关于“三角形的内角和”的教学过程的研究(汪重业)

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1
B
D

C
A

关于“三角形的内角和”的教学过程的研究
一、该知识内容在教材中年段安排的变化
“三角形的内角和”在原教材里是安排在六年级第二学期第七章第3节“三角形”里学
习的，在八年级第一学期第二十二章学习“证明的步骤”时，作为证明的步骤的例子给出了
这个命题的证明．
在现行教材中，“三角形的内角和”的学习被安排在七年级第二学期第十四章第1节“三
角形的有关概念”里学习，同样，其证明在八年级第一学期第十九章第1节作为学生体会演
绎证明的一个例题．

二、学习该知识内容学生认知准备的变化
新知识内容的学习，必须以学生一定的相关知识储备为基础，同时要适合学生的认知发
展的水平和可接受的程度．
原教材六年级学生学习“三角形的内角和”是在刚刚学习了角的概念、角的比较、角的
和差、余角与补角，以及小学阶段学习过锐角、直角、钝角与平角等知识基础上，由此原教
材中，三角形的内角和等于180°的结论是在用形状、大小
相同的三角形薄板铺砌地面的操作中获得的．因为过去没有
定义全等三角形，所以在教学时，为了说明表达操作的图形
的意义，将图形所表示的地面看作是一个三角形移动到不同
位置的结果．观察图形，发现A、B、D三点成一直线，也就
是∠ABD为平角，而这里∠1、∠2、∠3正好是三角形的三
个内角．由此得出：“三角形的三个内角和等于180°”．
而现行教材将“三角形的内角和”的学习，后移至七年级第二学期，在进一步学习了相
交线与平行线，学习了平行线的性质与判定等内容以后，学习三角形的有关概念，这时学生
的知识储备已不仅有对角的和差的理解，知道角的和差的代数意义是度数的加减，几何意义
是图形的拼叠，而且也有了更多的知识储备，并且已开始学习对实验所得的结论进行有条理
的说理．对形式化说理也已有初步的训练．

三、几个教学片断的纪录综合
1．2006学年第二学期本人曾在一周内连续听了五、六位教师关于“三角形的内角和”
的课，现把教学过程综合纪录于下：
师：我们已经知道三角形的三边之间的关系，即三角形任意两边的和大于第三边，那么
三角形的三个内角之间有怎么样的关系？
学生异口同声的回答：三角形的内角和等于180º．
师：请同学们在纸上任意地画一个三角形，用量角器量一下三个角的度数，然后加起来，
看看是不是等于180º？
学生画三角形，度量角度，计算三个角的和．
师：下面请大家把你们度量的结论说一说．
学生说度量的结论．
师：度量是会有误差的，因此度量的结论是不是正确呢？我们来进一步验证，我们知道
平角等于180º，请大家把准备好的三角形纸板拿出来，把三个角剪下来，能不能拼成一个
平角？
学生操作．
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教师用投影仪显示学生拼的结果，并用多媒体演示．
教师接着拖动屏幕上的三角形的一个顶点，改变三角形的形状，屏幕上显示三个角的度
数与它们的和等于180º．
师：我们已经通过度量与操作，得出三角形的内角和等于180º，但是实验得到的猜想
是否正确呢？对于结论的正确性我们要进行说理．
师：哪个同学能来说说这个结论为什么是正确的？（没有学生应答）
师：过△ABC的顶点A作直线EF∥BC．（学生惘然）由平行线的性质，得

F
ECBA

（略）
2．在有一个学校听课时，学生交流各不相同的拼法．有一学生突然提出：“老师，我
认为只需要拼一个角就可以了．”这时轮到老师惘然了，“把一个角拼在另一个角旁边，利用
同旁内角互补也可以得出结论．”学生继续回答．
„„
四、引发几点思考
1．引导
可以由三角形三边之间的关系，即三角形任意两边的和大于第三边，类比地引发学生
思考三角形的三个内角之间是不是也有一种确定的关系．如果学生中没有人应答，那么教师
就可以让学生在纸上任意地画一个三角形，度量三个内角的度数，猜测三个内角之间会有一
种怎么样的关系，引出“三角形的内角和等于180º”；而如果学生都已经说出了“三角形的
内角和等于180º”了，还要去猜想吗？这时教师就应该改为请学生通过度量来验证这个结
论是不是对．
2．访谈
在与每位上课的教师的访谈时，教师们反映的一个共同问题（困惑）是，“过△ABC的
顶点A作直线EF∥BC”学生很不理解．我问了两个问题，为什么要作平行线？教师们都说
通过作平行线把三角形的两个内角转移到另一个角的两旁，形成一个平角．那么怎么会想到
作平行线呢？原来没有平行线的，这条平行线是从什么地方来的？学生还没有正式学习几何
的证明，对于添辅助线的问题所知几乎为零，现在突然出现了一条平行线，反映一定是很惘
然的．教师也几乎都不能回答．于是我说平行线是拼出来的，我继续问你能说说为什么拼成
的一定是平角？没有人能回答，只是说没有想过．
3．操作与说理之间有必然的联系
其实，教材安排的操作活动有两个目的，或者说有两层含义，一是在未知的情况下，去
猜想；二是作为进行逻辑推理时添置辅助线的依据．那么教师要做的应该是根据学生已有的
知识储备或经验，即学生对180º的认识主要是两点：平角等于180º；两个角互补即两个角
的和等于180º，进一步的有两直线平行，同旁内角的和等于180º．角的和差的代数意义是
度数的加减，而几何意义是图形的拚叠．科学实验不是盲目的，为什么要把三角形的三个角
裁下来拚在一起？怎么拼？就是要利用学生已经知道的知识：平角的概念或互补的概念去探
究三角形的内角和的问题．于是，操作实验之前就应该让学生对角的和等于180º的问题先
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CB
F
E

C
B
A

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A
B
C

C
F
E

C
B
A

进行探究，然后引导学生能不能把三角形的三个内角拚成等于180º的关系．
学生的操作必然会有多种各不相同的拚法，应该让学生对各自不同的拚法进行交流，并
说明为什么你的拚法是等于180º的？不能说看上去像是平角．这既是培养学生严谨的科学
实验的态度，也是为接下来的说理提供依据．老师，你能说清楚教材上的拚法为什么拼成的
是平角吗？
学生的操作大致有三种情况，把两个角拚在一个角的两旁、把两个角拚在一个角的同一
旁、裁下一个角拚在其它两个角的某一个角的旁边．如下图：
⑴把∠B、∠C裁下拼在∠A的两旁，即∠BAE=∠B，
∠CAF=∠C，所以射线AE、AF 分别平行于BC（内错角
相等，两直线平行），又因为“经过直线外的一点，有且
只有一条直线与已知直线平行”，AE、AF共线，因此
∠EAF是平角．就是说∠A、∠B、∠C拼成一个平角．

⑵把∠A、∠B裁下拼在∠C的两旁，即∠ACE=∠A，
∠ECF=∠B，所以CE与AB平行（内错角相等，两直线
平行），延长BC得∠ECP=∠B（两直线平行，同位角相
等），于是∠ECP=∠ECF，因此射线CF与射线CP重合，
∠BCF即∠BCP是平角．就是说∠A、∠B、∠C拼成一

个平角．

⑶把∠C裁下拼在∠A的一边AC的另一侧，即
∠CAF =∠C，所以AF平行于BC（内错角相等，两直
线平行），所以∠FAB+∠B =180º（两直线平行，同旁内
角互补），也就是∠C +∠BAC +∠B =180º．

以上前两种拼法中如果所拼的两个角的位置交换一下，虽然仍能得到一个平角，但与
BC就不平行了，这两种存在的拼法不是我们能用来解决问题的，当然在一般情况下人们是
不会那样去拼的，也无须向学生去说明．
由不同的拼法，而引出不同的说理，由于三角形的三个内角和需要转化为平角等于180º
或两直线平行，同旁内角互补，在说理时就必须添置辅助线．而不同的说理，有不同的添置
辅助线．不同的拼法，为不同的添置辅助线，提供了依据．由于教师在教学过程中，也仅仅
只是拼一拼，未能说明拼的正确性，于是在说理添置辅助线的时候，学生既想不到，更不用
说为什么会这样添置辅助线了．而教师更无法讲清楚这样添置辅助线的道理，于是也就只能
在教师的讲解中“接受”了这条添置的辅助线．虽然学生在演绎说理这一主要环节中“体会”
了演绎推理的意义与作用，体验了几何结论严格化的过程，并不能很好领会数学形式化说理
的方法．因此，在本节教学中应该认真地设计好操作实验的活动过程，重视学生的“拼”，
与“拼”的理由，引导学生从自己合理的“拼”法，添置合适的辅助线，从而完成对结论的
说理．