(推荐)简单的线性规划应用题解析
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。
工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。
每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。
玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。
每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。
每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。
现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。
1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。
2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。
2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划常常用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细解答，帮助您更好地理解和掌握线性规划的基本原理和求解方法。
题目描述：某食品加工厂生产两种产品：A和B。
每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的包装时间，每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的包装时间。
加工厂每天有8小时的加工时间和10小时的包装时间可用。
已知产品A的利润为300元/单位，产品B的利润为400元/单位。
现在需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
解答步骤：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：最大化总利润，即最大化Z = 300x + 400y。
约束条件：加工时间和包装时间的限制。
加工时间约束：3x + 2y ≤ 8。
包装时间约束：2x + 4y ≤ 10。
非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式，并绘制在坐标系中。
然后确定可行域，即满足约束条件的可行解区域。
加工时间约束对应的直线为：3x + 2y = 8。
包装时间约束对应的直线为：2x + 4y = 10。
将两条直线绘制在坐标系中，并找出它们的交点，即可行域的顶点。
3. 确定最优解：在可行域的顶点中，计算目标函数的值，找出使目标函数取得最大值的顶点。
计算Z = 300x + 400y 在可行域的顶点 (x, y) 处的值，并比较得出最大值。
4. 计算最优解：根据计算结果，确定最优解对应的生产数量。
解答过程：1. 建立数学模型：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：Z = 300x + 400y。
约束条件：3x + 2y ≤ 8，2x + 4y ≤ 10，x ≥ 0，y ≥ 0。
2. 图形解法：将约束条件转化为直线的形式：加工时间约束：3x + 2y = 8，即 y = (8 - 3x) / 2。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述：假设某公司生产两种产品：A和B。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。
公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位。
原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。
为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？二、解题思路：本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。
首先，我们需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：公司的利润最大化是我们的目标。
由于产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。
3. 约束条件：a) 生产能力限制：根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位，可以得到以下约束条件：x ≤ 100y ≤ 80b) 原材料供应量限制：根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150c) 非负约束：生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件：x ≥ 0y ≥ 0综上所述，我们可以得到线性规划模型如下：maximize 10x + 8ysubject to:x ≤ 100y ≤ 802x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0三、求解线性规划问题：通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
假设使用某线性规划求解软件，输入上述模型后，运行求解器，得到最优解如下：x = 50，y = 30利润最大值为：10 * 50 + 8 * 30 = 860元四、答案解析：根据线性规划求解结果，为了最大化利润，公司应按照以下生产计划进行生产：每天生产50个单位的产品A和30个单位的产品B，此时公司的利润最大化为860元。
专题33 线性规划问题(解析版)
专题33 线性规划问题例1．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为(0)x x 千万元，投资远洋捕捞队的资金为(0)y y 千万元．（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望E ξ．（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．【解析】解：（1）随机变量ξ的可能取值为0.6y ，0，0.3y -， 随机变量ξ的分布列为，0.360.060.3E y y y ξ∴=-=；（2）根据题意得，x ，y 满足的条件为61200x y xy x y +⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩①，由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为：0.30.20.5(0.1)0.20.50.10.2 1.00.30.22.00.50.2 1.00.20-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，∴本地养鱼场的年利润为0.20x 千万元， ∴明年连个个项目的利润之和为0.20.3z x y =+，作出不等式组①所表示的平面区域若下图所示，即可行域． 当直线0.20.3z x y =+经过可行域上的点M 时，截距0.3z最大，即z 最大．解方程组612x yx y+=⎧⎪⎨=⎪⎩，得24xy=⎧⎨=⎩z∴的最大值为：0.2020.304 1.6⨯+⨯=千万元．即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元．例2．某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近10个月的利润情况．根据所收集的数据得知，近10个月总投资养鱼场一千万元，获得的月利润频数分布表如下：近10个月总投资远洋捕捞队一千万元，获得的月利润频率分布直方图如下：（Ⅰ）根据上述数据，分别计算近10个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润；（Ⅱ）公司计划用不超过6千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队，假设投资养鱼场的资金为(0)x x千万元，投资远洋捕捞队的资金为(0)y y千万元，且投资养鱼场的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的2倍．试用调查数据，给出公司分配投资金额的建议，使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最大．【解析】解：（Ⅰ）近10个月养鱼场的月平均利润为：0.220.11020.140.310.0210-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=（千万元）．..⋯（3分） 近10个月远洋捕捞队的月平均利润为：0.30.20.50.20.110.10.210.30.2 1.50.50.210.16-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千万元）．（6分） （Ⅱ）依题意得x ，y 满足的条件为0062x y x y x y⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，..⋯（8分）设两个项目的利润之和为z ，则0.020.16z x y =+，⋯．⋯．（9分）如图所示，作直线0:0.020.160l x y +=，平移直线0l 知其过点A 时，z 取最大值，（10分） 由62x y x y +=⎧⎨=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(4,2)，..⋯（11分）此时z 的最大值为0.080.320.4z =+=（千万元），所以公司投资养鱼场4千万元，远洋捕捞队2千万元时，两个项目的月平均利润之和最大．..⋯（12分）例3．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，IEC （国际电工委员会）风能风区分类标准如表：某公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目．调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A 项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B 项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A 项目的资金为(0)x x 万元，投资B 项目资金为(0)y y 万元，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x ，y 满足的条件，并将它们表示在平面xOy 内； （2）记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E ξ，E η； （3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z E E ξη=+的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．【解析】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目，公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目可得 10000x y y x x y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，表示的区域如图所示；（Ⅱ）随机变量ξ的分布列为0.240.080.16E x x x ξ∴=-=；随机变量η的分布列为0.210.020.19E y y y η∴=-=；（Ⅲ）0.160.19z E E x y ξη=+=+ 100x y y x +=⎧⎨=⎩，可得50x y == 根据图象，可得50x y ==时，估计一年后两个项目的平均利润之和z E E ξη=+的最大值为17.5万元． 例4．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，IEC （国际电工委员会）风能风区的分类标准如下： 某公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目．调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A 项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B 项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A 项目的资金为(0)x x 万元，投资B 项目资金为(0)y y 万元，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目．（Ⅰ）记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E ξ，E η； （Ⅱ）根据以上的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z E E ξη=+的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议． 【解析】解：（1）A 项目投资利润ξ的分布列0.240.080.16E x x x ξ=-=B 项目投资利润η的分布列：0.210.020.19E y y y η=-=（2）0.160.19z E E x y ξη=+=+ 而100,0x y x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，作出可行域如右图， 由图可知，当50x =，50y =，公司获得获利最大，最大为17.5万元． 故建议给两公司各投资50万．例5．据IEC （国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 项目的资金为(0)x x 万元，投资B 项目资金为(0)y y 万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E ξ，E η； （2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z E E ξη=+的最大值． 【解析】解：（1）投资A 项目的资金为(0)x x 万元， 未来一年内，位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6， 亏损20%的可能性为0.4，A ∴项目投资利润ξ的分布列：0.180.080.1E x x x ξ∴=-=．投资B 项目资金为(0)y y 万元，未来一年内，位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6， 亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．B ∴项目投资利润η的分布列：0.210.010.2y y y η∴=-=．⋯（6分）（2）由题意知x ，y 满足的约束条件为100,0x y x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，⋯（9分）由（1）知，0.10.2z E E x y ξη=+=+， 当50x =，50y =，z ∴取得最大值15．∴对A 、B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．⋯（12分）例6．某矿业公司对A 、B 两个铁矿项目调研结果是：A 项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性为0.2，不赔不赚的可能性为0.2．现计划用不超过100万元的资金投资A 、B 两个项目，假设投资A 项目的资金为(0)x x 万元，投资B 项目的资金为(0)y y 万元，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x ，y 满足的条件，并将它们表示在平面xOy 内；（2）记投资A 、B 项目的利润分别为M 和N ，试写出随机变量M 与N 的分布列和期望()E M ，()E N ； （3）根据（1）的条件和调研结果，试估计两个项目的平均利润之和()()z E M E N =+的最大值． 【解析】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目，公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目可得1000,0x y x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，表示的区域如图所示； （Ⅱ）随机变量ξ的分布列为0.240.080.16E x x x ξ∴=-=；随机变量η的分布列为0.210.020.19E y y y η∴=-=；（Ⅲ）0.160.19z EM EN x y =+=+，100x y x y +=⎧⎨=⎩，可得50x y ==，根据图象，可得50x y ==时，估计一年后两个项目的平均利润之和z EM EN =+的最大值为17.5万元．例7．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布(800N ，250)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．)【解析】解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布(800N ，250)，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <=．由正态分布的对称性，可得011((900)(800)(800900)(700900)0.977222p P X P X P X P X ==+<=+<= （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +． 依题意，x ，y 还需满足：21x y +，7y x +，0(3660)P X x y p +． 由（Ⅰ）知，0(900)p P X =，故0(3660)P X x y p +等价于3660900x y +． 于是问题等价于求满足约束条件2173660900,0,,x y y x x y x y x y N+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪∈⎩且使目标函数16002400z x y =+达到最小值的x ，y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12)P ，(7,14)Q ，(15,6)R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细的解答过程。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为300元，产品B每单位利润为500元。
生产一个单位产品A需要消耗2个单位的原料X和3个单位的原料Y；生产一个单位产品B需要消耗1个单位的原料X和4个单位的原料Y。
公司每天有100个单位的原料X和150个单位的原料Y可供使用。
公司希望在满足原料供应的情况下，最大化每天的利润。
解答过程：1. 定义变量：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
2. 建立目标函数：目标函数即每天的利润，由题目可知，每单位产品A的利润为300元，每单位产品B的利润为500元。
因此，目标函数为：最大化 Z = 300x + 500y3. 建立约束条件：a) 原料X的供应限制：每单位产品A需要消耗2个单位的原料X，每单位产品B需要消耗1个单位的原料X。
因此，原料X的供应限制可以表示为：2x + y ≤ 100b) 原料Y的供应限制：每单位产品A需要消耗3个单位的原料Y，每单位产品B需要消耗4个单位的原料Y。
因此，原料Y的供应限制可以表示为：3x + 4y ≤ 150c) 产量非负限制：产品的产量必须为非负数，即：x ≥ 0y ≥ 04. 求解线性规划问题：将目标函数和约束条件进行整理，得到线性规划模型为：最大化 Z = 300x + 500y约束条件：2x + y ≤ 1003x + 4y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0使用线性规划求解器或图形法等方法，可以得到最优解。
5. 最优解及结论：经过计算，得到最优解为：x = 25，y = 25此时，最大利润为：Z = 300 * 25 + 500 * 25 = 20000元因此，当公司每天生产25个单位的产品A和25个单位的产品B时，可以实现每天最大利润为20000元。
总结：本文提供了一道线性规划题目及详细的解答过程。
简单的线性规划问题
目标函数为：z＝28x＋21y
1、找
4 3 x z 28
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即 可行域 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y
2、画
它表示斜率为 3 纵截距随z变化的一 组平行直线 z
28
4
6/7 y
是直线在y轴上 的截距，当截距最 小时，z的值最小。
5/7
M
3、移
0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为
了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使
花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A
B
0.105
0.105
0.07
0.14
0.14
0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B， 总成本为z，那么
1 7 4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16
5、答
由此可知，每天食用食物A143g，食 物B约571g，能够满足日常饮食要求，又 使花费最低，最低成本为16元。
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数； （1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解； （4）5、答：作出答案。
7
小结：
线性规划求最优整数解的一般方法: 方法1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域 内的整点，平移直线，最先经过或最后经
过的整点坐标即为最优整解． 方法2.调整优解法： 即先求非整数条件下的最优
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的一组约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
它常被应用于经济学、工程学、运筹学等领域，用于解决资源分配、生产计划、物流优化等实际问题。
下面我将为你提供一道线性规划题目及其答案，以帮助你更好地理解和应用线性规划方法。
题目：某工厂生产两种产品，分别为A和B。
产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为4元。
工厂有两个车间，分别为车间1和车间2。
车间1每天最多可以生产100个A产品或80个B产品；车间2每天最多可以生产80个A产品或60个B产品。
每天工厂的总生产时间为8小时。
生产一个A产品需要1小时，生产一个B产品需要1.5小时。
工厂希望通过合理的生产安排，最大化每天的总利润。
请问，应该如何安排每个车间的生产数量，才能使得每天的总利润最大化？答案：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划方法。
首先，我们定义决策变量：x1：车间1生产的A产品数量x2：车间1生产的B产品数量x3：车间2生产的A产品数量x4：车间2生产的B产品数量其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总利润 = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 4x4约束条件：车间1生产时间约束：x1 + 1.5x2 ≤ 8车间2生产时间约束：x3 + 1.5x4 ≤ 8车间1产量约束：x1 ≤ 100, x2 ≤ 80车间2产量约束：x3 ≤ 80, x4 ≤ 60非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0现在，我们可以使用线性规划求解器来求解这个问题。
求解结果如下：车间1生产的A产品数量（x1）= 80车间1生产的B产品数量（x2）= 0车间2生产的A产品数量（x3）= 20车间2生产的B产品数量（x4）= 60总利润 = 5(80) + 4(0) + 5(20) + 4(60) = 400 + 0 + 100 + 240 = 740 元因此，为了使每天的总利润最大化，工厂应该安排车间1生产80个A产品，车间2生产20个A产品和60个B产品。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。
每一个工序的加工时间和利润都不相同。
现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。
请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件：a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2，满足约束条件：x1 + y1 ≤ 100，x2 + y2 ≤ 80，a1 + a2 ≤ 200，b1 + b2 ≤ 150，x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。
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简单的线性规划应用题解析
1．某人有楼房一幢，室内面积共180㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房．大每间面积为18㎡，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15㎡，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
设应隔出大、小房间分别为x ,y 间，此时收益为z 元，则
1815180
1000600800000
x y x y x
y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩ 200150z x y =+
将上述不等式组化为
6560
534000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩ 作出可行域，如图⑴，作直线l:200x+150y=0,即l:4x+3y=0. 将直线l 向右平移，得到经过可行域的点B ，且距原点最远的直线l 1. 解方程组
65605340
x y x y +=⎧⎨
+=⎩图⑴
得最优解
20
7
60
7
2.9
8.6 x
y
=≈
⎧
⎨
=≈
⎩
但是房间的间数为整数，所以，应找到是整数的最优解．
①当x=3时，代入5x+3y=40中，得401525
338
y-
==>，得整点（3，8），此时z=200×3＋150×8=1800（元）;
②当x=2时,代入6x+5y=60中，得601248
559
y-
==>，得整点（2，9），此时z=200×2＋150×9=1750（元）；
③当x=1时,代入6x+5y=60中，得60654
5510
y-
==>，得整点（1，10）, 此时z=200×1＋150×10=1700（元）；
④当x=0时,代入6x+5y=60中，得60
512
y==，得整点（0，12），此时z=150×12=1800（元）．
由上①～④知，最优整数解为（0，12）和（3，8）．
答：有两套分隔房间的方案：其一是将楼房室内全部隔出小房间１２间；其二是隔出大房间３间，小房间８间，两套方案都能获得最大收益为１８００元．
2．某家具厂有方木料90m3,五合板60㎡，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2㎡，生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1㎡，出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获得利润120元．如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？
【解析】将已知数据列成下表:
用完五合板，此时获利润为80×300=24000（元）；
⑵只生产书橱因为90÷0.2=450，600÷1=600，所以，可产生450个书橱，用完方木料
.此时获利润为120×450=54000（元）； ⑶若既安排生产书桌，也安排生产书橱 设安排生产书桌x 张，安排生产书橱y 个,可获利润z 元，则 0.10.290
260000
x y x y x y +≤⎧
⎪+≤⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩
80120z x y =+,作出
可行域如图⑵，并作直
线l :80x+120y=0,即 2x+3y=0.将直线l 向右平移，得到经过可行域
的定点B 且距原点最远的直线l 1.
解方程组
0.10.290
2600
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 得最优解
100
400x y =⎧⎨
=⎩
此时，8010012040056000z =⨯+⨯=（元）.
答：由上面⑴⑵⑶知：只安排生产书桌，可获利润24000元；只生产书
橱，可获利润为54000元；当生产书桌100张，书橱400个时，刚好用完方木料和五合板，且此时获得最大利润，为56000元.
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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(300,0),(0,600)
图⑵。