步尚全+泛函分析基础习题答案提示

第四章赋范空间中的基本定理

1. 设p 是赋范空间X 上的次线性泛函，满足(0)0p =，且在0处连续。

求证：p 是连续映射。

证明：由p 在0处连续，且满足(0)0p =可得：

0,0εδ∀>∃>使得满足||x ||||0||x δ=-<的x 都有||(x)(0)||||p(x)||p p ε-=<。 从而h ∀满足||h ||δ<则||(h)||p ε<

任取0,x x X ≠∈令z x h X =+∈，且满足||||||||z x h δ-=<，由p 是x 的次线性泛函可以得到：

(h)p(x h)p(x)p(x)p(h)p(x)p(h)p --≤+-≤+-=

即||(x h)(h)||max{||p(h)||,||p(h)||}p p +-≤-注意到||||,||||h h δδ<-< 从而||(h)||,||p(h)||p εε<-<即得到||(x h)(x)||p p ε+-<

即p 在x 处连续，由x 的任意性可知，p 处处连续，为连续映射。

2. 设X 为线性空间，:p X → 使得任取,,x y X λ∈∈K ，有

(x y)p(x)p(y),p(x)||p(x)p λλ+≤+=

求证：p 是X 上的半范数

证明：=0λ∈K 取，则由条件(x)||p(x)p λλ=得到(0)0p =。由X 是线性空间，其中存在零元和负元。任取,,0x x X x -∈≠则有：

0(0)p(x x)(x)p(x)p(x)p(x)2(x)p p p ==-≤+-=+=即(x)0p ≥

从而得证半范数的三个条件。即p X 是上的半范数。

3. 设12,a a ∈ 固定，考虑3 的线性子空间

31233{(x ,x ,x ):x 0}Z =∈=

及Z 上的线性泛函1231122(x ,x ,x )a f x a x =+。求出所有f 到3 上的线性延拓

及其相应的线性泛函的范数。

解：由线性我们自然想到，对于3x 应该为线性的。

由Hahn-banach 定理可知：3*(),|Z g g f ∃∈= 。并且对于形如

123112233(x ,x ,x )g a x a x a x =++3a ∈ 3123(a ,a ,a )∈

的线性泛函满足题目的要求。其范数为：

||||g =4. 设X 为赋范空间，M 为X 的线性子空间，0x X ∈。求证：0x M ∈当且仅当

,|0,M f X f '∀∈=都有0(x )0f =

证明：

⇒：

00n n x M x M x x ∈⇔∃∈→使得，由于n x M ∈|0M f =故

1,(x )0n n f ∀≥=。

f X f '∈⇒为连续映射⇒0n x x →则0(x )(x )n f f →从而0(x )0f = ⇐：

假设对于f X '∀∈，|0M f =都有0(x )0f =的情况下0x M ∉则0()c x M ∈ 注意到：M 是X 的闭线性子空间，M 是X 的真子集。令

00=(x ,)inf ||x ||0y M y δρ∈=->则由定理

4.1.7：f X '∃∈使得0||||1,|0,(x )0M f f f δ===>，又条件f X '∀∈都有0(x )0f =矛盾！ 从而假设不成立，0x M ∈

5. 设X 为可分赋范空间，求证：存在X '单位球面的可数子集N ，使得任取

x X ∈，有||||sup |f(x)|x =。

证明：X 为可分赋范空间⇔X 存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为123{x ,x ,x ......}A = 设

123{x ,x ,x ......}=X A =则n x A ∀∈，,,,||||1

n m n m f X f '∃∈=

1,sup |(x )|||x ||m n m n n f ≥=。

6. 设X 为赋范空间，*f X ∈求证：(f)f X N '∈⇔为X 的闭线性子空间

证明：⇒：

f X '∈⇔f 是X 上的有界线性算子，且X 为赋范空间

根据推论2.4.1，()N f 是X 的闭线性子空间。

⇐：()N f 是X 的闭线性子空间。若||||0f =，则f X '∈显然。

若||||0f ≠对于:f X →K ，{0}⊂K 并且是K 的闭集，()N f 是X 的闭线性子空间，即()N f 也为闭集。从而由定理1.2.6得：f 是连续映射。 再根据定理2.4.4：,X K 为赋范空间，*f X ∈即:f X →K 为线性的故有 f 是连续映射⇔f 是X 上的有界线性算子。从而得证f X '∈

7. 设X 为赋范空间，M 为X '的非空子集。求证：若()span M X '=则

(){0}f M N f ∈= 。

证明：事实上由Hahn-Banach 定理4.1.4可知：f X '∀∈有()0f x =则0

x =()X span M '=←−−−−→()f span M ∀∈有()0f x =则0x =(),(),n n x span M x span M x x ∀∈∃∈→←−−−−−−−−−→

f M ∀∈有()0f x =则0x =↔

(){0}f M N f ∈= 。

另证：假设()

{f M N f ∈≠ ，即000,()f M x x N f ∈∃≠∈ 。即

00(),()00f span M f x x ∀∈=≠，。另一方面，由于()span M X '=，则,()n f X f span M '∀∈∃∈()n f f n →→∞。从而对,()()n x X f x f x ∀∈→。注意到：()0n n f x =所以000=()()0()n f x f x n →=→∞即

4.1.400,()00Hahn Banach f X f x x -'∀∈=−−−−−−→=这与假设矛盾！结论得证。

8. 设X 为赋范空间，M 为X 的线性子空间。x X ∈，求证：

(,)sup{|()|:,||||1,|0}M x M f x f X f f ρ'=∈≤=

证明：M 为X 的线性子空间M ⇒为线性空间0()M span M M ⇒∈=，