河北工业大学高等数学期末考试试卷(含答案)
河北工业大学期末考试试卷
河北工业大学期末考试试卷2009 年（春）季学期课程名称：《机械工程材料》A卷 ( 闭卷 ） 适用专业： 机械类学院名称班级姓名学号题号一二三四五六七八九十十一十二总分分数阅卷人一、选择填空题 （共10分，每小题1分）1、γ-Fe晶格中原子排列最密的晶面是（）（A）｛100｝（B）｛110｝（C）｛111｝（D）｛121｝2、在正常热处理条件下，下列诸钢中，C曲线最靠右的钢是（）。
（A） 45（B）60（C）T8（D）T123、45钢完全奥氏体化加热后水淬应获得（）。
（A）板条马氏体（B）混合马氏体（C）片状马氏体（D）回火马氏体4、具有网状渗碳体的T12钢，为了提高钢的机加工性能，应采用（）工艺（A）完全退火（B）正火（C）球化退火（D）去应力退火5、T8钢正常加热温度应是（）。
（A）A c1+（30~50℃）（B）A c3+（30~50℃）（C）A ccm+（30~50℃）（D）A1+（30~50℃）6、机床主轴,承受较大载荷,要求具有良好综合力学性能,轴颈耐磨,硬度50～55HRC,应采用（）工艺。
（A）40Cr钢调质处理（B）20Cr钢渗碳＋淬火＋低温回火（C）40Cr钢调质处理＋表面淬火（局部）＋低温回火（D）T8钢淬火＋低温回火7、现制作截面直径φ30mm的弹簧，硬度38~43HRC，应选用( )。
（A）65钢冷卷成型+淬火+中温回火（B） 60Si2Mn钢热卷成型+淬火+中温回火（C）20钢冷卷成型淬火+低温回火（D） T10钢热卷成型+淬火+低温回火8、为满足钢材切削加工要求，一般要将其硬度范围处理到（）左右。
（A） 220 HB （B） 40 HRC（C） 700 HV （D） 60 HRC9、20CrMnTi钢中的钛在钢中的主要作用是（）。
（A）提高钢的淬透性 （B）提高回火稳定性 （C）提高钢的强度（D）细化晶粒10、具有面心立方晶格的金属比体心立方晶格易于塑性变形，其原因是（）。
大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案
2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。
解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。
或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。
2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。
解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。
121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。
∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。
∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。
3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。
【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）4．求方程y y y y '='+''2)(的通解．(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。
(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。
（4分）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）)7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。
(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解．(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。
高数下期末考试试题及答案解析
WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号A、 B、 C或 D 填入下表中．号12345678答案1．已知 a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b 0(B)a b0(C) a b0(D)a b02. 极限lim( x2y2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中，df f 的是().（ A）f (x, y)xy（ B）f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C）f (x, y)x2y2（ D）f (x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x1)2( y 1)22，若I1x y d， I 2x yd ，D4D4I 33x y，则有（） .dD4（A）I1I 2I 3（B）I1I 2I 3（C）I2I1I 3（D）I3I1I 26．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x2 4 y2 )ds（） .43L(A)l(B)3l(C)4l(D)12l7．设级数a n为交错级数，a n0 (n) ，则（）.n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数a n2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题2分，共 14分)．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设f ( x, y)ln( xy), 则f y(1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设f x是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x2y2 } ， f ( x2y2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x01x2,0 x以 2为周期延拓后，其傅里叶级数在点于.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数nn的和．n 1n 12解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．0y解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的部分的下侧.解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．y y x2x y22017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ；(D)a b0 ．2. 极限lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 . 3．下列函数中，df f 的是( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B）f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D）f (x, y)e x y .4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D：( x 1)2( y 1)22，若I1x yd ，I2x y dD4D4WORD 格式整理3xyd，则有（ A）I 34D（A）I1I 2I3；（B） I1I 2I 3；（C）I2I1I3；（D）I36．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x24y2 )ds（ D）43L(A) l；(B)3l；(C)4l ；(D)127．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散；n1n 1（ B）若级数n1a n2发散，则级数n 1a n也发散；（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共14 分)．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。
河北工业大学概率论试卷
课程名称 《概率论与数理统计》 学期 秋季 试卷种类A 卷考试时间100分钟 考试方式闭卷 共 2 页第 页班级 姓名 学号 答案一律写在答题纸上！河北工业大学继续教育学院期末考试试题一、填空题（每小题5分，共25分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为___0.9_______.2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.二、单项选择题（每小题5分，共25分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立.（B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==. （C ）11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ） 5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μL 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量.（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）三、（15分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.四、（15分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.五、（20分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===。
河北省保定市2025届高三数学上学期期末考试试卷文含解析
2024-2025学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满意，则（）A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴，解得或．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满意f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间．【详解】∵y＝x﹣4•（）x为R上的连续函数，且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，推断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得a∥b；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，，，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，考查数形结合思想，是中档题．4.定义运算，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可推断．【详解】从定义运算a⊕b上看，对于随意的a、b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．5.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】基本领件总数n＝6×6＝36，利用列举法能求出m+n＝5包含的基本领件有4个，由此利用对立事务概率计算公式能求出m+n≠5的概率．【详解】连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，基本领件总数n＝6×6＝36，m+n＝5包含的基本领件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，∴m+n≠5的概率是p＝1．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事务概率计算公式、列举法等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 36B. 32C. 30D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，推断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥4×3+5×35×34×3+3×3＝36．故选：A．【点睛】本题考查的学问点是由三视图求表面积，其中依据三视图推断出几何体的形态，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．7.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），双曲线C：1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴c＝2，b2＝3，m＝1，∴e2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.在中，若，（），则当最小时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可求的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．【详解】∵（1，2），（﹣x，2x）（x＞0），∴（﹣x﹣1，2x﹣2），∴||令y＝5x2﹣6x+5，x＞0依据二次函数的性质可知，当x，y min，此时BC最小，∴，（，），0，∴，即C＝90°，故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简洁应用，考查运算求解实力，是基础题．9.已知函数，且图像在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f′（1），然后依据导数的几何意义求出切线斜率k＝f′（2）＝tanα，然后依据诱导公式及同角基本关系可得sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，代入可求．【详解】∵f（x）＝x3+2x2f′（1）+2，∴f′（x）＝3x2+4xf′（1），∴f′（1）＝3+4f′（1），即f′（1）＝﹣1，f′（x）＝3x2﹣4x，∴图象在点x＝2处的切线的斜率k＝f′（2）＝4＝tanα，则sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，故选：D．【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础学问的综合应用．10.在数列中，若，，，则该数列的前100项之和是（）A. 18B. 8C. 5D. 2【答案】C【解析】【分析】先分别求出{a n}的前9项，视察这9项知a n是周期为6的周期函数，由此能求出{a n}前100项之和．【详解】∵a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），∴a3＝3﹣1＝2，a4＝2﹣3＝﹣1，a5＝﹣1﹣2＝﹣3，a6＝﹣3+1＝﹣2，a7＝﹣2+3＝1，a8＝1+2＝3，a9＝3﹣1＝2，…∴a n是周期为6的周期函数，∵100＝16×6+4，∴S100＝16×（1+3+2﹣1﹣3﹣2）+（1+3+2﹣1）＝5．故选：C．【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要留意周期性和递推式的合理运用．11.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据23，计算出△PAB，△PAC，△PBC面积的关系，求出概率，作积得答案．【详解】如图，令，，．则P为△A1B1C1的重心，∴，而，，．∴2S△PAB＝3S△PAC＝6S△PBC，∴，，．则P△PBC P△PBA P△PAC．故选：D．【点睛】本题考查的学问点是几何概型概率计算公式，计算出满意条件和全部基本领件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．12.已知且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得αcosα＞βcosβ，令f（x）＝x cos x（0），利用导数结合奇偶性可得f（x）＝x cos x在[，]上为增函数，则答案可求．【详解】∵α，β∈[，]，∴cosα＞0，cosβ＞0，由0，得αcosα﹣βcosβ＞0，则αcosα＞βcosβ，令f（x）＝x cos x（0），则f′（x）＝cos x﹣x sin x≥cos x﹣sin x≥0．∴f（x）＝x cos x在[0，]上为增函数，而f（x）＝x cos x为奇函数，可得f（x）＝x cos x在[，]上为增函数．又αcosα＞βcosβ，∴α＞β．故选：A．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，则__________．（用区间表示）【答案】（-1,0）【解析】【分析】化简集合N，依据补集与交集的定义写出．【详解】M＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），N＝{x|0}＝[0，1），则∁M N＝（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．14.元朝闻名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x＝0，则起先时输入的x的值为____________【答案】【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．【详解】第一次输入x＝x，i＝1执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，输出8x﹣7的值为0，解得：x，故答案为：．【点睛】解答本题，关键是依据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．15.设实数满意，若的最大值为16，则实数__________．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类探讨，通过平移直线z＝kx+y得到最大值点A，即可得到答案．【详解】实数x，y满意的可行域如图：得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z＝kx+y，即y＝﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种状况．当k＞0时，目标函数z＝kx+y在A点取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，即16＝4k+4，得k＝3；当k＜0时，①当k时，目标函数z＝kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝4k+4，故k＝3．②当k时，目标函数z＝kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝0×k+2，故k不存在．综上，k＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查简洁线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数给予几何意义．16.已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，__________．（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出，再利用，结合基本不等式求得，再利用最小时的条件求得，，即可求解.【详解】因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），==，又点P在椭圆上，有，=+)，当且仅当=时等号成立，，解得，，==，=.故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算实力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cos A，结合范围A∈（0，π），可求A．（2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）因为，由正弦定理得.再由余弦定理得，又因为，所以．（2）因为a=3，，代入得,解得.故△ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于基础题．18.设，，，数列的前项和，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满意（）的最大正整数.【答案】（1）a n＝6n－5 （）（2）8【解析】【分析】（1）依据f（x）＝3x2﹣2x，由（n，S n）在y＝3x2﹣2x上，知S n＝3n2﹣2n．由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，知T n（1－），依据（）对恒成立,当且仅当，由此能求出全部n∈N*都成立的m的范围．【详解】（1）因为＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝1，所以，a n＝6n－5 （）.（2）由（1）得知＝，故T n＝＝＝（1－），且T n随着n的增大而增大因此，要使（1－）（）对恒成立,当且仅当n=1时T1=，即m<9，所以满意要求的最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础学问不坚固，不会运用数列学问进行等价转化转化．解题时要仔细审题，留意挖掘题设中的隐含条件．19.如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANB1⊥平面AA1B1B．（2）求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱锥B1﹣ANB的高．【详解】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长AA1＝2，底面边长AB＝1，N是CC1的中点．∴以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），N（0，1，），B1（，2，0），（），（﹣1，2，0），设平面ANB1的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（2，1，0），平面AA1B1B的法向量（0，0，1），∵0，∴平面ANB1⊥平面AA1B1B．（2）B（，0，0），（﹣1，0，0），设平面ABN的法向量（x，y，z），则，取z＝2，得（0，，2），∴点B1到平面ANB的距离d．∴三棱锥B1﹣ANB的高为．【点睛】本题考查了利用空间向量解决面面垂直的证明及三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题．20.为了主动支持雄安新区建设，激励更多优秀高校生毕业后能到新区去，某985高校组织了一次模拟聘请活动，现从考试成果中随机抽取100名学生的笔试成果，并按成果分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，（由于某种缘由，部分直方图不够清楚），同时规定成果不低于90分为“优秀”，成果低于90分为“良好”，且只有成果“优秀”的学生才能获得专题测试资格.（1）若已知分数段与的人数比为2:1，请补全损坏的直方图；（2）假如用分层抽样的方法从成果为“优秀”和“良好”中选出10人，设甲是选出的成果“优秀”中的一个，若从选出的成果“优秀”的学生中再任选2人参与两项不同的专题测试（每人参与一种，二者互不相同），求甲被选中的概率.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得[90，100]的频率为0.3，由分数段[90，95）与[95，100]的人数比为2：1，求出分数段[90，95）与[95，100]对应的小矩形有高分别为0.02，0.01，由此能求出补齐损坏的直方图．（2）由频率分布直方图得[90，100]的频率为0.3，用分层抽样的方法从成果为“优秀”和“良好”中选出10人，其中选中“优秀”的学生有3人，选中“良好”的学生有7人，由此能求出甲被选中的概率．【详解】（1）依据题意得良好学生的人数为100×（0.01+0.07+0.06）×5=70人,所以优秀学生的人数为100-70=30人又因为分数段与的人数比为2:1，所以两分数段的分数分别为20人和10人.故补齐后的直方图如图所示（2）由频率分布直方图得：[90，100]的频率为：1﹣（0.01+0.07+0.06）×5＝0.3，∴用分层抽样的方法从成果为“优秀”和“良好”中选出10人，其中选中“优秀”的学生有3人，选中“良好”的学生有7人，设甲是选出的成果“优秀”中的一个，从选出的成果“优秀”的学生中再任选2人参与两项不同的专题测试，基本领件总数n，甲被选中包含的基本领件个数m2．∴甲被选中的概率p．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础学问，考查运算求解实力，考查数形结合思想，是基础题．21.设点在以，为焦点的椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）经过作直线交于两点，交轴于，若，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由PF1+PF2＝2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，即可求得λ1+λ2为定值．【详解】（1）因为点P在以为焦点的椭圆C上，所以所以.又因为c=2，所以所以椭圆C的方程为（2）设A、B、M点的坐标分别为A（，），B（，）明显直线m存在斜率，设直线 m 的斜率为，则直线m的方程是．将直线m的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得,∴ ，又∵ 2，2，将各点坐标代入得，．又，所以，解得又点M在直线上，所以=-2k.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及向量的坐标运算，考查计算实力，属于中档题．22.已知函数，且函数的图像在点处的切线与轴垂直.（1）求函数的单调区间；（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.【答案】（1）的减区间为，增区间为.（2）7【解析】【分析】（1）由已知求得a，对f(x)求导，令和求得单调区间.（2）依据区间的定义得到，又由（1）中的单调性，分和探讨，分别求得，再求的最小值即可.【详解】（1）由已知因为，所以故.,令得（舍去）令得的减区间为，增区间为.（2）因为所以由得解得（舍去）或由（1）知的减区间为，增区间为,所以，若即时， .若即1<t<3时，，，则，1<t<3时，<0即单调递减，所以>故所求的最小值为7.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
华北理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
华北理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
4．函数的图形如图示，则函数
( )．
A、有一个极大值
B、有两个极大值
C、有四个极大值
D、没有极大值
【答案】A
5．设，不定积分（1）
（2）（3）则上述解法中（）．
A、第（1）步开始出错
B、第（2）步开始出错
C、第（3）步出错
D、全部正确
【答案】A
6．设为上的连续函数，且，则定积分（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
一、一选择题
7．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
8．不定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．不定积分（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
11．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
14．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
15．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A。
《线性代数》期终试卷4 - 河北工业大学
《线性代数》模拟试卷 4一, 填空题(每空 2 分, 共 30 分): 1. 若 n 阶方阵 A, B 均可逆, AXB = C ,则 X = .2. 设矩阵 Am×n 的秩为 r< n ,则齐次线性方程组 AX = 0 一定有非零解,. .且自由未知量的个数为3.设 S 是 n 元齐次线性方程组 AX = 0 的解空间,其中 R ( A) = r ,则 S 的维数为4.若向量组 α1 , α 2 , 则 r (α1 , α 2 ,α r 可由另一向量组 β1 , β 2 ,r ( β1 , β 2 ,β r 线性表示,αr )βr )A* 的秩为.5.设 4 阶方阵 A 的秩为 2 ,则其伴随阵6. 设 λ 是方阵 A 的一个特征值,则矩阵 A3 + 3 A2 + 3 A 的一个特征值是.0 7 设α = y 1 x , β = 0 ,它们单位正交,则 x = 0 2,y=.8.已知三维向量空间的两组基是 α1 , α 2 , α 3 与 β1 , β 2 , β 3 ,且 β1 = α1 + α 3 , 则由基 α1 , α 2 , α 3 到基 β1 , β 2 , β 3 的过渡矩阵是 9 设三阶方阵 A 的特征值为 1,-1,2,B= A 5A ,则 A =3 2β 2 = α 2 + 2α 3 , β 3 = 2α1 + α 2 + α 3. ,B 的特征值为 ? , A 的特征值为 ,A 2 +2A+E 的特征值为二.设 α1 , α 2 ,,B, B 能否与对角阵相似, α t 是 AX=0 的基础解系, β 不是 AX=0 的解,即 A β ≠ 0,证明, β + α t 线性无关.β , β + α1 , β + α 2 ,a +1 a 1 a +1三.计算行列式 Dn = ( a ≠ 1)a +1 a 1 a +1(λ + 3) x1 + x2 2 x3 = 1 四.当 λ 取何值时,线性方程组 x1 + (λ + 1) x 2 + x3 = 1 x x + x = 2 2 3 1有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求出通解. 1 五.已知 α = 1 , E 为 3 阶单位矩阵, A = E + aa T ,求一个正交矩阵 P , 1 使得 P 1 AP 为对角阵,并写出该对角阵 .六,设 α1 ,α2 ,α3 , β 均为 n 维非零列向量, α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关且 β 与 α 1 ,α 2 ,α 3 分别正交. 试证明 α1 ,α2 ,α3 , β 线性无关. 七,求一个正交变换化二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = X T AX = x12 + 4 x 2 2 + 4 x3 2 4 x1 x 2 + +4 x1 x3 8 x 2 x3 为标准型1.若,则.2.三,设,,,则(满分 8 分)四, 设 (满分 12 分),,,求,使得.1.若,则.2.三,设,,,则(满分 8 分)四, 设,,,求,使得.(满分 12 分)五, 在中有两组基:和 写出(满分 8 分) 六, (满分 14 分) 七, (满分 16 分) 八, 设 A 为已知的 m × n 矩阵,集合 V = {X AX = O , X为n阶方阵 }, 1. 验证 V 对通常矩阵的加法和数乘构成实数域 R 下的线性空间; 2. 当 A = (0,1) 时,求该线性空间的一组基. (满分 10 分) 九, 证明题( 本大题共 2 个小题,每小题 6 分, 满分 12 分 ):到的变换公式以及到的变换公式.1. 设为一向量组,其中线性相关,线性无关,证明能由线性表示.2. 若为阶方阵,,证明:为可逆矩阵.。