高数第5章4
大学高数第四章5节_二重积分
b Axdx
b
[
2(x)
f x, ydy]dx
a
a 1(x)
D
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
注意： 驻点 不一定是极值点 极值点不一定都是驻点 (不一定可导)
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
6
又
f
' x
(x0
,
y0
)
0
,
令 fxx(x0, y0 ) A ，
f yy(x0, y0) C ，
f
' y
( x0 ,
a
a
二重积分： f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
61
定积分性质：
若M max f (x),m min f (x)，
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
则m(b a)
b
f (x)dx M (b a).
a
性质６
设M 、m 分别是 f ( x, y) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区
域边界的交点不多于两个； b、 1(x) 2 (x). c、平 行于y轴的直线穿过区域时，穿入、穿出曲线是唯一的。
66
（2）Y-型域： c y d, 1( y) x 2(y).
y0 )
0，
fxy(x0, y0) B ，
微积分课件(导数的应用-南京大学
5-2 一阶导数的应用
例5 确定 y 3 x2 的单调区间。
解 函数的定义域为 (,)
y
2
1
x3
2
3
33 x
由于 y 0 则无驻点；
当x=0时 y 不存在，则x=0为奇点
（也可以是单调区间分界点）
讨论 得函数在 (,0) 递减，(0,) 递增。
10
精品课程
❖ 序言
❖ 第1章 函 数 ❖ 第2章 导 数 ❖ 第3章 定积分 ❖ 第4章 求导方法 ❖ 第5章 导数应用 ❖ 第6章 求积分方法 ❖ 第7章 定积分应用 ❖ 第8章 微分方程
5-3 二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定（如图）
y y
y=f(x)
y=f(x)
1
0a
2
bx
2
1
x
0a
b
a图
b图
直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方； 曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。
17
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《微积分》
教学课件
南京 **大学 高数教研室
1
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第五章 导数的应用
内容导航
➢ 前言 ➢ 理论基础：中值定理 ➢ 一阶导数的应用
3
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高数课件第5章2牛莱公式
2 x
3
t x ln( 1 u 2 )du dy 0 例2、设 ,求 . t dx y e u du 0 dy et dy dt 解： dx dx 2t ln( t 4 ) 1 dt
2
y
2
2 x3 y2
例4、求极限： 1 ）
内容小结
青 1. 微积分基本公式 设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有 岛 b 理 a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a) 积分中值定理 微分中值定理 工 牛顿 – 莱布尼兹公式 大 学 2. 变限积分求导公式
1 4 1 cos x sin xdx si n x 2 4 4 0
3
1 1 dx arctanx 2 1 1 x 1 2
1
x 1 2 1 dx ln( x ) 0 1 2 1 1 x 2 1
1
e l n xdx ( x ln x x ) 1 1 1
公式 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
设
求
青 解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 1 2 岛 设 0 f ( x) d x a , 0 f ( x) d x b , 则 理 工 大 学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 t f (t ) d t F (x)
x
(0 x )
下页 返回 结束
机动
目录
上页
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
1.公式：
青 b 函数 , 则 a f ( x) dx F (b) F (a ) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 岛 故 证: 理 F ( x ) ( x ) C f ( t ) dt C 工 因此 f ( t ) dt F ( x ) F (a ) 大 得 学 记作
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
高数第四章测试题及答案
高数第四章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处不一定连续答案：A2. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是（）。
A. 1B. 3C. 9D. 27答案：B3. 函数y=e^x的导数是（）。
A. e^xB. 1C. xD. ln(x)答案：A4. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。
A. 1B. 2C. -2D. 4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^2+2x+1的最小值是______。
答案：02. 函数y=sinx在区间[0, π]上的最大值是______。
答案：13. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)4. 函数y=e^x的反函数是______。
答案：ln(x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。
答案：y'=3x^2-6x2. 求函数y=x^2+4x+4的极值点。
答案：极值点为x=-2，此时函数取得最小值。
3. 求曲线y=x^2在点(2,4)处的切线方程。
答案：切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4。
4. 求函数y=e^x的不定积分。
答案：∫e^x dx = e^x + C四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：函数y=x^3-3x在区间(-1,1)上是增函数。
答案：略2. 证明：函数y=x^2-4x+4在x=2处取得最小值。
答案：略。
大一高数课件第五章 5-3-1
dy 0所确定，求 ； dx
t2 d2y x 1 u ln udu, 2、 设 (t 1) ,求 2 ； 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x cos(t 2 )dt ； 3、 dx sin x
4、设 g( x )
x2
0
dx ，求 g (1) . 3 1 x
四、小结
1.积分上限函数 ( x ) a f ( t )dt
2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式
b x
( x ) f ( x )
a f ( x )dx F (b) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的 关系．
思考题
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
4、0 sin x dx .
1 x2
2
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
x t2 0 x 0
x
( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a, b]上的一个原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果 F ( x )是连续函数 f ( x ) 在区间[a, b]上的一个原函数，
x
0
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。
数二高数课后题(考研)
2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习-—1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则,会利用其求极限;两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念,左、右连续的概念,判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质。
第一单元调整学习计划第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系,导数的几何意义、物理意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数:分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限;7.函数极值的概念,用导数判断函数的单调性,用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值;8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．第二单元学习计划调整任务第三单元学习计划——不定积分本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.原函数、不定积分的概念；2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；第三单元学习计划调整任务第四单元学习计划——定积分及其应用本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；2.定积分的换元积分法与分部积分法;3.积分上限的函数的概念和它的导数,牛顿—莱布尼茨公式；4.反常积分的概念与计算;5.用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．第五单元学习计划——常微分方程本计划对应教材：高等数学上册 同济大学数学系编 高等教育出版社 第六版 在第一单元中我们应当学习——1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;2. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；3. 齐次微分方程的解法；4. 可降阶微分方程：()(),(,)(,)n yf x y f x y y f y y ''''''===和的解法；5. 线性微分方程解的性质及解的结构；6. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.第五单元学习计划调整任务第六单元——向量代数和空间解析几何(考研数学二不要求）第七单元学习计划——多元函数微分学本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.二元函数的概念与几何意义；2.二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质；3.多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性，会求全微分；4.多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；5.隐函数存在定理，计算多元隐函数的偏导数;6.多元函数极值和条件极值的概念,二元函数极值存在的必要条件、充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值.第七单元学习计划调整任务第八单元学习计划——重积分本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.二重积分的概念和性质，二重积分的中值定理；2.会利用直角坐标、极坐标计算二重积分.第八单元学习计划调整任务第九单元——曲线积分与曲面积分（考研数学二不要求）第十单元——无穷级数（考研数学二不要求）。
大一上学期同济版高数第四章牛莱公式
= f [ϕ(x)]ϕ′(x) − f [ψ(x)]ψ′(x)
x −t 2 Φ 1 ） 例1： (x) = e dt 求Φ′（ 0 ′ x −t2 e d t = e−x2 解： Q Φ′(x) = 0
∫
∫
∴ Φ′(1) = e
−x2 x=1
=e
−1
9
例2：求 ：
d x2 sint ∫π t d t dx
o a
x ξ
b x
x + ∆x
Φ(x + ∆x) − Φ(x) = lim f (ξ) = f (x) ∴ Φ′(x) = lim 7 ξ→x ∆x→ 0 ∆x
说明: 说明 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时也 初步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。 从而为通过被积函数的原函数计算定积分开辟了道路。 2) 变限积分求导:
解： 根据复合函数的求导法则及求导公式有：
sin d x2 sint ＝ x2 (x2 )′ ∫π t d t x2 dx
2x⋅ sin x 2sin x2 ＝ ＝ 2 x x
10
2
−13 t ln(1+ t 2) d t ′ −3 x ln(1+ x2) = 例3： ∫ x ：
确定的
Φ(x) = ∫ f (t)dt
a
6
x
定理1. 定理 若
则变上限函数
x a
Φ(x) = ∫ f (t) dt
y
y = f (x)
Φ(x)
证:
∀x, x + ∆x∈[a, b] , 则有
Φ(x + ∆x) − Φ(x) = 1 x+∆x f (t)dt ∆x ∫x ∆x f (ξ)∆x (x <ξ < x + ∆x) = f (ξ) = ∆x
高数作业答案1-5章
练习一7. 求函数1sin ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 12. 求下列函数的反函数及其定义域: (2)由ln(2)1y x =++得1e2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R14. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x==++ (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>Q 且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 16. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明: (1) ()()f x f x +-为偶函数;证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.22. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 23. 根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 678L 个(3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n →∞=. 25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:(3)111(3)(123)(33)n nn n nnn<++<⋅Q 即 113(123)3n nn nn+<++<而 1lim33,lim33n nn n +→∞→∞==故 1lim(123)3nn nn →∞++=.26. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+L L 证: (1)12x =<Q ,不妨设2k x <,则12k x +<=.故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x +-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)n n n n n n nn n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++， 解得a a ==(不合题意，舍去). 所以lim n n x →∞=27. 用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=. 29. 通过恒等变形求9. 通过恒等变形求下列极限：2222214123(1)11(1)lim; (2)lim ;1222168(3)lim ; (4)lim ;154n n n x x n n x x x x x x x →∞→∞→→++++-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+-+--+ L L32233π5422(5)lim ; 1cot lim ;2cot cot (9)lim(1)(1)(1)(1);(10)nx x x x x xxx x x x x x →+∞→→→→∞---+++<L 112231100(1(1lim ;(1)113(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim n x x x x a x x x x x x x x x a x x-→→→→→--+⎛⎫- ⎪---⎝⎭+-L 3sin 00;sin (15)lim(12); (16)lim ln .x x x xx x→→+1221112244411112(2)lim lim 2.11221221(1)(3)lim lim lim(1)0.1168(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==+++ ⎪⎝⎭--+-==-=---+---===-+---L32222000(5)lim lim lim2.(1lim lim(1 2.x x x x x x xx x →+∞→→→===+==-=--31. 当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111(1)limlim 112x x x x x →→-==-+Q ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x xx →→-+==-Q∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.32. 利用0sin lim 1x xx →=或等价无穷小量求下列极限22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-sinsin22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅==7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以 22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅. (9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (11)因为当0x →时，arcsin~)~,x x --所以00 1.x x x →→→==-=-33. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 0113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦22233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== 34. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限： 解：(1)令1(e )xxy x =+，则1ln ln(e )x y x x=+ 于是：()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭ e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x x xx x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅= 即()lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()120lim e e x x x x →=+35. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？2,2(2)()102x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩在2x =处. (2)22221lim ()lim ,lim ()lim(2)42x x x x f x f x x x ++--→→→→==+∞=+=- 因为2lim ()x f x +→不存在，所以2lim ()x f x →不存在. 36. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x ≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ (2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→====及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-337. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：2221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,;tan 21(3)cos ,0;x y x x x x x y x k x k k x y x x -===-+===+=±±==L22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+--Q2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.(3)∵当0x →时，21cosx呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断38. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:311tan 2(1)()(2)();111(3)()sin sin ;(4)()(1).x x xf x f x x x f x x f x x x +==+-==+00tan 22(2)lim ()limlim 2.x x x x xf x xx →→→===Q∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续.10(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=Q∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续. 40. 试证：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-=即方程21xx ⋅=有一个小于1的正根.41. 试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续， 且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.42. 设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.43.设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.44. 若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<L ,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=L . 证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤L , 由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=L . 习题二3. 试求过点(3，8)且与曲线2y x =相切的直线方程.解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得282(3)y x x y x -=-⎧⎨=⎩为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：44(2),168(4).y x y x -=--=- 5．求下列函数的导数: (2)y =解：5323y x -'=- 8．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩证明：00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x ---→→-'===- 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.9．已知sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求()f x '.解：当0x <时，()cos ,f x x '=当0x >时，()1,f x '=当0x =时，0sin 0(0)lim 1,0x x f x --→-'==- 00(0)lim 1,0x x f x ++→-'==- 故(0) 1.f '=综上所述知cos ,0,()1,0.x x f x x <⎧'=⎨≥⎩ 10．设函数2,1,(), 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b += 又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax a f a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.17. 求下列函数的导数：⑴ π3ln sin 7S t =+;解：3S t '=⑵y x =;解：12)y x x x '=+=+ ⑷ 1sin 1cos x y x-=-; 解：22cos (1cos )(1sin )sin 1sin cos (1cos )(1cos )x x x x x x y x x ------'==-- ⑸ πtan e y x =+;解：2sec y x '=18. 求下列函数在给定点处的导数：⑴ 1sin cos ,2y x x x =+求π4d d x y x =； 解：11sin cos sin sin cos 22y x x x x x x x '=+-=+π41ππππsin cos )24442x y ='=+=+ ⑶ 254, 1,()43, 1,x x f x x x x -≤⎧=⎨->⎩求(1)f '. 解：211()(1)431(1)lim lim 511x x f x f x x f x x +++→→---'===-- 11()(1)541(1)lim lim 511x x f x f x f x x ---→→---'===-- 故(1) 5.f '=20.求下列函数的导数⑵⑶y = ⑸ 221sin y x x=⋅； ⑹ 23cos y ax =（a 为常数）； ⑼y =⑶2y '==⑸ 22231122sincos ()y x x x x x '=+⋅- 221212sin cos x x x x =- ⑹ 3322cos (sin )3y ax ax ax '=⋅-⋅233sin 2ax ax =- ⑼12ln y x x '=⋅= 24.求下列隐函数的导数⑵ ln()x y xy = ⑶ e e 10y xx y -=⑵ 两边求导，得： 11ln()()y xy y y xy xy''=+⋅+ 解得 (ln ln 1)x y y x x y -'=++. ⑶ 两边求导，得：e e e e 0y y x xx y y y ''+⋅++= 解得 e e =e e y xy xy y x +'-+. 25. 用对数求导法求下列函数的导数：⑴45(3);(1)x y x -=+ 解：1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+45(3)145[](1)2(2)31x x x x x -=--++-+ ⑵ cos (sin );x y x =解： 2cos (ln )(cos ln sin )1 [(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin x y y y y x x y x x x x x x x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=-26. 求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x： ⑴ cos sin ,sin cos ,x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩ (a ,b 为常数) 解： d d cos sin d d d sin cos d cos sin cos sin yy ab bt ab at t x x ab bt ab at tbt at at bt+==-++=- 27. 已知e sin ,e cos ,t t x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求当π3t =时d d y x 的值. 解：d de cos e sin cos sin d d d e sin e cos sin cos d t t t t yy t t t t t x x t t t tt--===++π3ππcos sin d 332ππd sin cos 33t y x =-==+. 33. 已知()y f x =的导数2221()(1)x f x x x +'=++，且(1)1f -=，求()y f x =的反函数()x y ϕ=的导数(1)ϕ'.解：1y =Q 时1,x =- 故221(1)()()21x x y f x x ϕ++'=='+, 从而22[1(1)(1)](1)12(1)1ϕ+-+-'==-⨯-+ 36. 求下列函数的微分：⑶y = ⑹2(arctan )y x =⑶d d (y x x x '==-=⑹221d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==+⋅+ 37. 求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y⑴ 1e y y x =+⑶ 1sin 2y x y =+ 解：⑴ 对等式两端微分，得 d e d d(e )y y y x x =+即d e d e d y yy x x y =+ 于是e d d .1e yyy x x =- ⑶ 对等式两端微分，得1d d cos d 2y x y y =+解得2d d .2cos y x y=- 45. 验证函数e sin x y x =满足关系式220y y y '''-+=证明：e (sin cos )xy x x '=+ e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=⋅故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0x x x y y y x x x x '''-+=⋅-++=46. 求下列函数的高阶导数：⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y. ⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i y C x x -==∑2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=-- 47. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d y x：⑵ 1e yy x =+⑵ 两边对x 求导，得e e y y y x y ''=+ 223e e (2)e ()e (3)2(2)(2)y y y y y y y y y y y y y ''----'''⇒=⇒==--- 49. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d y x： ⑴ (sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩(a 为常数)； 解：⑴ d d sin sin d d d (1cos )1cos d yy a t t t x x a t tt===-- 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1 =(1-cos )(1cos )1 =.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅--- 50. 求下列函数在指定点的高阶导数：⑵ 21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''⑵ 21()2e x f x -'= 2121()4e ()8e x x f x f x --''='''= 故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. 52. 验证：函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.证：()lnsin f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()ln 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x f x x x'===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=，可使()0f ξ'=. 56. ⑴ 证明：不等式ln(1) (0)1x x x x x <+<>+ 证明：令()ln(1)f x x =+在[0，x]上应用拉格朗日定理，则(0,),x ξ∃∈使得()(0)()(0)f x f f x ξ'-=- 即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<，则11x x x x ξ<<++ 即ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明：11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明：令()n f x x =,在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈ 因为b a ξ<<,则111()()()n n n nba b n a b na a b ξ----<-<-, 即11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明：ln .a b a a b a b b--<< 证明：令()ln f x x =在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得1ln ln ()a b a b ξ-=-因为b a ξ<<，所以1111, ()a b a b a b a b a bξξ--<<<-<, 即ln a b a a b a b b--<<. ⑷ 设0x >证明：112x +>证明：令()f x =[0,]x x ∈,应用拉格朗日定理，有()(0)()(0), (0,)f x f f x x ξξ'-=-∈()()(0)f x f x f ξ'=⋅+112x =+<+即112x +> 57. 如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >.证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()()0f x f a f x aξ''-''=>-, 于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >58. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.59. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,x F x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈60. 证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1x x x x +=≥+ 证明：令22()2arctan arcsin 1x f x x x =++,22222222(1)22()1(1)2211x x xf xx xx x+-⋅'=++=-=++故()f x C≡，又因(1)πf=,所以()πf x=,即222arctan arcsinπ.1xxx+=+65.求下列函数在x x=处的三阶泰勒展开式：⑴4);y x==解：⑴1357(4)222211315, , ,.24816y x y x y x y x----''''''==-==-所以113(4) , (4) ,(4)432256y y y''''''==-=(4)7215[4(4)]16[4(4)]y xxθθ+-=-+-故70.利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x xx xxθθ+=--+-<<+Q234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=71.计算0.2e的近似值，使误差不超过310-.解：234ee1 (01)2624xxx xx xθθ=++++<<230.2(0.2)(0.2)e10.2 1.2213 1.22126≈+++=≈0.2444e31(0.2)(0.2)(0.2)0.20.00020.00124248Rθ⨯=⨯<⨯=⨯≈<5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5nRθ-=<≈⨯+73.利用洛必达法则求下列极限：⑷ sin sin limx a x ax a→--⑺ 0ln lim cot x xx +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→⑼ 0e 1lim()e 1x xx x →-- ⑿ 1lim(1sin )xx x →+;⑷ 原式=cos limcos 1x a xa →=⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x→--204e e 3=lim22x x x →-=. ⑿ 令1(1sin )xy x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.习题三1. 确定下列函数的单调区间：(2) 82 (0)y x x x=+>；解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少. 2. 证明下列不等式:(1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->3. 试证:方程sin x x =只有一个实根. 证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4. 求下列函数的极值: (6)y x = 解: 1y '=令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =.因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.6. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有π3π0()(cos cos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--， 所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7. 求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x =-∈-∞；解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－1412. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-12题图截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点84πax =+，即为最小值点. 即当84πax =+时，建造材料最省. 16. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：(2) e x y x -=；解：(1)e , e (2)x x y x y x --'''=-=-令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的.因此(2，2e －2)为唯一的拐点.17. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭;证明：令 ()n f x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 2e e (2)e ()2x yx y x y ++>≠ ;证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y ++<.(3) ln ln ()ln(0,0,)2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证明：令 f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>>则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即 ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+ 20. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？ 解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=.21. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.习题四2. 用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 3. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤由积分的保序性知：222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.x x ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即2101ed e.x x ≤≤⎰5.计算下列定积分：3(1);x ⎰解：原式43238233x ==-221(2)d x x x --⎰;解：原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰01232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=(5).x解：原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=6. 计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=8. 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 cos sin 1xy x '=-.10. 求下列极限：203ln(12)d (1)lim;xx t tx→+⎰解：原式21222300ln(12)22limlim ln(12).333x x x x x x →→+==+= 12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰(13)e d ;1x xx -⎛⎫⎝⎰解：原式=e d e .xx x x c -=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰ 解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰15. 利用换元法求下列积分：(2)x解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(6)sin 2cos3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)x x ;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ (28) d ;x x⎰解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t所以sin t =,故上式c =+.16. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(3)ln d x x x ⎰解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰ (5)arccos d x x ⎰解：原式=arccos arccos x x x x x c +=⎰(7)e cos d x x x -⎰解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ 17. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ 20. 计算下列积分1(3)解：原式=211112⎛⎫+ ⎪-== 231(8)ln d x x x ⎰;解：原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰π220(9)e cos d x x x ⎰;解：ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.21(12)x ⎰; 解：原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭212(14)e d t t t -⎰;解：原式=2212122ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解：原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰23. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||aa x x x -⎰解：因||x 为[－a , a ]上的奇函数， 故sin d 0.||aa xx x -=⎰12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-25. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰26. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭(4)(0)a >⎰;解：原式=000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kxx x +∞⎰; 解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k k kk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散28. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x x x x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .xx x +∞⎰解：。