S ▱ABCD ＝( ) A ．63 B ．103 C ．6 D ．12【★答案★】A【解析】∵AB →＝(3,0)，BC →＝(2,23)，∴|AB →|＝3，|BC →|＝4，AB →·BC →＝3×4×cos(π－∠ABC )＝6.∴cos ∠ABC ＝－12，∴sin ∠ABC ＝32.∴S ▱ABCD ＝3×4×32＝6 3.故选A ．3．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一个点P ，满足P A →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( ) A ．1 B ．13C ．12D ．2 【★答案★】A【解析】因为P A →＝PB →＋PC →，所以P A 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线．因为D 为线段BC 的中点，所以D 为线段P A 的中点，|PD →||AD →|的值为1.故选A ．4．(2018年四川达州模拟)在△ABC 中，AB →·AC →＝AC →2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．直角三角形【★答案★】D【解析】∵AB →·AC →＝AC →2，∴AB →·AC →－AC →2＝AC →·(AB →－AC →)＝AC →·CB →＝0.∴AC →⊥CB →.∴C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．故选D ．5．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做功的是________．【★答案★】－11【解析】∵W ＝F·s ＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F 对质点P 做的功是－11.6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．【★答案★】⎣⎡⎦⎤π6，56π【解析】以α，β为邻边的平行四边形的面积为S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|.又|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12.又θ∈[0，π]，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π6，56π. 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点．用向量法证明CD ＝12AB ．【证明】∵D 是AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)．∴CD →2＝14(CA →＋CB →)2＝14(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →)．又∠C ＝90°，∴CA →·CB →＝0，AB →2＝CA →2＋CB →2. ∴CD →2＝14AB →2.∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB ．8．已知在静水中船速为5 m/s 且船速大于水速，河宽为20 m ，船从点A 垂直到达对岸的B 点用的时间为5 s ，试用向量法求水流的速度大小．【解析】设水流的速度为v 水，船在静水中的速度为v 0， 船的实际行驶速度|v |＝205＝4(m/s)， 则v 水＋v 0＝v ，v 0＝v －v 水， 又v 与v 水垂直，即v ·v 水＝0， ∴25＝|v －v 水|2＝|v |2＋|v 水|2＝|v 水|2＋16. ∴|v 水|＝3，即水流速度为3 m/s.【能力提升】9．(2018年安徽马鞍山三模)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C ．[－25,25]D ．[－5,5]【★答案★】D【解析】两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则直线3x －4y ＋m ＝0与以MN 为直径的圆x 2＋y 2＝1相交，即原点(0,0)到直线3x －4y ＋m ＝0的距离小于等于半径，即|m |32＋42≤1，解得－5≤m ≤5.故选D ． 10．已知O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，P ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心，垂心B ．外心，垂心，重心C ．外心，重心，垂心D ．内心，重心，外心【★答案★】B【解析】因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以O 到顶点A ，B ，C 的距离相等，即O 为△ABC 的外心．由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得(PC →－P A →)·PB →＝0，即AC →·PB →＝0，所以AC ⊥PB ．同理可证AB ⊥PC ，所以P 为△ABC 的垂心．若NA →＋NB →＋NC →＝0，则NA →＋NB →＝－NC →，取AB 的中点E ，则NA →＋NB →＝2NE →＝CN →，所以2|NE |＝|CN |，即N 是△ABC 的重心．故选B ．11．(2019年广东广州越秀区期末)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，AD ＝3，若AB →·AC →＝4，BE →＝EC →，则AE →与BC →的夹角的余弦值是________．【★答案★】－217【解析】以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设DC ＝m ，则A (0,0)，B (4,0)，C (m ，3)，所以AB →＝(4,0)，AC →＝(m ，3)．所以AB →·AC →＝4m ＝4，解得m ＝1.由BE →＝EC →，可得E 为BC 的中点，E ⎝⎛⎭⎫52，32，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫52，32.又BC →＝(－3，3)，所以cos 〈AE →，BC →〉＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝－152＋32254＋34·9＋3＝－217.12．已知四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于F ，求证：AF ＝AE .【证明】如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)．再设E (x ，y )，由BE ∥AC ，AC ＝CE ，得AC →∥BE →，结合AC →＝(2,2)，BE →＝(x －2，y )，所以⎩⎨⎧2y －2(x －2)＝0，22＋22＝(x －2)2＋(y －2)2，解得⎩⎨⎧x ＝3＋3，y ＝1＋3或⎩⎨⎧x ＝3－3，y ＝1－ 3.结合题意得E (3＋3，1＋3)，则CE →＝(3＋1，3－1)，AE ＝(3＋3)2＋(1＋3)2＝2＋2 3.设F (a,0)，则CF →＝(a －2，－2)． 由E ，C ，F 共线，设CF →＝kCE →，则⎩⎨⎧a －2＝k (3＋1)，－2＝k (3－1)，解得a ＝－2－2 3.所以AF ＝|a |＝2＋2 3.所以AF ＝AE .。
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
251平面向量应用举例15762
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab2b源自2a2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
W=F·s
F3
西
北
F1
F2
东
南
小结： 平面几何中的向量方法
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
物理中的向量方法
（1）利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把 物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体 的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur
D
C
AC AB AD,
uuur uuur uuur
DB AB AD,
猜想：
A
B
长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
系？
F1＋F2＋G=0.
思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹
角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系