概率论与数理统计(经管类)第二章知识点总结汇编

第二章 随机变量及其概率分布

1． 离散型随机变量

()01

k K K K

P X x p p ==≥⎧⎪

⎨=⎪⎩∑ 例1 设 ，则3.02.05.01=--=c

------------------------------------------------------------------------------------------------ 8．知识点：离散型随机变量的分布律性质

下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C

解：A 事件概率不可能为负值 B ，D

1i i

P ≠∑

返回：第二章 随机变量及其概率分布

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2．常见离散型随机变量

（1）0—1分布：设X ～),1(p B ，则

应用背景：一次抽样中，某事件A 发生的次数X ～),1(p B ，其中EX X P A P p ====)1()(

例2 设某射手的命中率为p ，X 为其一次射击中击中目标的次数，则X ～),1(p B

（2）二项分布：设X ～),(p n B ，则()(1),0,1,2,

,k k n k

n P X k C p p k n -==-=

X 0 1 2 P

0.5

0.2

-0.1

X 0 1 2 P

0.3

0.5

0.1

X 0

1

2

P

31 52 154 X 0

1

2

P

21 31 4

1

应用背景：n 次独立重复抽样中某事件A 发生的次数X ～),(p n B ，其中()p P A =为事件A 在一次抽样中发生的概率。

例３ 某射手的命中率为0.8，X 为其5次射击中命中目标的次数，则X 取的可能值为5,,1,0 ，

52()0.80.2k k k P X k C -==，即X ～)8.0,5(B

记住：若X ～),(p n B ，则np EX =,)1(p np DX -=

------------------------------------------------------------------------------------------------ 9．知识点：事件的关系及二项分布

设每次试验成功的概率为)10(<

)1(1p -- B ．2

)1(p p - C ．21

3)1(p p C -

D ．32

p

p p ++

答案：A

解： 利用对立事件求解。

返回：2．常见离散型随机变量

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（3）泊松（Poisson ）分布

若(),0,1,2,!

K

P X k e k k λλ-==

=则称X 服从参数λ的泊松分布，且DX EX ==λ，记X ～)(λB ，0>λ

应用背景：偶然性事件发生的次数X 一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。 另外，当Y ～),(p n B ，且n 很大，P 很小时，令np =λ，则()!

k

P Y k e k λλ-=≈

例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算

解：设X 表任取的1000件产品中的次品数，则X ～)005.0,100(B ，由于n 很大，p 很小，令5==np λ

则（1）5555

1506151!15!051)1()0(1)2(------=--=--≈=-=-=≥e e e e e X P X P X P （2）5

5

05(5)!

k k P X e k -=≤≈∑

------------------------------------------------------------------------------------------------ 10．知识点：泊松分布

在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知)3(3)4(===X P X P ，则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为（ ）． A ．4

1e -- B ．12

1e -- C ．31e - D ．12

1e -

答案： B 解：

4

3

012

12

3

4!

3!

12

12(1)1(0)110!

e

e P X P X e e λ

λ

λλλ----=∴=≥=-==-=-

返回：（3）泊松（Poisson ）分布

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3．随机变量的分布函数：X 的分布函数为

)()(x X P X F ≤=，+∞<<∞-x )(x F 的性质：①1)(0≤≤x F

②若21x x <，则0)()(12≥-x F x F ③1)(,0)(=+∞=-∞F F

④)()(b F b X P =≤，)(1)(),()()(b F b X P a f b F b X a P -=>-=≤<

例5 设X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+=-0,

00

,)(x x be a x F x λ，其中0>λ，则______=a b=______.

解：由1)(=+∞F 知1=a （因为a be

a F x

x =+=+∞-+∞

→)(lim )(λ）

由0)(=-∞F ，及题设0≤x 时0)(=x F ，故0)1()()(lim 0

=+=+=-→+b be

a x F x

x λ

综上有⎩⎨⎧≤>-=-0,

00

,1)(x x e x F x λ，即1,1-==b a

------------------------------------------------------------------------------------------------ 11．知识点：分布函数性质

设随机变量X 的分布函数为⎩

⎨⎧≤>-=-.0,0,

0,)(2x x e a x F x 则常数a =（ ）