弹性力学计算题汇总

三．试确定以下两组应变状态能否存在(B A K ,,为常数), 并说明为什么？

(1) Kxy Ky y x K xy y x 2,),(222==+=γεε (存在) (2)

0,,22===xy y x y Bx Axy γεε (不存在)

四．计算题

1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。

解：主要边界条件， b x =，p xy x ==τσ;0

b x -=，0;==xy x q τσ

次要边界条件，在0=y 上，

0)(0==y xy τ，满足；

F dx b

b

y y -=⎰

-=0)(σ

2

)(0Fb xdx b

b

y y -

=⎰

-=σ 2.图中所示的矩形截面体，在o 处受有集中力F 和力矩2/Fb M =作用，试用应力函数23Bx Ax +=φ求解图示问题的应力分量，设在A 点的位移和转角均为零。

解：应用应力函数求解，

（1） 校核相容方程04

=∇φ，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得 B Ax y 26+=σ，0==xy y τσ

考察主要边界条件，

b x ±=，0==xy y τσ，均满足。 考察次要边界条件，在0=y 上，

0)(0==y xy τ，满足；

F dx b

b

y y -=⎰

-=0)(σ，得b

F

B 2-

=；

2)(0Fb

xdx b

b

y y -

=⎰

-=σ，得28b

F A -=。 代入，得应力的解答，

)231(2b

x

b F y +-

=σ，0==xy x τσ 上述应力已满足了04

=∇φ和全部边界条件，因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁，长度为l ，高度为h ，l h >>，在边界上受均匀分布荷载q ，试验应力函数

523322Ay Bx y Cy Dx Ex y φ=++++

能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数2

3

Bx Ax +=ϕ，试求各应力分量。

解：（1）检验相容方程是否满足，由0)(4

=∇φ

（2）求应力分量：

0=x σB y 2Ax 6+=σ0=xy τ

（3）由边界条件：h y =边，由圣维南原理可得：

p dx a

a

h y y -=⎰

-=)(σ

可得：a p B 4/-=

2

)(0a p xdx a

a

y y •

-=⎰

-=σ 可得：2

8a p A -

= （4）应力分量为：

0=x σ

a p

x a p y 2432

--

=σ

0=xy τ

5. 试推导平面问题的y 方向的平衡微分方程0=+∂∂+

∂∂y xy y f x

y

τσ

解：

以y 轴为投影轴，列出投影平衡方程∑=0x

F

；

0)()(=+-∂∂++-∂∂+dxdy f dy dy dx x

dx

dx dy y

y xy xy xy

y y

y τττσσσ　

dx

x

x ∂ ∂ σ y

约简之后，两边除以dxdy ，得

0=+∂∂+

∂∂y xy y f x

y

τσ

2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，

g f f y x ρ==,0（ρ为杆件密度，g 为重力加速度），并设μ=0。

试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分） （平面问题的平衡微分方程：0=+∂∂+∂∂x yx

x f y x στ，0=+∂∂+∂∂y xy y f x

y στ

位移分量表示的

应力分量表达式：)(12y v μx u μE σx ∂∂+∂∂-=

，)(12

x

u

μy v μE σy ∂∂+∂∂-=，)()1(2y

u

x v μE τxy ∂∂+∂∂+=

）

解：据题意，设位移u =0，v =v (y )，按位移进行求解。

位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：

,0)2121(12

2

2

22

2=+∂∂∂++∂∂-+∂∂-x f y x v

y u x u E μμμ(a ) .0)2121(1222222=+∂∂∂++∂∂-+∂∂-y f y

x u

x v y v E μμμ(b ) 将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二

式成为E

g y v ρ-=∂∂22

可由此解出

.22

B Ay y E

g v ++-=ρ(c )

本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且

0)(,0)(0====l y y y v σ

将(c )代入，可得l E

g

A B ρ==，0

反代回(c )，可求得位移：

)2(22y ly E

g

v -=

ρ

)(y l g σy -=ρ